CC BY
25
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 4 (33). С. 46—57
УДК 517.956.4
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев
Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М. Ф. Решетнева,
Россия, 660014, Красноярск, пр. газеты имени «Красноярский рабочий», 31.
E-mail: [email protected]
Рассматриваются вопросы обобщённой 'разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени. Используется метод разделения переменных.
Ключевые слова: нелинейное уравнение, параболический оператор высокой степени, обобщённая 'разрешимость.
1. Постановка задачи. В области D рассматривается уравнение / d d2m \ n
(dt + (-!)”dx™) u(t,x) = f(t,x,u(t,x),u(-t,x)) (1)
с начальными
dj
-1
u(t,x) ^ Л = pi(x), dtj-ru(t>x)i „ = Pj(x), j = 2,n (2
t=0
t=0
и граничными
ux(t,x) - uxxx(t,x)
x=0
rl
x=0
l
d 2(nm-l/2)
dx2(nm-1/2)
u(t, x)
x=0
l
d 2(nm-l)
= JQ u(t, y)dy = JQ uyy(t, y)dy = ... = dy2(nm-1)u(t, y)dy = 0 (3)
условиями, где f(t,x,u,§) £ (D x R2), pj(x) £ C(Dl);
Pj (x) lx=0 Pj (x) lx=0
= Pj (y)dy =
0
= Pj2nm-1)(x)|x=„
pj(y)dy = ... =
'p'2nm-2)(y)dy = 0,
j = 1,n;
0
0
D = DT x Dl, DT = [-t,T], Dl = [0, l]; 0 < l < ж, 0 < T < ж; n, m —
натуральные числа.
Дифференциальное выражение -d2nm/dx2nm при граничных условиях
(3) порождает положительно определённый самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром.
Следует отметить, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ и при этом применялись разные методы. Смешанные задачи
Турсун Камалдинович Юлдашев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики.
46
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения ...
с интегральными условиями были рассмотрены в работах многих авторов, в частности в [1—3].
В данной работе, в отличие от работ [4,5], используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)—(3) в виде предела
N
u(t,x) = lim ^ai(t) ■ bi(x). (4)
N
i= 1
2. Вспомогательные понятия. Множество
{a(t) = (ai(t)) : ai(t) G C(Dt),i = 1 , N}
введением нормы
la(t)NBN (T)
N
E
i=1
( max |ai(t)| VteDT
1/p
p
p > 1
становится банаховым пространством и обозначается через BpN(T). Наряду с этим пространством также рассмотрим банахово пространство Bp(T) с нормой
a(t) Hbp(t )
N
lim > (max |ai (t) | n\teDT
i= 1
p
1/p
Очевидно, что limNBpN(T) = Bp(T). Для каждого элемента a(t) G Bp(T) определяется оператор
Qa(t) = u(t, x)
N
lim ai(t) ■ bi(x).
N-^oo^
i=1
Обозначим через Ep(D) множество значений оператора Q. Здесь очевидно, что Q : Bp(T) ^ Ep(D) и Ep(D) С Lp(D).
Для произвольной функции g(x), x G Di, в пространстве Lp(Di) вводится норма следующим образом:
l|g(x)Nlp(DI) = {fQ |g(y)|Pd^ < ж
Через Wpk)(D) обозначается множество функций Ф(^ x) таких, что $(t,x), (d2/дx2)Ф(t,x), ..., (d2nm-2/dx2nm-2^(t, x) при фиксированном t G Dt принадлежат области определения оператора — д2nm/dx2nm, имеют производные порядка к по t, принадлежащие Lp(Di), и обращаются в нуль при t ^ —T + 8 и t ^ T — 8 (0 < 8 — зависит от Ф(^ x)), где
Lp,q(D) = < u(t,x) :
T / ri
/0 Vo
\ q/p ■ |u(t,x)|pdx) dt
1/q
< ж
11
—I— — 1. p q
Ясно, что пространство Wpk)(D) всюду плотно в пространстве Lp(D).
