CC BY
41
УДК 519.1
Конечная интегральная геометрия 1
© В. Ф. Молчанов, С. В. Кольцова, Е. В. Водолажская,
М. С. Ильина
Ключевые слова: преобразование Радона; булеан; конечные поля; кольца классов вычетов.
Рассматриваются преобразования Радона на конечных множествах - для булеана, плоскости над конечным кольцом, конечных графов - и находятся формулы обращения.
В настоящей работе мы рассматриваем несколько случаев преобразования Радона на конечных множествах: на булеане (два преобразования), на плоскости над конечным кольцом, на конечных графах (в частности, находим функцию Мебиуса на корневых деревьях). Исследования в области конечной интегральной геометрии были начаты в [7], см. также [10]. Основное внимание там было уделено трём конечным аналогам классического преобразования Радона: в п-мерных аффинных и проективных пространствах над конечным полем и на булеане.
§ 1. Преобразования Радона на конечных множествах
Для конечного множества X обозначим через |Х| количество элементов в X и через Ь(Х) пространство функций /(х) на X со значениями в С. Его размерность равна |Х|.
Пусть X и У - два конечных множества, х -< у - некоторое отношение между элементами х £ X и у Е У (это отношение есть некоторое подмножество в X х У). Преобразование Радона - это линейный оператор Я : Ь(Х) —> Ь(У), задаваемый формулой
(Я/)(у) = ]Г/(х). (1.1)
142/
Основные задачи - описать ядро и образ оператора Я и, если он инъективен, написать формулу обращения, то есть найти Я-1.
Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474 и Темпланом 1.5.07.
Формулу (1.1) можно переписать так:
(Д/)Ы = X! Я(2ЛХ)ДЖ)>
х€Х
где матрица Л(у,х) имеет |У| строк и |Х| столбцов, она есть
Я(У’Х) = { 0, х/у.
Сопряженный оператор Я* : Ь(У) —» Ь(Х) дается формулой
(лт)М = £ Р(»),
х-<у
его матрица есть Я*(х,у) = Я(у,х). Оператор Т = действует в Ь{Х). Его матрица Т(х,и) есть матрица инциденций: число Т(х,и) равно количеству у ЕУ таких, что х ~< у я и у. Предположим, что Т обратим. Тогда
Я-1=Т-1Я^ (12)
или
Е = Т~1Я*Я. (1.3)
Как и в [5], мы полагаем N = {0, 1, 2, ... }, знак сравнения = обозначает сравнение по модулю 2, мы используем следующие обозначения для "обобщенных степеней": а)-™} = а (а + 1)... (а + тп — 1). Для таких степеней справедлива биномиальная формула, см. [6] гл. I, № 35:
тп , \
(а + Ь)[т] = ^\™]а[т-к]Ъ[к]. (1.4)
к=о ^ '
§ 2. Преобразования Радона на булеане
Пусть М - множество с п элементами, например, М = {1,2,...,п}. Булеан В - это множество подмножеств множества М с частичным упорядочением -отношением включения. Он распадается в сумму
В = В0 и 51 и В2 и ... и Вп,
где Вь есть совокупность /ь-элементных подмножеств 2 С М, Т. е. Вк состоит из 2 С М таких, что \г\ = к. Количество элементов в В^ равно
чк) к\(п — к)\ '
Для подмножества -ш С М (то есть и> £ В) обозначим ТО — М \ и/.
Мы рассмотрим два преобразования Радона на булеане В, см. пункты 2.2 и 2.3. Мы используем [4].
Фиксируем число к £ N такое, что к < п/2.
2.1. Алгебра операторов в Ь(Вк), зависящих от числа пересечений
Алгебра всех операторов в Ь(Вк) обозначается через Епс1(Ь(Бй)). Матрица оператора А есть функция А(г,и) двух переменных г,и £ Вк. Умножению операторов С — АВ отвечает матричное умножение функций:
С(г,и) = 5^ А{г,у)В(у,и). (2.1)
•с—Вк
Мы будем отождествлять оператор с функцией от двух переменных - его матрицей.
Обозначим через А{Вк) подпространство функций А(г,и), зависящих только от количества элементов в пересечении г Г) и, то есть от \г П и\:
А(г,и) - ар, р = \zC\u\, (2.2)
где ар - некоторые числа. Размерность этого пространства равна к + 1, базис образован следующими функциями А0, Ль ..., /Ц:
Аг(г, и) = 4-г,р, Р=\г<1и\, (2.3)
5^ - дельта Кронекера. В частности, Ао есть единичная матрица (единичный оператор): А0(г, и) = 5(г, и), где 5(г, г) = 1 и 5(г, и) = 0 при г ф и. Эти матрицы образуют так называемую схему Джонсона [1].
Теорема 2.1 Подпространство А(Вк) есть подалгебра в алгебре Епс1(Ь(Вк)).
