Обобщенно-периодические движения слабых периодических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

(договор № 02.G25.31.0016) в рамках реализации Постановления Правительства РФ № 218 «О мерах государственной поддержки развития кооперации российских высших учебных заведений и организаций, реализующих комплексные проекты по созданию высокотехнологичного производства».

Asadullin M.R., Simonov P.M. MATHEMATICAL MODELING OF LIFE CYCLE COST OF AIRCRAFT GAS TURBINE ENGINE

The definition of the information life cycle model of aircraft engine is considered. The mathe-matical cost model of development works is built. The practical significance of the research and development perspectives is shown.

Key words: life cycle of aircraft engine; the mathematical cost model of development work.

УДК 517.925.52

ОБОБЩЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СЛАБЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, Ю.Е. Репина

Ключевые слова: слабый периодический оператор сдвига; обобщенно-периодические движения.

Вводится определение обобщенно-периодического движения одного широкого класса динамических систем. Этому классу принадлежат системы, порожденные обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями с запаздывающим аргументом, уравнениями типа Вольтерра и некоторые другие. Приводится критерий существования обобщенно-периодических движений.

Пусть £ - некоторое метрическое пространство с метрикой й, М+ - действительная полуось [0, +гс>) и / (т,Ь,р) - отображение множества М х М+ х £ в пространство £. Положим

/ (т,Ь,р) = С(т,Ь)р

и будем считать, что:

a) отображение /(т,Ь,р) непрерывно по совокупности переменных т,Ь,р на множестве М х М+ х £;

b) для всех (т,р) € М х £

С(т, 0)р = р;

c) существует такое положительное число Т, что при (т, Ь) € М х М+

С(т + Т, Ь)С(т, Т) = С(т,Ь + Т). (1)

Тогда будем говорить, что /(т,Ь,р) — движение, если пара (т,р) € М х £ фиксирована.

Следуя [1], будем называть оператор, удовлетворяющий условию (1), слабым оператором сдвига. В дальнейшем будет рассматриваться только слабый Т -периодический оператор сдвига, т. е. оператор С(т,Ь), для всех (т,Ь) € М х М+ удовлетворяющий условию

С(т + Т,Ь) = С(т,Ь).

2440

Систему, характеризуемую слабым T -периодическим оператором сдвига, назовем слабой T -периодической системой.

К таким системам можно отнести системы, описываемые функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего типа, системы, порожденные уравнениями типа Вольтерра, объекты, описываемые нормальными системами обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Введем следующее

Определение. Рассмотрим движение f (T,t,p). Предположим, что для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число N, что при t € R+ выполнено неравенство

d(f (T,t,p),f (T,t + NT,p)) < e.

Тогда будем говорить, что f (T,t,p) - обобщенно-периодическое движение.

Простейшим примером обобщенно-периодического движения может служить T -периодическое движение.

Существование обобщенно-периодических движений дает следующая теорема Теорема. Предположим, что траектория K(t, q) = {f (t, t,q): t € R+} движения f (T,t, q) относительно компактна. Тогда из каждой последовательности

N1, N2,..., Nk,..., lim Nk = ж,

k^<X>

натуральных чисел можно выбрать такую ее подпоследовательность

Nk1 ,Nk2,...,Nkllim Nkl = ж,

что

lim f (t, t + (Nk - 1)T, q) = f (t, t, p)

'равномерно на каждом отрезке [а, в] С R+ и

lim f (t, t + (Nk+i - Nk)T, p) = f (t, t, p)

'равномерно на всей полуоси R+, где f (T,t,p) — обобщенно-периодическое движение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Слабый периодический оператор сдвига и обобщенно-периодические движения // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. №1. С. 123-127.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 12-01-00961, 13-07-00077).

Afanasyev A.P., Dzyuba S.M., Repina Y.E. GENERALIZED-PERIODIC MOTIONS OF WEAK PERIODIC SYSTEMS

The definition of generalized-periodic motion in new broad class of dynamical systems is in-troduced. Such class owns the systems generated by ordinary differential equations, equations with time delay argument, a Volterra type integral equations and some other. Criterion of existence of generalized-periodic motions is resulted and their main properties is established.

Key words: weak periodic shift operator; generalized-periodic motions.

2441