ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.9
© А. И. Полянский ОБОБЩЕННО ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КВАЗИРЕШЕНИЯ ВОЗМУЩЕННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ1 Введение
Здесь рассматривается возмущенное включение (см. [1]) с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Для таких включений, как показывают примеры, не выполнено свойство эквивалентности понятий квазирешения и решения овыпукленного возмущенного включения (см. [1]). Отметим, что определение квазирешения (квазитраектории) для обыкновенных дифференциальных включений дано Т. Важевским (см. [2]) и им установлена связь между квазирешениями и решениями «овыпукленного» дифференциального включения. Ниже введено понятия решения обобщенно овыпукленного возмущенного включения и обобщенно экстремального квазирешения и сформулированы условия эквивалентности этих определений.
§ 1. Основные определения и обозначения
Пусть X — нормированное пространство с нормой || ■ Ух• Обозначим comp(X) — множество всех непустых компактов пространства X. Пусть U С X. Тогда U — замыкание множества U в пространстве X, со U — выпуклая оболочка множества U; coU = со U, ext U — множество крайних точек множества U; ext С/ = ext U.
Пусть Rn — n-мерное пространство вектор-столбцов с нормой | ■ |. Через Cn[a, b] обозначим пространство непрерывных функций x : [a, b] ^ Rn с нормой ||x||c«[ab] = max |x(t)|.
’ t€[a,b]
Пусть U С [a, b] — измеримое множество, ^(U) > 0 (^- мера Лебега). Через Ln(U) обозначим пространство суммируемых функций x : U ^ Rn с нормой ||x|| ¿n(u) = |x(s)|ds. Далее
Ju
пусть S(Ln[a, b]) — множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a, b] и Cl(Ln[a, b]) —множество непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ln[a, b]. Измеримость многозначных отображений будем понимать в смысле [3].
Если F : [a, b] ^ comp(Rn) — измеримое многозначное отображение, то множество измеримых сечений F обозначим n(F) = {y € Ln[a, b] : y(t) € F(t) при почти всех t € [a, b]}.
Для произвольного Ф С Ln [a, b] обозначим через sw$ совокупность всевозможных линейных комбинаций
y = x(Ui)xi + x(U2 )x2 + ••• + X(Um)xm элементов xi € Ф, где Ui — непересекающиеся измеримые множества отрезка [a, b] такие,
m
что (J Ui = [a, b] . Пусть далее, sw<J> — замыкание множества sw<J> в пространстве Ln[a,b\.
i= 1
§ 2. Основной результат
Рассмотрим в пространстве Cn[a, b] включение
x € Ф^) + VФ(x), (1)
где Ф : Cn[a, b] ^ comp(Cn[a, b]), Ф : Cn[a, b] ^ Cl(Ln[a, b]) и линейный непрерывный интегральный оператор V : Ln [a, b] ^ Cn [a, b] определен равенством
(Vz)(t) = i V(t,s)z(s)ds, t € [a, b]. (2)
a
хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 04-01-00324)
Определим овыпукленное по переключению отображение ф : Cn[a,b] ^ S(Ln[a, b]) равенством Ф(ж) = этуФ(ж).
Пусть отображение F : [a, b] х Cn[a, b] ^ comp(Rn) таково, что для любого x € Cn[a,b] отображение F(-,x) измеримо и ф(x) = П(F(-,x)). Далее, пусть отображение ext ф определено равенством
(ext<ï>)(æ) = {у € Ln[a,b} : y(t) € ext^co(F(t,x))^ при почти всех t € [a, b]}. Рассмотрим в пространстве Cn[a, b] включения
x € Ф(ж) + УсоФ(ж), (3)
x € Ф(x) + V(ext ф)(x). (4)
Включение (3) назовем обобщенно овыпукленным возмущенным включением (1), а включение (4) — обобщенно экстремальным возмущенным включением (1).
Определение 1. Под обобщенно овыпукленным решением включения (1) будем понимать функцию х € Сп[а,Ь] такую, что существуют элементы v € Ф(ж) и z € со Ф(ж) , для которых справедливо равенство x = v + Vz .
Определение 2. Функция x € Cn [a, b] называется обобщенно экстремальным квазирешением включения (1), если существует такой элемент v € Ф и такая последовательность Zi € (ext ф)(x), i = 1, 2,... , что последовательность x¿ = v + Vz¿ ^ x в пространстве Cn[a, b] при i ^ то.
Обозначим Hext — множество обобщенно экстремальных квазирешений включения (1); Hco — множество обобщенно овыпукленных решений включения (1). Используя результат работы [4], получаем следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть линейный непрерывный интегральный оператор V, определенный равенством (2), переводит каждое слабо компактное в Ln[a, b] множество в предком-пактное множество пространства Cn[a, b]. Тогда справедливо равенство
Hco Hext.
Список литературы
1. Булгаков А. И., Беляева О. П., Григоренко А. А. К теории возмущенных включений и о ее приложениях // Матем. сб. 2005. Т. 196. № 10. C. 21-78.
2. Wazewski T. Sur une generalisation de la notion des solutions d’une equation au contingent // Bull. Acad. Pol. Sci. ser. Sei. Math. Astron. Phys. 1962. V. 10. № 1. P. 11-15.
3. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М: Наука. 1974. 480 с.
4. Булгаков А. И., Полянский А. И. Некоторые свойства решений обобщенно овыпукленного возмущенного включения // Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006. № 2(36). C. 18-21.
Полянский Алексей Игоревич Тамбовский гос. техн. ун-т, Россия, Тамбов e-mail: [email protected]