Доказательство. Пусть функции А(г,и) и В(г,и) задаются по (2.2) числами ар и Ьр, соответственно. Вычислим С(г,и) из (2.1). Пусть \г П и\ = к — т. Обозначим количество элементов множества М = {1,2,..., п} в пересечениях подмножества V £ Вк с подмножествами г\и,и\г,2Пи, г и и через р, д, г, я, соответственно (р + д + г + з = к). Тогда
<*,,)=е (™) (;) (*;т) {п~к~т)> (2.4)
где суммирование происходит по целым р, д, г ^ 0 таким, что р + д + г ^ к
(поскольку в = к - (р + д + г)). Мы видим, что С(г,и) зависит только от ш, или
от к — т = \г П и\. □
Разложим произведение AiAj по базису А0, А1}..., Ак:
к
А>А, = ^ <ЩАт.
т—О
Формулы (2.4) и (2.3) дают выражения для структурных констант с”-:
фактически суммирование идет по таким г, для которых биномиальные коэффициенты не равны нулю: г ^ к — г, г ^ к — г ^ к — т и т. д.
Пусть Т(Д) обозначает оператор умножения на Л* в алгебре А(Вк). Матрица этого оператора в базисе Ао, А\,... ,Ак есть (с£-), где т - номер строки, .7 - номер столбца. Ненулевые элементы в этой матрице располагаются на местах (т,для которых — j ^ i, т + j ^ г. В частности, для Т(А0)
- это единичная матрица, для Т{А\) - тридиагональная матрица, для Т(А/С) -треугольная матрица с нулями выше побочной диагонали. Явные выражения матриц Т(А{) для произвольного г достаточно громоздки. Наиболее прозрачные выражения имеются для г = 1 и г = к. Как раз Т(/Ц) нам потребуется дальше.
Для г = 1 сумма в (2.5) состоит из двух слагаемых: г = к — 1 и г ~ к, для г = к - из одного: г = 0. Именно, матрица Т(А\) имеет следующие матричные элементы:
{т2, j = m-l, т(п — 2т), j = т,
(к — т)(п — к — т), 3 = т + 1,
остальные равны нулю (эти формулы для Т(А\) имеются в [1]), а матрица Т(Ак) имеет следующие матричные элементы:
, т \ [п — к — т
сїї =
^ \k-jJK 3
так что = 0 для т + і < к. Следовательно,
(А)(”ТтК <->
т=к-і 4 4 -1 '
Теорема 2.2 В алгебре А(Вк) обратный элемент А^1 для Ак есть
Доказательство. Разложим А^1 по базису А0, Аі,..., А*:
к
4Г1 = Е ЛГ <2'8>
1=0
Нам надо найти х^. Умножим (2.8) на Ак, получим
к
Ак А] = А0 (= £).
і=о
Подставим сюда (2.6), получим для ж^ следующую линейную систему уравнений:
£ (кт:)(”~к~т)хі = ^, т = 0,1............к. (2.9;
j=k — nl ^
Первое уравнение (ш = 0) есть
(V)—
откуда
п — АЛ 1
*‘ = 1 к ) ■ (210)
В остальных уравнениях системы (2.9) (для них т. = 1,2,... ,к) сделаем замену j = к — в, получим систему
£(7) = о, ™_1,2(2.11)
Обозначим ЛГ = тт. — 2к и представим второй биномиальный коффициент в (2.11)
в следующем виде:
п-к-т\ = (_1)т(^ + 1У_Н (2.І2)
к — в / к\
Тогда система (2.11) после сокращения на множитель, стоящий в правой части (2.12) до точки, превращается в следующую систему:
т , ч
5Д ™)(-Ю1т~11](-к)Ыхк-3 = 0, т = 1,2,..., к. (2.13)
«=0 ' '
Сравнивая (2.13) с (1.4), видим, что в качестве решений системы (2.13) надо взять
ЛГИ
•^к-в ^ Щ\7\ ^ 1,2, ■ ■ ■ ,к. (2.14)
Вместе с (2.10) это дает формулу (2.7). □
2.2. Преобразование Радона - первый вариант
Множества X и У из § 1 - это Вк и соответственно, отношение -< - это
отношение включения. Следовательно, преобразование Радона Як действует из Ь(Вк) в Ь(Вп-к) по формуле
(Як/)(-ш) = У^/(2), г е Вк, и) е Вп_к- (2.15)
г Си)
так что матрица Я(ги, г) есть
^ Г 1, 2 С ®,
Я(ю, г) = < _ ,
4 ' 0, 2 £ ии.
Множества Вк и имеют одно и то же количество элементов, поэтому
пространства Ь(Вк) и Ь(Вп_к) изоморфны, так что матрица Я(ъи, г) квадратная.