47
Т. К. Юлдашев
Пусть bi(x) — собственные функции дифференциального оператора —d2nm/dx2nm1 удовлетворяющие граничным условиям
г I
bi(0) = bi"(0) = ... = b(2nm-1)(0) = bi(y)dy =
J 0
= / bi/(y)dy = ... = / b(2nm-2)(y)dy = 0 00
и обладающие свойством
b(2nm) (x) = (_i)2(nm+1/2) у 2nmbi(x),
где A2nm — соответствующие собственные значения данного оператора. Тогда функция, определённая с помощью предела (4), формально удовлетворяет граничным условиям (3).
Пусть для функций из wPk)(D) справедливы соотношения
lim / $(t,y)dy = lim / t-*±TJo ( y) tr+mrJo
0 dy = ... = t“dy = 0
при k = u.
3. Сведение решения задачи к системе нелинейных интегральных уравнений.
Определение. Если функция u(t, x) £ Ep(D) удовлетворяет интегральному условию
t А
г
d n+2m
d — -1
u(s, y) ——Ф + u„ „
/0 J0 l v y>Ydsn dsn-1dy2m
Ф +
u(u _ 1) dn+2m
QSa-2Qy2m+2
Ф+
+
u
(u _ 1)(n _ 2) dn+2m+
1
3!
dsn—3dy2m+4
Ф + ... +
u
(u _ 1)(n _ 2) d2nm—3 3! ds3dy2nm—6
u(u 1) d2nm—2 g2nm—1 g2nm -
+ ^ ^ ° ^ ,2nm—4 Ф + u ..2nm^ 2 ^(s,y)+ '
Ф+
ds2dy:
dsdy2nm— 2 v dy2nm
_ f (s,y,u(s, y),u(_s,y))Ф(s,
= ^1(y)
9
n1
-Ф + u-
d n+2m
2
Ф +
u(u _ 1) dn+2m—1 2 dtn—3dy2m+2
Ф+
j 0 Ldtn— 1 dtn—2dy2m
u(u _ 1)(u _ 2) dn+2m u(u _ 1)(u _ 2) d2nm—4
+ ^^...Ф + ... + ----^^ 2nm-6 Ф +
3!
dtn—4dy2m+4 " ..... 3!
u(u _ 1) d2nm—3
+
dtdy
2nm 4
Ф + u
dt2dy
g2nm—2
dy
2 nm 2
Ф
J t=0
dy_
/•Z Г dn— 2
_ ^2(y)
dn+2m—3 u(u _ 1) dn+2m—2
Ф + —------“-----^ 0 lo Ф +
Ф + u Ф i
0 Ldtn—2 dtn—3dy2m 2 dtn—4dy2m+2
+ ... +
u(u _ 1)(u _ 2) d2nm—5
3! dtdy2nm—6
Ф +
u(u _ 1) d2nm—4 2 dy2nm—4
Ф
t=0
dy+
48
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения ...
rl р gn-3 gn+2m-4 n(n 1) Qn+2m-3
+ / Уз(у) Ф + пп,„ Лп Ф +-------------^ 0„. ,о Ф+
/о
dtn-3
dtn-4dy2m
+ ... +
2 dtn-5dy2m+2
n(n - 1 )(n - 2) d2nm-6
3!
- ... - [ Vn-2(y) о
d2 d2m+1 n(n — 1) d2m+2
dt2 dtdy2m + 2 dy2m+2
gy2nm—6
dy+
Ф
J t=0
dy-
+ / ^n-1(y) J 0
d
g2m
— Ф + n dt dy2m
Ф
t=0
l
t=0
dy - / Ыу)[ф]*=0 dy
0
для любого Ф(t, ж) £ Wpk)(D), то она называется обобщённым решением смешанной задачи (1)-(3).
Приближённое решение смешанной задачи (1)-(3) ищется в виде
N
u(t,x) = ai(t) ■ bi(x).
i=1
Покажем, что коэффициенты разложения ai(t) решения смешанной задачи (1)-(3) удовлетворяют следующей системе нелинейных интегральных уравнений (СНИУ):
ai(t) = wi(t) + [ [ f (s, у, Qna(s), QNa(-s)) x 00
x bi(y)Pi(t, s)dyds, t £ Dt, (5)
где
- , \4m \ 6mm
(t) = [(1 + Ai2mt + -2-t2 + _3_t3 + ... +
w
y4m
IT “ ' 3!
