Объекты сечения, геометрической и фундаментально-групповой связностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Ю. И. Шевченко

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Объекты сечения, геометрической и фундаментально-групповой связностей

Установлены взаимоотношения между объектами сечения, геометрической и фундаментально-групповой связностей в общем и главном расслоениях. Показано, что ограничение горизонтального распределения плоской геометрической связности на секущую поверхность есть семейство ее касательных пространств. Введено полусимметрическое главное расслоение, для которого в дополнение к общему продолжению построены широкое и узкое продолжения.

Ключевые слова: расслоение, главное расслоение, продолженное расслоение, горизонтальное распределение, геометрическая связность, фундаментально-групповая связность.

1. Общее расслоение

Рассмотрим общее расслоение, или составное многообразие Вагнера УГ (Мп), базой которого является п-мерное гладкое

многообразие Мп, а типовым слоем — гладкое многообразие УГ размерности г . Поскольку расслоение УГ (Мп) является специальным (п+г)-мерным гладким многообразием, воспользуемся деривационной формулой [1 — 3] его произвольной точки А

<ЗА = а'е1 + оаеа (1,... = 1,п;а,... = п + 1,п + г), (1) где векторы в1, еа образуют базис касательного пространства Тп+Г к расслоению Уг(Мп) в точке А. Структурные формы

о1, а>а расслоения УГ(Мп) удовлетворяют уравнениям

D® = а] ла\, Do>a = ар ла>Ср + а1 л со* , (2)

где D — символ внешнего дифференциала.

В силу структурных уравнений (2i) система уравнений а1 = 0 вполне интегрируема. Она фиксирует точку базы Mn, иначе говоря, слой расслоения Vr (Mn) . Подставим а1 = 0 в формулу (i)

дА = Шава (8 = d\¿ =0, с = ®с=0).

Значит, на векторы ea натянуто вертикальное пространство

/, =[í„] касательного пространства Tn+r, касающееся слоя,

проходящего через точку А . При подстановке системы а1 = 0 в уравнения (22) получаем структурные уравнения r-мерного

гладкого многообразия Vr : Daa = ®р л а" .

Продифференцируем внешним образом деривационную формулу (i) с помощью структурных уравнений (2)

(Aei - а"еа) л а1 + Aea лаа = 0 ,

причем дифференциальный оператор A действует следующим образом:

Ае1 = de - ®í ej , Aea = dea - а^ер .

Разрешая векторное квадратичное уравнение по лемме Карта-на, найдем деривационные формулы 2-го порядка

Aei - ea = ^ ej + aae1a, Aea = а e* + ^eap , (3)

где новые векторы e^ , eia , eai, eap симметричны

e[ j] = ^ e[1a] = ^ e[ap] = 0.

Касательное пространство 2-го порядка (соприкасающееся пространство) Т2 = [е,, еа, e¡j, eia, еар] в общем случае имеет следующую размерность:

dim T2 = -1 (n + r)(n + r + 3). Сечение расслоения Vr (Mn) задается уравнениями

© a = A? ©, (4)

которые определяют в расслоении n-мерную секущую поверхность Sn . Продифференцируем систему (4) с помощью структурных уравнений (2)

^A? + 6f) л©1 = 0 (0 = ©|(4)), (5)

Л^ = dsAat +A%-A66 (ds = d\(4)).

Разрешим квадратичные уравнения (5) по лемме Картана

ЛбА? +6f = A© (A[j] = 0). (6)

Совокупность функций A? называется фундаментальным объектом 1-го порядка поверхности Sn z Vr(Mn).

Подставляя уравнения (4) в деривационную формулу (1), получим формулу для смещения точки А вдоль поверхности Sn

dsA = ©Si, s? = ei +Axea . Совокупность векторов si определяет касательное пространство Tn = [s ] к поверхности Sn в точке A е Sn .

2. Геометрическая связность

Зададим n-мерное распределение на расслоении Vr(Mn), трансверсальное r-мерному распределению, образованному полем вертикальных подпространств Tr . Преобразуем невертикальные векторы ei с помощью линейных комбинаций вертикальных векторов e

E? = ei + Lfea .

