CC BY
19
ИЗВЕСТИЯ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
ПГПУ
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 514.76
ОБ УСЛОВИЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ В РАССЛОЕНИИ ВЕЙЛЯ СО СВЯЗНОСТЬЮ ПОЛНОГО ЛИФТА
© К. М. БУДАНОВ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра прикладной математики и информатики e-mail: [email protected]
Буданов К. М. - Об условиях интегрируемости уравнений движений в расслоении Вейля со связностью полного лифта // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 51-57. - Получены условия интегрируемости уравнений движений в расслоении Вейля со связностью полного лифта.
Ключевые слова: алгебра Вейля, расслоение Вейля, линейная связность, полный лифт линейной связности, инфи-нитезимальное аффинное преобразование.
Budanov K. M. - About integrability conditions of motions equations on the Weil bundle with the connection of complete lift // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 51-57. - The integrability conditions of motions equations on the Weil bundle with connection of the complete lift are obtained.
Keywords: Weil algebra, Weil bundle, linear connection, complete lift of linear connection, infinitesimal affine transformation.
Пусть А - алгебра Вейля ширины 2, высоты 2, псевдобазис которой состоит из элементов (е1,е2). Размер-
1. Основные определения и понятия
ность алгебры равна 4. Базис образуют элементы [е°,е1,е2,е3], где е0 = 1, е1 = е1, е2 = е2, е3 = г2 и имеют место определяющие соотношения:
e32 = 0 , е33 = 0, e2e2 = qe3 , q = ±1. Ненулевыми структурными константами данной алгебры являются:
(1)
(2)
Пусть Мп - дифференцируемое многообразие размерности п, снабжённое линейной связностью V и МА -расслоение Вейля над алгеброй Вейля А размерности N. Тогда [3] на многообразии МА существует линейная связность Vе, удовлетворяющая условию:
VCX (* )¥(Ь) = (V х¥)(аЬ)
для любых векторных полей X,У е ^1о(Мп) и элементов а,Ь е А .
Связность Vе называется полным лифтом связности V в расслоение Вейля М^.
Пусть <! = —- I - натуральный репер и г| - коэффициенты линейной связности V в локальной карте
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
Рассмотрим локальную карту (тг~1(и), х“) с индуцированной системой координат на расслоении МА, где
п : МЩ ^ Мп - каноническая проекция. Тогда <д“ = ^ - натуральный репер в расслоении Вейля МА . Мож-
[ дх?
но показать, что связность Vе имеет коэффициенты Г“вк:
V дв = Гав д?
д“ 3 ,з? к ’
где а ,р,? = 0,..., N-1 и Г®? определяются равенствами:
д
г в = гарг^(Гку \ц) (3)
В выражениях (3) у?в - структурные константы алгебры А, (Г*)(р обозначает (р) - лифт функции Гк в расслоение Вейля МпА .
Пусть Ти R соответственно тензоры кручения и кривизны связности V. Можно показать [2], что для произвольных векторных полей X, У, 2 е3о(Мп) справедливы равенства
Т(X, У) = УХУ -УУХ -[X, У ] (4)
Я((X,У)Z = УX-У уУ^ -у[х,у]Z (5)
Тогда компоненты тензоров кручения и кривизны ( 3 и RIjkl соответственно) в локальной карте (и, х1) на многообразии Мп определяются условиями:
т (д з, дк) = 3 д,
К(д з, дк )д1 = Щк1 д,
Используя (4) и (5) можно показать, что:
гр1 _ р, р,
тзк =Г зк -Гкз
Щи =д ри -д к Г1 а +Г'„Гт -гктгт
При этом имеют место следующие соотношения:
Т]к = -ТЫ Щы = -Щк}1
R ;И + ЩкІі + Щік = 0 (6)
Кроме того, если тензор кручения Т = 0, то имеет место соотношение
3 + Кз + К3к
Равенство (6) называется тождеством Бианки.