4m 6m
A__t2 i Ai
2! t +3!
\ 2m(n-1)
Ai_______
(n - 1)!
A2m(n-2)
tn 1 )<£ii+
+ t( 1 + A2mt + t2 + ir t3 +... + T^TaiT tn~2) ^2i+
t2 , \4m \6m T2m(n—3)
+ 2 (1 + Ti2mt + Т2Г t2 + т3г t3 +... + tn-3) ^3i+
+... +
2!
tn-2 (n - 2)!
(n - 3)!
3!
tn-1
(1 + A2m-t) ^(n-1)i + (n-1)! ^ni
\ 2m +
е-Л^ *,
Pi(t,s)
(n - 1 )!(t - s)n-1 ■ e-A2m(t-s),
N
QNa(s) = ^ ai(s) ■ bi(y).
i=1
Согласно определению обобщённого решения смешанной задачи (1)-(3) имеем
49
Т. К. Юлдашев
t Г If N
/0 J 0
ga gn+2rn-l -(п — 1) gn+2m
2_^ai(s) ■ bi(y) —Ф + Пп „ Лп Ф +---------------- 0 Ф+
i= 1
Ldsn
Qsn-1Qy2m
Qsn—2Qy2m+2
n(n — 1)(n — 2) dn+2m+^ n(n — 1)(n — 2) d2nm 3
+ о О™ 1/1Ф + **• + гл Q гл £ Ф +
3! dsn—3dy2m+4
n(n — 1) d2nm—2
+
Qs2Qy2nm—4
N
a
Ф + n
3! ds3dy2nm—6
g2nm— 1 g2n
dsdy2nm—2
N
Ф +
Qy2nm
Ф
/ s>y>Ea(s)■ bj(y)’E aj(—s) ■ bj\dyd,s
\ j=1 j=1 / J
ЛЛ0/ °7 j
J=1 j=
/•l r dn— 1 an+2m—2 n(n _ 1) an+2m—1
= M-,(y) —----Ф + n—----------Ф + —-------' -----------Ф +
У0 ^1(y^ dtn—1 Ф + ndtn—2Qy2m Ф+ - _^о^,оФ +
n(n — 1)(n — 2) dn+2m
dtn— 3 Qy2m+2
^ n(n — 1)(n — 2) d2nm 4
+ —-----^-----17^Г-Г7Г^-тФ + ... + ~---T7T---- ТГГоП KZZ. a Ф +
3!
dtn—4dy2m+4" ..... 3!
n(n — 1) d2nm—3
— / ¥2 (y) 0
+
3
dtdy
2nm 4
Ф + n
di? dy2nm—6 g2nm—2
dy
2 nm 2
Ф
t=0
dy—
r dn—2 gn+2m—3 n(n 1) gn+2m—2
---Ф + n------Ф +-------------Ф +
-dtn—2 dtn—3dy2m 2 Qtn—4Qy2m+2
n(n — 1)(n — 2) d2nm—5 n(n — 1) d2nm—4
+ ... + —-^„ Ф^~——. Ф
2 gy2nm—4
r dn—3 gn+2m—4 n(n 1) gn+2m—3
\ ----Ф + n---------Ф+ (-------------------Ф +
/0 L dtn—3 dtn—4dy2m 2 dtn—5dy2m+2
+ / ¥3(y) 0
3! dtdy2nm—6
4
t=0
dy+
+...+
n(n — 1)(n — 2) d2
nm 6
3! Qy2nm—6
fl r d2 d2m+1 n(n - 1) d2m+2 i
— l ¥-2<y>bФ + пЩЛФ + - V2wm+iФ],Jy+
rl r d g2m i rl
Ф
t=0
dy — . . . —
+ i ¥”-I(y>ЬйФ + nWmФ =0
dy — ¥n(y)[Ф]t=ody. (6)
0
Пусть в (6) Ф = Ф^(t, x) = h(t)bv(x) £ Wpk)(D), где 0 = h(t) £ Cn(DT). Тогда
t r i ( N r
Eai(s) ' bi(y) (
00
i=1
—1)n—ln\lmh(n—l\s)bv (y)+
+ ( —1)n—2 n(n_^) ^2m+2 hi'n—‘2) (s)bv (y) + ... +
+ -п_1) xvnm—4hn(s)bv (y) — n\2nm—2ti(s)K (y) + \2vnmh(s)bv (y)
— /(s,y,J2ai(s) ■ bJ(y)^2a3(—s) ■ bJ(ynh(s) Myds = °.
