Обратная задача для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3 (28). С. 17—29

УДК 517.956.47

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М. Ф. Решетнёва,

660014, Россия, Красноярск, пр. им. газеты «Красноярский рабочий», 31.

E-mail: [email protected]

Рассматриваются вопросы обобщённой разрешимости обратной задачи для нелинейного дифференциального уравнения с псевдопараболическим оператором высокого порядка. Используется метод 'разделения переменных. Смешанная задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, а обратная задача — к системе интегральных уравнений Вольтерра. Доказана однозначная разрешимость и устойчивость решения обратной задачи.

Ключевые слова: нелинейная обратная задача, псевдопараболический оператор высокого порядка, обобщённая разрешимость.

1. Постановка задачи. В области D рассматривается уравнение

(g g 2m+1 g4m+1 g4m \ n

dt ^ ^ dtdx2m dtdx4m dx4m ) UX^

= f (t,x,u(r(t,tf(t)),x),tf(t - Tq)) (1)

с начальными

д j-1

u(t, X) = <pi(x), T—ru{t, x)

t=t 0 dt

t=to

Vj (x), j = 2, 3 (2)

граничными

u(t,x)l =q — uxx(t,x)

x=Q xx\ i ! |x=Q

l

x=Q

g2(2nm-1)

' ' = gx2(2nm-l) UX)

— K(x,y)u(t,y)dy — / K(x,y)uyy(t,y)dy —

J Q J Q

r l g2(2nm-1)

= • • • = у к(х> у) а..9^т-пц(*> y)dv = 0 (з)

dy2(2nm-1)

и дополнительными условиями

u(t,x)|x=xo — Дt), 0 <xq <l, (4)

y(t) — n(t), t € Eto, (5)

где f (t, x, u, У) € (D x R x Uq); щ (x) € C4m+1 (Di), j — 1,2,... ,n; щ (x)|x=Q —

— ^?/(x)|x=Q—... —jnm_2)(x)|x=Q— f K(x,y)Vj(y)dy — f K(x,y)^j(y)dy —

Jq Jq

f i

— ... — J K (x,y)<pfnm~2) (y)dy — 0; K (x,y) € C 1(D2); 0 < t (t,ti) € (Dt x Uq); * 17

Турсун Камалдинович Юлдашев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики.

17

Юлдашев Т.К.

•0(t) € (Dt); n(t) € (Et0); Et0 = [0; to]; U0 —отрезок на действительной числовой оси; D = Dt xDj, Dt = [t0, T], Di = [0, l], 0 < l < to; 0 < т0 < t0 < T < to; n, m € N.

Функция K(x,y) такая, что дифференциальное выражение —d2nm/dx2nm при граничных условиях (3) порождает положительно определенный самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром.

Отметим, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ. В частности, смешанные задачи с интегральными условиями были рассмотрены в работах [1-3].

Вопросам разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящены работы [4,5], где приведена подробная библиография по данной тематике.

В настоящей работе изучается обратная задача для нелинейного дифференциального уравнения, в которой восстанавливаемая функция §(t) находится в нелинейной правой части уравнения. Кроме этого, искомая функция u(t, x) входит в нелинейную функцию f с отклонением по времени т(t, $(t)), и тем самым она зависит от восстанавливаемой функции 'ff(t). Задание условия

(5), во-первых, отвечает запаздыванию аргумента восстанавливаемой функции §(t — то); во-вторых, обеспечивает единственность функции §(t) и, в-третьих, делает некорректно поставленную задачу (1)-(4) корректно поставленной и определяет значение восстанавливаемой функции §(t) в точке t = = to. Используется методика разделения переменных, основанная на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде

u(t, x)

i — 1

N

ai(t) ■ bi(x).

