CC BY
12
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 1 (2018). С. 66-77. УДК 517.53
О МЕРАХ, ПОРОЖДАЮЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ С ОДИНАКОВЫМ АСИМПТОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ ОТНОШЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
A.A. КОНОНОВА
Аннотация. Изучается влияние возмущения меры на асимптотическое поведение отношения соответстующих ортогональных многочленов. Предполагается, что носитель абсолютно непрерывной части меры сосредоточен на конечном наборе жордановых кривых. На весовую функцию накладывается модифицированное условие Сегё. Сингулярная часть меры состоит из конечного числа точечных нагрузок вне полиномиальной выпуклой оболочки носителя абсолютно непрерывной составляющей меры. Исследуется вопрос о стабильности асимптотики отношения ортогональных многочленов в следующем смысле: — ^ о, п ^ Задача является обобщением за-
дачи о компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры. Найдено необходимое (а при дополнительных ограничениях необходимое и достаточное) условие сохранения асимптотического поведения ортогональных многочленов. Одним из основных инструментов исследования являются тэта-функции Римана.
Ключевые слова: ортогональные многочлены, многозначные функции.
Mathematics Subject Classification: 30Е15, 42С05
1. Введение
Настоящая работа является продолжением исследования устойчивости асимптотики отношения ортогональных многочленов при возмущении меры ортогональности, начало этого исследования опубликовано в статье [3]. Для конечной борелевской меры ^ с компактным бесконечным носителем Е С С рассмотрим последовательность многочленов со старшим коэффициентом единица Р^,п(г) = гп + ..., ортогональных относительно меры
Р^кФ = ап6п,к, ап > 0.
и Е
Мы будем рассматривать меры, сосредоточенные на конечном наборе жордановых кривых Е = и£=0Ек С С, и конечном наборе дискретных масс, лежащих вне полиномиальной выпуклой оболочки множества Е.
Хорошо известно, что при вирр С К ортогональные многочлены удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению:
Рп+1^) = (г - Ьп+1)Рп(г) - а2пРп-1 (г).
A.A. Kononova, On measures generating orthogonal polynomials with similar asymptotic
behavior of the ratio at infinity.
© Кононова A.A. 2018.
Работа поддержана РФФИ (грант 17-51-150005). Поступила 9 марта 2017 г.
Трехднагональная матрица, элементами которой являются коэффициенты рекуррентного соотношения
/Ь1 а1 0 0 .. Д
а1 Ь2 а2 0 .. 0 Ь3 а3 ..
V: : : : •■/
называется матрицей Якоби, Если множество зирр(^) компактно и бесконечно, то матрица Якоби порождает ограниченный самосопряженный оператор в 12 (М), спектральной мерой которого является мера Известно (см, [2]), что оператор Зи является компактным возмущением оператора 3^ (т.е. оператор Зи — 3^ является компактным) тогда и только тогда, когда
/ — Рп+1,„ (г ) \ = 0,
V Рп+1,»(г) Рп+1+1,и (?);
Р Ы Р Ы ^0, п (1)
(сходимость равномерная на компактных окрестностях бесконечности),
В общем случае зирр(^) С С в качестве обобщения матрицы Якоби можно рассматривать матрицы Хессенберга (т.е. матрицы, соответствующие оператору умножения на независимую переменную в пространстве Ь2(^) в базисе из соответствующих ортогональных полиномов), В работе Б, Симанека [5] показано, что при зирр(^) С С условие (1) эквивалентно совпадению правых пределов соответствующих матриц Хессенберга,
В работе [3] было найдено условие на меру достаточное (и в некоторых случаях необходимое) для выполнения (1), В настоящей работе вместо условия (1) рассматривается
аналогичное условие со сдвигом: для некоторого фиксированного I е N
(*)
I Р'П+1 + 1,и ,
(сходимость равномерная на компактных окрестностях бесконечности), а также рассмотрен случай выполнения этого условия при п, стремящемся к бесконечности по подпоследовательности ,
2. Основные определения и вспомогательные сведения
В этом разделе приведены основные определения и факты, необходимые для дальнейшего изложения, для более подробного ознакомления см, [Т] [10]).