V j=1 j=1 J J
50
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения ...
Учитывая, что функции bi(x) полны и ортонормированны в Lp(Di), из
последнего равенства имеем
ft
J ai(s) ■ ((-1 )nh(n)(s) + (-1 )n-1nX2mh(n-1\s) +
+ (-1)n-2 n(n ~ ^ A2m+2h(n-2) (s) + ... +
+ n(n ^ \2nm-4h"(s) - nA'2nm-2hl(s) + A2nmh(s)) -
- / f (s,y,QNa(s),QNa(-s)) h(s) ■ bi(y)dy ./0
Отсюда, интегрируя по частям, получаем
ds = 0.
h(s)
a<n)(s) + »A2ma<n-1)(S) + A2m+2a<n-2)(S) + ... +
+ n(n- 11 A2"m-4a"(s) + mA2nm-2ai(s) + A?nmai(s)-
-/ f (s,y,QNa(s),QNa(-s)) ■ bi(y)dy 0
ds = 0. (7)
Так как h(t) —любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, ai(t) имеет обобщённые производные порядка n по t в смысле Соболева на отрезке Dy. Поскольку h(t) = 0 для всех t G Dy, из (7) получаем
,(n)
(t) + nA2ma<”-1)(t) + УУ1 A2m+2a<”-2)(t) + ... +
+ n(n ~ 11 A2"m-4a"(t) + nA2nm-2ai(t) + A2nma,(t) =
= / f (t,y,QNa(t),QNa(-t)) ■ bi(y)dy. (8) 0
Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получаем ai(t) = (C1i + C2it + C3it2 + C4it3 + ... + СпУ,П ^ ■ e A* t+
+ / f f (s,y,QNa(s),QNa(-s)) bi(y)Pi(t,s)dyds, t g Dy, (9) 00
где
Pi(t, s) = (n - 1)!(t - s)n-1 ■ e-Aim(t-s)
Для определения коэффициентов Cj (j = 1, n) используем условия ai(0) = ^ii, ai(0) = ^2i, a”(0) = ^>3i, ..., a(n-1)(0) = ^ni.
51
t
0
i
Т. К. Юлдашев
При этом начальные данные подбираются из условия (2) так, что суммы
N
j (х) = ^2, РзМх), j 1
n
i=l
аппроксимируют при N ^ ж функции tpj(x) £ Lp(Di).
Тогда имеем
Cli = Уli, C2i = ^fm^li + ^2i, C3i = [^4™^li + 2Afm^2i + ^3i] ,
1
Cni =
C4i = 3! [A6m^li + 3A4m^2i + 3A2m^3i + <^4i]
(n^ [a^V + (n - 1}A2”‘(“-2W
,(n — 1)(n — 2) A2m(n-3),„ , , (n - 1)(n - 2) ,4m_ ,
+ ~--------Ai ^3i + ... + о-------Ai ^(ra-2)i +
2
2
+ (n — 1)Afm^(ra-l)i + tpni
Подставляя найденные значения Cji в (9), получаем СНИУ (5). 4. Однозначная разрешимость СНИУ.
1
Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:
t
° NW( — S) lk(A) ds
t
^ A < ж;
[ /(s,x,Qnw(s),Qnw(—s))|
0
2) /(t,x,u,tf) £ Lip{h(t,x)\u^}, где ||h(s,x)||L„(Di)ds < ж;
0
3) |w(t)|BN(T) < ж.
