Об устойчивости стационарных движений эллипсоида вращения на горизонтальной плоскости с вязким трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 243-244

УДК 531.36

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ЭЛЛИПСОИДА ВРАЩЕНИЯ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ

© 2011 г. М.А. Муницына

Московский госуниверситет инженерной экологии [email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Анализируются условия устойчивости установившихся движений тяжелого эллипсоида вращения на плоскости с вязким трением. Дается геометрическая интерпретация результатов. Проводится сравнение с соответствующими результатами в задачах движения эллипсоида на абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой поверхностях.

Ключевые слова: устойчивость, стационарные движения, вязкое трение.

Рассматривается задача о безотрывном движении однородного тяжелого эллипсоида вращения на горизонтальной плоскости. Предполагается, что со стороны последней на тело в точке его контакта с плоскостью помимо нормальной реакции действует сила, пропорциональная скорости этой точки тела и противоположная ей по направлению (сила вязкого трения).

Вводится подвижная система отсчета с началом в центре масс эллипсоида и осями, направленными по его главным центральным осям инерции. В качестве уравнений движения эллипсоида выбраны уравнения из теорем об изменении количества движения и момента количества движения эллипсоида, условия постоянства единичного вектора восходящей вертикали и безотрывности эллипсоида от плоскости соответственно:

ту + [Ж, тУ] = -га§у + №у + ^, (1)

ЛЖ + [Ж,ЛЖ] = [г, N7 + ^], (2)

у + [Ж, у] = 0, (3)

(и, у) = 0. (4)

Здесь т — масса эллипсоида, V и о — соответственно векторы скорости центра масс и угловой скорости тела, g — ускорение свободного падения, N — величина нормальной составляющей реакции опоры, Л = diag (Л1 , Л2 , Л3) — центральный тензор инерции эллипсоида, г и и = V + [Ж, г ] — соответственно радиус-вектор и вектор скорости точки касания эллипсоида с плоскостью, ^ = = -тки — сила трения, к — коэффициент вязкого трения, у — вектор восходящей вертикали (У=-grad/(г)/(г)||, /(г) — уравнение эллипсоида в главных центральных осях инерции).

Уравнения (1)—(4) допускают однопараметри-

ческие семейства решений:

Yi = Y2 = 0, Y з = ±1, Ю = ®2 = 0,

ю3 = ю = const; (5)

Y1 = sin y, y 2 = cos у, у = const, y3 = 0,

ю1 = ®Y1, ю2 =®y2, ю3 = 0; (6)

Y1 = sin 0 sin rat, y 2 = sin 0 cos rat, y 3 = 0,

ю1 = ю2 = 0, ю3 = ю = const; (7)

Y1 = sin 0 sin ra0t, y 2 = sin 0 cos ra0t,

Y 3 = cos 0 = const, ю1 = юY1, ю2 =юY2, ю3 = ю0 +юY3, (8) на которых проскальзывание отсутствует, а величина нормальной реакции опорной плоскости равна весу эллипсоида. Решениям (5) соответствуют равномерные вращения эллипсоида вокруг оси динамической симметрии, совпадающей с вертикалью. Решениям (6) соответствуют равномерные вращения эллипсоида вокруг вертикали, при которых ось его динамической симметрии горизонтальна. Решениям (7) соответствуют равномерные качения по плоскости экваториальным сечением эллипсоида. Решениям (8) соответствуют регулярные прецессии, при которых центр масс эллипсоида неподвижен, а точка его контакта с опорной плоскостью описывает окружность с угловой скоростью ю0 на плоскости и окружность с угловой скоростью ю на поверхности эллипсоида [1]. Значения постоянных ю и ю0 определяются углом нутации эллипсоида.

Находится критическое значение угловой скорости вращения эллипсоида Ю такое, что вращения (5) вытянутых вдоль оси симметрии эл -липсоидов (осевой радиус больше экваториального) устойчивы при угловых скоростях, боль-

ших критического значения, и неустойчивы в случае обратного неравенства. Вращения (5) сжатых эллипсоидов (осевой радиус меньше экваториального) устойчивы при ю < ю: и неустойчивы при ю > юг От коэффициента вязкого трения устойчивость таких вращений не зависит.

Строятся области устойчивости вращений (6) на плоскости параметров (ю2, №) для случаев сжатых и вытянутых вдоль оси симметрии эллипсоидов. Показано, что всегда существует одно критическое значение угловой скорости вращения юп такое, что вращения (6) вытянутых вдоль оси симметрии эллипсоидов устойчивы при угловых скоростях, меньших критического значения, и неустойчивы в случае обратного неравенства. Вращения (6) сжатых эллипсоидов устойчивы при ю > юп и неустойчивы при ю < юп.

Находится критическое значение угловой скорости юш такое, что качения (7) вытянутых вдоль оси симметрии эллипсоидов устойчивы при угловых скоростях, меньших критического значения, и неустойчивы в случае обратного неравенства. Качения сжатых эллипсоидов устойчивы при ю > юш и неустойчивы при ю < юш. От коэф-фициента вязкого трения устойчивость качений (7) не зависит.

Строятся области устойчивости прецессий (8) на плоскости параметров (ю2, k2) при различных значениях отношения осевого радиуса эллипсоида к экваториальному.

Устойчивость решений (5)—(8) исследуется также при k = 0 и k = ^, соответствующих случаям абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостей [2, 3], и сравнивается с полученными ранее результатами [4].

Дана геометрическая интерпретация полученных результатов. В трехмерном пространстве

/ 2,2 2 2ч

(о1 + о2, о3, у3) построены кривые изученных стационарных движений при различных значениях коэффициента вязкого трения и отношения осевого радиуса эллипсоида к экваториальному. Выделены устойчивые участки построенных кривых. На рис. 1 представлен случай вытянутых вдоль оси симметрии эллипсоидов при малых ко -эффициентах вязкого трения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00292) и Совета по грантам Президента РФ (грант МК-698.2010.1).

Список литературы

1. Карапетян А.В. О регулярной прецессии тела вращения на горизонтальной плоскости с трением // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 568-573.

2. Карапетян А.В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивости кельтских камней // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 1. С. 42-51.

3. Карапетян А.В. Об устойчивости стационарных движений систем с трением // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 4.

4. Зобова А.А. Качественный анализ движения тела вращения на шероховатой плоскости: Дис... канд. физ.-мат. наук. М, 2008. 102 с.

THE STABILITY OF THE STEADY MOTION OF AN ELLIPSOID OF REVOLUTION ON A HORIZONTAL PLANE WITH VISCOUS FRICTION

M.A. Munitsyna

Conditions of stability of steady motion of a heavy ellipsoid of revolution on a horizontal plane with a viscous friction are analyzed. Comparison of results with similar problems of ellipsoid motions on absolutely smooth and absolutely rough surfaces is discussed. Geometrical interpretation of the results is given.

Keywords: stability, steady motion, viscous friction.