(6)

Следует подчеркнуть, что bi(x) — собственные функции дифференциального оператора —d2nm/dx2nm, удовлетворяющие граничным условиям

р I

bi(0) = bi(0) = ■■■ = b(4nm-2) (0) = K (x,y)bi (y)dy =

Jo

= j K (x,y)b” (y)dy = ... = j K (x, y)b(4nm-2) (y)dy = 0 oo

и обладающие свойством b(2nm)(x) = (—l)2(nm+1/2) A2nmbi(x), где A2nm — соответствующие собственные значения данного оператора такие, что

0 < A1 < A2 < ... < Ai < ... —— то при i — to.

Применение метода разделения переменных в виде (6) и использование интегрального тождества позволяет отказаться от непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме этого, такой подход позволяет свести смешанную задачу к счётной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Но при решении обратной задачи (1)-(5) относительно восстанавливаемой функции получается нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое с помощью нелинейного интегрального 18

18

Обратная задача для нелинейного уравнения. ..

преобразования сводится к специальному виду нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Обозначим через Wk,p(D) множество функций Ф(£,ж) таких, что Ф(£,ж), (О2/Ох2)Ф(^ x), (d2(2nm-1)/dx2(2nm-1)^(t,x) при фиксированном t € DT

принадлежат области определения оператора _g2nm/dx2nm, имеют производные порядка к по t, принадлежащие Lp(Di) и обращающиеся в нуль при t ^ T _ 5 (5 > 0 зависит от Ф(^ж)), где

Lp,q(D) = < u(t,x) :

гТ

'to

|u(t,x)|p dx] dt

q/p 1 1/q

< TO

Пусть для функций из Wk,p(D) при к = n справедливы соотношения А А

Urn | = lim |

Ясно, что пространство Wk,p(D) всюду плотно в пространстве Lp(D).

2. Сведение решения смешанной задачи (1)-(3) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода.

Определение. Обобщённым решением обратной задачи называется пара функций {u(t, x), $(t)}, удовлетворяющая условиям (4), (5) и следующему интегральному тождеству:

t0 /to JO

u(t,y)

О n

gn+4m

-1

——Ф + n—--------Ф +

dtn dtn~4dy4m

п(п - 1) dn+4m

2 Qtn-2dyim+2

+... +

n(n — 1) d4nm-2

2

dt2 dy

4nm- 4

Ф + n

g4nm-1

dtdy4nm~2

Ф +

g4nm

Qy4nm

Ф+

Ф+

+

gn+2m

Ф + n

gn+6m

-1

+... +

+

+... +

dtndy2m dtn-1dy6m

n(n _ 1) 04nm+2m-2

Ф +

Ф+

n{n-1) dn+&m

2 Qfn-2Qy6m+2

g4nm+2m-1

Ф + П——г—^—,Ф ) +

2 dt2Qy4nm+2m-4 gtQy4nm+2m-2

gn+4m gn+8m-1 n(n 1) gn+8m

Ф + П——Г——Ф + -Ц------+

dtndy4m dtn-1dy8m

n(n _ 1) d4nm+4m-2

Ф + n-

2 gtn-2dy8m+2

g4nm+4m-1

2 Qt2Qy4nm+4m—4 QtQy4nm+4m—2

-Ф

_ f Ф > dydt =

i

= V1 (y)

Jo

О

n- 1

gn+4m-2 n(n _ 1) gn+4m-1

—----Ф + n---------Ф H--------------------

dfn-l Qtn^QyAm 2 gtn~3dy4m+2

+

+ ... +

gn+2m-1

n(n - 1) d4nm~3

4nm-4

-Ф + n-

dtdy

О n+6m■

Ф + n

2

О 4nm-2 Qy4nm-2

Ф+

Ф+

-2

gtn-1Qy2m gtn—‘2 Qy6m

n(n _ 1) g4nm+2m-3

Ф +

+ ... +

n(n-i) dn+&m~l ) 9tn~

g4nm+2m-2 ГФ + n—r—ТЛ—^тФ ) +

Ф +

Qt9y4nm+2m-4 Qy4nm+2m-2

0

2

19

Юлдашев Т.К.