2.1. Основные обозначения. Будем говорить, что спрямляемая кривая принадлежит классу гладкости С2+, если вторые производные ее координатных функций (как функций от натурального параметра) удовлетворяют условию Липшица с некоторым положительным показателем.
Пусть О - область в расширенной комплексной плоскости, содержащая бесконечно удаленную точку, граница которой состоит из конечного числа непересекающихся жордано-
вых кривых Ек, к = 0,... ,р, принадлежащих классу гладкости С2+:
р
же О С С, д О = Е := У Ек.
к=0
Рассмотрим вещественную функцию Грина д(г,г0) с логарифмической особенностью в точке г0 е О (в случае г0 = ж вместо д(г, ж) будем писать д(г)), ее можно определить следующими свойствами:
• д(г, г0) гармонична в О \ г0;
• д(г,г0) — ^ — г0|-1 гармонична в окрестноети г0, а при г0 = ж д(г) — 1п |г| гармо-
ж
• lim g(z, z0) = 0 для п.в, ( E E.
z^c
zen
Пусть Ф(г, z0) = exp[g(z, z0) + ig(z, z0)]1. Напомним, что решение задачи Дирихле с гранич-ции Грина:2
™ = * /, ЛО ^ WI-
Логарифмической емкостью множества E называется число С(E):
ln(С(E)) := - lim (g(z) - log\z\).
Гармонической мерой шк(z) (к = 0,...,р) будем называть решение задачи Дирихле
Ö -л. - f1' <EEk;
для и с граничнои функцией хк(С) = "j q ^ '
11 dgi^z ) fEk дпС
Положим U к(z) := 1/2(uk(z) + гшк(z)).
( N 1 / д9(Ç'z)
L-amr^
2.2. Класс мер. В дальнейшем будем предполагать, что
шк(то) € О, к = 1,... ,р.
Будем говорить, что заданная на Е весовая функция р(() > 0 такая, что ^Ер(С)1^ | < +то, удовлетворяет модифицированному условию Сегё, если
£^р(()М!№| > -то. (2)
Определим класс мер 5 (Е) следующим образом:
N
р ев (Е) & ац(0 = р(сы I + «),
к=1
где
1) р(() удовлетворяет модифицированному условию Сегё па Е;
2) г* е Ак > 0, к = 1,... ,Ы и 8г — мера Дирака, сосредоточенная в точке г.
Для меры р е 5(Е) с весовой функцией р(г) определим локально аналитическую функцию Яц(г):
П^) := ехр (ВД + гВД) , где ВД = £ 1пр(0^¡^МС|.
1 Здесь и дал ее к(г) обозначает функцию, гармонически сопряженную с гармон ической функцией к(г).
2 Используя знак мы имеем в виду, что при интегрировании по незамкнутой кривой следует обходить эту кривую дважды (по одному разу вдоль каждой стороны разреза):
/ ^(ст| = / адм| + [ ж|
•>Ек Л и Е-
2.3. Класс многозначности. Для многозначной функции / с однозначным модулем, заданной в области П, введем вектор Г(f) := (71(7),... ,%(/)) € Тр,
1ки) := (тоА 1),
где Ак/ — приращение функции / при обходе вокруг Вектор Г(f) будем называть классом многозначности функции /,
Можно показать, что Г(Ф(г,г0)) = (ш1(г0),... ,шр(г0)). Введем обозначение:
Гп :=Г(Ф-п), п € Z.