Теорема 2.3 Оператор Як обратим, обратный оператор Якг дается форму-
лой
№/)(»)■ <216>
т=0
Доказательство. Отождествим множество Вп^к с множеством Вк: элементу ш £ Вп-к сопоставим элемент Тй € Вк. Тогда преобразование Радона Як превратится в преобразование А пространства Ь(Вк), которое задается формулой
(А0(«) = Е|Л|,о'М,
|^Пи|=0 '
Это преобразование Л есть не что иное, как оператор Ак из пункта 2.1. Обратное преобразование А^1 найдено в теореме 2.2, а именно,
к
(Л^Жг) = X хк., (Л*_.ВД, в=0
где Xfc_s даются формулами (2.14) и (2.10). По (2.3) получаем
к
(А^Щ(*) = $>- I; « (2.17)
«=о
Вернемся к Вп_к. Функция Р(и) на Вк становится функцией -Р(гу), где го = и, на Вп-к- Преобразование Л^1 превращается в обратное преобразование Радона Яь1. Если |гПй7| = в, то \zC\w\ = к - в. Поэтому формула (2.17) превращается в формулу
№*р)(г) = е **- Е|л|,»_. *»■ ш 6 в"-‘-в=0
Возьмем здесь ^ = Я*;/, тогда (ДдГ1^)(2:) = /(г), и мы получим (2.16). □
2.3. Преобразование Радона - второй вариант
Сейчас множества X и У из § 1 - это соответственно Вк и
Ск — Вк+\ и Вк+2 и... и В„_ 1 и Вп.
Отношение -< есть снова отношение включения. Следовательно, преобразование Радона Бк действует из Ь(Вк) в Ь(Ск) точно по такой же формуле, что и (2.15):
(3*/)(1и) = X /(г), г Е Вк, го Е Ск. (2.18)
гСш
Теорема 2.4 Оператор обратим, обратный оператор Бк 1 дается формулой
Я*) = Е №/)Н, №еВ,с ск. (2.19)
wDz
Доказательство. Подставим (2.18) в правую часть (2.19), получим ее в виде
^(г,«)/(и), геВк, (2.20)
и
где
0(г,и) = ^2ЫУ-к~\ (2-21)
■ш
суммирование в (2.20) идет по и € Вк, а в (2.21) по ш 6 б| С С* таким, что т I) (гиг/,). Надо доказать, что 1)(г, и) есть дельта-функция 5 (г, и). Обозначим \zC\u\ = к — т, гтг = 0,1,..., к. Пусть I = к +1, /с + 2,..., п. Количество элементов шб Б/, содержащих г и и, равно
/п — к — т \1 — к — т
Поэтому
Обозначим п — к — т — й, I — к — т = г, тогда
£(*,«)= X (_1)г+т-1 /А (2.22)
Г =1—771
Альтернированная сумма биномиальных коэффициентов равна нулю, поэтому сумма (2.22) при т = 1,2,..., к равна 0, а при т = 0 она равна 1. Следовательно, /)(,г, и) = 5(г, и). □
§ 3. Преобразование Радона на графах
В этом параграфе мы изучаем преобразование Радона Я на графах. Оно сопоставляет функции /, определенной на вершинах графа Є, функцию Я/, определенную на ребрах, значение которой на ребре х равно сумме значений функции / на концах этого ребра ("интеграл" функции / по ребру х). Мы описываем ядро и образ преобразования Я, и находим формулу обращения в случае, когда Я инъективно. Кроме того, мы рассматриваем комплексы в графе С. Комплекс есть подграф в С с теми же вершинами, количество ребер в нем равно количеству вершин. Мы даем характеристику допустимых комплексов, то есть таких, что ограничение преобразования Я на них инъективно. Мы опираемся на [11].
3.1. Предварительные сведения
В этом пункте мы напомним необходимый материал из теории графов (мы опираемся на [8]) и дадим некоторые конструкции.
Граф С состоит из конечного непустого множества V вершин и множества X двухточечных подмножеств множества V, называемых ребрами. Мы пишем
О = (V, X). Таким образом, ребро х е X есть неупорядоченная пара различных вершин и, у £ V. Мы говорим, что ребро х соединяет и и V, и в этом случае мы пишем х = иу. Следовательно, мы имеем дело с простыми графами: без петель и без кратных ребер.
Подграф графа й = (V, X) - это граф С = (У,Х'), такой что V' С V, X' С X.
Пусть С = (V7, X'), С = (У",Х") - два подграфа графа С. Объединение С и С есть подграф (V' и V" ,Х' и X”), пересечение С П С есть подграф (V' П V", X' П X”).
Маршрут А в графе (2 - это чередующаяся последовательность вершин и ребер:
и = ь0,х1,у1,х2, ■ ■ ■ ,ут-1,хт,ут = у, (3.1)
такая что = Уг~1Уг, г = 1, Мы говорим, что маршрут А соединяет
вершины и и у. Число т называется длиной маршрута, обозначается £(А). Вершины г>о и называются началом и концом маршрута А, соответственно.