+

d n+4m

-1

-Ф + п

d n+8m-

-2

+... +

dtn-1dy4m dtn-2dy8m

n(n — 1) g4nm+4m-3

Ф +

n(n-1) dn+8m~l

2 Q£n-3Qy8m+2

Ф +

2 Qtdy4nm+4m-4

d 4nm+4m-2

Ф + П----------Ф

dyinm+im~2

dy—

ri

+

— ••• + Vn-1(y)

Jo

d 4m+1 d 8m

я d4m

--Ф + П----

dt dy4m

/ g2m+1

Ф + I -

\dtdy2m

Ф + n

t=to

g6m

dy

6m

ф +

(dtdy4m

Ф + n

dy8m

Ф

dy — Vn(y)

. t=to JO

d 2m g4m

ф + ^ф + ^—ф

dy

dy4m

dy.

t=to

Коэффициенты разложения ai(t) обобщённого решения смешанной задачи (1)-(3) удовлетворяют следующей ССНИУ:

ai(t) = wi(t) +

rt d f N f

+' ' f(s'v'JsXv

to o

j=i

j ~ l

N

aj(t(s, d(s))) • bj(y),d(s — To')) x x bi(y)Pi(t, s)dyds, t € Dt, (7)

где

w

n tk-1 n tj-k

;(t) = X>^(fcTI}T XX ^k)[

k=1 v ’ j=k v ’

(n — 1)!(t — s)n-1

exp(—9u(t — to)),

Pi(t,s) =

nn

n0i

exp(—9u(t — s)),

n 2m 4m n n 4nm n

n0i = y1^ Ai + Ai ) , n1i = Ai j noi.

Действительно, согласно определению обобщённого решения обратной задачи (1)-(5) имеем

t f i ( N f j — у

, J™ E ( 1 ) ai^ ' bi^X

to Jo [N^

N

d

d n+4m

-1

ф n

dsn dsn-1dy4m

Ф +

n

(n — 1) dn+4m

n(n — 1) o4nm 2

+ ■ ■ ■ H ^ ^ О ^ Л_Л Ф + П

+

2 ds2 dy4nm-4

gn+2m gn+6m-1

2 dsn-2dy4m+2

g 4nm-1 d 4nm

Ф +

Ф+

dsdy

4nm- 2

dy

4nm

Ф+

-Ф + n-

dsndy2m dsn-1dy6m

n(n — 1) g4nm+2m-2

ж n(n — 1) dn+6m

Ф + —----------,0Ф+

+... +

2 Qs2Qy4nm+2m-4

2 dsn-2dy6m+2

m-2 q 4nm+2m-1

Ф + П——г——7T—тФ I +

dsdy4nm+2m-2

gn+4m gn+8m-1 n(n 1) gn+8m

+ I ^ „ Ф + 0Ф + ~Цг-----о^,оФ +

dsndy4m dsn-1dy8m

2 Qsn-2dy8m+2

x

20

Обратная задача для нелинейного уравнения. ..

n(n 1) g4nm+4m— 2 g4nm+4m— 1

+ ... + -Ц;---~ ^ . ,Ф + И_ ____________ „Ф

2 dg2Qy4nm+4m-4

dsdy4nm+4m—2

= V1 (y)

■JO

d

n- 1

dn+4m-2 n(n _ 1) Qn+im-1

—----Ф + n---------Ф H--------------------

dfn-l Qtn^QyAm 2 gtn~3dy4m+2

+

+ ... +

gn+2m-1

n(n _ 1) d4nm-3

2

dtdy

4nm—4

Ф + n

2

d 4nm- 2 gy4nm—2

_ fФ >dyds =

Ф+

Ф+

d n+6m— 2 n( n _ 1) Qn+6m— 1

Ф+И——7-^-Ф+^- й^,оФ +

dtn—1dy2m dtn—2dy6m

n(n _ 1) d4nm+2m—3

+ ... +

2 dtn—3dy6m+2

m—3 g4nm+2m— 2

ф + n—r—пт—^Ф ) +

2 QtQy4nm+2m—4 Qy4nm+2m—2

+

gn+4m—1 dn+8m—2 n(n 1) gn+8m—1

Ф H ~ Ln.„ а^,оФ +

+ ... +

dtn—1dy4m dtn—2dy8m

n(n _ 1) g4nm+4m—3

2 dtn—3dy8m+2

2 gtdy4nm+4m—4

_ ... + / vn—1(y)