2.4. Пространство Н2(П,/1, Г^. Рассмотрим р-мерный вещественный тор Тр, Для вектора Г = (гу1,..., € Тр и меры ¡л € Б (Е) определим многозначное пространство Харди Н2(П,^, Г) следующим образом:
$ € Н2(П,^, Г) тогда и только тогда, когда
• f локально аналитична в П и имеет там однозначный модуль; функция | ¿2Яц1 является субгармонической;
¡(4) = 0
• ФУНКЦИЯ | f2^ßi
• п/
• T^Afcargf = Jk (тоd 1),
2п
где Ак/, как и раньше, обозначает приращение функции f при обходе вокруг Пространство Н2(ПГ) является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(f, 9), = Ф f(0g«)dß(0.
Je
Введем векторную характеристику J (ß) е Tp для мер ы ß е S (Е) с тесом p(z) и
массами z* е ü, j = 1,..., N, следующим образом:
1 N
3к (¡¡) = 4к Дк argRß(z)+ (zj) (mod 1), к =1,...,р. (3)
Ж 3=1
2.5. Тета-функция Римана. (см, также [9].)
Образуем компактную риманову поверхность üdouble рода р топологическим склеиванием двух копий Ü U Е {Ü+, Ü_) с отождествлением точек из Е, комплексная структура продолжается на "второй" лист Ü_ путем замены локальных параметров на комплексно сопряженные. Функции, аналитические на Ü, продолжаются на Üdouble-
f(z):=f(z), ze Q-.
Гомологический базис па Qdoubie зададим следующим образом:
• Ь-циклы bj := Ej, j = 1,... ,р
• а-циклы — кривые a,j,j = 1,... ,р такие, что a,j П Q+ соединяет фиксированную точку Р e E0 с Ej, aj П Q- проходит симметрично по втор ому листу Q double-, причем
Пиа,- = {Р}.
Поверхность, полученную из Qdoubie рассечением вдоль гомологического базиса, будем обозначать Q double .Дифференциалы dQk (абелевы дифференциалы первого рода) образуют нормированный базис абелевых дифференциалов поверхности Qdoubie- Вычислим их периоды вдоль нашего гомологического базиса:
(b dQk (() = гВк>3, Вк>3 e R,
Jaj
где Bk,j — элементы некоторой вещественной положительно определенной матрицы В,
Определим тета-функцию нескольких переменных:
р р р
9(щ,и2,...,ир)= + ), (4)
П1,П2,...,прЕЕ ;=1 и=1 и=1
(положительная определенность матрицы В с элементами обеспечивает сходимость ряда), Тета-функция обладает следующими свойствами:
в(щ,...,и; + 1, ...,ир) = в(щ,...,и...,ир);
в(щ + гВг,и,...,и; + гВ^, ...,ин + гВр>„) = (5)
= е -2,ги„ 0(и1,...,и„...,ир).
Для произвольного вектора (/31, /32,..., /Зр) тета-функцию Римана для римановой поверхности ОаоиЫе с вектором параметров (/1, /2,..., 3р) определяют следующим образом:
е(г) = в(£ СШ1(0 - /31,..., £ сШр(0 - Рр),
(интегрирование в каждом интеграле производится по одному и тому же пути), Тета-функция Римана имеет ровно р нулей на ОастЫе (либо тождественно равна нулю). Ее граничные значения удовлетворяют следующим соотношениям:
0+(О = в-(О, Се а, 3 = 1,..., р; 0+«) = е^')0-(О, С е Ь, 3 = 1, ...,р. ^
Пусть гк, к = 1, 2,... ,р — нули тета-функции Римана, Числа
р
Ьи = / _/ к=1и 2:0
*к
к„ = -)1 (0 + К (7)
называются постоянными Римана, они не зависят от выбора Ь
2.6. Экстремальная задача в пространстве Н2(О,р, Г). Линейный функционал, сопоставляющий функции Р е Н2(О, р, Г) значение в точке г0 е О (в частности, в бесконечно удаленной), является непрерывным. Следовательно, в пространстве существует воспроизводящее ядро К^Г(г, г0)'.