Аналогично тензоры кручения и кривизны связности V = Vе (Т и К соответственно) определяются равенствами
Т (X, У) = V ХУ - VfX - [ X, У ]
К(X, У)2 = VкVy2 - VyV- VX У^2
для произвольных векторных полей X ,У, 2 е 30 (МА)
имеют вид:
Также можно показать, что компоненты тензора кручения Т^ и тензора кривизны связности V
Тй=г;вг7(т;ы)(,,
=г;1’г’р,гР»:,к, )т
Кроме того, в силу коммутативности и ассоциативности алгебры Вейля А, имеют место равенства:
таР: = т Ра:
3к? ~ ¿Ш?
ка/Зр! = кар/З: = = к^раг = к^ар!
КЧк1? = Кчк1? = Кчк1? = Кчк1? = Кчк1? = Кчк1?
В [1] найдены ненулевые компоненты линейной связности V, тензоров кручения Т и кривизны К в расслоении Вейля над алгеброй Вейля с определяющими соотношениями (1) и структурными константами (2):
Г? = (Гк)(?) ? = 0,1,2,3
т-'01к _____р10к ______т-Ю2к __т-120к _-г-ЮЗк _т—30к _т-11к _/т_,к \
1(/1 = Г31 =Гз2 = Г32 = 33 =Г 33 = 1,33 = (Гз)(0)
3 = Ч(Г| )(0)
01к 10к к Г 33 = Г ,33 = (Гз )(1)
02к 20к к Г 33 =Г 33 = ч(Г 3 )(2)
Т?к = (Т3к)(?) ? = 0,1,2,3
гр0\к ______гр10к ______гр02к __гр20к _гр03к _гр30к _гр11к _/т^кч
т31 = Т31 = Тг}2 = Ч}2 = Т33 = Т33 = Т33 = (Тз )(0)
т332к = ч(т3 )(0)
01к 10к к т33 = Т33 = (Тз )(1)
т332к=3=чТ )(2)
К30?= Кк1)(?), ? = 0,1,2,3
п001 , _ п010 , _ п100 , _ п002, _ п020, _ п200, _ п003 , _ п030 , _ п300 , _¡тл, \
К3к11 = Кзк11 = Кзк11 = Кк12 = Кк12 = Кк12 = К3к13 = Кк13 = Кк13 = (К3к1 )(0)
п011 I = п110 I = п101 I = (К )
К3к13 = Кзк13 = Кзк13 = (Кзк1 )(0)
к022, = о202, = о220, = ч( К )
К3к13 = Кзк13 = Кзк13 = Кк1 )(0)
001 010 100
К3к13 = Кзк13 = Кзк13 = (Кк1 )(1)
о002, = п020, = п200, = п(К )
К3к13 = Кзк13 = Кзк13 = ч(Кзк1 )(2)
2. Инфинитезимальные аффинные преобразования и их уравнения
Векторное поле X = X1 д , называется инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (Мп, V) тогда и только тогда, когда выполняется условие
Lx V = 0
Производная Ли LxV линейной связности V является тензорным полем типа (1,2), удовлетворяющим тождеству
Lx V(Y, 2) = Lx (Уу2 ) - Vy (Lx2) - V[x ,у ]2 где X, Y, Z - произвольные векторные поля.
В случае расслоения Вейля векторное поле X = X?д? является инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (мА, V = Vе ) тогда и только тогда, когда выполняется условие
Lx V = 0 (7)
При этом производная Ли LxV линейной связности V удовлетворяет тождеству
LX V(У, 2) = LX (^2) - ^ ^2) - V[ X у ]2 (8)
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
Уравнение (7) можно записать в развёрнутом виде, используя (8) для векторных полей У = д® и 2 = д^ :
дад^?+г ^д^т+г% дР^т - Гвд IX?+xmд =0 (9)
Можно показать, что первая серия условий интегрируемости системы дифференциальных уравнений (9) имеет вид:
LxT = 0 (10)
LxR = 0 (11)
Равенства (10) и (11) можно записать в развёрнутой форме:
грлат . грат, лР?" грсс/Зт л т . т rpo.pi _ р /-104
Ттк?А3т +1]'т?Акт 1зк + Ат?+Л т и (12)
р тРр^ л&т I т>атр дР" . п&Рт, дрт т^аРрт лт, . ^"р>т т?авР^ _Тау^Ттрв лР" , >рРтз лрт (13)
Ктк1?А3т + К3т1?Акт + К3кт?А1т К/кг А"? + Л т °т^]Ы? 1 Зз?У1т1у^кт +1 кту А,т ) = 0 (13)
В формулах (12) и (13) использованообозначение А^ = д^Xl).