Пусть у нас есть два маршрута: маршрут А, идущий из и в у, и маршрут В, идущий из у в го. Назовем суммой маршрутов А и В маршрут А + В, идущий из и в ш по вершинам и ребрам маршрутов А и В.
Для маршрута А, идущего из и в у, см. (3.1), мы называем обратным маршрутом и обозначаем через (—А) маршрут, пробегающий вершины и ребра (3.1) в обратном порядке от у до и, то есть маршрут
^ = ^7715 1 ^771—15 * • * ? ^1? *^1) ^0
Если начало и конец маршрута совпадают, то маршрут называется замкну-тым маршрутом. Если все вершины маршрута различны (за исключением, возможно, первой и последней), то этот маршрут называется цепью. Если начало и конец цепи совпадают, то эта цепь называется замкнутой цепью. Пусть С - замкнутая цепь (3.1). Мы определяем простой цикл (цикл для краткости) как подграф (не маршрут!) Z графа (7, состоящий из вершин у^ и ребер х* участвующих в (3.1). Длина цикла - это количество ребер в нем.
Граф называется связным, если всякие его вершины можно соединить маршрутом. Произвольный граф есть дизъюнктное объединение его связных компонент - максимальных связных подграфов в нем.
Расстояние (1(и, у) между вершинами и, у есть длина кратчайшей цепи, соединяющей и с у. Расстояние есть метрика.
Для вершин и и у рассмотрим какую-нибудь кратчайшую цепь, соединяющую и с у, и обозначим через [г/, г;] подграф, состоящий из вершин и ребер это!
цепи. Назовем этот подграф отрезком, соединяющим и су. Отрезок, соединяющий и с у, определен неоднозначно.
Пусть С? - граф (V, X), пусть V и X состоят изпиг элементов, соответственно. Число
Х(<?) = п-г
называется эйлеровой характеристикой графа С.
Пусть граф (7 имеет я связных компонент. Тогда х(&) ^ в, так что для связного графа С мы имеем х(С?) ^ 1-
Связный граф без циклов называется деревом. Связный граф С является деревом тогда и только тогда, когда х(С?) = 1.
Пусть и, V, и) - три различные вершины графа С. Назовем подграф Т = [и, г>] и [и, г*] и [и, го] треугольником с вершинами и, V, ик Треугольник определен неоднозначно. Но периметр этого треугольника,
р(Т) — р(и, V, ги) = (1{и, у) + (1{у, ги) + (1{и, го), (3.2)
определен корректно.
Пусть М - конечное множество. Скалярное произведение функций /,д из Ь(М) есть число
(/,5) = X Кх)я{х)-
х&М
Дельта-функция 6а(х), сосредоточенная в точке а 6 М. определяется следующим образом:
5 (х) = { х = а,
а[ ’ \ 0, хфа.
Дельта-функции 5а, а Е М, образуют базис в Ь(М).
Для маршрута А в графе (7 = (V, X), см. (3.1), введем следующую функцию из Ь{Х) ("знакопеременную дельта-функцию"):
771
£а(х) = Х(-1)г“15а;Да:).
г=1
3.2. Преобразование Радона на графах
Пусть (7 = (У,Х) - граф с п вершинами и г ребрами. Сейчас множества X и У из § 1 - это соответственно V и X, отношение -< есть снова отношение включения. Следовательно, преобразование Радона на графе С - это оператор Я : Ь(у) —» Ь{Х), который каждой функции / Е Ь(У) сопоставляет функцию Я/ Е Ь(Х), значение которой на ребре х — иу равно сумме значений функции / на его концах и и у ("интеграл" от функции / по ребру х):
(Я/)(х) =/(и) + f(v), х = иу.
(3.3)
Преобразование Радона на графе G коммутирует с ограничением на подграфы. Именно, пусть G' = (V',X') - подграф графа G, пусть В! - преобразование Радона на G'. Обозначим через /' и ц>' ограничения функций / G L(V) и <р G L(V) на У и X', соответственно. Тогда
В! f = (Rf)'.
Следовательно, мы можем обозначать для краткости преобразования Радона на G и на его подграфах одной и той же буквой R.
Для исследования преобразования Радона достаточно рассматривать связные графы.
Пусть маршрут А длины т = 1(A) связывает вершину и с вершиной v, см. (3.1). Скалярное произведение функции Rf и функции равно
т
(д/,еЛ)=х;(- 1у-хт(хг). (з.4)
г=1
Лемма 3.1 Мы имеем
(Rf,eA) = f(u)-(-l)e^f(v). (3.5)
В частности, пусть А - замкнутый маршрут. Если его длина четна, то
(Rf,eA) = 0, (3.6)
а если его длина нечетна, то
(Д/,ел) = 2/(п). (3.7)
Доказательство. В силу (3.3) значения функции / в вершинах между ииив сумме (3.4) взаимно уничтожаются. □
Лемма 3.2 Для связного графа G размерность ядра Ker R не больше единицы:
dim Ker R ^ 1. (3.8)
Доказательство. Пусть / € Ker R. Фиксируем вершину v € G. В соседних
вершинах функция / должна иметь значение (—f(v)), так что f(u) — —f(v)
для d(u,v) = 1. Для произвольной и G G мы получаем:
/(«) = (-1 )d^f(v). (3.9)
Следовательно, значения функции / в вершинах и G G полностью определяются ее значением в фиксированной вершине. □
Будем говорить, что связный граф G имеет класс с = 0 или с = 1, если dim Ker R = с. Если с = 0, то оператор R инъективен.