Р(го) = I Р(0К*г(<, *о)М().
и Е
Для меры р е в(Е) и класса многозначности Г е Тр определим функцию
К^г(г, то) К^,Г(то, то)
Нетрудно показать, что функция ф;,Г(г) обладает следующим экстремальным свойством:
\\"Ф,Л1 = ^ {||Р \Ц, Р е Н 2(О, р, Г), |Р (то)| = 1, Р (г*к) = 0, к = 1,...М} . Действительно,
1 = |Р(то)|2 = ( Р(•),К,г(; то))1_
<
<\\Р\Ц Л\К„А;то)^ = \\Р\Ц •К^то, то),
следовательно,
\К^, то)"2
1К^,г(то, то)11 К^Т(то, то)
ы; =" "То: то:;: = ^ , < \\Р\ц.
2
Можно показать (см, [7, 10]), что нули этой функции (отличные от г*,..., г*и) принадлежат выпуклой оболочке множества Е. Для этой функции известно выражение через тэта-функции Римана [8, 10]:
К^, ж) _ , , Ы^(ж) в(Г,р, г) Л Ф(ж, г*)
= аджж = ^ ш^вт^) П Ж^Т ■п € ^ (8)
где х(г) ~ некоторая однозначная функция, не обращающаяся в ноль, зависящая только от области П и те зависящая ни от Г, ни от р (в статье [8] приведена формула для х(г)? в настоящей работе она не понадобится); в(Г,р, г) — тэта-функция Римана с вектором параметров
& (Г, р) = + Ъ + ^ (II), з = 1, 2,... ,р,
где (р) определено выше (3), а константы зависят только от П (и те зависят ни от Г, ни от подробнее см, [8, 10]), Введем следующие обозначения:
:= в(Гп,р, г), фп,ц(г) := .
2.7. Сильная асимптотика ортогональных многочленов. Нам понадобится следующий результат (см, [7, 10]):
Теорема 1. Пусть /л € Б (Е) с весом р и дискретными .массам,и, в точках г*, к = 1,..., N. Пусть многочлены с единичным старшим коэффициентом, ортогональны, относительно м,еры, р. Тогда,
1) \\РпЛ/С(Е)2П П ^ж;
2) РПМ) = С(Е)пФп(г)[Фп,^) + еп(г)}, где еп ^ 0 при п ^ ж, равномерно на, компактных подмножествах П \ {г*, г*,..., }.
3. Постановка задачи
Каждой мере р € Б(Е) соответствует система многочленов Рп^(г) = гп + ... степени п, ортогональных относительно Будем говорить, что многочлены Рп^ и Рп,„ имеют одинаковое асимптотическое поведение отношения в бесконечности1, если равномерно на компактных окрестностях бесконечности выполняется
^ ^ 0, п ^ ж. (9)
( )
В работе [3] было показано, что условие
Ъ М = Ъ (")(той 1), 3 = 1, 2,...,р, (10)
является достаточным для выполнения условия (9), а также доказана необходимость этого условия в случае р < 4. Там же показано, что условия (10) и (9) являются эквивалентными для мер р € Б (Е) таких, что Е с К (при этом дискретная составляющая не обязана принадлежать К), Из результатов работы [4] следует, что в случае Е С К с дискретной частью, состоящей из счетного числа масс на К (точка сгущения обязана принадлежать Е),
1 Важно заметить, что фразу "ортогональные многочлены имеют одинаковое асимптотическое поведение" следует воспринимать целиком. Она не означает, что отношение многочленов для каждой из мер имеет асимптотику, и эти асимптотики совпадают. Асимптотики отношения многочленов для каждой из мер может не существовать.