Применим дифференциальный оператор А к обеим частям равенства и воспользуемся деривационными формулами (3)

Щ = (А£? +<)еа + в>Чеу <оа{е,а +Ь^ера) ,

=(1Ц + о)ар-Щ(а{ . Совокупность векторов Е инвариантна в произвольной точке А расслоения Уг (Мп), если в первой скобке стоит линейная комбинация базисных и слоевых форм ю], сор . Иначе говоря, подпространство Пп = [Е] ] инвариантно, если коэффициенты Ь" удовлетворяют дифференциальным уравнениям

АЬ" +< = Ц+ . (7)

Подпространство Пп касательного пространства Гп+Г называется горизонтальным, а квазитензор Ь" определяет связность

Эресмана — Вагнера — Близникаса [4—6], или геометрическую связность [7].

Распределение горизонтальных подпространств Пп ограничивается на поверхность Бп при подстановке уравнений (4) в дифференциальные уравнения (7)

А,Ь" +в"= (Ы + (Ь = Ь (4)). (8)

Сопоставляя уравнения (6) и (8), можно произвести отождествление

Л" = Ь", Л = Ы + ,

при условии

Ы,я+Ь"^,= 0 (9)

где квадратные скобки обозначают альтернирование по крайним индексам в них.

Утверждение 1. Ограничение горизонтально распределения на секущую поверхность 8п расслоения Уг(Ып) определяется

полем (8) квазитензора Ь" на базе Мп. Если выполняется условие симметрии (9), то Ь" можно отождествить с фундаментальным объектом поверхности Бп, а горизонтальные подпространства П п касаются поверхности Бп: Пп = Тп.

3. Продолжение общего расслоения

Продифференцируем структурные уравнения (21) и вынесем базисные формы

(Бю) -ю* )лЫ = 0-

Применим лемму Лаптева [8]

причем

Da' — а. лак = а ла'.,.

J J к Jk '

а'., ла. лак = 0 ^ aj ] л а лак = 0,

что эквивалентно сравнениям

а. ] = 0 (mod а1). (10)

Изолируя внешний дифференциал, получим

Ба. =ак ла'к + ак ла.к . (11)

Продолжим структурные уравнения (22)

Ба* =агрла" + а' лар1 +аг ла"рг, (12)

Ба* = а{ л а* + ар лаар+ а] л аа + ар ла*р, (13) причем выполняются сравнения

а**.] 0, а* — 0, * ~ 0 (mod а', аа). (14)

При фиксации точки А вполне интегрируемой системой уравнений а' = 0, а* = 0 уравнения (11—13) примут вид

бю^ = ю* лю* , ою" = а)гр лсс" , (15)

Бю" = ю/ лю" + ю" лю" (ю = ю\а=0 = ю

ю =0, сО" =0

=0).

Это структурные уравнения группы Ли Н — подгруппы стационарности вертикального подпространства Тг в касательном пространстве Тп+Г. Группа Н с ОЬ(п + г) с размерностью

ЛшН = п2 + г2 + пг имеет две линейные факторгруппы ОЬ(п) и ОЬ(г) со структурными уравнениями (151), (152).

Утверждение 2. Продолжение расслоения Уг(Мп) является главным расслоением Н(УГ(Мп)) со структурными уравнениями (2, 11 — 13), базой которого служит исходное расслоение, а типовым слоем —подгруппа стационарности Н вертикального подпространства Тг в касательном пространстве Тп+Г к расслоению УГ(Мп) в точке А.

Продолженное расслоение Н(УГ(Мп)) назовем расслоением линейных реперов касательных пространств Тп+Г, адаптированных вертикальным подпространствам ТГ.

Утверждение 3. Расслоение адаптированных линейных реперов Н(УГ(Мп)) имеет два факторрасслоения со следующими структурными уравнениями: 1) (21, 11) — расслоение базовых линейных реперов Ьп2(Мп) над базой Мп, типовой

слой которого — линейная факторгруппа Ьп2 = ОЬ(и), действующая в касательном факторпространстве Тп+Г /ТГ к базе Мп в точке, соответствующей проходящему через точку А слою; 2) (2, 12) —расслоение вертикальных линейных реперов Ьг2(Уг(Мп)) над расслоением УГ(Мп), типовым слоем которого служит линейная факторгруппа 1, 2 = оь(г) , действующая в вертикальном пространстве ТГ.