Далее будем считать, что связность V не имеет кручения и тензор Т = 0. Следовательно, связность V также не имеет кручения и тензор Т = 0 . В этом случае левая часть (12) тождественно равна нулю, а равенство (13) принимает вид:
Кфрг лат + „ар в + ра/Зл лрт - КаРрт лп + Лmдт па/Зрг = 0 (14)
Ктк1?А3т + КЧт1?Акт + К3кт?А1 т К3к1т Ат?+Л т дтК3к1? = 0 (14)
Если придать индексам а, р, ?, р значения 0, 1, 2, 3, то система (14) сводится к системе более простых уравнений. Применяя свойство антисимметричности тензора кривизны по первым двум нижним индексам, а также тождество Бианки, получим следующие соотношения:
(1,3=0
/(0)
А 0
(3),, -А3.’" = 0
(0)
л 2т
(Ктк, ),0, а" =0
( К3к" )
(0)
(0)
10
(<4 I, А1т = 0
(К3кт )(, = 0
( )
'(0,
К",) А3, = 0
т0
(0)
Л
"1
(3),, аИ = 0
/(0)
(3)(, А", = 0
(0) т2
(К"и )(2) А3" +(К"к1 )(01 А=т = 0
'(2) V "““/(0)
(3 )(2) 4"+(3 )(0) ч («т., )(2) а"0+( кь )т (к,к, )(1) 3+(к« )(0) А3"
А3т +| ) А,32т = 0
А"п +(Я"1,) А"г0 = 0
(' )(1) 4т -(')(, ЛІ- = 0
/(0)
(І )(1) л-0 -(І)
Л-0 = 0
Я
(1) V ■''“/(0)
)(1) Л%+(я-и )(0) А-+ч (Як- )(2) Літ+„ (; )(0) А- = 0 )(1) Л-- +(Я", )(0) Л2- +, (Я- )(2) Лк- +, (Я- )(0) 4- = 0
( )
(Я-к, )(1) 42П +(Я-ы, )(0) Лі--(Я- )(0) Л-1 - ч (Я- )(2) 41 = 0 Я- )(1) Л2- -(І )(0) 42г + ч Як, )(2) Л‘;' + ч (Я-а )(0) л;-- = 0
Я-, )(1) Лі-+(Я- )(0) Лі-+? (Яік- )(2) Лі- + „ (Я,- )(0) ЛІ2- = 0
(і )(1) 4- -(і )(0) 4Т-(, )(0) 4,2 - ч (Я-к, )(2) 4-1 =0
А" )(1) 40" +(Я/к- )(0) 4)- + ч ( Ккї )(2) Л)’00 + ч (Я-к, )(0) Л;2 = 0
Я',- )(1) Лі- -(і )(0) 4,2" + ч (Я-,,, )(2) Лі- + ч (Я-, )(0) Лі- = 0 (і )(1) 40г+(І )(0) 42’" - (Я-и )(0) 4,2 - ч ( я-, )(2) 4,1 = 0 (Я"и )(2) Л2- +(Я"и )(0) Л2--(Яд, )(0) 4-2-(Я-, )(1) 4,2 = 0 (І)(2) 4" +(І)(0) 4"-(Я")(0) Лі'2 -(Я-)
(І )(2) Л110" +І )(0) 4? -(Я" )(0/Ї2 -(А" )
(1)
А"'2 = 0
4І2 = 0
(Я-к, )(2) 40 + (Ятк, )
2-
(0) , 2 V /(2)
(2) V -"“"/(0) V ■''“/(0) V ■''“/(1)
( я- )(2) л» +( я;-, )(0) лй'+( я;<40)л?0- - (я-
(0()0
(Я"« )(2) 42"-(Я"к,)(0)422-+(Яі-ЛаЙГ-(Яі-г)(2)40"+(я'кШ) а — -((",)
(0)
лЗ ) + (" А-3 г Х 0
А3 ' + X" А-3 + Х 0
=0
{д-Я,Н) (V)
М-Іг0
( ЯгпШ )( І + (ЯШ " І + (І "( Ак0 + (Я,кг " АЮ" - ( Я"к, " Аш0 - ч (і " 42 + Х0" (д"ЯІ!)