удовлетворяющих модифицированному условию Бляшке, условие (10) (при очевидной модификации J(ß) для бесконечного числа нагрузок) является необходимым и достаточным для выполнения условия (9) и в случае бесконечного числа дискретных масс (см, [4]),
В настоящей работе мы, следуя Б, Симанеку (см, [5]), вместо условия (9) будем рассматривать более общее условие: для некоторого фиксированного 1 е N
lim ( — =0,
равномерно на компактных окрестностях бесконечности, В этом случае будем говорить, что ортогональные многочлены имеют одинаковое асимптотическое поведение отношения со сдвигом,
4. Основные результаты
Для некоторого класса многозначности Г е T определим Г-п := Г — Гп, Пусть (z, z0) - воспроизводящее ядро в пространстве H2(Q,ß, Г-п):
fEf(z)K»,T-n (*, zo) dß(z) = f(zo), Vf е H2(ü,ß, Г-п).
J (Z)KuT-r, (z, Z0)Uß(Z) = J( Z0), VJ е Я2'
iE
Т2(П ,. ^ \ „„„„„„„л,,,,,, f r- U2t
Заметим, что для функции / Е Н2(0,,р, Г-п) выполняется /(г)Ф 1(х) Е Н2(0,,р, Г-(га-1)), Таким образом, получаем цепочку вложенных пространств
•••С Ф-п(г) Н2(П,р, Г-п) С Ф-п+1(г)Н2(П,р, Г-^) С ...
•••С Ф-1(г)Н2(П,/л, Г-1) С Н2(П,/л, Г).
По предположению ш (то) € О, следовател ьно, Гд+к = Г& У к, где q - общий знаменатель чисел ш (то) € О, Таким образом, воспроизводящие ядра тоже удовлетворяют условию периодичности по индексу:
КиГ (х, г0) = К„г ^, г0).
Введем обозначение
Кп,^(г, то):=К^_п (х, то), фп^(х) := Кп^(х, то)Ф-п(г). (11)
Следующая лемма является обобщением леммы 7,6 из работы [6].
Лемма 1. Система функций {фп,ц (-гО}£=0 является ортогональным базисом, в пространстве н 2 Г).
Доказательство, а) Пусть п < т, тогда Фп-т(то) = 0, Из определения воспроизводящего ядра следует
/ ФпА0КЖ)Л^(0 = / КпАС, то)Фп(ОКт^(с, то)Ф™((^(() =
иЕ и Е
кпАС, то)Фп-т (Окт^с, TO)dß(0 = Кп,ц(то, то)Фп-т(то) = о.
E
При п = т
/ ЫОШО =11КПА(,то)Фп«)№«) =
E E
/ 1Кп^((, TO)l2dß(() = \\Кп(; то)|2 е (0, то).
E
б) Докажем, что система {фп,^(^)}с^=0 полна. Пусть существует ненулевой вектор ф е Н2(П,р, Г) такой, что
{ Ф(ОФПЖ)МО = 0 V™ = 0,1,....
Зе
Из ортогональности векторов ф и ф0^ и определения воспроизводящего ядра следует, что
о = / Ф(0ФЖ)М0 = / Ф(С)КоАС, <»№(0 = ф(<),
зе ^ е
следовательно, ф(г)Ф(г) е Н2(П,р, Г\) ж ф е Ф-1 Н2(П, р, Г1), Из ортогональности векторов ф и ф1,/1 следует, что
о = / фЮфйСЖС) = / ф(С)Ф-1(С)к1,,((, <№(0 =
зе и е
= / ф(()Ф(()к1Ж<)МО = (фФ)(<),
и е
таким образом, функция фФ тоже имеет ноль в точке следовательно,
фФ2(г) е Н2(П,р, Г^ и ф(г) е Ф-2(г)Н2(П, р, ГПродолжая рассжудення по индукции, получаем, что аналитическая в П функция ф имеет в бесконечно удаленной точке ноль порядка т для произвольного натурального т. Следовательно, функции ф, ортогональной всем функциям фп, не существует, □
Следующий результат позволяет "избавляться" от дискретной составляющей меры, изменяя подходящим образом весовую функцию, так, что соответствующие ортогональные многочлены будут иметь одинаковое асимптотическое поведение отношения.