4. Тензор кривизны геометрической связности

К объекту связности Ьа в расслоении Уг(Ып) можно прийти двойственным геометрическому пути аналитическим способом Близникаса [6]. Преобразуем слоевые формы са с помощью линейных комбинаций базисных форм сС: Са = са - Ь"С . Внешние дифференциалы форм Са приводятся к виду

БСа = СР ЛСр + Сл « + С ). (16)

Требуется, чтобы выражение в скобках являлось комбинацией базисных и слоевых форм расслоения Уг(Ып), то есть функции Ьа удовлетворяли дифференциальным уравнениям (7). Тогда уравнения (16) становятся структурными уравнениями форм геометрической связности

бса =ср л с - ас)+ЩС л С , где объект кривизны Яа выражается по формуле [6, с. 197]

щ = а ]+. (17)

Продолжим дифференциальные уравнения (7) с помощью структурных уравнений (11 —13)

^ - ас+- щ+с- о, (18)

щр+ Цс^ + Ср-о.

Альтернируем дифференциальные сравнения (181) и используем условия (10, 141)

дьО/ ] - ас+4 с о. (19)

Запишем сравнения для альтернированной свертки слоевых пфаффовых производных L"p объекта геометрической связности L" и компонент объекта связности Lp

A(LV£)+(L ® Р + + Lр * 0. (20)

Сложим сравнения (19) и (20), используем условия (142, 3) и найдем дифференциальные сравнения для компонент объекта

кривизны Ra (17): ARa ~ 0.

Утверждение 4. Объект кривизны Ra геометрической связности в расслоении Vr(Mn), задаваемой полем объекта

Za

{ на этом расслоении, является тензором. Плоская геометрическая связность характеризуется инвариантным условием Ra = 0 , которое на поверхности Sn совпадает с условием (9) при отождествлении =' Lp .

Утверждение 5. Если геометрическая связность без кривизны (Ra = 0), то ограничение горизонтального распределения на поверхность Sn есть семейство ее касательных пространств.

5. Главное расслоение

Рассмотрим случай общего расслоения Vr(Mn), когда типовой слой Vr есть группа Ли Gr. В этом случае формы с% в структурных уравнениях (22) имеют вид

с%су, (21)

где Сру — структурные постоянные группы Ли Gr, удовлетворяющие условию антисимметрии С"у) = 0 и тождествам Якоби

Ср7С5х + CSyCs/3 + С%Ср5 = 0 • (22)

Подставим выражения (21) в структурные (22):

Daa = Сруюр лю7 + ю1 л cof . (23)

Уравнения (2Ь 23) являются структурными уравнениями Лаптева для главного расслоения Gr (Mn).

С помощью условий (21) дифференциальные уравнения (6, 7) приводятся к виду

dsJf -a +0f= (J -Cf7hpA7j, (24)

dLa -iaac + с = Lacj + (Lap + С^Ц)юр . (25) Утверждение 6. На главном расслоении Gr (Mn) фундаментальный объект сечения Af и объект геометрической связности Lf распадаются на r квазитензоров Aa = {Aa } La = Ua }

11 V-1 N > a=const > ^ \J-'i > a=const

с дифференциальными уравнениями (24), (25).

Структурные уравнения (12) можно уточнить, дифференцируя выражения (21) форм ю f :

Daf = Сар7С7Ею5 люе + ю1 лСар7ю7 . (26)

Сопоставление уравнений (12) и (26) дает

юр, = Сар7ю7 . (27)

С помощью тождеств Якоби (22) и выражений (21) преобразуем 1-е слагаемое в формуле (26):

r^a 5 s 7 a , 5 a

Ср7С5сЮ лю = юр лю7 + юр ла>5 . (28)

Здесь во 2-м слагаемом раскроем обозначения (21):

5 a 7 r^5 a юр л ю5 = ю л С р7 ю5 .

