CC BY
21
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 3.
УДК 512.554.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-231-240
Обобщение задачи А. И. Мальцева о коммутативных подалгебрах на алгебры Шевалле1
Левчук Владимир Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный 79, Сибирский федеральный университет e-mail: [email protected]
Сулейманова Галина Сафиуллановна — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры ПИМиЕД Хакасского технического института — филиала Сибирского федерального университета, 665017, г. Абакан, ул. Щетинкина 27, Хакасский технический институт — филиал Сибирского федерального университета e-mail: [email protected]
Аннотация
В 1945 году А.И. Мальцев исследовал задачу описания абелевых подгрупп наивысшей размерности в комплексных простых группах Ли. Задача инспирирована доказанной ранее И. Шуром теоремой: Наивысшая размерность абелевых подгрупп группы SL(n, C) равна [п2/4] и абелевы подгруппы этой размерности при п > 3 переводятся автоморфизмами друг в друга. Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексным алгебрам Ли. В теории Картана - Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы с использованием классификации систем корней евклидовых пространств V. С любой неразложимой системой корней Ф и толем К ассоциируют алгебру Шевалле СФ(К); ее базу дают база определенной абелевой самонормализуемой подалгебры H и элементы ег (г G Ф) с ff-инвариантным подпространством Кег. Элементы er (г G Ф+) образуют базу нильтреугольной подалгебры МФ(К). Методы А. И. Мальцева позднее получили развитие в решении проблемы о больших абелевых подгруппах конечных групп Шевалле. В настоящей статье мы используем разработанные методы для перенесения теоремы А.И. Мальцева на алгебры Шевалле. Мы исследуем следующие задачи:
(A) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в алгебре Шевалле СФ(К) над произвольным полем К.
(B) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в подалгебре NФ(К) алгебры Шееалле СФ(К) над произвольным полем К.
В статье приводится описание коммутативных подалгебр наивысшей размерности алгебры МФ(К) классического типа над произвольным полем К с точностью до автоморфизмов алгебры СФ(К) и подалгебры ЯФ(К).
Ключевые слова: алгебра Шевалле, коммутативная подалгебра, нильтреугсшьная подалгебра.
Библиография: 18 названий.
Для цитирования:
В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова. Обобщение задачи А. И. Мальцева о коммутативных подалгебрах на алгебры Шевалле // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 231-240.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект 16-
01-00707).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.
UDC 512.554.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-231-240
Generalization of A. I. Mal'tsev problem on commutativa subalgebras for Chevalley algebras2
Levchuk Vladimir Mikhailovich — Dr. Phvs.-Math. Sci., professor, head of the department of algebra and logic of Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia. e-mail: [email protected]
Suleimanova Galina Safiullanovna — Dr. Phvs.-Math. Sci., associate professor, professor of Khakas Tecnical Institute — branch of Siberian Federal University, Abakan, 655017 Russia e-mail: [email protected]
Abstract
In 1945 A. I. Mal'tsev investigated the problem on description of abelian subgroups of largest dimension in complex simple Lie groups. This problem's arisen from the theorem of I. Schur: The largest dimension of abelian subgroups of the group SL(n, C) equals to [n2/4] and, abelian subgroups of such dimension for n > 3 are transformed by automorphisms into each other. A. I. Mal'tsev solved his problem by the reduction to complex Lie algebras. In Cartan - Killing theory semisimple complex Lie algebras are classified making use of the classification of root systems in Euclidean space V. A Chevalley algebra СФ(К) is associated with the indecomposable root system Ф and with the field K; the base of the Chevalley algebra consists of the base of certain abelian self-normalized subalgebra H and of the elements er (г e Ф) with ^-invariant subspace Ker. The dements er (r e Ф+) form a base of niltriangular subalgebra МФ(К). Methods of A. I. Mal'tsev were developed for the solving of the problem on large abelian subgroups in finite Chevalley groups. In this article we use the worked out methods for the reduction of A. I. Mal'cev theorem for the Chevalley algebras. We investigate the problems:
(A) to describe commutative subalgebras of largest dimension in a Chevalley algebra СФ(К) over arbitrary field К.