Лемма 2. Для меры р е Б (Е) найдется абсолютно непрерывная мера, и0 е 5 (Е) такая, что
РпАг) Рп+1 (?)
^ 0, п ^ (12)
Рп+1,ц,(2) Рп+1+1,и0
равномерно на компактных окрестностях бесконечности.
Эта лемма является простым следствием более сильного утверждения, обобщающего следствие 3,2 из [11]).
Теорема 2. Для, двух м,ер е 5(Е) и произвольного числа I е N найдется абсолютно непрерывная мера и0 е 5 (Е) такая, что
( ) Рп+1,1>0 ( )
^ 0, п ^ »,
Рп+1,ц(%) Рп+1+1, V0 ( )
0
Е 0
на, постоянный множитель:
и°\Ек = С • и\Ек , к = 0,...,р.
Доказательство. Рассмотрим функцию
V(г) := ехр 2ткПк(г)\ .
\к=0 )
к
1 Р Р
Тк= ^ (р) - ^ (ь>) -1^3 (<); тк = 0, 3 = 0,...,р.
к=0 к=0
Нетрудно видеть, что модуль этой функции постоянен на каждой компоненте связности Е. Пусть
Ск := \У(г)\ = е^, ^ = Ск • и\Ек , к = 0,...,р.
Тогда
= V • ,
р
V) = — У^ Тк А Е,Шк +
Зд (V0) = 4- АЕк ^(г) + Я (и) = 4-^ тк АЕ& + ъ И = Зд М
к=0
и, следовательно,
0
Зз Ы - Зз (= 0(той 1), 3 = 1,..., р.
Как показано в [3], это условие является достаточным для выполнения (12).
□
Основная трудность, возникающая при доказательстве условий, необходимых для того, чтобы поведение отношений ортогональных многочленов было одинаковым, заключается в возможном сокращении нулей у функций Оп,ц, п Е N (см. [3], [11]). В следующей лемме
Е
Лемма 3. Рассмотрим пространство Н2(П,р, Г). Функции п Е N могут иметь
Е
Е Паоиые: ®п,ц(?0) = 0 Vn € N следует, что г0 Е Е.
Доказательство. Построим по мере р меру и0 из леммы 2. Так как по построению, Зз Ы - Зз (У0) = 0(тос1 1), ] = !,... ,р, то
Доказательство разобьем па два пункта: сначала докажем, что г0 Е П+, во втором пункте покажем, что г0 Е П-.
1) Предположим, что г0 Е П+,
0
функций Киогп совпадают с нулями вп,м. Тогда, по предположению, К„орп (г0) = 0 Vn Е N
и из определения (11) следует, что каждая функция системы фп = Ф-пК1/о Гп принимает значение ноль в точке г0 Е П. Как показано в лемме 1, функции фп, п > п0 образуют базис в пространстве Н 2(П, и0, Гп0) для любо го п0 Е N. Однако, как показано в [7], можно построить функцию Уп0 Е Н2(П, и0, Гп0), нигде в П не равную нулю: Уп0(г) := ехр (5^к=0 2ткПк(г)), где числа тк однозначно определяются из следующей системы уравнений (подробное построение функций УГп можно найти в [7]): ^2Рк=0 ткАЕ^Сок = тз; ^2к=0 тк = 0, 3 = 0,... ,р. Полученное противоречие показывает, что г0 Е П+.
Этот пункт также следует из теоремы Амброладзе [1].
2) Теперь рассмотрим случай, когда х0 Е П-.