O

(g4m+1 g8m

-------Ф -\-n---Ф

dtdy4m dy8m

d 4nm+4m—2

Ф + П----------Ф

dy4nm+4m~2

Ф + n

dy_

/ g2m+1

-Ф + (

9 d4m

—Ф + и---- * i .

dt dy4m V dtdy2m

t=to

g6m

dy

6m

Ф +

A

dy_ Vn(y)

t=to -'O

g2m g4m

ФН-----ФН-----Ф

dy2m dy4m

dy. (8)

t=to

Пусть в (8) будет Ф = Ф^(t,x) = h(t)bj(x) € Wk)P(D), где 0 = h(t) € Cn(DT). Тогда из (8) следует

tl

{lim Ё

to Jо \Ni=1

i _ 1'

1 - -ДД ) ai{s) ■ bi(y)x

x (_1)nh(n)(s)bj(y) + (_1)n—1nA4mh(n—1)(s)bj(y) +

+ (-if”2 • та(та~1)лГ+2^(га-2)(^^(у)+

2j

+ ... + f‘m-‘h"(s)b,(v) - п\‘/‘т-21АФ,(у) + Af’"ft(s)M#)+

+ ((_1)nA2mh(n) (s)bj (y) + (_1)n—1 nA6mh(n—1) (s)bj (y)+

+ ( l)ra~2n{n ~ 1}Уу+2Уп-2)(s)bj(y) + ...

2

+ П{П~ 1)Afm+2m-4^//(s)6J(y) - nAfm+2m-2/i/(s)6J(y)) +

+ ((_1)nA4mh(n) (s)bj (y) + (_1)n—1 nA8mh(n—1) (s)bj (y)+

+ ( l)ra~2П{П ~ 1} A8TO+Vra~2)(s)fy(у) + ...

2j

+ ~ 1)Afm+4m~4^//(s)6i(y) - nAfm+4m-2/i/(s)6i(y)

21

Юлдашев Т.К.

N

- f(s’y «limX l1

j=i

j - 1

oo^v N iaj(T(s’rd(s)))-bj(y),d(s-To))h(s)}dyds = 0.

Так как система функций {bi(x)}°=i полна и ортонормирована в Lp(Di), из последнего равенства имеем

'to

(-1)n h(n) (s) + (-1)ra-inA4mh(ra-1) (s) +

ai(s) ■

_|_ ^_-Qra— 2 _ Tt(n 1) д4т+2^(га—2), , tl(n 1) x4ram_4^//^

S) + ... +

2 j w 2 j - nAfm-2h'(s) + A4nmh(s)+

Afm-4h" (s)-

+ l)raA2m/j.(ra) (s)+(—l)ra~1nAjm'/j.(ra~1) (s)+(—l)ra~2 n^n^ ^Af^

+ n(n2 l)\fm+2m-Ah"{s) - n\fm+2m~2ti(s)) +

+ (-1)

n \ 4m ^ (n

j

s) + (-1)n-i nA8mh(n-1) (s)+

__\Jn~2 tl{n 1) д8т.+2^(га—2) ^ 1 \ri—

2 j

-Qra— 3 tlifl 1)(^ 2) д8т+4^(га— 3) _|_

_|_ n{n 1) д4гат-|-4т,—_ ^д4гат,+4т,—

2 j

дг ;ai(r(s^(s») ■bj(y),d(s-T0) )x

Ф-У-J™„E l1

j=i

j -1

x h(s) ■ bi(y)dy >ds = 0.