(B) to describe commutative subalgebras of largest dimension in subalgebra NФ(К) of the Chevalley algebra СФ(К) Over arbitrary field K.
In this article we give the description of all commutative subalgebras of largest dimension in subalgebra МФ(К) of classical type over arbitrary field К up to automorphisms of algebra СФ(К) and of subalgebra N<b(K).
Keywords: Chevalley algebra, commutative subalgebra, niltriangular subalgebra.
Bibliography: 18 titles.
For citation:
V. M. Levchuk, G. S. Suleimanova, 2018, "Generalization of A. I. Mal'tsev problem on commutativa subalgebras for Chevalley algebras", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 231-240.
1. Введение
В 1945 году А.И. Мальцев fl] исследовал задачу описания абелевых подгрупп наивысшей размерности в комплексных простых группах Ли. Задача инспирирована доказанной ранее И. Шуром [2] теоремой:
2This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00707)
Наивысшая размерность абелевых подгрупп группы SL(n, C) равна [п2/4] и абелевы подгруппы этой размерности при п > 3 переводятся автоморфизмами друг в друга.
Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексным алгебрам Ли.
В теории Картана - Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы с использованием классификации систем корней евклидовых пространств V. С любой неразложимой системой корней Ф и толем К ассоциируют алгебру Шевалле Сф(К); ее базу дают база определенной абелевой самонормализуемой подалгебры H и элементы er (г G Ф) с Н-инвариантным подпространством Кег, [3].
Методы [1] позднее получили развитие в решении проблемы о больших абелевых подгруппах конечных групп Шевалле, [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12].
В настоящей статье мы используем разработанные методы для перенесения основной в [1] теоремы на алгебры Шевалле.
С любой неразложимой системой корней Ф и полем К ассоциируют алгебру Шевалле Ьф(К); ее базу составляют база определенной абелевой подалгебры H и элементы er (г G Ф) такие, что Her С Кег, [3]. Элементы er (г G Ф+) образуют базу нильтреугольной подалгебры NФ(К). Мы исследуем следующие задачи, записанные в [13].
(A) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в алгебре Шевалле Ьф(К) над произвольным полем К.
(B) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в подалгебре NФ(К) алгебры Шевалле Ьф(К) над произвольным полем К.
2. Теорема А.И. Мальцева
В теории Картана - Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы, наряду с системами корней евклидовых пространств V. Простые комплексные (конечномерные) алгебры Ли С = Сф взаимнооднозначно соответствуют 9 сериям приведенных неразложимых систем корней Ф, [14, Таблицы I- IX]. Основной в [1] является
Теорема А.И. Мальцева. Каждая, простая алгебра Ли Сф, исключая тип А2, В4, С2, с точностью до автоморфизмов имеет только одну коммутативную подалгебру наивысшей размерности с нильпотентными элементами. Эта размерность равна [п2/4] для алгебр Ап-1 (п > 3) 1 + п(п - 1)/2 -для Вп (п > 4), п(п + 1)/2 - для Сп (п > 2) п(п - 1)/2 -для Вп (п > 4), 16, 27, 36, 9, 5 - соответственно для, Е6, Е7, Е8, Е4, В3. Алгебра В4 имеет два, класса, размерности 1, - два класса размерноети 6 и С2 три класса, размерности 3.
Для перенесения теоремы А. И. Мальцева на алгебры Шевалле используем схему ее доказательства и соответствующие методы алгебр Шевалле.
Алгебру Шевалле Сф(^) ассоциируют с любым полем К и системой корней Ф, характеризуя базой Шевалле {ег (г С Ф), к3 (в С П)} с целочисленными структурными константами, где П - система простых корней (или база) в Ф. Более точно, по теореме Шевалле о базисе
2(г з)
ег * е_г = Ъг, * Ъг = 0, * ег = ' ег (г, в С Ф);
(г, г)
ег * е3 = 0 (г + 8 С Ф и {0}), ег * е3 = Мгзег+8 = —е3 * ег (г + 8 С Ф),
где Кгз = ±1 или |г| = |з| < |г + и Кгз = ±2 или Ф таи а и Кгз = ±2 или ±3. Произвол в выборе знаков констант Кгз описан в [3, 4.2.2].