Теорема 3.3 Связный граф С имеет класс 0 (то есть Я инъективен) тогда и только тогда, когда в графе (7 существует треугольник с нечетным периметром. Связный граф С имеет класс 1 тогда и только тогда, когда в графе С всякий треугольник имеет четный периметр.
Доказательство. Пусть / е Кег Я. Фиксируем вершину V. Значения функции / в вершинах и даются формулой (3.9). Эти значения не должны зависеть от выбора начальной точки V. Возьмем какую-нибудь другую начальную точку ш. Тогда, согласно (3.9), мы имеем
/(и) = (-1)^)/Н
= (-1)^“'ш>(-1)^’ад)/(*;). (3.10)
Сравнивая (3.9) с (3.10), мы получаем, что / может быть не равной нулю в том и только том случае, если с1(и,у) = <1{и,уо) + д(у,ю). Следовательно, с1(и,у) + <1(и, ш) + с!(у, ги) = 0, что и означает, что периметр треугольника с вершинами
и, у, и) - четный. □
В частности, в дереве всякий треугольник имеет четный периметр, так что дерево имеет класс 1, а оператор Я на нем не инъективен.
Теорема 3.4 Связный граф С имеет класс 0 (то есть Я инъективен) тогда и только тогда, когда в графе С существует цикл с нечетной длиной. Связный граф С имеет класс 1 тогда и только тогда, когда в графе С всякий цикл имеет четную длину.
Доказательство. Пусть в связном графе С есть цикл Z нечетной длины с последовательными вершинами VI, г>2, -.., У2к+1- Рассмотрим 2к — 1 треугольников Тг,Т2, . . . ,Т2к-1- треугольник Тг имеет вершины VI, Уг+1, Уг+2- ЕГО Периметр Р1 есть
Рг = (1(У1,Уг+1) + 1 + сг(1>1,^+2). (3.11)
Просуммируем (3.11) по г = 1,..., 2к — 1. Мы получим
Р1 + ... +Р2к-1 = (1(У1,У2) + 2[(1(у1,уз) + ... +(1(уиу2к)] +
+ (1{у\, У2к+\) + 2к — 1 = 2к + 1 + 2 [с?(^1, ^з) + ... + с1{у\, у2к)\ ■
Отсюда получаем
Р\ + . . . +Р2к-1 = 1-
Следовательно, хотя бы один из треугольников Тг имеет нечетный периметр. По теореме 3.3 получаем с = 0.
Обратно, пусть связный граф (7 содержит треугольник Т с вершинами и, у, 'IV, имеющий нечетный периметр р, то есть
р=1.
(3.12)
Построим цикл Z с нечетной длиной.
Из условия (3.12) следует, что пересечение трех отрезков [и, г>], [я, ю]
пусто. В самом деле, если бы это пересечение содержало вершину а, то
с1(и, у) = с1(и, а) + с1(а, у), с1(у, ю) = с/(г>, а) + с1(а, ги), с1(и, ги) = с1(и, о) + с1(а, IV),
так что, суммируя, получаем (см. (3.2)) р = 2 а) + с1(у, а) + с?(ги, а)] в противоречие с (3.12).
Пусть и' - вершина в пересечении [и, у] П [и, ги], самая удаленная от и (она может совпадать с и). Аналогично мы определяем вершины у' € [и, у] П [г», го] и у/ £ [и, го] П [г>,го]. Все вершины и', у', го' различны, поскольку пересечение [и, г;]П [г», го] П [и, го] пусто. Пусть отрезки [г/, г/], [г/,го'], [и1, и)'] являются частями отрезков [и, и], [г;, го], [и, го], соответственно. Объединение Z этих отрезков (это треугольник) есть цикл (поскольку [и', у'] и [у', ю’\ пересекаются только в одной вершине у' и т. д.). Длины этих отрезков таковы:
<1{и ,у') = с1(и, у) — с1(и, и') — с1(у, У1), а!(г/,го') = с1(у, ги) — с1(у, у1) — с£(ги, ги'),
<1(и,ги') = с1(и, го) — с1(и, и') — о!(го, и)').
Суммируя, получаем, что периметр треугольника Z (длина цикла Z) есть
р' = р — 2 [с1(и, и') + с1(у, у') + с?(го, го')].