Отсюда, интегрируя по частям, получаем /• т

'to

h(t)

( n)

(0 + baK"’’» + !*^Af'‘+2a!"_2)(i)+

+ ,i(” 1)(” 2)Af,‘+4a|,'~3)(i) + ... + Д)лf‘m~4a"(i) + nAf*“_2o'(t) +

3! 2

+ A4ra”4(t) + (A2maf}(t) +nAt6maf-1}(t) + та(та ~ ^ Af"+2af ~2)(t) +

_|_ tlifl 1)(^ д6т.+4д(»-—3) ^ _|_ tlifl 1)(^ д4шге+2т—6^///^ |

+ Д> Af‘m+2m-4a"(t) + nAflm+2m~2fl'(t)^ +

+ (Af“o <“>(() + nAf"a|',-1)(t) + 2^1«а»«^"-»(0+

_|_ д8тН~4д(?г~3) ^ _|_ _|_ 1)(^ д4птН~4т—|

t

n-

i

22

Обратная задача для нелинейного уравнения. ..

+ П{П2 1)^ram+4m-4<(t) + nAfm+4m~2a'(t))

N

f(t,y, lrni Y, f1

' N^те z—' \

j=1

x bi(y)dy

dt = 0. (9)

Так как h(t) — любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, а имеет обобщённые производные порядка к по t в смысле Соболева на отрезке DT. Поскольку h(t) = 0 для всех t € DT, из (9) следует:

(*) + n\ima!f-l){t) + n(no 1)A^+2af~2)(t) +

2

+ П(П ~ 1)(И ~ 2) Д4ш+4а(п-3) п(п 1) 4nm-4

п(п - 1)(п - 2) , 4nm-6,

3, a>i\t) + •••+ V 3,v --Л “a'"3)+

+

2

\4nm-4af-(t) + n\4nm-2ai(t) + A4ramai(t) + (ra_i) та (та - 1)

+ (Afmaf}(t) +nAt6maf-1}(t) + ^ lj A,6m+2af~2)(t) +

_l_ n(n Л дбт-Нд^—з) ^ _|_ _|_ та(та 1)(та 2) д4гат,-|_2т.—бд///^ |

+ n(n~ ^A4ram+2m~4a"(t) +nAfm+2m-2a'(t)) + (t)+ пХ!та\п~1) (t) +

+ П(-ПГ^ >4m+24U~2)(t) + П(-П ~ ~ 2) A^m+4af~3)(t) + ...

2

+ та(та l)(n 2)A4ram+4m_6a„/^ + n(n l)A4nm+4m-4a//(^+nA4nm+4m-2a/^^

/0

N

f N1im ^ U

\ N^те z—' \

j=1

i -1

N

aj(t(t,$(t)))bj(y),^(t - To) )bi(y)dy- (10)

Система (10) решается методом вариации произвольных постоянных:

ai(t) = exp(-0ii(t - to)) (Cii + C2i(t - to) + C\i(t - to)2 +... + Cni(t - to)n-1) + r t r If N

f' “ ,!wl 1 -----\r. .1^1 * <Al <Л\\ .

+

to J o

f(s,y, lrni ^2f1

\ N^те z—' V

j=1

j ~ 1

N

aj(t(s, $(s))) • bj(y),^(s - To) x

X bi(y)Pi(t,s)dyds, t € Dt. (11)

Для определения коэффициентов Cji, j = 1, 2,... ,n, используются условия ai(t o) = pii, ai (to) = <P2i, a'-(to) = f3i, ..., af~ 1)(to) = fni,

где j = (fj(y) • bi(y)dy. Имеем

o

C\i — (piij C2i — Gli^li ^2ij C*3i — ^ ^Gli^2i ^3i\

o

i

23

Юлдашев Т.К.

Cni =

1

(n — 1)!

on—1,„ i л\оп—2\ — 4,„ i дга—3,„ i

^li + (n — Ч°И \ Дг H о ^Зг +

2

(n — 1)(n — 2) 2

H ^ 0licP(n-2)i + [n — l)0H<£>(ra_l)i + <7W

Подстановка найденных значений Cji в (11) даёт ССНИУ (7).