Тогда СНИУ (5) имеет единственное решение в пространстве BN(T).
Доказательство. Используем метод последовательных приближений. При этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом:
a°(t) = Wi(t), t £ Dt ,
ak+l (t) = Wi (t)+ f f / (s, y, Qak (s),Qak (—s))bi(y) ■ Pi(t,s)dyds, (10)
00
k = 0, 1, 2, 3, ..., t £ Dt.
В силу условий теоремы для разности al(t) — a° (t) из (10) получим
|al(t) — a°(t)|BN (T)
<
N /• t /• i
^ V max / / \/ (s,x,Qa°(s),Qa°(—s)) \ ■ |bi(y)| ■ \Pi(t,s)\dyds
i=l t 7° 7°
<
^ MlM2 max
/ / \/ (s, x, Qa°(s), Qa°(—s)) \ dxds
°°
< MlM2ll/qA, (11)
52
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения ...
где
Ml = \\G{t,s)\\BN(D2) , M2 = \\b{x)\\BN(г), p + - = 1. Аналогично находим
||al(-t) - a°(—t)||BN(T) ^ MiM2lllqA. (12)
В силу второго условия теоремы для разности a2(t) — al(t) из (10) имеем
a2(t) — al(t) ^bn(T) ^ M1M2 max J j |fi — f°| dyds.
Так как
| f (s, x, Qal(s),Qal(5(s, Qal(—s)))) — f (s, x, Qa°(s),Qa°(5(s, Qa°(—s)))) | ^
N
< h(s,x)Y^ (K(—s) — a°(—s)1 + ^(—s) — a°(—s)^ |bv(x)|,
v=l
из последнего неравенства с учётом (11) и (12) получим следующую оценку:
11a2(t) — al(t)^BN(T) ^
^ ^MlMi(ll/^ A max J Меняя в (13) t на —t, s на —s, получим 11a2(—t) — al(—t)^BN(T) ^
\h(s,x)\bp(Dl) ds
, (t, x) e D. (13)
^ MlM22 max
ff
h(—s,y) (Ja^—s) — a°(—s)lBN(T) + + ^al(s) — a°(s)^BN(T^ dyds
< 2 m23a max
llh(—s,x)IIlp(d;) ds
, (t,x) e D. (14)
Пусть
h(s, x) = - [h(s, x) + h(—s, x)].
Тогда из (13) и (14) получим
t
°
\U 2(t) — U l(t)|BN (T)
< [Mlll/q) M3 A max
\h(s,x)lLp(Dl)
ds
(t, x) e D,
t
°
53
Т. К. Юлдашев
где
\\Uk(t) - иk-l(t)\\BN(T) =
= ma^j\\ak(t) - ak-l(t)\\BN(T); \\ak(-t) - ak-l(-t)\\BN(TJ .
Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа к, аналогичным образом находим
Uk+l(t) - Uk(t) 11bn(T) <
< (Ml1l/^)k+l M22k+
-i А к!
max
t
\h(s, x)\
Lp (Di)
ds
1 k
(15)
t
0
Так как
\\ak+l(t) - ak(t)\BN(T) < \\Uk+l(t) - Uk(t)\BN(T),
из оценки (15) следует, что при к ^ ж последовательность функций {ak(t)})(=l сходится равномерно по t к функции a(t) G Bp^ (T). Отсюда следует существование решения СНИУ (5).
Покажем единственность решения в пространстве BpN (T). Пусть СНИУ (5) имеет два решения: a(t) G BpX(T) и $(t) G B^N(T). Тогда для их разности получим
IIU (t)
V(t)|BN(T) ^
^ MlM|ll/q max
t
0
h(s, x)
Lp(Dl) IIU(s) - V(s)|BN(T) ds ,
(16)
где
llU (t) - V (t)ll = max{lla(t) - tf(t)ll;lla(-t) - ^(-t)ll}.