Стало быть, р' = р, так что р' = 1. □
Напишем формулу обращения для преобразования Радона при с = 0. По теореме 3.4 в этом случае связный граф б содержит цикл Z нечетной длины. Возьмем в О произвольную вершину и. Рассмотрим следующий замкнутый маршрут А, начинающийся и кончающийся в и. Пусть Р - маршрут, идущий из и в какую-нибудь вершину у £ Z (такой маршрут мы можем не брать, если и £ Z). Пусть С - замкнутая цепь, идущая вдоль цикла Z от вершины у к ней самой. Ее длина £(С) равна длине £[^), поэтому нечетна. Положим А = Р + С — Р. Длина этого маршрута равна
£{А) = £{Р) + £{С) + £(Р) = £{С) + 2 £(Р), так что нечетна. По формуле (3.7) получаем
/(“) =
Замечание. Формула (3.5) - это своего рода "формула Ньютона-Лейбница следовательно, преобразование Радона Я есть "дифференцирование" (несмотря на
то, что оно определяется как "интеграл"). Пусть tp G Im_R, пусть / - ее "первообразная то есть такая функция, что Я,/ = (р. Фиксируем вершину v G G. Тогда значение функции / в произвольной вершине и дается формулой (см. (3.5)):
f(u) = (Rf,eA) + {-l)‘Wf(v),
где А - какой-нибудь маршрут, идущий из v в и. Для с — 1 значение f(v) может быть взято произвольным, так что / определяется с точностью до функции из Кег Я ("постоянной"), а для с = 0 значение f(v) определено однозначно.
3.3. Образ преобразования Радона
Образ Im Я оператора Я есть ортогональное дополнение в Ь(Х) ядра Кег Я* сопряженного оператора Я*. Оператор Я* действует по формуле:
(#V)(u) = 5^у?(ж).
и£х
Размерность его ядра равна
dim Кег Я* = — x(G) + с. (3.13)
В самом деле, dim Im Я = п —с, поэтому dim Кег Я* = г — (п — с) = —(п — г) + с. Предъявим некоторые функции из Кег Я*.
Всякий цикл Z четной длины дает функцию уо in Кег Я*, а именно, пусть С - замкнутая цепь, идущая вдоль Z, тогда <р = еС- В самом деле, по (3.6) £с ортогональна Im Я.
Всякая пара различных циклов Z и W нечетной длины порождает функцию ■ф из Кег Я* следующим образом. Пусть С - замкнутая цепь, идущая вдоль Z от вершины u G Z к ней самой, a D - замкнутая цепь, идущая вдоль IV от вершины v G W к ней самой. Длины £(С) и £(D) нечетны. Пусть Р - маршрут, идущий от вершины и к вершине v. Рассмотрим замкнутый маршрут A = C + P + D — Р, идущий от и к и. Его длина £(А) равна £(С) + 1(D) + 2£(Р), это четное число. Мы полагаем ф = еА-
Теперь укажем базис в Кег Я*.
Сначала построим некоторую совокупность циклов в графе G.
Пусть Z\ - какой-нибудь цикл в G. Удалим из G одно ребро цикла Z\. Мы получим связный граф G\ с п вершинами и г — 1 ребрами, так что его эйлерова характеристика равна x(G) + 1. Возьмем в Gi цикл Z2 и удалим из Gi одно ребро цикла Z2. Мы получим связный граф G2 с эйлеровой характеристикой x(G) + 2 и т. д. После к шагов мы получим связный граф Gk с эйлеровой характеристикой x(G) + к, который не содержит циклов, то есть Gk ~ дерево. Эйлерова характеристика дерева равна 1, см. пункт 3.1, поэтому х(С) + к — 1, откуда
k = -X(G) +1. (3.14)
Назовем эти циклы Zi,...,Zk базисными циклами. Эта совокупность циклов состоит из р циклов четной длины и q циклов нечетной длины, р + q — к, р, q^O.
Пусть q = 0. Тогда все базисные циклы имеют четную длину, каждый из них дает функцию из Кег Я*, см. выше. Мы получаем функции </?i,..., ^ из Кег Я*. Они линейно независимы, поэтому
к ^ dim Кег R*. (3.15)
С другой стороны, сравнивая (3.13) и (3.14), мы видим:
к — dim Кег Я* = 1 — с,
а по (3.15) и (3.8) мы получаем
0 ^ к — dim Кег R* = 1 — с ^ 0,
откуда с = 1 и к = dim Кег Я*. Следовательно, функции <pi,...,(pk образуют базис в Кег R*.
Пусть <7^1. Тогда с = 0. Пусть Z\,...,Zq - циклы нечетной длины. Рассмотрим q — 1 пар циклов: (Z\, Z2),..., (Z\, Zq). Эти пары дают q — 1 функций фх,..., i’q-i из Кег Я*, как указано выше. Оставшиеся р циклов четной длины дают р функций ipi,...,<pp из Кег Я*, см. выше. Всего мы получаем q — 1 + р = к — 1, то есть ~x(G), функций из Кег Я*. Они линейно независимы. В силу (3.13) они образуют базис в Кег Я*.