Таким образом,

ю%= С%СаЗЕюЕ. (29)

Подставим формы ю" (21) в структурные уравнения (13):

ою" = со{ л юЮ + ю] л со* + юа л О" , (30)

п%=ю" + юар1 =ю"+ С"гю{. (31)

Если локальная полусимметрия (142) является полусимметрией:

ю" = 0, (32)

то формула (31) упрощается

О " = 2С"Ю - (33)

Утверждение 7. В случае главного расслоения Ог (Мп) структурные уравнения (11) не изменяются, в уравнениях (12) трехиндексные формы юари ю"7 имеют выражения (27), (29),

а уравнения (13) принимают вид (30), в котором формы О"

(31) имеют наиболее простые выражения (33) при полусимметрии (32).

Формула (28) позволяет записать структурные уравнения (26) в следующем виде:

ТЛ " О 7 " , I "

Ою" = 2ю'а люу + ю ЛЮ"1. Умножая на 2 и вводя обозначения, получим

2 а=&а ло7+ю' л О" ла = = 2Сагю, Оа = 2юа = ^агш'

Утверждение 8. К главному расслоению Ог (Мп) присоединяется главное расслоение со структурными уравнениями (.21, 34), изоморфное расслоению вертикальных линейных реперов Iп2(Мп).

ОО а =О"лО7+ ю' л О", (34)

оа = 2ю" = 2Саагю7, О% = 2ю% = 2Сам. (35)

В силу выражений (21) структурные уравнения (15) упрощаются

БШ] = 6* л Ш!, Б6" = 6/ л 6а. .

У У к 1 1 3

Это структурные уравнения группы Ли Н — подгруппы стационарности вертикального подпространства Тг с фиксированным репером [3] в пространстве Тп+г, касательном к главному расслоению Ог (Мп) в произвольной точке А. Группа Н с размерностью Н = п(п + г) имеет линейную факторгруппу ОЬ(п).

Утверждение 9. Продолжение главного расслоения Ог (Мп), рассматриваемого как особый случай общего расслоения Уг (Мп), определяется структурными уравнениями (21, 11, 23, 30) и является главным расслоением Н(Ог (Мп)) над Ог (Мп) с типовым слоем Н —подгруппой стационарности реперированного вертикального подпространства Тг в касательном пространстве Тп+г.

6. Продолжения полусимметрического главного расслоения

При полусимметрии (32) структурные уравнения (30) можно преобразовать, подставляя в них формы (33) и используя обозначение (351):

Б а" = ш© л а] + + а3 л а* . (36)

В этом случае продолжение полусимметрического главного расслоения Ог (Мп)' можно рассматривать иначе, как главное расслоение 0'(Мп) над той же базой Мп со структурными уравнениями (21, 11, 23, 34, 36). При фиксации точки базы Мп эти уравнения принимают вид

БШ" = Сруар л Шг, БШ] = б] л Ш!, (37)

БЩ =Щ л Щ" , Ба" = а/ л а" + л Щ" .

Это структурные уравнения некоторой группы Ли G', которую назовем широким продолжением типового слоя Gr полусимметрического главного расслоения Gr (Mn)'. Широкое продолжение G' группы Ли Gr есть группа Ли, имеющая 4 факторгруппы со следующими структурными уравнениями: 1) (37i) — исходная группа Ли Gr; 2) (372) — базовая линейная группа GL(n); 3) (373) — линейная группа Ц2 , изоморфная вертикальной линейной группе GL(r); 4) (372—4) — группа Ли H, изоморфная группе H. Группа Ли G', имеющая размерность dim G' = r + n2 + r2 + nr, является прямым произведением G' = Gr x H, иначе говоря, факторгруппа H двойственна факторгруппе Gr в группе G' .

Утверждение 10. Широкое продолжение полусимметрического главного расслоения Gr (Mn)' является главным расслоением G'(Mn) со структурными уравнениями (2Ь 11, 23, 34, 36), типовым слоем которого является группа Ли G' — широкое продолжение группы Gr. Расслоение G''(Mn) имеет 4 главных факторрасслоения со следующими структурными уравнениями: 1) (21, 23) — исходное главное расслоение Gr (Mn); 2) (21, 11) —расслоение базовых линейных реперов Lni(Mn); 3) (21, 34) — расслоение псевдовертикальных линейных реперов Lr2(Mn) ; 4) (2h 11, 34,36) —главное расслоение H(Mn), двойственное расслоению Gr (Mn).