Подставляя решение ССНИУ (7) в ряд (6), получаем формальное решение смешанной задачи (1)—(3):

N • — 1

= V)

i=1

to J 0

N

N

+,r f f(°,y,t1

j=i

Wi(t) +

j — 1

N ,aj(T(s,#(s))) • bj(y),#(s - To) )x

x bi(y)Pi(t, s)dyds

■ bi(x). (12)

Ряд (12) можно записать в виде гt г1

to 0

u(t,x) = uo(t,x)+ / Q(t,s,x,y)x

to 0

x f (s, y, u(t(s, •&(s)),y), •&(s — To)) dyds, (13)

где

u0(t, x)

Q(t,s,x,y)

N

lim (1

i= 1 N

lim (1 N^ V

i=1

г—^РД,8)Ьг{у)Ьг{х).

Уравнение (13) является нелинейным интегральным уравнением Воль-терра второго рода относительно неизвестной функции u(t, x) и нелинейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода относительно восстанавливаемой функции $(t).

3. Сведение решения обратной задачи (1)-(5) к системе интегральных уравнений Вольтерра. Воспользуемся условием (4). Тогда интегральное уравнение (13) примет вид

Ф(г) = uo (t,xo) +

f I Q(t,s,xo,y)x

to Jo

x f(s,y,u(T(s/&(s)),y)/&(s — To))dyds,

(14)

где

n i — 1

u0(t,xo) = lim VVl-—)wi(t)-bi(x0),

Nz' V N J

i= 1 24

24

Обратная задача для нелинейного уравнения. ..

N ' - 1

Q(t,s, х0,у) = “ l-yy)pi{tiS)bi{y)bi{xo).

°° i= 1

Уравнение (14) запишем в виде нелинейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода относительно пары неизвестных функций u(t, x) и

9(t):

[ [ Q(t,s,xo,y)f (s,y,u(T(s,9(s)),y),9(s - To))dyds = g(t), (15)

Jt0 J0

где g(t) = ф(t) - uo(t,xo).

Интегральные уравнения (13) и (15) составляют систему интегральных уравнений, для разрешимости которой методом последовательных приближений относительно неизвестной функции 9(t) преобразуем уравнение (15). Следует отметить, что классические методы интегрального преобразования не могут привести уравнение (15) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Поэтому здесь используется другая методика. С учётом условия (5) уравнение (15) запишем в виде [6]

9(t) + / F(s)9(s)ds = 9(t) + / F(s)9(s)ds + g(t)-

Jto Jto

-f [ Q(t,s,xo,y)f (s,y,u(T(s,9(s)),y),9(s - To)) dyds,

Jto J0

где F(t) > 0 — произвольная функция такая, что exp^- F(s)ds^ ^ 1.

Отсюда, используя резольвенту ядра [-F(s)], имеем

9(t) = 9(t) + f F(s)9(s)ds + g(t)-

Jto

- / Q(t,s,xo,y)f (s,y,u(T(s,9(s)),y),9(s - To)) dyds-Jto J0

- / F(s) ■ exp(-g(t,s)) ■ 9(s)+ f F(9)9 (9) d9 + g(s)-

to to

- [ [ Q(s,9,xo,y)f (d,y,u(T(9,9(9)), y), 9(9 - To)) dyd9 ds, (16)

Jto Jo

t

где g(t,s) = / F(9)d9, g(t,to) = g(t).

J s

Применяя к (16) формулу Дирихле, получаем уравнение

9(t) = exp(-g(t)) ■ (^9(t) + F(s)9(s)ds + g(t)-

-f f Q(t,s,xo,y)f (s,y,u(T(s,9(s)),y),9(s - To)) dyds\ +

to o 25

25

Юлдашев Т.К.

+ [ F(s) ■ exp (-p(t, s)) ■ [F(t) - F(s) + g(t) - g(s)+

Jto

+ f F (s)F(s)ds - j F (еще)м-

Jto Jto

[ f Q(t,s,xo,y)f (s,y,u(T(s, F(s)), y), F(s - To)) dyds+ Jt0 J 0

to o

cs r l

+

f f Q(s,0,xo,y)f (0,y,u(T(e,d(e)),y),d(e - To)) dydd Jto Jo

ds, (17)

которое эквивалентно уравнению (15) при начальном условии (5). Условием согласования уравнения (17) с начальным условием (5) при t = to является следующее выражение:

N / i - i\

^°) = Е (1 - ~w~ ^'Ьг(хо)-

i=1 4 /

Отсюда получается новая система нелинейных интегральных уравнений Воль-терра второго рода относительно пары неизвестных функций u(t,x) и F(t):

u(t,x) = ©1(t,x; u,F), F(t) = ©2(t; u,F),

(18)

где ©1(t, x; u, F) —оператор правой части (13), а ©2(t; u, F) —оператор правой части (17).