Построенные базисы в Кег Я* дают соотношения для функций из Im Я. Эти соотношения имеют вид
(Я/, еа) = 0,
где А - замкнутый маршрут, построенный, как было сказано выше, либо для цикла четной длины, либо для пары циклов нечетной длины.
3.4. Допустимые комплексы
По аналогии с [3] определим комплекс в графе G как подграф К графа G, который имеет п вершин и п ребер. Следовательно, К = (V,Y), где У С X, и Х(К) = 0.
Снова по аналогии с [3] назовем комплекс К допустимым, если преобразование Радона Я : L{V) —> L(Y) на К инъективно, так что оно есть изоморфизм.
Заметим, что всякая связная компонента допустимого комплекса не может быть деревом.
Теорема 3.5 Комплекс К допустим тогда и только тогда, когда всякая связная компонента его обладает единственным циклом и этот цикл имеет нечетную длину.
Доказательство. Пусть всякая связная компонента Я* комплекса К обладает циклом нечетной длины. Тогда по теореме 3.4 преобразование Радона Я на Кг инъективно, так что преобразование Радона Я на, К тоже инъективно и К допустим.
Теперь пусть комплекс К в графе С допустим. Пусть К\,..., К3 - его связные компоненты. Обозначим через Щ количество вершин в Кг- Для каждой Кг преобразование Радона Я на Я* инъективно, поэтому Я» - не дерево, так что Х(Яг) ^ 0. Поскольку х(К) — 0» мы имеем
х(к1) + ... + хШ = о.
Отсюда х(^г) = 0 для всех г = 1,..., в. Следовательно, количество ребер в К\ равно тоже пг. Пусть - какой-нибудь цикл в КУдалим из Кг одно ребро цикла Zi. Мы получим связный граф К[ с щ вершинами и щ — 1 ребрами, откуда х(Я') = 1, так что К[ - дерево. Следовательно, Z^ - единственный цикл в К\. По теореме 3.4 этот цикл имеет нечетную длину. □
§ 4. Преобразование Радона на плоскости над конечным кольцом
Пусть К - конечное кольцо. Прямой на плоскости К2 = К х К над кольцом К назовем множество I всех точек г = (х, у) £ К2, удовлетворяющих уравнению:
ах + Ьу = с,
где а,Ь,с £ К, причём а и 6 не являются делителями нуля одновременно. Прямая I определяется тройкой элементов (а, Ь, с) £ К3 с точностью до общего множителя, не являющегося делителем нуля. Пусть Н - множество всех прямых.
Сейчас множества X и У из § 1 - это соответственно К2 и Я, отношение -< есть снова отношение включения. Следовательно, преобразование Радона на плоскости К2 - это линейный оператор Ь(К2) —> Ь(Н), который всякой функции / £ Ь(Я2) сопоставляет ее "интегралы" по прямым, то есть
(я/ко = £/м-
Мы рассматриваем два случая. Первый: К - конечное поле, второй, более сложный, К - кольцо Ъп классов вычетов по модулю п. Получены формулы обращения для конечного поля и кольца Ъп, п = рк, к £ М, а описание образа оператора Я получено для конечного поля и для кольца Ъп, п — р2, сы. [2]. В настоящей работе мы обсуждаем различные варианты формулы обращения.
Сопряженный оператор Я* : Ь(Н) —> ЦЯ2) дается формулой
(Я*Р)(г) = £>(«). (4.1)
гее.
Матричный элемент Т(г,т) оператора Т = Я* Я равен количеству прямых, проходящих через точки г, го Є К2 (для яи = г это количество прямых, проходящих черех точку г).
Пусть К - поле с д элементами. В этом случае
Т(г,ю)
<7 + 1, го = г, 1, IV ф 2.
Следовательно, матрица Т может быть записана в виде Т = дЕ + I, где Е -единичная матрица, / обозначает матрицу, у которой все элементы равны 1. Используя формулу (4.7), см. ниже, где а = д, (3 = 1, г = д2, находим обратную матрицу:
Г“ = ?5ТТ)^ + 1)В-/}- <42)
Вместе с (1.3) это дает формулу обращения для поля с д элементами:
/(*) = -(Д-(ВД)И - т, * Е <гст>)(,„) (4.3)
Ч “<« + Ч ЛЙ
С другой стороны, мы можем найти левый обратный оператор Я~1 по (1.2). Используя (4.2) и (4.1), получаем матрицу этого оператора Я(г,£)\
Я{г,£) =
1 , г Є Є,
5 + 1
, г ££.
Это дает другой вариант формулы обращения для поля с д элементами:
№) = ^(ВДМ-^Е(ДЯМ' «■<>
Пусть теперь К - кольцо классов вычетов по модулю р2, р - простое. Пусть Б - множество делителей нуля: 0,р, 2р,..., (р — 1 )р. Обозначим I)2 = 1) х I). Тогда
Т(г,ю) =
р2 + р, и; — г,
р, ъи £ г + И2, го ф г,
1, уи г + О2.
