CC BY
23УДК 517.51
A.M. РОДИН
Обратная теорема приближения и интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной М-вариации
В данной работе продолжается изучение связей между структурными свойствами функций (поведением модулей гладкости) в пространстве Vm функций ограниченной М-вариации и пространствах Орлича L*M, начатое в [5, с.107-110].
Н
Пусть М{и) - iV-функция, то есть представима в виде М(и) — f p(t)dt, где p(t)
о
неотрицательная, непрерывная справа, неубывающая при t > 0, причем р(0) = 0, lim p(i) = +00.
t—t+oo
Для рассматриваемой функции М(и) под классом Орлича 6] будем пони-
мать множество таких вещественных определенных на отрезке [а, 6] функций u(i), ь
для которых / M[u(t)]dt < +оо. Соответственно пространством Орлича назовем
а
структуру [2, с.83]
( "г \
< +оо,Vv(t) е Z,/v[a, г>] >,
( ь
< «W : J u(t)v(t)dt а
где N(v) = тах[и|г>| — М(и)\ — дополнительная А^-функция к функции М(и). Для и^О
обратных к дополнительным /^-функциям справедлива система неравенств [2, с.25]
и < АГ^Л^'С) ^ 2у. (Л)
Пространство Ь'м будем рассматривать вместе с нормой Люксембурга
1М1<Ч,М> = ^ > 0 : «Й « 11 ■
Из [2, с.83-88] известно, что пространство Орлича является банаховым.
Всюду в этой работе будем предполагать, что исследуемые пространства состоят из 2тг-периодических функции.
Тогда обозначим через Ум пространство функций ограниченной М-вариации, для которых М-вариация Ум(/) = Бир < +оо, где верхняя грань берется по всем
разбиениям £ = {¿0 < ^ < ... < ¿т_1 < = ¿0 + 2-я} периода от величин =
т
— ~ /(¿1-1)|]1 называемых М-вариационными суммами по разбиениям (
1=1
от функции /(¡г).
Определение. М-вариационным модулем непрерывности первого порядка функции /(х) называется величина
шм 1 (¿1 /) = inf < к > 0 : sup leis«
где |£| = max (tt — i,_x) - диаметр разбиения £.
l<i<m
Пусть г € N и Д£/(х) = Ц(-1)г '/(^ + гЬ) - разность порядка г функции }{х) 1=0
(Д°/(х) = /(х)), тогда о;м>г(<5, /) = вир иМ1\{к, Д£-1/) - Л/-вариационный модуль непрерывности порядка г.
В пространстве Ум введем норму
||/|]„м =тах(иМ11(2тг,/), Л(/,0,2тг)),
при этом величина Л(/, 0, 2л) определяется следующим выражением:
Д(/,0,2тг) = inf { к > 0 : sup М. .
t€[0,2Tr] \ к )
Будем говорить, что функция М(и) удовлетворяет Д'-условию [2, с.43-49], если существует константа С > 0 такая, что для всех и, v > 0
M(uv) < CM(u)M(v).
Известно, что Д'-условие влечет более слабое Д2-условие М(2и) ^ КМ(и), и > 0 [2, с.35-42].
Под целыми модулями непрерывности для г g N в пространстве X (L'M или Ум) будем понимать величины
шг(6,/)х = sup ЦД^/IU. О <h^S
Запишем утверждения [5, с.107-110], характеризующие связь М-вариационных и целых модулей непрерывности в пространствах Ум и Ь'м.
Лемма 1. Пусть те N. 6 > 0, функция /(х) е Ум. Тогда
Начиная с этого момента, везде далее будем считать, что функция М(и) удовлетворяет Д'-условию.
Лемма 2. Для произвольных чисел г £ N. <5 > 0 и функции f(x) 6 Ь*и такой, что является абсолютно непрерывной, и € Ь'м, справедливо неравенство
ыиЛЬП ^ та
Лемма 3. Для произвольной функции f(x) £ VM, чисел г 6 N, 6 > О выполняется неравенство
IX л ^ 2 тах(С, 1)
< м-41/Д)
Лемма 4. Пусть даны, числа г, п 6 К, 6 > О, тогда для функции ¡(х) 6 Ум справедливо неравенство
, г « . тах(С, 1)пг
Наилучшим приближением (НП) функции / пространства тригонометрическими полиномами степени не выше п—1 назовем число £„(/)ум = ¡ПГ ||/ — Фп\\ум,
ФпЧТп-1
где Т„_ 1 - множество тригонометрических полиномов степени не выше п - 1.
