Обобщенные тернарные кольца Холла со смежностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.74

ОБОБЩЕННЫЕ ТЕРНАРНЫЕ КОЛЬЦА ХОЛЛА СО СМЕЖНОСТЬЮ

© 2008 г. Н.Л. Шатохин

In given clause the concept of the generalized figurative ring of the Hall with a contiguity is entered. These rings represent basic structural part AH- ternaries which algebraically describe any affine Hjelmslev planes. The elementary A V properties of such rings are specified.

В данной статье вводится понятие обобщенного тернарного кольца Холла со смежностью. Эти кольца представляют собой основную структурную часть АН-тернаров, которые алгебраически описывают произвольные аффинные ельмслевовы плоскости. Указаны простейшие свойства таких колец.

С понятиями тернарного кольца Холла и АН-тернара - алгебраической структуры, координати-зирующей произвольную АН-плоскость [1], можно ознакомиться в монографии [2] и статье [3].

Определение 1. Упорядоченная пара <Т; ? >, где Т - непустое множество, а ? - тернарная операция, заданная на этом множестве, называется тернарной алгеброй.

Определение 2. Если тернарная операция / тернарной алгебры Т1 =</ : ?> удовлетворяет условию:

Т1. (у а, Ъ, с) (3! х) ?(а, Ъ, х) = с, то алгебра Т1 называется тернарным кольцом.

Определение 3. Тернарное кольцо Т] = < Т; I. О, 1 >, где множество Т содержит, по крайней мере, два элемента 0 и 1 называется тернарным кольцом с нулем 0 и единицей 1 (О Ф 1). если выполняются следующие условия:

Т2. (у а, Ъ, сеТ) ?(0, Ъ,с) = с = ?(а, 0, с), ТЗ. (Уа, Ъ<еТ) ?(а, 1, 0) = а & ?(1, Ъ, 0) = Ъ. Тернарное кольцо с нулем и единицей будем обозначать ТЯ.

На множестве Т произвольного тернарного кольца 77? определяются бинарные операции «+», « ® », « • » условиями:

(Уа,ЬеТ)а + Ь = ((1,а, Ъ), (У а, ЬеТ) а 0 6 = ?(а, 1 ,Ъ), (Уа, ЬеТ) а ■ Ъ = ?(а, Ъ, 0). (1)

Алгебраическая система А([\) = < /': +. О. • , 0, 1 > называется алгеброй, ассоциированной с тернарным кольцом 77?.

Если выполняется условие (Уа, Ь, се Т) 1(а. Ъ, с) = = а ■ Ъ + с, то тернарное кольцо 77? называется ли-

нейным тернарным кольцом. Для линейных тернарных колец операции «+» и «<8>» совпадают.

Пусть на множестве Т некоторого тернарного кольца 77? определено отношение эквивалентности Класс эквивалентности фактор-множества 77~ с представителем а обозначаем [а]~ , а класс [0]~ также и через Б .

Введем следующие обозначения:

?(а, Ъ, х) = с х = /г (а,Ъ,с);

?(а, х,Ъ) = с<^х= (а, с, Ъ);

?(х, а,Ъ) = с ох = (с, а, Ъ);

?(а, Ъ, х) = ?(с, (1,х)<^х= /г (а,Ь;с,<1);

?(а, х, Ъ) = ?(с, х, ¿7) х = (а, Ь; с, ¿/); (2)

?(х, а, Ъ) = ?(х, с, сГ) ^ х =/г (а, с, <1);

?(а, х,у) = Ь & ?(с, х, у) = ё х = г171" (а, Ь; с, с!) &у =

= ^ (,я,Ъ;с, О).

Определение 4. Если тернарная операция ? кольца ТЯ, на множестве-носителе Т которого задано отношение эквивалентности ~ , удовлетворяет условиям:

ТН1. (уа,Ъ,с,с1еТ) аЛсо((3!х)х =/г (а, Ъ; с,

«О);

ТН2. (уа,Ъ,с,ёе 7) а Ас о ((3!(х, у)) х =1™ (а, Ь; с, ¿/) (а, Ь; с, ¿/)),

то такое тернарное кольцо будем называть обобщенным тернарным кольцом Холла и обозначать вТЯ.

Понятно, что если отношение ~ некоторого тернарного кольца вТЯ является отношением равенства, то это кольцо является тернарным кольцом Холла [2].