(0)
=' 0
(я"ы)(П 4" +( я"40/2" ■+([- )(1) 4" +-()(0) а;" +(яЯ» ),0) 40Г - (Я"к)(„ А-" + (0
’ (0)
((00))
(Я’ш) Лі" -(Я’ш) Аіі"-(Я,-,) А0г-(Я,-)(1)420--(Я-)(0) 42” -(42" +х"
(Я-,,)(1) а;- -(яЦ а;- -(R'г/0(o)4? -(Я,-)(0)40" -(ЯЦІ,) Л-1 - (ЯП,).. А-1 -„0
((00))
А3-, - X"
(д - ЯА,) ( ' (д - Я,А), [д"1Я )кї)
= 0
= 0
=0
(я"« )(0) А0П -(я;-,),;) а-П +(R'Im, )(0) аіП-(я',п )(2) Ай" -(Я^ )(0) 42- - (Я--,),
/(0)
а" з- ХП |д
0 (д-Я)кІ)
(0)
= 0
= 0
(Як )<0) AJ0o"^(R;г/0(1)'Г2"-(o(;"/)(0)A2^'-( Яікг )(1) АіП - ( (кг ))0| АІГ-( ("і, )(0) 4,0-Х"Г"0", Я',а)
(Ки )(0) 400" -(Я,((,, )(20 )А,)з) - (я0"|) а!)"-!; )(0) А,Г - (я;, )(0) а^)-,( ,) 4 2--Х 0" (д-Яі« )(0[=о
( яіі, 0(0) А"-(',;-2)l,•A2г+(o(;-)(0)Aи-( 0ііг "(0) а0- - (;"(0) а-"і-(Я- )„)
Л-2 - XП |д-Я
[д-Я'м "(0)
= 0
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технипес+и е наук и » №
( к"« )(0) А°н+(«',„> )(0) Акт+(Цн )(2) А,?+(«Зн )(0) алн - («н)(0) з-ч( «"«^д»^«»
(«" «),01 А"+(«'А,, ■<"+{ «з4„ ■2,1н+3 )(0) а;н - («н )(0) а"!-(«н )(1) а";+на
/(0) ^ \ ■'"“/(0) V ■'-'"/(1) \ ■'"'"/(О) “ V ■''“/(0) V ■> /(1)
( 3)а%+(KЛA";•+<I»K,И )(2) а3 т+{«ш )(0) 3+(3 )(0)
/(3) ^ \ "““/(,) ^ V "““/(2) ^ V "““/(0) ^ V ■'"‘-/(0)
)(0)А10 - («н )(0)А"3 + Xо (дт«зк1 )(0):
к0
+
А )(3) 4"„ + (№Ч кт )(1) А,31т + ч 3 )(2) А,32т +(«3кт )(0) 4" + («„Ы )(0) ■0" +
+ («ЗтI )(0) Ак»" - («"к, )(0) А/т3 + X0 (дт№3к1 )(0) = 0
(«Нк, )(0) + (№зт1 )(0) 2кн + (е)кн )(0) Ают - («"к, )(0) АН0- («"к, )(1) А"0 -
-(«„к, )(2) ■.0 -()(3) АН0 + XH (дт«3к, )(0) = 0
(«’„И )(3) АлН + («тк, )(!) А(„ + ч («тк, )(2) ■л" + («"к, )(0) А(3" + ч («)„! )(2) АЫ +
+ ч («Зт, )(0) АкН + ч (№зкт )(2) 4о" + ч (№зкт )(0) А°Г - ч («„к, )(0) АНз -
- ч (3 )(2) а33+чx„ (д„«)ш )(2)+чx Н (д„«)ш )(0) =0 («Зкн )(3) АЛ0т + (№зкн )(1) АЛН + Я («Зкн )(2) А2" + (№зкн )(0) А,23Н + Я («Нк, )(2) А00„ +
+ Ч («Нк, )(0) А0Н + Ч («Зт, )(2) Ак0 + ч («Зт, )(0) ■к" - («' )(0) А,"г3 -
- ч («ты, )(2) А"3+чxН (дт«3к, )(2) + чх- Н (дт«)ы )(0) = 0
(«Ш )(3) А,н +(<« )(1) А1„ + ч («На )(2) А1„ +(<« )(0) А,н +(«" )(1) 4Н +