Теперь перейдем к формулировке и доказательству результатов данной работы. Следующая теорема представляет собой обобщение обратной теоремы приближения тригонометрическими полиномами элементов пространства функций ограниченной р-вариации на М-вариационный случай.
Теорема. Пусть функция / е Ущ. Тогда для любых п, г € N справедлива оценка:
шм,
(1 Л <rN~l{1/n)S- Г(П
r U'О-
Доказательство
Пусть tj е 1 и является полиномом НП в пространстве V^, то есть F~v{f)v,.; — - II/ ~ tj\\vMi i G N. Рассмотрим М-вариационный модуль непрерывности порядка г 6 N и произведем следующую оценку с использованием неравенства треугольника:
"м,г(2"3, /) = ым,т{Т\ f-tj + tj) < ыи.r(2~J', /-<,)+
Заметим, что для любого числа <5 > 0 и функции g £ Ум
ыыЛЬд) < sup l|Arlg||vM ^ sup £Ci_M + **)lk, ^ 2-l||5||vM. (1)
0<h iJ
Таким образом,
~jJ) WM,r(2-J,tj) + 2г-1||/ - yv„ = + 2г-1^(/)Км.
Оценим о)м,г(2~^, <3). Из неравенства С.Б.Стечкина-С.М.Никольского для пространства Орлича ¿д,, которое выводится по классической схеме с использованием непрерывности нормы Люксембурга || • ||(£-,) и неравенства треугольника для этой нормы в пространстве Орлича, получим
< Q) V^nll(^)-
По определению модуля непрерывности в пространстве Орлича, применяя лемму 3 и оценку (1), находим:
и и,, /п\т ,тг . 2max(C, 1) . , /п\г„
ИЛч,> < (2) ^ м_,(;) 2 (-) n^iiv«.
Поскольку из свойств TV-функций (2, с.17] функция не убывает при и > 0, то
., ,_>„ _ 7г тахГС, 1)пг,. „ , ,
||^'||сч,> < Цуп11км. (2)
j
Представим полином tj следующим образом:^ = — 1) + io, где <а е Тг'-ь
а=1
II/ - ti\\vM = Ev{f)vu, t0 = const. Применяя равенство u!Mr(S, const) = 0 и лемму 2, заключаем
j i им,r(2~j,ij) = UM.r(2-iI - i.-i) + io) ^ - ia-i) + WM,r(2--i,to) s£
j=I
^ max(C, 1)2-J(r-1>N-1(2^) £ ||i« - i^H,^,.
a=l
Далее, для ia - is_i e Г2«_1 используем оценку (2) и неубывание функции
шм,г( г',ь) $ ^^¿тгЕ м-1(2.-Li)»*' -<
^ ^ Ny(г-1) ^ X М-Ч2») ~ ^
< 2ДГ АГ"1(2~>) V 2'Г F m
2Л-1) м-42') г [I)vm'
Пусть j ^ 2, 2 < s ^ j. Оценим s-oe слагаемое:
Y1 м-42') ■Em(/)v"'
V ' m-OJ-Jil * '
Рассмотрим функцию <р(х) — при х > 0. Для любого у > 0, используя
свойства /V-функций [2, с.17-18], получаем
, > , {х + г/Г1 VW
М~х(х + у)' Положим х = 2®~2, тогда
У 2{«-2)(Г-1) (2'-2 + у)г~1
_ < _-SI__fn
М-1 (2') ^М~Ц2-2 + у)' w
(4)
при у = 1, 2, ..., 23 2. Таким образом,
2ЯГ \ m
4 ' m=2'-2+l v '
Если s = 1, то первое слагаемое имеет вид Значит,
< (6)
Заметим, что
uM,r(2~j< / - «iK r-'EviDw <
or-i . оiTM~l(V\
^ 2= M_1(202; <
i/=îj-»+I v ' Используя Д'-условие и неравенство (А), получим
М~Ну)М-Н-) < АГ^С) У
^м < Чо)лг. Ш.
у \У,
Тогда, взяв в последнем неравенстве у = 2J и применив его в (7), находим оценку
В результате, с учетом оценок (6) и (7) имеем
i/=l * '
Рассмотрим теперь произвольное п € N. Тогда найдется такое j £ N, что V Si п < Используя свойства М-вариационного модуля непрерывности, лемму 4 и оценку (8), получаем
Л п , ,2 n , max(C, 1)2Г 1
^ шиАрй./) * М-Ц2) »иЛрй.П «
Что и требовалось доказать.