Определим на фактор-множестве 77~ произвольного (777?условием 1(а. Ъ,с) = => I ([а] . \Ь\ . [с] = =[<$] тернарную операцию . Теорема 1. Пусть < Т; ?, 0, 1, ~ > некоторое вТЯ

. Тогда фактор-алгебра < Т; , [0]~ , [1]~ > в том

и только том случае является тернарным кольцом Холла (в обозначении НТЯ) , если отношение ~ удовлетворяет следующим условиям: а1~Ъ1 (/=1, 2, 3) => ?(аь а2, а3) ~ Ъ2, Ъъ); (3) а{~Ъ{ (/=1, 2, 3) => ?(аи а2, а3) ~ фи Ъ2, Ь3); (4) а\ ф а3, а1~Ь1 (/' =1, 2, 3, 4) => ?'(аь а2, а3, а4) ~ Ъ2, Ъъ, Ь4); £)

а\ ф а3, а1~Ь1 (/' =1, 2, 3, 4) => а\, а2, а3, а4) ~ Ъ\, Ъ2, Ъ3, й4) & а2, а3, а4) ~ (У\Ь\, Ъ2, Ъ3, Ь4) (6)

Доказательство. Пусть отношение ~ некоторого ОТЯ < Т; ?, 0, 1, ~ > удовлетворяет условиям (3) - (6). Тогда из (3) следует, что ~ конгруенция, а следовательно, тернарная операция определена однозначно. Очевидно, что [0]„ нуль, а 111 единица алгебры <Т/~: I >. Далее из того что в произвольном (777? справедливо 77, с учетом (4), получаем, что < 77~; / > - тернарное кольцо, а из ТН1 и (5), а также ТН2 и (6) вытекает, что алгебра < 77~; I > является некоторым НТЯ. Нетрудно проверить справедливость обратного утверждения.

Замечание. Очевидно, что на структуре любого тернарного кольца 77? < Т. I > условиями (2) всегда

можно определить операции (а, Ъ, с), /"' (а, с, Ъ), I1 (с, а, Ъ), ? г(а, Ь; с, с/), (а, Ь; с, с/), /г (а, Ь; с, с/), и пару {г'*} взаимносвязанных между собой операций / "" и / ;л; причем из Т1 следует, что ?г (а, Ь, с) будет алгебраической тернарной операцией.

Условия (3) и (4) означают, что отношение ~ является конгруенцией операций / и /' (а, Ь, с), а условия (5) и (6) - что для а ф с отношение ~ является конгруенцией операции Ь\ с. с!) и пары операций и

Отсюда вытекает, что теорему 1 можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 1а. Пусть < Т. I. 0. 1. ~ > некоторое (777? . Тогда для того чтобы фактор-алгебра < 77~;

, [0]~ , [1]~ > являлась тернарным кольцом Холла, необходимо и достаточно, чтобы отношение ~ этого кольца являлось конгруенцией операций ?, (а,

b, с) и для а ф с - конгруенцией операции / (а, Ь:

c, с!) и пары {г171" } операций г171" и .

Определение 5. Отношение эквивалентности ~ тернарного кольца ОТЯ, удовлетворяющее условиям (3) - (6), будем называть отношением смежности этого кольца.

Определение 6. Тернарное кольцо ОТЯ, в котором отношение ~ является отношением смежности, назовем обобщенным тернарным кольцом Холла со смежностью и в дальнейшем обозначаем ОНТЯ.

Определение 7. Тернарное кольцо НТЯ, определенное в теореме 1, будем называть каноническим гомоморфным образом соответствующего ему ОНТЯ, а естественный гомоморфизм у, опре-

деленный условием: (V а еТ) '/(а) = . - его каноническим гомоморфизмом.

Определение 8. Если тернарная операция t некоторого GHTR удовлетворяет условию

ct[~ bl (/'= 1, 2, 3) & (а2, а3)Ф ( b2, Ъ3) & ах =tl (а2,

а3, Ъ2, Ъ3)^> Ъг =tl (а2, а3, Ъ2, Ъ3), (7)

то такое кольцо будем называть однородным.

Укажем некоторые простейшие свойства произвольных GTR.

Предложение 1. В любом GTR 0 ф 1.

Доказательство. Из T2 и T3 заключаем, что в

точке А(0, 0; 1, 0) значение операции t определено

однозначно (tl (Л) = 0). Поэтому в силу ТН1 0^1.

Следствие 1. Нулевой элемент любого GTR определен однозначно.

Доказательство. Предположим, что

(ЗО'еТ) (Уа, Ъ, с еТ) t(О1, Ъ,с) = с = t(a, О1, с). (8) Тогда

(Ус еТ) t(0, О1, с) = с & ?(1, 0, с) = с. (9)

Из (8) и (9) с учетом ТН2 получаем, что О1 = 0.