+ («Зт, V Ак\ + («Зкн I АЮт + («Зкн I Ай" - («"к, V АН3 -
-(«"к, )(1) А^ 3 + X0m (д т«3к, )(1) + Xlm (д т«3к, )(0) = 0
(«Зкн )(3) А10т + («З'кт )(1) А,Н + ч («Зкн )(2) А12т + («З'кт )(0) + (<« )(;) А»„
+(«„ы )(0) А0„ +(«3т, )(1) 4Н +(«3т, )(0) 4Н-(«Нк, )(0) А"3
0т+
/(0) ^ V ■'"‘-/(1) V ■'"‘-/(0) ^ V ■''“/(0)
■ («Нк, )(0) А"3 + (дт«3ч ),„ + -К (дт«3ч )(0) = 0
(0) (1) (0)
(Ы \ л
, 0
(«т., )(1) а“н+(«т., )(0) л0т+(«[„, )(1) Акх+(«3т, )(0) Акт+(«зы )(1) ■«- +
+ {«3кт )(0) Ак"-^"к, )(0) АН; - («З'к,)(,) А"1 -{«'¡'к, )(2) А,"1' -
- («¡к, )(3) АН, + л о" (дт«3к, )(1) + -К (д„«3« )(0) = О
(«ш )(2) а0»"+()(0) а»"+(«;„, )(2) 4„+(«jнl )(0) Ак„+(«Зыт )(2) А°„+ + («'Зк„ )(0) А0Н “(«„к, )(0) А„1 ~{«Н^-^ )(1) А„1 - («З/Ы )(2) -
- («„, )(3) А„1 + (дт«3к, ) + 2" (дт«3и )(0) = 0
(22) 20(№ ]^. ’"д„№*' ),о|= 0
Р„«3И )(0) = 0
(я-ы 2 і - (я-ы "(1) і- ч (Я"ы 2 40з- - (я-ы "(0) і -
(3) \ /(1) ^ \ ^(2) ' ч0)
- (і "(3) А-0г - (і "(1) Аіі- - ч (і "(2) А-0г - (і "(0) а!з- -
- (я'}к- "(3) а00- - (я)к- "(1) ал- - ч (я'}к- "(2) а°2- - (я'}к- "(0) A/з
" (ЯГи"(0) а-'з - (Я->и"(1) а")з - (Я->и"(2) аПз - (Я""і,"(3) А
3)
/(0) V ■'■”/(1) — V ■'■"/(2) — V ■'■“/(3) -3
-X- (д-Я)ы2(3) -X- (д-Я)ы2(1) - чХз- (д-я)ы2(3) -X- (д-Я‘к12(0) = 0
Таким образом, получена система условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований в расслоении Вейля со связностью полного лифта.
При исследовании размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований будем опираться на полученную систему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буданов К. М. Лифты линейной связности и функций в расслоение Вейля над специальной алгеброй Вейля // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвузовский тематический сборник научных трудов. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. Выпуск 38. С. 12-16.
2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981. 344 с.
3. Султанов А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. вузов. Мат. 1999. № 9. С. 81-90.