Применяя к (16) неравенство типа Гронуолла—Беллмана, получим
lla(t) - ^(t)|BN(T) = 0
для всех t G Dt. Отсюда следует единственность решения СНИУ (5) в пространстве BpX (t). □
5. Однозначная разрешимость смешанной задачи. Подставляя СНИУ (5) в предел (4), получим формальное решение смешанной задачи (1)-(3):
N г
u(t,x) = lim > N
Wi(t) +
i=l L ft r l
+ / f f (s,y,QNa(s),QNa(-s)) ■ bi(y)Pi(t, s)dyds 00
bi(x). (17)
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Если a(t) G BpN(T) является решением СНИУ (5), то предел (17) будет обобщённым решением смешанной задачи (1)-(3).
54
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения ...
Доказательство. Так как a(t) £ (T), из равенства
N
lim uN(t,x) = lim } ai(t) ■ bi(x) = u(t,x)
NN
i= 1
в силу условий теоремы следует
lim f (t,x,uN(t,x),uN(-t,x))= f (t,x,u(t,x),u(-t,x)) (18)
N 4
в смысле метрики Lp(D). Построим последовательность операторов:
t А
Vn (t) =
uN(s,y) Ф + n
d n
d n+2m
1
-Ф +
/0 jo ^ ldsn^ ' ’ dsn-1dy2m
n(n 1) d2nm-2 d2nm-1
+... +
ds2dy
2 nm—4
Ф + n
n(n _ 1) dn+2m
2 dsn-2dy2m+2
d 2
Ф+
dsdy
2 nm 2
Ф +
dy2nm
Ф
_ f (s, y, uN(s, y), uN( s, y)) Ф(s, y
n- 1
J0 V1 (y)i dtn-1 Ф + ndtn-2dy2m
dn+2m-2 n(n _ 1) dn+2m-1
Ф +
dtn-3dy2m+2
Ф+
+... +
n(n _ 1) d2nm-3
2 nm—4
Ф + n
+ / VN (y)
- dn-2 dtn-2
Ф + n
d n+2m
3
dtn-3dy2m
Ф +
dtdy n(n _ 1) dn+2m
d2nm-2
dy2nm-2
Ф
t=0
dy+
2
Qtn-4Qy2m+2
Ф+
nm— 5
+... +
n(n _ 1)(n _ 2) d2'
2 nm—6
3!
dtdy
Ф +
n
(n _ 1) d2'
nm 4
dy
2 nm 4
Ф
t=0
dy_
_ f vN (y)
0
- d)n—3 dn+2m
-----о Ф + n
Vdtn-3
4
-Ф +
n
(n _ 1) dn+2m
3
dtn-4dy2m 2 Qtn-5dy2m+2
n(n _ 1)(n _ 2) d2nm-6
Ф+
+ ... +
3!
dy'
2 nm 6
Ф
t=0
dy + ... +
г d2
+ / <-2(y) 2Ф + n
-dt2
d2m+i n(n _ 1) d2m+2
„-----Ф +—-------------^
dtdy2m 2 Qy2m+2 J t=o
Ф
dy_
rl
_ I VN-1(y) 0
d d2m
— Ф + n---Ф
dt dy2m
t=0
dy + / VN [Ф]<=0dy. (19) 0
0
0
Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (19) и учитывая условия теоремы и начальные условия
ai(0) = V1i, ai(0) = V2i, a'( (0) = V3i, ..., a<(n-1')(0) = Vni, получаем
Vn (t) =
N
Г dn—1 dn+2m-2
V1 (y) _^2 V1ibi(y)j d—[Ф + n-^—a ' ) 111 Ф+
i=1
L dt
dtn-2dy2m
0
55
Т. К. Юлдашев
ф +... +
n(n — 1) dn+2m 1
2 gtn-3dy2m+2
rl / N \ - d”-2
JO у2(У') E
n(n — 1) d2nm 3
2 nm—4
dtdy
Ф + n
d2
nm-2
dy
2 nm 2
Ф
J t=0
dy—
d n+2m
3
i=1
+ ... +
N
dtn-3dy2m
Ф +
n
(n — 1) gn+2m
2
Qtn-4Qy2m+2
Ф+
n
nm— 5
(n — 1)(n — 2) d2
2 nm—6
+ / f^3(y)—V <P3ibi(y)
Jo ' i=i
3!