Следующие утверждения характеризуют некоторые интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной М-вариации, которые являются обобщением результатов работы ATI. Терехина [1].
h
Рассмотрим средние В.А. Стеклова /ь(х, /) = ^ J /(х + t)dt (ft > 0) и
-h
fk, 2(х) = Л(х,/л).
Лемма 5. Пусть / 6 L'M. Тогда имеет место неравенство
11/2,,2 - /MIIvm < ^МдП MIIAL/II^).
Доказательство
Рассмотрим симметричную разность
= /(* + М - 2/(х) + /(ж - ft). Так
X
как Ь'м С L[0,2irj, то рассмотрим первообразную F(x) = f f{t)dt. Имеем
о
Ы*,/) - /*(*,/) = ¿(F(x + 2ft) - F(x - 2ft)) - ~{F(x + ft) - - ft)) =
= тг(F(x + 2/l) - 2F(X + h) + F(x)) - ТГ №) - 2F(X ~h) + F(x - 2Л)) = 4ft 4ft
= ¿№(x + h) - AlF(x - ft)) = ^AlfAx, /)• Применяя дважды это равенство, получаем
/2Л,г(х) = Ы*, /2л) = /л(*. М) + ^ Д£/л(*, /гл) = = fh(x, fk + \ А£Л) + /л + ~Д£/Л) =
= Л(*,Л) + |д|Л(х, /л) + ¿ДШ*, /л) + ^Д£/Л(х, Л) = = Л.2(х) + AlfhAx) + \blhA*)-
Поскольку, согласно свойствам fc-x разностей ЦА^/л.гЦуи < M\^fifh,2\\vM, то
WUa - /адllv„ = IIДlh.2 + \tthAvu < 2||Д2/м||Ум. Используя леммы 1 и 2 при г = 2, получаем
ЦДл/mIIvm < «*(Л,/ад)ум < 2uM:2(h,fh]2) ^ 2m*x(C,l)hN-l{h)\\fl2\\L.M. (9)
X
Если обозначить через G(x) функцию J F(t)dt, то
о
, , , 1 Г.. 1 [ Fix 4 t + h)-F(x + t-h)M
/Л'2(1) =2hj МХ + t)dt = 2h ] ~-2h-М =
-h -h
= + 2h) - 2G(x) + G{x - 2h)).
Отсюда легко видеть, что f^2(x) = fih)~2Alhf(x) почти всюду. Подставляя последнее равенство в (9), доказываем лемму.
Теорема X. Пусть }{х) £ L*M и
J _LiWj(i1/)tjf(tt<+oo,
о
тогда функцию f(x) можно исправить на множестве меры нуль так, чтобы f(t) eVM и
WM.i(2ir,/) J £-^h,(t,f)Lildt.
Доказательство
+ 00
Пусть Л„ = 7Г2 " (I/ = 0,1,2,...) и /„ = /А„_2. Рассмотрим ряд / = /0+ £ {Ь-Ь-хУ
1/=1
7Г 1Г ТТ
Так как /0(х) = Л(х,/„) = (2тг)"2 / / /(х -И + г)<Йо¿г = (27т)"1 / по свой-
—* —»г —*
ствам 2тг-периодической интегрируемой функции, то /0 постоянна. Тогда, используя неравенство треугольника для М-вариационного модуля непрерывности, выше доказанную лемму и свойства модуля непрерывности целого порядка в пространстве Орлича, получим
+00 1\г-1(тг2~")
"м, 1(2тг,/) ^ /„-/„-О ^ тах(С,1)]Г ^ ^2(тг2-"+1,^
1/=1 и=1
< 16 тах(С, 1) £ })ь-и ■
К=1
Заметим, что функция к ¡^ не возрастает при 4 > 0, поэтому
2*2-"
Тогда
и>мл(2п, /) < 64 тах(С, 1) Е / /)ц,Л = С, [
"=1 1Г-2 » О
Так как вторые средние Стеклова /„ сходятся почти всюду к /(г) ири и —► +оо, то / эквивалентна /, и теорема доказана.
Теорема 2. Пусть /(х) е А:, г е N и
—<+оо.
о
ТогЛг функцию /(х) можно исправить на множестве нулевой меры так, чтобы /(я) € и
6
о
гйе — положительная постоянная, не зависящая от функции /.