Поэтому матрицу Т можно записать как матрицу (4.8), где т = г — р2, матрица С имеет вид (4.6) с а = р2 + р - 1, (3 = р — 1, так что в формуле (4.9) а = р3. Используя (4.10), получаем формулу обращения для кольца классов вычетов
по модулю р2\
/и = 1(д-(л/))(2) - ^±1 £ (Я*(Я/))М
^ ^ ■шЄг+О2
р‘(р+1Кхк’
Е <Я*(Л/))Сги). (4.5)
Доказательства формул обращения (4.3), (4.4), (4.5) основываются на вычислении нижеследующих обратных матриц.
Пусть С - следующая матрица порядка г:
С = аЕ +/31.
Тогда, поскольку I2 = г/, имеем
С~х =
—Е — -—----------------
а. а(а + г/3)
I.
Пусть А - блочная т х т матрица с блоками порядка г:
( C + I I I C + I
I
I
\
\
I I ... С+Т ) где С - обратимая матрица, удовлетворяющая условию
Cl = 1C = а/,
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
а - некоторое число. Тогда обратная матрица С 1 удовлетворяет условию 1С 1 = С~11 = а-1/, а обратная матрица Л-1 есть
А~г =
( С-1 + ill ill ... ц1 ц1 С-1 +///... ill
\
\ ill
lil
1
а(а + mr)
(4.10)
... C-'+iiI )
§ 5. Функция Мёбиуса на корневых деревьях
Мы используем понятия из [9]. Пусть Р - конечное частично упорядоченное множество с отношением порядка Множество Р можно изобразить в виде ориентированного графа, его вершины- это точки х G Р.
Дзета-функция £ {х,у) двух переменных, заданная на Р, определяется следующим образом: С(х,у) = 1 при х ^ у, ((х,у) = 0 в остальных случаях. Функцией Мёбиуса ц(х, у) называется функция, обратная к дзета-функции, то есть
^2fi(x,zX(z,y) = 6(х,у),
z€P
где 5(х, у) - дельта-функция на Р: она равна 1 при х = у и равна 0 при х ф у.
Предположим, что Р - корневое дерево. Тогда в Р существует единственный максимальный элемент xq, и для каждого х ф хо существует единственный
элемент х' ^ х, х1 ф х, ближайший к х. Мы утверждаем, что в нашем случае функция Мёбиуса есть
{1, х = у,
-1, х = у\
0, otherwise.
В самом деле, пусть f(x,y) - произведение этой функции ц(х,у) и дзета-функции:
f(x,y)= /j,(x,z)((z,y).
x^z^y
Если х = у, то х = z = у и потому f(x,x) = 1. Если х ф у, то х = у', так что либо z = у, либо z = у', поэтому
f(x,y) = v(y\y')({y',y) + v(y',y)((y,y)
= 1-1 + (-1)-1 = 0.
Итак, f(x,x) = 1 и f(x,y) = 0 при х ф у, то есть f(x,y) = 5(х,у), что и требовалось.
Литература
1. Э. Баннаи, Т. Ито. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений. М.: Мир, 1987.
2. Е. В. Водолажская. Преобразование Радона на плоскости над конечным кольцом. Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки. 2008. Том 13. вып. 6. 473 485.
3. И. М. Гельфанд, М. И. Граев. Комплексы прямых в пространстве С". Функц. анализ и его прил.. 1968. Том 2. вып. 3. 39-52.
4. С. В. Кольцова, С. В. Поленкова. Элементы конечной интегральной геометрии. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. 2004. № 1. 54-62.
5. В. Ф. Молчанов, А. А. Артемов, JL И. Грошева. Канонические и граничные представления (см. настоящий том).
6. Г. Полна, Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа. Часть I, М.: Гостехиздат. 1956.
7. В. В. Соломонов. Две задачи интегральной геометрии, связанные с векторным пространством над конечным полем. Учен. зап. Моск. обл. пед. ин-та. 1969. Том 262. 230-235.
8. Ф. Харари. Теория графов. М.: Москва. 1976.
9. М. Холл. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.
10. Е. D. Bolker. Finite Radon tranform. Contemp. Math.. 1987. Vol. 63. 27-49.
11. V. F. Molchanov, S. V. Koltsova. Radon transform on graphs and admissible complexes. Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки. 2006. Том
11. Вып. 1. 41-48.
Поступила в редакцию 25 апреля 2009 г.
V. F. Molchanov, S. V. Koltsova, Е. V. Vodolazhskaya, М. S. Ilina Keywords: Radon transform; Boolean; finite fields; coset rings.
We consider Radon transforms on finite sets, namely, on the Boolean, the plane over finite rings, finite graphs, and determine inversion formulas.