Известно, что р(Ф) := тах{(г,г)/(в, в) | г, в € Ф} = 1, 2 или (тип Сг) 3. Вы,сот,ой корня г называют сумму М(г) коэффициентов в разложении г по базису П. Фиксируем в Ф систему положительных корней Ф+ 5 П.
Элементы ег (г € Ф+) образуют базу нильтреугольной подалгебры NФ(К). Ее стандартный центральный ряд Ь^ = {Кег | г € Ф+, М (г) ^ г) (г = 1,2,...) при р(Ф)\К = К есть также и нижний и верхний центральный ряд. Для любого корня г отображение Ь ^ хг(¿) := ехр (Ьай.ег) (Ъ € К) дает изоморфизм аддитивной группы поля К в группу автоморфизмов АЫ Сф(К). Корневые = хг (К) порождают группу Шевалле
Ф(К) с унипотентной подгруппой иФ(К) = {Хг (г € Ф+)) [3]. В [1] используется
Лемма 1. В алгебре Ли Сф = Сф(С) любая максимальная коммутативная подалгебра с нильпотентными элементами переводится автоморфизмом из Ф(С) в нильпотентную подалгебру N Ф(С).
А.И. Мальцев [1] назвал подмножество Ф системы корней Ф коммутативным, если г + 8 € Ф для любых корней г, в € Ф. В этом случае коммутативны подмножества корней ■ад(Ф) для любого элемента и> группы Вейля
20 %)
Ш = Ш(Ф) = {шг | г € Ф) = {шг | г € П), (х) = х — ^ ' г (х € V),
а также подалгебра Аф = ^геф Кег. Наибольший порядок коммутативных множеств корней в Ф оказывается равен наивысшей размерности коммутативных подалгебр алгебры NФ(С).
Пусть {г}+ — множество корней € Ф+ таких, что в разложении — г по базе П все коэффициенты неотрицательны, Т(г)и ^ (г) - подалгебры в NФ(К) с базисом, соответственно, {е3 | в € {г}+} и {е3 | в € {г}+, 8 = г}.
Ф
рое вытекает из [1]. Для систем корней типа Ет, т = 6, 7, 8, и используем обозначения из [14] простых корней аг, аг, • • • , ат.
Ф
= Сг исчерпывают, с точностью до ее изометрий"и ^-сопряженности, следующие.
Тип Ап-\: {г}+, где г - простой корень с Г = ши г + Г € Ф, г < г.
Тип Вп: {2а + Ь}+ и где а, Ь - простые корни, |а| < |6|, и ц- максимальный короткий корень.
Тип С п. гд е ц - длинный простой корень.
Тип Ии'. {г}+, где г - простой корень и г < г для любой симметрии
Тип Е&: {аг + 2аг + 2а3 + 3а4 + 2а5 + а6}+-
Тип Еп, п=6 или 7 : {ап}+.
Тип {аг + 2аг + 2а3 + а4}+ и {аг + 2а3 + 2а4}+.
Учитывая -ад^-инвариантность подмножеств а корней Ф+ \ {§} для любого простого корня в, с помощью леммы 2 получаем
Следствие. Пусть Ф есть коммутативное подмножество корней из леммы для типа Ап, Сп, Оп, Еб шш Е7 Тогда для любого простого корня 8 € Ф подмножества Ф и -адДФ) в Ф+ совпадают или ~-симметричны.
3. Большие абелевы подалгебры в алгебрах ЖФ(К) классических типов
Большой V-подгруппой конечной группы (V - теоретико-групповое свойство) называют всякую Р-подгруппу наибольшего порядка. Абелевы подалгебры наивысшей размерности алгебры Ли назовем большими абелевыми, аналогично большим абелевым подгруппам конечной группы Шевалле.
С учетом леммы 1, исследуем большие абелевы подалгебры алгебры NФ(К). Их описание с точностью до ее автоморфизмов, в отличие от [1], оказывается более единообразным.
Теорема 1. В алгебре NФ(К) классического типа Ф над любым полем К, с точностью до ее автоморфизмов, большая абелева подалгебра, М для типов Ап, Dn и Сп совпадает с идеалом Т (г) для единственного прост,о го корня г и размерности, соответс твенно, [п2/4], п(п — 1)/2 и п(п + 1)/2. В остальных сл учаях М переводится, в идеал авт, ом, орфизм ом из Aut Сф(К), в частности, для типа Вп (п > 4) - в централизатор С(Ln).
Замечание 1. Для типов Е§ и Ej большая абелева под алгебра М также совпадает с идеалом Т(г) для единственного простого корня г .
В [13] записана гипотеза (А): Всякий коммутативный идеал наивысшей ра,зм,ерност,и алгебры NФ(К) является её коммутативной подалгеброй наивысшей размерности.
Гипотеза была подтверждена в статье [15], вместе с доказательством существования и описанием больших абелевых идеалов алгебры NФ(К).
Отметим, что порядки подалгебр из теоремы Мальцева соответствуют порядкам коммутативных подмножеств корней Ф из леммы 2.
Для простого числа р подмножество Ф С Ф называем р-коммутативным, согласно Е. П. Вдовину [10], если в алгебре Ли NФ(К) над любым полем К характеристики р имеем er * es = 0 при всex r,s £ Ф. При р(Ф)\К = К понятия р-коммутативности и коммутативности, очевидно, совпадают.
Ясно, что для коммутативной подалгебры М алгебры NФ(К) над полем К характеристики р > 0 множество корней С\(М) является р-коммутативным. Из [1], [10] и [11] несложно вытекает
Лемма 4. Наивысшая размерность коммутативных подалгебр алгебры Ли NФ(К) над полем К характеристики р равна наибольшему порядку р-коммутативных при 2 < р < р(Ф) и
Ф
Доказательство. Когда Н С Т(п) + Т(г2) + ■ ■ ■ + Т(rm) и любая замена Т(п) на Q(ri) нарушает включение, назовём {г\, г2, ■ ■ ■ , rm} = С(Н) множеством углов для Н.
>
неравенства ht(r) > ht(s) ^^едует г > s.
Первым углом, ненулевого элемента а £ NФ(К) назовем корень s, если в разложении а = reф+ ег п0 базе> ^^^^^^^^^^^^ ^отласно возрастанию корней, As есть первый ненулевой коэффициент. Множество первых углов всех элементов подмножества М С NФ(К) обозначаем через С\(М).
Утверждение леммы сейчас несложно вытекает из леммы 2 и ее следствия.
В [11] подмножество Ф системы корней Ф названо нормальным, если при г £ Ф всегда имеем {г}+ С Ф Очевидно, каждое подмножество Ф С Ф из леммы 2 нормально и поэтому А-ф есть коммутативный идеал.
Доказательство теоремы.
Тип Ап. Пусть А - большая коммутативная подалгебра алгебры NФ(К). Рассмотрим случай п = 2т + 1. Согласно лемме 2, в этом случае имеется единственное максимальное коммутативное подмножество корней {г}+, где г - простой корень иг = г. Если подалгебра А имеет простой угол q = г, то при подходящей нумерации простых корней q вошёл бы в С\(А), и, следовательно, в некоторое максимальное коммутативное подмножество корней, что противоречит лемме 2. Таким образом, А С Т(г) + L^. Предположим, что А С Т(г) + Li и А имеет угол s высоты г (2 < г < т), не входящий в {г}+. Тогда подалгебра пр(1)(А) С NФ(К), где р -простой корень с условием s — р £ Ф+ пр(1) ~ мономиальный элемент группы Шевалле [3], будет иметь угол s — р £ высоты г — 1, что противоречит сделанному выше предположению. Таким образом, А содержится в идеале Т(г) и совпадает с ним, в силу максимальности.
Рассмотрим случай п = 2т. В этом случае, согласно лемме 2, максимальные коммутативные подмножества корней исчерпываются множествами {г}+ и {f}+, где г, г - простые корпи, г + г £ Ф+ Как и в рассмотренном выше случае п = 2т + 1, получаем, что А С Т(г) + Т(г). Предположим, что С\(А) = {г}+. Пусть m > 1 и
х = аег + Ьвг mod L2, а = 0,
у = сег+р + der+f + f&r+q mod L3, с = 0, где г + р £ Ф+, р = г, г + q £ Ф+, q = г. Тогда
х * у = —afer+r+g + bcer+r+p = 0,
следовательно, b = f = 0, то есть х,у £ Т(г), и A D Кег. Тогда, в силу коммутативпости, s-проекция элементов из А для всех s £ {f}+ \ является нулевой, следовательно, А С Т(г). В случае С\(А) = {f}+ аналогично доказывается, что А = Т(г).
Для типа , когда алгебра Ли NФ(К) представляется ассоциированной к алгебре NT(3, К) (нижних) ннльтреугольных 3 х 3 матриц над К с матричными единицами eij (1 < j < i < 3). В силу [16, Теорема 3], любая матрица а = Hauv|| £ GL(2,K) дает здесь автоморфизм
а : ei+i,i ^ ацв21 + ^ез2 (г = 1,2), e3í ^ (det а)е31,
причем группа AutNФ(К) факторизуется подгруппой центральных автоморфизмов и GL(2,K). Поэтому все большие абелевы алгебры Ли NФ(К) переводятся здесь друг в друга ее автоморфизмами.
Замечание 2. Последнее утверждение не имеет аналога для соответствующей унитре-угольной группы UT(3, К), см. там же ее автоморфизмы. (Элементы е + e2i, е + e2i + еэ2 не автоморфны, в силу различия их жордановой формы, а при 2К = 0 различны и их групповые порядки.)
Тип Вп. Рассмотрим случай 2К = К. Обозначим Pit±j = £i ^ £j, pi0 = £i (1 < j < i < n), где £i, £2, ■ ■ ■, £n ~ ортнонормированный базис n-мерного евклидова пространства (ср. [14]). Для краткости будем обозначать ePij = е^. Для типов В2 и В3 ^деалы Т(Р21) к Т('Р32) будут единственными коммутативными подалгебрами наивысшей размерности 3 и 5, соответственно.
Согласно [1], для типа G = Вп, п > 3, большие коммутативные подмножества корней исчерпываются множествами {^2,-1}+ U Pío, 1 < i < п, а при п = 4 ещё множеством {р4з}+-Пусть р10 < р21 < ■ ■ ■ < рп,п-1. В етучае С1(А) = {р43}+ ^^^^вдпо, что А = Т(р43).
Пусть С1(А) = {р2,-1}+ U Р10- ^^^и тодалгебра А имеет простой угол q = рю, то при подходящей нумерации простых корней q бы в С1 (А), и, следовательно, в некото-
рое максимальное коммутативное подмножество корней, что противоречит [1]. Таким образом, А С Т(р10) + L2. Предположим, что А С Т(р10) + Li и А имеет угол Pk,k-i высоты i (г + 1 < к < п, 2 < г < п — 1^, не входящий в {рю}+- Тогда подалгебра
Пк-г+1,к-г(1)(А) С КФ(К) будет иметь угол Pk,k-i+i высоты г — 1, что противоречит сделанному предположению. Таким образом, А С Т(pw)-
Пусть теперь С1(А) = {р2,-1}+ UPío, (1 < i < п — 1) Рассмотрим а е А вида
а = aioeio + a¿+i,oe¿+i,o mod L¿+3, ам = 0.
С точностью до подходящего автоморфизма xPi+1 i (t) (где xPi+1 i (t) - корневой элемент групы Шевалле [3]), можем считать, что ai+1,0 = 0. Тогда В = ni+1,i(1)(А) С Т(р10) ш С1(В) содержит Pí+1,0, откуда С1(В) = {р2-1}+ U Pí+1,0. Таким образом, подалгебра А переводится автоморфизмом алгебры ЬФ(К) в подалгебру Т(р2-{) + Кепо, являющуюся идеалом.