Напомним, что экстремальная функция 0^0 имеет те же нули, что и функция Оп,ио (8). В теореме 6.2 [7] для нахождения нулей функции указана однозначно определяющая их система уравнений:
У^ (ш(- Шк(г*)) = ^т[АкШ,
3=1 ^ (13)
р
1 / 0\ ^ / \ Шк (ТО) — 1 / \/ 7-,\
2/ , 6зшк(= ак(щ)--2--пшк(то) (той 1)
3 = 1
где х** — конечные нули С (х); т1 — произвольные натуральные числа. Параметры tj = ±1 и точки х® однозначно определяются системой, при этом числа служат для указания листа римановой поверхности, на который следует поместить соответствующую точку х*-. если е^ = 1 то х* е П+, а если е^ = —1, то х* е П_.
По нашему предположению, одной из точек х® является точка г0, причем соответствующий ей параметр равен — 1. Не умаляя общности, будем считать, что х* = х*, е1 = 0. Добавим к правой части второго уравнения системы (13) слагаемое 2шк(х*). Очевидно, что этому уравнению будет удовлятворять та же система точек с теми же параметрами е^,] = 2,... ,р и параметром = 1.
С другой стороны, ту же систему уравнений можно получить, решая экстремальную задачу для весовой функции щ такой, что
Л(щ) = Л(у) + 2шк(г*), ^к = 0,...,р
(построение такой функции полностью повторяет построение из доказательства 2), Таким образом получаем, что экстремальные функции фп^0, а, следовательно, и Оп,„0 имеют
общий ноль в точке, лежащей в области П+, Но, как следует из пункта (1), это невозможно,
" " □
Теорема 3. Пусть шк(») е 0_,к = 1,... ,р, е 5(Е) и для, некоторого фиксированного I е N
Рп*(*) — Рп+"= 0, (14)
п^'х\Рп+1Аг) Рп+1+1V (?);
(сходимость равномерная на компактных окрестностях бесконечности). Тогда
^ (ц) ( и) — 1^3 (<х)(той 1/2), ] = 1, 2,...,р. (15)
Доказательство. Предположим, что равномерно на компактных окрестностях бесконечности
^(х) Рп+1 ( )
Рп+1,ц(%) Рп+1+1V
Тогда
Фп+1 V (г)
0, п .
0, п .
■фп+1,ц(г) Фп+1+1V (?)
Используя представления (8), получаем
®п,1л(г)®п+1,1л((Х1) ®п+1 V (г)0п+1+1^ (<)
®п+1,ц(г)<дпАж) ®п+1+1V (г)@п+1 V (<)
0, п .
Пусть д е N - общий знаменатель чисел шк(<) е <^,к = 1,... ,р, тогда Гп = Гп+(1 Vп е N и, следовательно, Оп^ = Оп+д, ц. Тогда из асимптотических формул следует, что
Ог
Vr е N г < д — 1. (16)
Ог+1,р (х)Ог ,р(<) Ог+1V (г)Ог+1+1V (<)
Если ни один из р нулей тета-функции О(х) не сокращается с нулем функции Ои,г+1(^), то нули О (х) и О^г+1 (х) должны совпадать. Если же для некоторого х^ е П О (= О х^), то в левой части равенства (16) тоже происходит сокращение. Пусть О^г+1 () = О1/,г+1) и х^ = По лемме 3, если х^ е Е, то найдется г* : О ц,Г0 (х^) = 0, но тогда из соответствующего равенства отношений тета-функций (16) следует, что 01/>г0 +1 (Хи) = 0 и х^ = Хи.
Запишем выражение для констант Римана поверхности Пdouble двумя способами (см. (7)):
kj = / dQj(0 + dj — rouj(то) + Jj(ц) =
k=iJz°
^ / ' dQj(0 + - (то + (то) + ^( и),
где и — нули функций О(г) и Ои,г(г), соответственно. А так как все нули функций Оц,г (г) и Ои,г (г) совпадают, кроме, быть может, тех, которые принадлежат множеству Е , получаем (15). □
Сформулируем более сильное утверждение, являющееся простым следствием приведенного выше рассуждения для случая, когда функции О Оп+1^ не имеют общего нуля на Е
сутствуют, в условии (15) равенство будет выполняться по модулю 1.