Подставим формы Q" (351) в структурные уравнения (36):

Da" = aJ л а" + 2Capyaf л a7 + С л а"". (38) При фиксации точки базы Mn формула (351) сохраняет вид

Щ= 2С%Ш7 .

Эти уравнения описывают отображение Gr ^ Lr 2, поэтому псевдовертикальную линейную факторгруппу Lr 2 группы G', имеющей факторгруппу Gr, можно не учитывать. Тогда в системе (37) пропадут структурные уравнения (373), а уравнения (374) примут вид

Da* = Ш/ л äj + 2Cßäß л Шу. (39)

Получили структурные уравнения (37i,2, 39) некоторой группы Ли G, которую назовем узким продолжением типового слоя Gr полусимметрического главного расслоения Gr (Mn). Узкое продолжение G группы Gr есть группа Ли с размерностью dim G = r + n2 + nr , имеющая две факторгруппы: группу Gr и базовую линейную группу GL(n).

Утверждение 11. Узкое продолжение полусимметрического главного расслоения Gr (Mn)' является главным расслоением G(Mn) со структурными уравнениями (21, 11, 23, 38), типовым слоем которого служит группа Ли G — узкое продолжение группы Gr.

7. Фундаментально-групповая связность как особая геометрическая связность

Вернемся к общему расслоению Vr (Mn) и объекту геометрической связности. В дифференциальных уравнениях (7) раскроем действие оператора А, добавим к обеим частям слагаемое Lßofß и используем обозначение (35i):

dL + Lß q; — Ljaj + ш° = Ljä + Lä, (7')

т а _ Tа а ту

L.iß = Ltß — CßyLt .

С помощью соотношений (7,142, 182, 27 . 29) найдем АЬ"рр - 0 . Следовательно, инвариантны равенства

ь 1= о « ьр = с;д. (40)

Утверждение 12. Если вертикальные пфаффовы производные Цр объекта геометрической связности Ь" являются линейными комбинациями (402) компонент этого объекта с коэффициентами — структурными постоянными Сару группы Ли вг, в которую превращается типовой слой Уг при переходе (21) от общего расслоения Уг (Мп) к главному расслоению Ог (Мп), то геометрическая связность становится фундаментально-групповой, то есть горизонтальное распределение инвариантно по отношению к действию группы Ог.

Действительно, подставляя равенства (401) в уравнения (7'), получим дифференциальные уравнения объекта фундаментально-групповой связности [9]:

ОГ"-Г/с/ + уРор +< =г/с (Г = ь\(40)). (41)

Сопоставляя дифференциальные уравнения (6) объекта сечения Л" в случае (21) и уравнения (41) объекта связности Г", отмечаем, что ограничения объекта Г" на секущую поверхность Бп главного расслоения Ог (Мп) совпадают с объектом Л" лишь для абелевой группы (Ог Сарг = 0). Таким образом, установлена связь объекта геометрической связности Ь" с объектами сечения и фундаментально-групповой связности Л", Г", которые между собой, вообще говоря, не связаны.

Список литературы

1. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.

2. Shevchenko Yu. Non-symmetrical structure of adjoining spaces of a principal bundle // New Geometry of Nature. Kazan, 2003. Vol. 1. P. 187—190.

3. Шевченко Ю. И. Соприкасающиеся пространства голономного главного расслоения и подвижной репер 2-го порядка // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 156—163.

4. Ehresmann C. Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable // Colloque de Topologie. Bruxelles, 1950. P. 29—55.

5. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. М. ; Л., 1950. Вып. 8. С. 11—72.

6. Близникас В. И. Неголономное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов // Литовский мат. сб. 1966. Т. 6, № 2. С. 141—209.

7. Шевченко Ю. И. Связность в составном многообразии и ее продолжение // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1992. Вып. 23. С. 110—118.

8. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

9. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.

Yu. Shevchenko

Objects of section, geometrical and fundamental-group connections

Relationships between objects of section, geometrical and fundamental-group connections in general and principle fiber bundles are established. It is shown, that restriction of horizontal distribution of flat geometrical connection on a secant surface is a family of its tangent spaces. Semi-symmetrical principle fiber bundle are introduced; broad and narrow continuations is constructed for this bundle in addition to the general continuation.