Доказательство
Для модулей непрерывности в пространстве Орлича Ь'м запишем неравенство Маршу [4, с. 119)
21Г
/)*.«, а4«2 У -"¿и (0 < 4 < тг, к > 2). 1
Используя его получим оценку для интеграла из теоремы 1
о \/2 I )
Оценим интегралы, входящие в последнее неравенство. Запишем неравенство для
первого, используя монотонность модуля непрерывности
< * '
О 1/2 0 ¡/2
О
Во втором интеграле поменяем порядок интегрирования и воспользуемся неубыванием функции N~1(t)
0 1 оо о
Таким образом, получим, что
} N^0) } N~l(t)
о о
и причем для любого А; е N. Предположение теоремы 2 влечет условие теоремы 1, а следовательно, /(х) исправляется на множестве меры нуль до функции из Ум, кроме того,
(2т, /) < 4»1 (10)
Осталось доказать неравенство теоремы 2. Рассмотрим средние функции
Л *
ЛЛ*)* = и ¿(-1у+1с;л,г_1(х + «)»Л, Л,0(х)к = /(*).
¡=1
Для них справедливы неравенства [3, с.171-187]
/■(г>с-л. ii... . ^ ._. iv,
11Л>)*11(ч,> < л~г(2 - (и)
и
НАЛ*)* - /(х)||(Ч|) ^ Ък,тШк{К Пц, (Л > о). (12)
Пусть положено /Лг(х) = /л,г(х)г. Тогда из элементарных свойств М-вариации иного модуля непрерывности можно получить, что
/) ^ шмД<5, / - Д,г) + и)МД<5, /ь.г), (13)
при этом
/ - /л,г) < / - л,г). (14)
Поскольку /,'гг абсолютно непрерывна, то второе слагаемое в правой части
(13) оценивается по лемме 2. Согласно (10)
}
«*,1(21Г,/- Л,г) 3 & ] к,г)ь-м<и. (15)
о
Разобьем последний интеграл на два:
ыло(21г, / - Л,г) < «Ь ^ / - Л,)ц, Л + } / -
Из свойств классических модулей непрерывности в пространстве Орлича получим неравенства:
/ - /л,гЬ-м < СгШ^г, /)ь-м при < < Л, "*(<> / - Л,г)ц, < 2*||/ - ЛДц,, при I > Л; и из них находим
* _1 л *
Л.
Используя неравенство (А) и замену переменных г! = М '(4), второй интеграл в правой части последнего неравенства можно оценить сверху,-
м-'м
1_Л = 2 [ Ми)
(¿И.
(4) ' / и2М(и) п п М-'(Л)
По признаку Д2-условия [2, с.37] найдется такая положительная постоянная что < а при и > 0. Тогда, воспользовавшись этим фактом и неравенством (А), получим
/
Таким образом,
/ ^г^С, / - ^ с, | /)Ь.ИЛ + -
о о
(16)
Кроме того, оценки (15), (16) и (12) в неравенстве (14) дают
л
/М-Чи N'4 К)
Аналогично, из леммы 2 и неравенства (11) следует, что
ыиЛЬЬ.г) < er6T'1N-\6)h-ruJr(hJ)L.u.
■м'
Применив в (13) последние две оценки при Н = <5, получаем неравенство
Библиографический список
1. Терехин А. П. Интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной р-вариации // Мат. заметки. 1967. Т.2.
2. Красносельский М.А., Рутпицкий Я R. Выпуклые функции и пространства Ор-лича. М.: Физматгиз, 1958.
3. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Изв. высш. учеб. заведений. Сер. мат. 1965. N2(45).
4. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.
5. Родин A.M. Свойства Л/-вариационных модулей непрерывности // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3.
О точных по порядку оценках погрешностей в задаче восстановления функции вместе с ее производной
В данной работе получены согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных <5, обеспечивающие точные и оптимальные по порядку оценки погрешностей задачи восстановления функции вместе с ее производной, и указаны величины этих порядков.
Рассмотрим постановку задачи восстановления функции и ее производной: непрерывно дифференцируемая функция /(х) задана своим ¿-приближением в среднеквадратичной метрике, то есть ||/{ - /||/,2 ^ (5, требуется ПО }{ и (5 построить последовательность функций /е такую, что в метрике пространства О .
Рассмотрим интегральные операторы:
УДК 517.51+518
Е В. ШИШКОВА