Теорема 2. В любом GHTR совокупность операций tms (a, b;c,cf)u t^ (a, Z>; с, d), при а~ сиЪ ф d не определена. Если а -/- с и Ъ ~ d, то tms (a, b; с, d)e А. Если а~ с,Ъ ~ d,(a,b) Ф ( с, d) и хх = tms (а,

Ь: с. cf). a _Vi = / 'Л (a,b;c,d), то существует по крайней мере еще одна пара (х2у2)Ф (хь у,). такая, что

х2 =tms (а, с, d), ау2= t^ (a, b;c,d)n при этом Xi ~ x2 и У1 ~ y2.

Доказательство. Справедливость первого утверждения следует из (3).

Пусть а ф с и b ~ d. Докажем, что тогда хеА. Действительно, если х 0, то из равенств t(a, 0, b) = t(a, x, y) = b и t(c, 0, d) = t(c, x, y) = d , с учетом (5) получаем a ~ с, что невозможно. Следовательно, хеА.

Пусть теперь а ~ c,b ~ d,(a,b) Ф ( c,d)u (хь -решение данной системы. Тогда в силу TH2 эта система имеет по крайней мере еще одно решение (x2, у2). Докажем, что х2 ~ Х| и V| ~ у2. Действительно, если Xi Л х2, то из равенств t(a, Х\, у\) = t(a, х2, у2) = Ъ и t(c, x1, y1) = t(c, x2, y2) = d, используя TH1, имеем, что a = c, а тогда из равенств t(a, x1, y1) = b и t(c, x1, y1) = d следует b = d. Отсюда (a, b) = (c, d), что противоречит условию. Следовательно, x1 ~ x2. Но тогда с учетом (4) из равенств t(a, x1, y1) = t(a, x2, y2) = b получаем, что yi ~ y2.

Теорема 3. В любом GHTR:

1) значения операций tm (a, c, b) и tl (c, a, b) определены однозначно в том и только том случае, когда а Ф 0;

2) если значение tl (а, Ь; с, d) определено и Ъ ф d, то а ф с.

Доказательство.

1) Рассмотрим уравнение t(a, x, b) = c. Это уравнение можно записать в виде равносильной ему систе-

мы 1(а. х, у) = с, 1(0. х, у) = Ъ. Учитывая, что а-/- 0. согласно ТН2, имеем, что эта система разрешима однозначно. Но из второго уравнения системы следует у = Ь, откуда вытекает справедливость первого утверждение теоремы.

Рассмотрим уравнение ?(х, а, Ь) = с. Это уравнение можно записать в равносильном ему виде ?(х, а, Ь) = ?(х, 0, с) (= с), следовательно, учитывая ТН1, убеждаемся, что утверждение 1 справедливо.

2) Предположим, что элементы а, Ь, с, ё таковы,

что значение операции I' (а, Ь; с, с1) определено и Ъ -/- с!. Докажем, что а -/- с, от противного. Пусть а ~ с и х0 - решение уравнения 1(х. а, Ъ) = 1(х. с, с/). Пусть

?(х0, а, Ъ) = ?(х0, с, <!) = к, тогда имеем Ъ = /г (х0, а, к)

и с/ = /;/ (х0, с, А:), следовательно, из (4) получаем Ъ ~ ё, что противоречит условию.

Пусть 77? - некоторое тернарное кольцо. Элемент йе Т (аФ 0) называется правым (левым) делителем нуля, если существует ЪФ 0, такое, что а-Ъ = 0 (Ь ■ а = = 0). Обозначим через !),.. !)<. !)() множества, состоящие из нуля и, соответственно, правых, левых, двусторонних делителей нуля.

Предложение 2. В любом 6/7/77? справедливы следующие соотношения: Д. = /)/ = !){] = I).

Доказательство. Рассмотрим уравнение ?(а, х, 0) = 0. В силу Т2 х = 0 - решение этого уравнения, а следовательно, с учетом (3) и теоремы 3 имеем, что из ае Б следует а е /),.. Таким образом, I) сД. Если же а с /),.. то найдется ненулевое решение этого уравнения. Отсюда в силу теоремы 3 имеем, что а е 1). Таким образом, /),. с /) и поэтому Д = £>. Аналогичными рассуждениями (рассмотрев уравнение 1(х. а, 0) = 0) легко установить, что Д = £>. Наконец, учитывая, что Д = 1)г п Д. окончательно получаем !)г = /)/ = !){] = I).