Теорема 4. Пусть шк(то) € 0>,к = 1,... ,р, Е 5(Е). Если для некоторого бесконечного подмножества натуральных чисел, Л С N функции Оп,^ и Оп+1,^ не имеют общих нулей на Е для всех п Е Л, т.е. ОП+ О"П+141(х) = 0 Ух Е Е, Уп Е Л, то следующие условия равносильны,
• для, некоторого фиксированного I Е N равномерно на, компактных окрестностях бесконечности
Рп,и(2) Р-п+1 .V п А
Pn+\,^(z) Pn+l+\,v
• Jj (ц) = Jj ( v) — I ■ Mj (то)(той 1), j = l, 2,..., p;
• для, некоторого фиксированного I E N равномерно на, компактных окрестностям бесконечности
Ра, Ра+1 ( )
—> 0, п —> то.
( )
Таким образом, в условиях теоремы 4 сохранение поведения асимптотики отношения ортогональных многочленов со сдвигом равносильно сохранению асимптотического поведения по некоторой подпоследовательности.
Условия на меру в теореме 4 носят несколько неявный характер. В качестве примера мер, к которым это утверждение применимо, приведем следствие 1.
Следствие 1. Если шк(то) Е 0>,к = 1,... ,р, Е Б(Е), причем м,ера, ^ инвариантна
относительно поворотов на угол -, то условия утверждения 4 выполнены.
р+1
Доказательство. Из условия единственности экстремальной функции фц,к и условия инвариантности меры относительно поворотов следует, что если некоторый ноль г* экстремальной функции ф^.к принадлежит компоненте связности то точки, получающиеся
поворотом на угол -, также будут являться нулями экстремальной функции. Но это
р+1
нент связности множества Е равно р+1.
□
Благодарность. Автор выражает благодарность рецензенту за, ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. A. Ambroladze On exceptional sets of asymptotic relations for general orthogonal polynomials // J. Approx. Theory, 82 (1995). P. 257-273.
2. B. Beckermann Complex Jacobi matrices //J. Comput. Appl. Math., 127 (2001). P. 17-65.
3. A.A. Kononova Stability of ratio asymptotics of orthogonal polynomials under some class of measure perturbations, Acta Sci. Math. (Szeged), 81:1-2 (2015). P. 133-143.
4. F. Peherstorfer, P. Yuditskii Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set // J. d'Analyse Mathématique, 89:1 (2003). P. 113-154.
5. В. Simanek Relative asymptotics for general orthogonal polynomials // Michigan Math. J., 66:1 (2017). P. 175-193.
6. M. Sodin, P. Yuditskii Almost periodic Jacobi matrices with homogeneous spectrum, infinite dimensional Jacobi inversion, and Hardy spaces of character-autom,orphie functions // J. Geom. Anal., 7 (1997). P. 387-435.
7. H. Widom, Extremal polynomials associated with a system, of curves in the complex plane, Advances in Math., 3 (1969). P. 127-232.
8. Аптекарев А.И. Асимпт,от,ические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Тода, // Матем. сб., 125(167):2(10) (1984). С. 231258.
9. Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения // УМН, 36:2(218) (1981). С. 11-80.
10. Калягин В.А., Кононова А.А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на системе дуг, по мере, имеющей дискретную часть // Алгебра и анализ, 21:2 (2009). С. 71-91.
11. Кононова А.А. О компактных возмущениях конечнозонных операторов Якоби // Зап. научн. сем. ПОМИ, 366 (2009). С. 84-101.
Анна Александровна Кононова,
Санкт-Петербургский государственный университет, Старый Петергоф, Университетский пр., дом 28, 198504, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