4. Однозначная разрешимость обратной задачи (1)-(5). Для произвольной функции r(t,x) € C(D) норма вводится следующим образом:

\\r(t,x)\\c = max lr(t,x)l.

(t,X) ^ J-У

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1. f (t,x,u,F) удовлетворяет условию Гельдера по x;

ft Г l

2. max [ l IQ(t,s,x,y)l ■ If (s,y,u,F)I dyds F A < to;

(t,x)eDjtoJ o

3. f (t, x, u, F) € Lip (^Lo(t, x) , где 0 < jT J Lo(s, y)dyds < to;

4. u(t,x) € Lip (Li|t) , где 0 < L1 = const;

5. t(t,F) € Lip (L2(t)li9) , где 0 < / L2(s)ds < to;

Jto

N

6. lim ( 1

N^ V

i - 1 N

Iwi(t)\\c Ibi(xo)I < to;

7. max j F(s) ■ Ig(t) - g(s)I ■ exp(-p(t,s)) ds F в< to; teDT Л0

n ' - 1

8. rj(to)= 1ш^(1~г-1^)р1г-Ьг(хоУ,

i= 1 26

26

Обратная задача для нелинейного уравнения. ..

9. р = 2max{max Ml(t); max M2(t)} < 1, где

t£Dp

M°(t) = exp (—p(t)) + 2

I F(s) ■ exp (-p(t,s)) ds,

to

Mi(t) = f [ IQ(t,s,x,y)l L°(s, y) (1 + LiL2(s)) dyds,

to o

M2(t) = 1 + / F(s)ds + Mi(t)

to

t

■ Mo (t).

Тогда обратная задача (1)-(5) имеет единственное обобщённое решение u(t,x), d(t) в области D.

Доказательство. Используется метод последовательных приближений при сочетании его с методом сжимающих отображений:

I u0(t, x) = u0(t, x), uk+l(t, x) = 0l(t, x; uk, dk),

\d°(t) = g(t) ■ exp (-p(t)), dk+l(t) = 02(t; uk, dk), k = 0,1,2,3,...

В силу условий теоремы из (19) следуют оценки

||ul(t, x) — u°(t, x) ||C ^ A,

(19)

(20)

dl(t) — d°(t) !C ^ в + (g(t) ■ exp (-p(t)) +

+ £ F(s) ■ g(s) ■ exp(—p(s)ds + A)^ ■ M°(t), (21)

uk+l(t,x) — uk (t,x)|c ^

^ Ml(t) (!uk(t,x) — uk-l(t,x)lC + ^dk(t) — dk-l(t)^Cj , (22)

||dk+l(t) — dk(t)HC ^

Ф M2(t) (||uk(t,x) — uk-l(t,x)llC + ||dk(t) — dk-l(t)llC) , (23)

где функции M°(t), Ml(t), M2(t) определены в условии 9 теоремы 1. Так как по условию теоремы р = 2max{maxMl(t); max M2(t)} < 1, в силу (20) и (21)

t£Dp t£Dp

из оценок (22) и (23) следует, что операторы 0l и 02 в правой части системы (18) являются сжимающими. Следовательно, обратная задача (1)—(5) имеет единственное решение u(t,x), d(t) в области D. □

5. Устойчивость решения обратной задачи (1)-(5). Рассмотрим вопрос об устойчивости решения обратной задачи по отношению к функции ф(t), заданной в (4). 27

27

Юлдашев Т.К.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда решение обратной задачи устойчиво относительно функции ф(Ь), заданной в (4).