Предложение 3. Пусть 1(а\,Ь\,С\) = с/] и ?(а2,й2,с2) = й2. Тогда а1~а2+ 0, сг ~ с2, ~ (12 => Ъх ~ Ъ2, Ъх ~ Ъ2 ^ 0, С\ ~ с2, ~ с12 => а1 ~ а2.

Справедливость данного утверждения непосредственно следует из (5) и (6).

Предложение 4. Пусть ТЯ - произвольное вНТЯ. Справедливы следующие утверждения:

1 )а~Ьо ^(1 ,а, Ь)еБ;

2)а~Ъ<^гг(а, 1 , 6)е Д

3)а~Ьо ?г(1,а, ¿)еД;

^ {а, 1,6)е£>.

Доказательство. Пусть х0 - решение уравнения ?(1, х, Ь) = а и а ~ Ь.

Используя Т2, имеем, что /(1. 0, а) = а, следовательно, с учетом теоремы 3 получаем, что х„е/А Если же хпе/). то из Т2 и (3) вытекает, что а ~ Ъ. Пусть теперь х0 - корень уравнения 1(а. 1, х) = Ъ и Хо^И. Тогда учитывая, что, согласно ТЗ, 1(Ь. 1, 0) = Ь, используя предложение 3, получаем, что а ~ Ь.

Если же а ~Ъ, то из (4) вытекает, что х„е/А Утверждения 3 и 4 доказываются аналогично.

Следствие 2. Элементы а и Ь некоторого вНТЯ в том и только том случае принадлежат одному

классу фактор-множества Т1 ~, когда корень, по крайней мере, одного из уравнений х + а = Ъ, а + х = Ъ,х®а = Ъ,а®х = Ъ (следовательно, и любого из них) принадлежит Б.

Следствие 3. В произвольном 6/7/77? тогда и только тогда справедливы включения а + Ъ е \Ь | , Ъ + ае ,а®Ъе ,Ъ® ае , когда ае£>.

Далее с учетом (3), Т2, Т3 и предложения 4 убеждаемся в том, что справедливо следующее утверждение.

Предложение 5. В произвольном (/7/77? а-Ъ е!) тогда и только тогда, когда а е I) или Л е I).

Следствие 4. Группоид < Т*; • >, где Т* = Т\ И , является лупой с нейтральным элементом 1.

Из предложения 5 с учетом следствия 2 имеем, что справедливо утверждение.

Следствие 5. Пусть Л(Т0 = < Г; +, • , 0, 1 > -алгебра, ассоциированная с некоторым тернарным кольцом (¡НТЯ. Тогда

1)<7); + >и<7);®> подлупы, луп < Г; + > и < Г; ® >;

2)(УаеО)(УЬеТ) а-ЬеО&Ь-а^О.

Таким образом, множество Б элементов смежных с нулем произвольного вНТЯ является идеалом этого тернарного кольца.

Сформулируем в заключение в виде отдельной теоремы свойства алгебры /1(Т|) = < Т; +, 0, 1 >, ассоциированной с произвольным тернарным кольцом вНТЯ, отмеченные в указанных выше утверждениях.

Теорема 4. В алгебре Л(Т0 = < Г; +, • , 0, 1 >, ассоциированной с произвольным тернарным кольцом (¡НТЯ, имеют место следующие свойства.

1.<Г;+>и<Г;®> - лупы с нейтралом 0;

2. < Т* ; • >, где Т* = Т \ Б , является лупой с нейтралом 1;

3.<7); + >и<7);®> подлупы луп < Т; + > и < Г;<8>>,

4. £> является идеалом алгебры /4(Т,):

5. (УаеТ) а • 0 = 0- а = 0& а- 1=1 • а = а;

6. Если а ^ 0 и Ъ еТ, то уравнения х- а = Ъиа• х= = Ъ имеют единственные решения;

7. а ^ 0, а - Ъ ~ а • с илиЪ • а~с ■ а , то Ь ~ с;

8. а + 0,а - Ъ = а • с или Ъ • а = с ■ а ,тоЬ = с;

9. Д. = £>/ = £>0 = Б.

Теорему 4 необходимо учитывать при построении примеров линейных вНТЯ над кольцами с делителями нуля.

Литература

1. LuneburgH. // Math. Z. 1962No\. 79. S. 260-288.

2. Холл М. Теория групп. М., 1962.

3. Шатохин Н.Л. // Труды семинара по инцидентностным

структурам. 1985. Деп. в ВИНИТИ. № 5402-85.

Смоленский государственныйуниверситет

26 сентября 2007 г.