- gn-3
dtdy
Ф +
n
(n — 1) d2
nm 4
dy'
2 nm 4
Ф
J t=0
dy+
Ф+n
d n+2m
4
-Ф+
n
(n — 1) dn+2m
3
L dtn—3 dtn-4dy2m 2 gtn-5dy2m+2
n(n — 1)(n — 2) d2nm-6
Ф+
+ ... +
3!
dy
2 nm 6
Ф
J t=o
dy - . . . -
N
, , v-^ , / л \ Г d2 g2m+^ n(n — 1) d2m+2
Vn-2 (y) V(n-2)ibi(y)] -7^ Ф+п^ ,.2m Ф +------^----- Q,.2m+2 Ф . dy+
i= 1
-dt2 dtdy2m
dy2m+2 \ t=o
k
__^ d d 2m
+ j f^n-i(y) — ^ V(n-i)ibi(y)] Ф + n-^2m Ф , Jy—
rl N
0
n-1)iUi^ I ЮД 1 -dy2m^ Jt=o" Vn(y) — ^ VnMy')) [Ф(t,У)]t=0dУ+
i=1
+
f /^(s,y)
Jo Jo
f (s,y,u(s,y),u(—s,y)) — N A o
V / f (s,z,uN(s,z),uN(—s,z)) ■ bi(z)dz
i=1Jo
bi(y)dydt. (20)
o
Очевидно, что первые n интегралов в (20) стремятся к нулю при N ^ те, так как ipj(ж) G Lp(Di), j = 1,n. Сходимость последней разности в (20) при N ^ те следует из (18). Отсюда заключаем, что limN^^ Vn(t) = 0. Это и доказывает теорему. □
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили, “Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды”// Матем. моделирование, 2000. Т. 12, №1. С. 94-103. [D. G. Gordeziani, G. A. Avalishvili, “On the constructing of solutions of the nonlocal initial boundary value problems for one-dimensional medium oscillation equations” // Matem. Mod., 2000. Vol. 12, no. 1. Pp. 94-103].
2. В. Б. Дмитриев, “Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения”// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2006. №2(42). С. 15-27. [V. B. Dmitriev, “A nonlocal problem with integral conditions for the wave equation” // Vestn. SamGU. Estestvennonauchn. Ser., 2006. no. 2(42). Pp. 15-27].
3. Л. С. Пулькина, “Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения”// Матем. заметки, 2003. Т. 74, №3. С. 435-445; англ. пер.: L. S. Pul’kina, “A mixed problem with integral condition for the hyperbolic equation” // Math. Notes, 2003. Vol. 74, no. 3. Pp. 411-421.
4. Т К. Юлдашев, “Смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при параболическом операторе” // Ж. вычисл.
56
О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения ...
матем. и матем. физ., 2011. Т. 51, №9. С. 1703-1711; англ. пер.: T. K. Yuldashev, “Mixed value problem for nonlinear differential equation of fourth order with small parameter on the parabolic operator” // Comput. Math. Math. Phys., 2011. Vol. 51, no. 9. Pp. 1596-1604.
5. Т. К. Юлдашев, “Смешанная задача для нелинейного интегродифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени” // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2012. Т. 52, №1. С. 112-123; англ. пер.: T. K. Yuldashev, “Mixed value problem for nonlinear integro-differential equation with parabolic operator of higher power” // Comput. Math. Math. Phys., 2012. Vol. 52, no. 1. Pp. 105-116.
Поступила в редакцию 20/1/2012; в окончательном варианте — 21/III/2012.
MSC: 35K25
ON SOLVABILITY OF A MIXED VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION OF HIGHER ORDER
T. K. Yuldashev
M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University,
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russia.
E-mail: [email protected]
The questions of one valued generalized solvability of mixed value problem for nonlinear partial differential equation with the parabolic operator of arbitrary natural power are studied. The separation of variables is used.
Keywords: nonlinear equation, parabolic operator of the higher power, generalized solvability.
Original article submitted 20/I/2012; revision submitted 21/III/2012.
Tursun K. Yuldashev (Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics.