Доказательство. Пусть u\(t,x), $i(t) и u2(t,x), P2(t) —два различных решения обратной задачи (1)—(5), соответствующие двум различным значениям функции ^i(t) и ф2(Ф) соответственно. Если

||^1 (t) — ^2(t)|| ^ 5, 0 <5 = const, (24)

то из системы (18) следуют оценки

||u1(t, x) — u2(t,x)||C ^

^ Mi(t) (|ui(t,x) — u2(t,x)1C + ||^i(t) — ^2(t)!C) , (25)

ll^l(t) — $2(t)!C ^ Mo(t)|V;i(t) — ^2(t) 1C +

+ M2(t) (^ui(t,x) — u2(t,x)!C + !^i(t) — $2(t)!C) , (26)

где функции Mo(t), Mi (t), M2 (t) определены в условии 9 теоремы 1.

Так как по условию теоремы р = 2max{max Mi (t); max M2(t)} < 1, из

t£Dx t£Dx

оценок (25) и (26) получаем

V0 < ||^i(t) — ^2(t)|c + PV0, (27)

где Vo = ||ui(t,x) — u2(t,x)|C + ||$i(t) — p2(t)|C.

В силу (24) из (27) следует Vo <5/(1 — р). Отсюда получаем V0 < е, если положим 5 = е(1 — р). Это и доказывает теорему. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды// Матем. моделирование, 2000. Т. 12, №1. С. 94-103. [Gordeziani D. G., Avalishvili G. A. On the constructing of solutions of the nonlocal initial boundary value problems for one-dimensional medium oscillation equations// Matem. Mod., 2000. Vol. 12, no. 1. Pp. 94-103].

2. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестн. Самар, гос. унив. Естественнонаучн. сер., 2006. №2(42). С. 15-27. [Dmitriev V. B. A nonlocal problem with integral conditions for the wave equation // Vestn. Samar. Gos. Univ. Estestvennonauchn. Ser., 2006. no. 2(42). Pp. 15-27].

3. Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения// Матем. заметки, 2003. Т. 74, №3. С. 435-445; англ. пер.: Pul’kina L. S. A mixed problem with integral condition for the hyperbolic equation // Math. Notes, 2003. Vol. 74, no. 3. Pp. 411-421.

4. Кожанов А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, №5. С. 1053-1071; англ. пер.: Kozhanov A. I. Solvability of the inverse problem of finding thermal conductivity // Siberian Math. J., 2005. Vol. 46, no. 5. Pp. 841-856.

5. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, №4. С. 562-570; англ. пер.: Prilepko A. I., Tkachenko D. S. Properties of solutions of a parabolic equation and the uniqueness of the solution of the inverse source problem with integral overdetermination // Comput. Math. Math. Phys., 2003. Vol.43, no. 4. Pp. 537-546.

28

Обратная задача для нелинейного уравнения. ..

6. Юлдашев Т. К. Неявное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейным интегральным отклонением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. Т. 2(19). С. 38-44. [Yuldashev T.K. Nonexplicit evolution Volterra integral equation of the first kind with nonlinear integral delay // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009. Vol. 2(19). Pp. 38-44].

Поступила в редакцию 25/1/2012; в окончательном варианте — 13/VI/2012.

MSC: 35K70; 35R30

INVERSE PROBLEM FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH HIGH ORDER PSEUDOPARABOLIC OPERATOR

T. K. Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University,

31, pr. “Krasnoyarskiy rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russia.

E-mail: [email protected]

We consider the questions of generalized solvability of inverse problem for nonlinear partial differential equations with high order pseudoparabolic operator by method of separation of variables. The mixed problem is reduced to the Volterra integral equation of the second kind, and the inverse problem — to the system of Volterra integral equations. The unique solvability of the inverse problem and the stability of its solution are proved.

Key words: nonlinear inverse problem, high order pseudoparabolic operator, generalized solvability.

Original article submitted 25/1/2012; revision submitted 13/VI/2012.

Tursun K. Yuldashev (Ph. D. (Phys.& Math)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics.