Обобщение некоторых свойств классических ортогональных многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Климов Н И. Распределение значений функции Мебиуса: Тез. докладов Всес. конф. 'Теория чисел и ее приложения". Тбилиси, 1985. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1985.

6. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

Обобщение некоторых свойств классических ортогональных

многочленов1

Работа посвящена исследованию некоторых свойств ортогональных многочленов, которые можно рассматривать как обобщение классических ортогональных многочленов на случай нескольких отрезков действительной оси. Основной результат работы является обобщением результата предыдущей работы автора [5], в которой был рассмотрен случай двух отрезков. Там же, а также в [б], можно найти обширную библиографию относящихся к этой теме публикаций.

Надо сказать, что толчком к публикации послужил реферат (МЫ #2002с:42032) на работу [5], в котором референт (профессор Г.В. Милованович) утверждал, что даже в случае симметрично расположенных отрезков, описываемых полиномов не существует. В данной работе приводится пример обширного класса многочленов,

удовлетворяющих всем условиям теоремы, тем самым опровергающий упомянутое утверждение Г.В. Миловановича (соответствующий многочлен Т{х) есть просто х2.) Заметим, что основная идея конструкции примера восходит к работе [1], нашедшей позже приложения в комплексной динамике. Кроме этого, здесь приведена электростатическая интерпретация рассматриваемых ортогональных многочленов.

Теорема 1.Пусть п,оц,...,ац, ... ,021 таковы, что многочлен рЬ^ степени п с единичным старшим коэффициентом удовлетворяет следующим свойствам:

УДК 517.5

А.Л.ЛУКАШОВ

1. Р^ИНп-и-г с весом

0,х £ Е

I

(-1)'"' П I1 - ^\а>'Х 6 К'-Ь 0-2]],3 = 1, ■ • ■ , I-

¡=1

'Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации НШ-1295.2003.1 и Австрийского Научного Фонда Р\\Т, проект Р16390-Ш4.

lE(P^)'(x)^\x)P(x)^dx = 0 (1)

для любого многочлена /?(х) степени не выше I — 2, где

Ж*) = гк =1 (,x — ak), g(x) = П*=1 ucj — единственный нуль многочлена

в интервале (a2j, a2j+i), j = 1,...,/ — 1.

Тогда у — Рп°' удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению второго порядка:

21

y"(x)H(x)g(x) + y\x)q3,-2(2) - n(n + ]Ta* + l)yh(x)g2(x) = 0, (2)

*=i

где

й,_а(я) = ¿К + - /Г(х)^(я:)

— многочлен степени 31 — 2, h(x) = Плй'О1-— единственный нуль функции

,]Щх)Н{х) у »(*) )

в интервале (a2jt, a2t+0, fc = 1.....1 — 1, в котором Pia\x) не обращается в нуль.

При этом ортогонален многочленам из Н„_2 на £ относительно веса

jW(x)H(x) 9(х)

Доказательство

Прежде всего заметим, что из условия (1) следует ортогональность

х) на Е с

весом ^

¿=1

любому многочлену степени не выше п — 1. Далее выражение

может быть записано в виде j^(x)z(x), где z — многочлен степени не выше п +1 — 1. Поскольку ^j^-H(x) обращается в нуль в точках a2t, ay, ( Ь 'к = 1,...,/ — 1 и является многочленом, то должна существовать хотя бы одна точка dk в каждом из интервалов azk+i),k = 1,...,/ — 1, являющаяся нулем многочлена z(x). Следовательно,

[(РР)

+

ЭЕ

где h(x) = П (х — некоторый многочлен степени не выше п. Докажем,

t=1

что

f(z) = const р(л\х). (3)

Для этого прежде всего проверим соотношение ортогональности

(4)

где p„_i(i) — произвольный многочлен степени не выше п — 1. Дважды интегрируя по частям, преобразуем левую часть (4) к виду

LI Ip»-^=r^ww*^g

где символ |ев обозначает подстановку значений аргумента а2*, к — 1,..., I со знаком +, а значений a^t-i, к = 1,...,/ — со знаком (-).

Таким образом, достаточно проверить, что для любого многочлена рп-2{х) степени не выше п — 2

Представляя рп-2 в виде р„_2 = pn-i-i{x)g{x) + /3(х),рп^,.г € EU-i-i,/? ё Н,_2, получим

Ly{x)i {j(a)(x)f§pn-2(i)}dx=Ly{x)i

Так как

где p„4.|_2(i) — некоторый многочлен степени не выше п + I — 2, то первое слагаемое обращается в нуль по первому условию теоремы. Второе слагаемое преобразуем путем интегрирования по частям к

что равно нулю по второму условию теоремы.

Таким образом, соотношение ортогональности (5), а с ним и (4), установлено. Чтобы установить равенство (3), осталось заметить, что многочлен Р'п&\х), удовлетворяющий первому условию теоремы, единствен.

В самом деле, если бы существовал второй такой многочлен, Q„ (х), то их разность, будучи многочленом степени не выше п- 1, также удовлетворяла бы первому условию теоремы, и тогда

J {Р^(х) - «?>(*))'j(a,(x)n-i(x)d® = О

для любого многочлена pj_i(z) степени не выше I — 1, возможно лишь при р1&\х) — -Qn'\x) s 0, так как в качестве pj_i(x) можно взять знакочередующийся многочлен, такой, что ji4'(i)pi_i(x) > 0 на Е.

Таким образом, нами доказано, что

что эквивалентно (2) с точностью до постоянного множителя, который легко находится путем сравнения старших коэффициентов.

Проверим ортогональность производных, т.е.

Je дух)

где р„_г(х) — любой многочлен степени не выше п-2. В самом деле, для многочленов степени не выше I - 2 это составляет второе требование теоремы, а представив любой многочлен степени не выше п-2 в виде

Рп-з(х) = s(x)p„-i-i(i) + 0(х),

где 0(х) — некоторый многочлен степени не выше I - 2, получим

[ y\x)j^\x)^pn-2(x)dx = [ y\x)j^\x)H(x)pn.,.1(x)dx = Je 9(х) Je

= - / y(x)(j^(x)H(x)pn^1(x))'dx = - [ jM(x)H(x)Pn+l_2(x)dx = 0, Je Je

так как многочлен

И ч

Я'(х)рп_,_i(x) + Н(х)р'п_1_1(х) + -^-Pn~i-i{x) Pn+l-l(x)

имеет степень не выше п +1 — 2.

Приведем пример многочленов, удовлетворяющих условиям теоремы 1. Метод построения аналогичен использовавшемуся в работе [2]. Пример.

Пусть Т(х) — многочлен степени / с действительными простыми нулями и такой, что все его локальные максимумы и минимумы по модулю больше единицы.

Нетрудно видеть (см. также лемма 1 [2]), что в таком случае Т'1([-1,1]) = Е состоит в точности из I непересекающихся отрезков действительной оси. Обозначим Е0 = [-1,1]. Для х е Е0,г е С\Е, имеем

Т(*)-х ^г-ТгЧх)' ^

где {Т< г — 1,2,1} обозначает множество всех ветвей обратного отображения к Т, и Т~ значит,

Т, и Т( '(£<,) = Е{,Е{ = [оя-1,Ом]. Из (6) имеем ш,(х) = r,(T-i(x)),i = 1,2,...,/, и,

> 0,* = 1,2.....Î. (7)

Кроме того, очевидно, что

I

= 0, хеЕ0. (8)

•=1

(Отметим, что формулы (6)-(8) отличаются от (2.1)-(2.3) из [2], хотя суть построения, конечно, та же). Теперь для любого суммируемого на Е0 веса сто (у) и любой суммируемой на Е функции /(.т) имеем, делая замену х = Т^~1(у),

гТ(ац) 1

(-1)1-4 f(x)<?o(T(x))dx = (—1)'—* I НТг\у))Му)7^^

W)dy'

= /у(7ГЧу)М2/Н(?/)Л/. (9)

Пусть Рт{у,&о) — многочлены, ортогональные относительно веса сто(у) на [—1,1]. Докажем теперь, что для натуральных п = т1,т 6 К, выполняется

/ 1крт(Т(1);сто)ст0(Г(г))сг1 = 0, А: = 0.....т1 + I - 2. (10)

¿=1 " — 1

В самом деле, из (9) имеем

ЛГ /.а,( " /-1

/ хкрт(Т{х), оо)ао(Т(х))с1х = £ / {т-1(у))кму)т(у)рт(.у;оо)с1у.

1=1 •'<4.-1 1=1 •'-1

(11)

Разложив теперь правую часть (6) по степеням г, получим

ОО - I

£ ^ £<*(*) (ттч*))5', (12)

¿=0 ;=1

а левая часть (6) имеет вид

оо ^

§ш(13)

Так как

то из (6) и (13) найдем

1 А-Л

, г —> оо,

1 1

где Пт(х) — многочлен степени не выше тп и [•] обозначает целую часть. Сравнивая коэффициенты при степенях г в (12) и (14), найдем, что

2>(*) (ЗГЧ*))'= п^.ю,

(14)

(15)

и, подставляя в (11),

" Г" 2. г 1

]Г(-1)'-'/ хкрт(Т{х)-оа)о0{Т{х))<1х = Пг4±11_1(у)<То(у)Рт(»; <*а)йу.

Так как рт(у; Сто) ортогонален многочленам степени не выше тп — 1, то последний интеграл будет равен нулю, как только

Г/с + 11

1 <771,

т.е. для к < тп1 +1 — 1, и (10) доказано.

Таким образом, для любого веса а0 на [-1,1] и полинома Т, как указано в формулировке примера, многочлен рт,(х; а), ортогональный на Е многочленам меньшей степени относительно знакочередующегося веса ст(х) = (-1)'-,сто(Т(х)), х € [а2>-1> Огг]. > = 1,.. -, будет ортогонален и всем многочленам степени не выше тп1 + I — 2, и имеет место представление

Рпи(х; а) - рт(Т(х)); <т0), х е Е. (16)

В частности, беря сто(х) = /а,,Р(х) = (1 + х)°(1 - х)", получим, что

Ры(*;/а......ам))=Рт(Т(х);;^)

удовлетворяет первому условию теоремы с

«21 = Р\ <*2(1-2*+1) = «и-«+з = а, к = 1,..., [г/2]; "21 4* = «21 -4*+1 = Р, к = 1.....[(г - 1)/2]; «! = (« + Р)/2 + (-1)'(/?- а)/2.

Проверим теперь справедливость второго условия теоремы. Так как р'т|(х; ст) = = р'т(Т(х);сто)Т'(х), то многочлен д(х), о котором идет речь в теореме, в данном случае совпадает с Т'(х), а Н(х) есть не что иное, как Т2(х) — 1. Поэтому левая часть равенства (1) перепишется так:

что равно

•'в,

В силу (9) последнее равно

£ Г &*ушаЛш<дгЪ))мУ)(У2 - т-1

Так как но (15) £/7(7}'1(1/))го»СУ) = О ЛПЯ любого многочлена /? степени не выше

1=1

2 - 2, то условие (2) теоремы также выполнено.

Отметим теперь некоторые свойства многочленов, удовлетворяющих условиям теоремы 1.

Утверждение 1 . Условие (1) теоремы 1 равносильно тому, что Р^(х) ортогонален относительно положительного веса (х), где р(х) - произвольный многочлен степени 1 — 1, имеющий по одному нулю в каждом из интервалов (а2^, a2i.fi), г = 1,...,/ — 1.

Доказательство

Необходимость условия очевидна. Проверим достаточность. Для этого достаточно проверить, что любой многочлен степени I 1 может быть представлен и виде линейной комбинации не более 2(1 — 1) многочленов степени 1 — 1, д\(х), ■ ■ ■ ,д-ц-2(х), каждый из которых имеет по одному нулю в каждом из интервалов (ац, 021+1), г = 1,... ,1 — 1. Проверим последнее утверждение по индукции.

Пусть I = 2. Надо доказать, что для любого сё € найдутся константы 7,<5 € С и числа С\, с2 6 (а2,аз) такие, что х — с = ~){х — С1) + 6(х - с2), или, что равносильно, 7 + <5 = 1,7С1+(5С2 = с. Подставляя 7 = 1-й, найдем с! + <5(с2 — С!) = с, что, очевидно, выполнено при подходящем <5, какие бы С\ ф с2 ни были заданы.

Предполагая теперь утверждение выполненным для 1 — 1, установим его справедливость для I. Для этого представим произвольный многочлен д(х) степени I - 1 в виде д(х) — Ь.(х)(х — с), где се С, Л — некоторый многочлен степени 1 — 2. По предположению индукции /1 может быть представлен в виде

Л = 7151 0е) + ... + 721-4921-4(1),

где 7* £ €, и каждый из многочленов д;(х) имеет ровно по одному нулю в каждом из интервалов (а2;-, а2.,+1), = 1,...,/ — 2. Кроме того, х — с = 7(1 — С1) + 5(х - с2), где 7,5 6 С и сьс2 £ (а21_2,021-1). Тогда

д(х) = (719!(х) + ... + 721-4921-4(1)) (7(я - сО + <5(х - с2)) =

= 771Л(*)(:г - С!) + ... + 7721-4921-4(Х)(Х - С1) +

+<57191(зс)(х - с2) + ... + ¿72(-49а-4(з:)(1 - с2),

и каждый из многочленов дк(х)(х-с3), к — 1,... ,21—= 1,2 имеет ровно по одному нулю в каждом из интервалов (а2(, а2»-и), г = 1,...,/ — 1. Утверждение доказано.

Заметим, что смысл утверждения в том, что многочлены РпЛ\х) "сверхустойчивы". Они не меняются при изменении веса ортогональности, сводящегося к изменению многочлена д(х).

Приведем еще электростатическую интерпретацию многочленов из теоремы 1.

Теорема 2 . Если Р^\х) удовлетворяет условиям теоремы 1, то электростатическая энергия системы п + 31 — 1 зарядов, п из которых — свободные единичные положительные заряды на Е, в точках а^ размещены положительные заряды, величины (ау + 1)/2 > 1/2, ] — 1,..., 21, и в пулях с, многочлена д(х) помещены отрицательные заряды величины —1/2, имеет (локальный) минимум, когда свободные заряды помещены в нулях многочлена

Доказательство

Известно [4);[7], что при предположении о взаимодействии частиц по закону логарифмического потенциала, электростатическая энергия рассматриваемой системы частиц равна следующему выражению:

1-1 п

-ЕЕ'^. (17)

]=1 к-1 ' * Я Необходимым условием его локального минимума является система равенств

-£-¿ = 0, к = 1,... ,п. (18)

дхк

Проверим выполнение (18) для нулей многочлена Рпа)(х) =: У(х)- Ясно, что

дЬ _ ^ 1 О; +1 1

дх, хк — Xi ¿г? 2 х, — а,

к — 1

к ф г

+ (19) Но, записав у"(х) = (х - х;)у>"(х) + 2<р'(х), будем очевидным образом иметь

1 г/"(х>) _

2 у'(ц)

<р(х)

£ х —

кф I

откуда

1 »"(*<) _ у- 1 2у'(и) к~^хХ{~Хк

кфг

Подставляя (20) в (19), найдем

Е

04 + 1 1

дЬ = 1 у"(т0

Яг, 2 у'(х0 ^ 2 2(х< - с,) 2г/'(х()Я(х4)<?(х,)'

1 ^_1_

- л, + 9.(т, - /

/(*)»(«,)*(*.) - ( + 1 + Я(*м*) I !/'(х.)

V . . X* "1 /

Выражение в квадратных скобках равно, с учетом (2),

21

-п(п + ^ °<к + 1)уЫк(х^д2(х{) = 0. к=1

Проверим теперь, что в точке (х1,..., хп) функция имеет локальный минимум, пользуясь методом работы [8]. Для этого найдем гессиан

З2

дх,

)гЪ \ = \дх, )

(х; - х,)2

>» Ф 3,

п ^ 21

«к + 1

- х;)2 т ^ 2 - а,)2 ^ 2(ц - с*)2'

-,» = .?•

Таким образом, гессиан К является суммой диагональной матрицы

1-1 . 21

О* + 1 1

2 (х„ - а*)2 ^2(хп-ску)' очевидным образом положительно определенной, и матрицы имеющей на диаго-

нали числа

а вне диагонали — числа

к = 1 к ф г

Так как

для любых г, то по [3] матрица W2 неотрицательно определенная, откуда получаем требуемое.

Библиографический список

1. Bessis D., Moussa P. Orthogonality properties of iterated polynomial mappings // Comm. Math. Phys. 1983. V.88.

2. Geronimo J.S., Van Assche W. Orthogonal polynomials on several intervals via a polynomial mapping // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V.308.

3. Гершгорин С.A. Ueber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // Изв. AH СССР. Сер. физ.-мат. 1931.

4. Ismail M.E.H. Functional equations and electrostatic models for orthogonal polynomials // Random matrices and their applications (MSR.I Publ. 40). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001.

5. Лукашов A.JI. Обобщение классических ортогональных многочленов на случай двух промежутков // Фунд. прикл. мат. 1999. Т.5.

6. Lukashov A.L., Peherstorfcr P. Automorphic orthogonal and extremal polynomials 11 Canad. J. Matem. 2003. V.55.

7. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

8. Valent G., Van Assche W. The impact of Stieltjes' work on continued fractions and orthogonal polynomials: additional material // J. Сотр. Appl. Math. 1995. V.65.