Рассмотрим случай 2К = 0. Для типа большие коммутативные подалгебры наивысшей размерности содержат идеал Т('Р2о), являющийся центром алгебры NФ(К), и исчерпываются подалгебрами К(ае10 + be21) + Т20, (а,Ь) = (0, 0) которые являются идеалами. При п > 2 единственным 2-коммутативным множеством, в обозначениях леммы 2, является {а}+. Это следует из описания больших абелевых подгрупп группы U типа Вп над полем характеристики 2 [5], а также из того, что каждому 2-коммутативному множеству корней соответствует абелева подгруппа, порождённая соответствующими корневыми подгруппами. По аналогии с типом Ап, п = 2т + 1, убеждаемся, что идеал Т(а) будет единственной коммутативной подалгеброй наивысшей размерности.
Тип Сп рассматривается аналогично типу Вп, случай 2К = 0.
Тип Dn. Уточним описание в [13] больших абелевых идеалов в NФ(К). Автоморфизмы алгебры Ли N Ф(К) таи a D4 описаны в [17, Теорема 6]. Графовые автоморфизмы соответству-
Ф
подстановок степени 3 на простых корнях Г1 = г < r2 = г < q = q < Г3 = г (" - симметрия порядка 3). Когда 2К = любой автоморфизм действует по модулю Ь2 как произведение диагонального и графового автоморфизмов. При 2К = 0 расширение дают автоморфизмы /3, сопоставляемые в [17] каждой матрице fí = \\buv|| е SL(3, К). Если s = q + r1 + r2 + r3, то
3
¡3 . Cri У ^ ^ bímerm, Cq У Cq, &q+ri ^ ^ ^ bimCq+r¡m, Cs У Cs
^ eq
m=1 m=1
' Ьц bí2 bí3
Сq+ri+rj ^ det Ьц bj2 bj3 (i= j), e-s+g ^ es+q
&S-T1 &S — T2 es-r3_
Для простых симметричных корней гиг = г (г = г) системы Ф тип а Ип (п > 4) определено [17, Теорема 8] изоморфное вложение ~ подгруппы
5 := [А = ||а^|| е БЬ(2,К) : 2апа12 = 2а21а22 = 0} группы БЬ(2, К) в группу автоморфизмов алгебры Ли NФ(К) по правилу
у! : ег ^ а11ег + а12ег, ег ^ а21ег + а22ег, е3 ^ е3 (в е П \ [г, г}).
Умножая произвольный автоморфизм алгебры Ли NФ(К) типа Ип на выделенные автоморфизмы, добиваемся его тождественности по модулю Ь2, то есть сводим его к известным гиперцентральным автоморфизмам [18].
Доказательство того, что произвольная коммутативная подалгебра алгебры NФ(К) совпадает с одним из ее идеалов проводится по аналогии с рассмотренными выше типами.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9, № 4. С. 291-300.
2. Schur I. Zur theorie der vertauschbaren matrizen //J. reine und angew. Math. 1905. Vol. 130. P. 66-76.
3. Carter R. Simple groups of Lie type // Wiley and Sons, New York, 1972.
4. Barry M. J. J. Large Abelian subgroups of Chevallev groups //J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979' Vol. 27. № 1. P. 59-87.
5. Barry M. J. J., Wong W. J. Abelian 2-subgroups of finite svmplectic groups in characteristic 2 // J.'Austral. Math. Soc. Ser. A. 1982. Vol. 33. № 3. P. 345-350.
6. Wong WT. J. Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups //J. Austral. Math. Soc., Ser. A. 1982. Vol. 32, № 2. P. 223-245.
7. Wong W. J. Abelian unipotent subgroups of finite unitary and svmplectic groups //J. Austral. Math. Soc., Ser. A. 1982. Vol. 33, № 2. P. 331-344.
8. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи математических наук. 1986. Т. 41, № 1 (247). С. 57-96.
9. Вдовин Е. П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле // Матем. заметки. 2000. Т. 68, вып. 1. С. 53-76.
10. Вдовин Е. П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 5. С. 523-544.
11. Levchuk V. М., Suleimanova G. S. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type //J. Algebra. 2012. Vol. 349, iss. 1, № 1. P. 98-116.
12. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. Thompson subgroups and large abelian unipotent subgroups of Lie-type groups //J. Siberian Federal University. Math, k, Physics. 2013. Vol. 6, № 1. P. 64-74.
13. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. The generalized Mal'cev problem on abelian subalgebras of the Chevallev algebras // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2015. Vol. 86. № 4. P. 384-388.
14. Бурбаки H. Группы и алгебры Ли (главы IV - VI). // М.: Мир, 1976.
15. Кириллова Е.А., Сулейманова Г.С. Коммутативные идеалы наибольшей размерности нильтреугольной подалгебры алгебры Шевалле над полем // Труды института математики и механики УрО РАН. 2018. Т.24, №3. С. 98-108.
16. Левчук В.М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов // Сибирский математический журнал. 1983. Т. 24. №. 4. С. 64-80.
17. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика 1990. Т. 29. № 2. С. 315-338.
18. Левчук В. \!.. Литаврин А. В. Гиперцентральные автоморфизмы нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле // Сиб. электрон, матем. изв. 2016. Т. 13. С. 467-477.
REFERENCES
1. Mal'tsev A.I. 1945, "Commutative subalgebras of semi-simple Lie algebras", Izvestia Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 1945, vol. 9, no. 4, pp. 291-300 (in Russian)
2. Schur I. 1905, "Zur theorie der vertauschbaren matrizen", J. reine und angew. Math., vol. 130, pp. 66-76.
3. Carter R. 1972, "Simple groups of Lie type", Wiley and Sons, New York.
4. Barry M. J. J. 1979, "Large Abelian subgroups of Chevallev groups", J. Austral. Math. Soc. Ser. A., vol. 27, no. 1, pp. 59-87.
5. Barry M. J. J., Wong W. J. 1982, "Abelian 2-subgroups of finite svmplectic groups in characteristic 2", J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 33, no. 3, pp. 345-350.
6. Wong WT. J. 1982, "Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups", J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 32, no. 2, pp. 223-245.
7. Wong W. J. 1982, "Abelian unipotent subgroups of finite unitary and svmplectic groups", J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 33, no. 2, pp. 331-344.
8. Kondrat'ev A.S. 1986, "Subgroups of ?nite Chevallev groups", Russian Math. Surveys, vol. 41, no. 1, pp. 65-118.
9. Vdovin E. P. 2001, "Maximal Orders of abelian Subgroups in Finite Chevallev Groups", Mat. Zametki, vol. 69, no. 4, pp. 524-549.
10. Vdovin E. P. 2001, "Large abelian unipotent subgroups of finite Chevallev groups", Algebra and Logic, vol. 40, no. 5, pp. 292-305.
11. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. 2012, "Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type", J. Algebra, vol. 349, iss. 1, no 1, pp. 98-116.
12. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. 2013, "Thompson subgroups and large abelian unipotent subgroups of Lie-type groups", Journal of Siberian Federal University. MathemMics & Physics, vol. 6, no.l, pp. 64-74.
13. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. 2015, "The generalized Mal'cev problem on abelian subalgebras of the Chevallev algebras", Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 86, no 4, pp. 384-388.
14. N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie (Chapt. IV-VI). Paris.: Hermann, 1968.
15. Kirillova E. A., Suleimanova G. S. "Highest dimension commutative ideals of a niltriangular subalgebra of a Chevallev algebra over a field", Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, vol. 24, no 3, pp. 98-108.
16. Levchuk V. M. 1983, "Connections between a unitriangular group and certain rings. 2. Groups of automorphisms", Siberian m,at,hem,atical journal, vol. 24, no. 4, pp. 543-557.
17. V.M. Levchuk. 1990, "Automorphisms of unipotent subgroups of Chevallev groups", Algebra and Logic, vol. 29, no. 2, pp. 211-224.
18. Levchuk V. \!.. Litavrin А. V. 2016, "Hypercentral automorphisms of nil-triangular subalgebras in Chevallev algebras", Siberian Electronic m,at,hem,atical Reports, vol. 13, pp. 467-477.
Получено 25.06.2018 Принято к печати 15.10.2018
