Об управлении параболическим уравнением с помощью обратной связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Beklaryan Armen Levonovich, Central Economics and Mathematics Institute of RAS, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student, e-mail: [email protected]

УДК 517.977

ОБ УПРАВЛЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ С ПОМОЩЬЮ

ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

© М.С. Близорукова

Ключевые слова:управление; метод экстремального сдвига.

Исследуется задача управления параболическим уравнением. Предполагается, что проводятся неточные измерения решения этого уравнения. Указывается устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм формирования управления по принципу обратной связи, обеспечивающий отслеживание решением заданного уравнения решения уравнения, подверженного возмущению.

1. Введение. Пусть V и H — действительные гильбертовы пространства; пространство V вложено в пространство H плотно и непрерывно: V С H = H* С V* .

Рассматривается параболическое уравнение

y(t) + Ay(t) = v(t) + f (t), t € T = [0, (1)

y(to) = У0 € {z € V : Az € H}. Пусть выполнено условие коэрцитивности

(Ay,y) + w|y|H ^ c|y|V Vy € V,

f (■) € L2(T; H) — заданная функция, v — управление, производная y(-) понимается в смысле пространства распределений. Символы |-|у и |-|я означают соответственно нормы в V и H , а символы (■, ■) и (•, ■) —скалярное произведение в H и двойственность между V и V* .

В качестве примера может быть рассмотрено уравнение теплопроводности. В этом случае оператор A задается следующим образом

АУ = -¿en<'•" щ >•

Следуя [1, стр. 115], функцию ж() € W(T*; V) = {ж() € V) : Ж() € L2(T^; V*)} ,

удовлетворяющую соотношению (X(t), z) + (Ax(t), z) = (v(t)+f (t),z) Vz € V при п.в. t € T* будем называть решением уравнения (1) на промежутке T* = [0, §] , § > 0 и обозначать символом ж(-) = ж(-; t0,x0,v(-)) . В силу [2, теорема 3.3], при любых § € (0, и v(-) € € L2(T*; U) уравнение (1) имеет единственное решение со свойством: ж(-) € W 1,2(T*; H) П C(T*; V) , где W 1'2(T*; H) = {w(-) € L2(T*; H) : w(-) € L2(T*; H)} . Функцию x(t) , t € T, назовем решением уравнения (1) на промежутке T, если ж(-) есть решение (1) на всяком промежутке T* , § > 0 .

Рассматриваемая в настоящей работе задача формулируется следующим образом. Наряду с уравнением (1) имеется еще одно уравнение

ж(Ь) + Аж(Ь) = и(Ь) + /(Ь), Ь € Т, (2)

с начальным состоянием ж(0) = Хо . Это уравнение (назовем его эталонным) подвержено воздействию некоторого неизвестного управления и(-) € Р(■) . Здесь символ Р(■) означает множество измеримых (по Лебегу) функций г(-) : [0, ^ Р, т. е. множество допу-

стимых управлений. Р С Н — замкнутое и ограниченное множество. Управление и(-) , а также отвечающее ему решение ж(-) = ж(; ¿0,ж0,и(-)) уравнения (2) заранее неизвестны. В дискретные моменты времени тг € А = {тг}+=; (т0 = 0, тг+1 = тг + дг) измеряются состояния у(тг) = у(тг; Ь0,у0, г(-)) уравнения (1), а также состояния ж(тг) = ж(тг; ¿0,ж0,и(-)) уравнения (2). Состояния у(тг) измеряются с ошибкой. Результаты измерений — элементы ^ € Н, г ^ 1, — удовлетворяют неравенствам |у(тг) — ^ Н, где Н € (0,1) — ошибка измерения. Будем предполагать, что |у0 — ж0|у ^ Н. Необходимо указать алгоритм формирования управления г = г^(-) в уравнении (1), позволяющий осуществлять отслеживание решением у(-) этого уравнения решение ж(-) уравнения (2). Таким образом, задача, состоит в построении алгоритма, который по текущим измерениям величин у(тг) и ж(тг) формирует (по принципу обратной связи) управление г = г^(-) в правой части уравнения (1) такое, что отклонение у(-) = у(-; ¿0,у0,г^(-)) от ж(-) = ж(-; ¿0,ж0,и(-)) в метрике пространства С(Т#; Н) (каково бы ни было $ € (0, ) мало при достаточной малости измерительной погрешности Н.

Задачи управления параболическими уравнениями в рамках подхода [3] рассмотрены в работах [4-6]. Специфика предлагаемого в настоящей работе алгоритма состоит в том, что он работает на бесконечном промежутке времени.

2. Алгоритм решения. Для каждого Н € (0,1) фиксируем семейство А^ разбиений Т моментами времени ть,г:

А^ = Кг}~0, тм = 0, т^г+1 = тн,г + дг(Н), дг(Н) € (0, 1), ^ дг(Н) = УН € (0, 1).

г=0

Условие 1. Семейство А^ таково, что выполнено неравенство

г

Е^Н^ + Е 53(Н)) 0 при Н ^ 0.

г=0 .7=0

До начала работы алгоритма фиксируем величину Н € (0,1) и разбиение А^ = {т^,г};=0 . Работу алгоритма разобьем на однотипные шаги. В течение г -го шага, осуществляемого на промежутке времени дг = [тг,тг+1) , тг = , выполняются следующие операции. Сначала, в момент тг, вычисляется элемент ЦЦтг, ■0^') по формуле

иЛта^) = а^тт{2(^ — ^»я : г € Р}.

Затем на вход уравнения (1) при всех Ь € дг подается управление вида

гл(Ь) = ^К, ^ ^), Ь € дь,г, г ^ 0,

Под действием этого управления решение уравнения (1) переходит из состояния у^(тг) в состояние у^(тг+1) . При этом в результате воздействия на уравнение (2) некоторого неизвестного управления и = и(Ь) , Ь € дг это уравнение переходит из состояния ж(тг) в состояние ж(тг+1) . На следующем, (г + 1) -м шаге, аналогичные действия повторяются.

Справедлива

Теорема 1. Пусть .заданы и, и1, с, с0 со свойством и1 = и — сс-2 < 0, и выполнено условие 1. Тогда существует такое число Ь1, что при всех £ ^ 0 верно неравенство

!/(£) — ж(*)|н < [с0й2е^ + + 5(Ь))]1/2 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

2. Barbu V. Optimal control of variational inequalities. London: Pitman Advanced Publishing Program, 1984.

3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

4. Осипов Ю.С. Избранные труды. М.: МГУ, 2009.

5. Осипов Ю.С., Пандолфи Л., Максимов В.И. Задача робастного граничного управления: случай краевых условий Дирихле // Докл. РАН. 2000. Т. 374. № 3. С. 310-312.

6. Osipov Yu.S., Pandolfi L., Maksimov, V.I. Problems of dynamic reconstruction and robust boundary control: the case of Dirichlet boundary conditions //J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. Vol. 9. № 2. P. 149162.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского Научного Фонда (проект 14-11-00539).

Поступила в редакцию 11 июня 2015 г.

Blizorukova M.S. ON CONTROL OF A PARABOLIC EQUATION WITH FEEDBACK

The control problem of a parabolic equation through inaccurate measurements of its solution is considered. A solution algorithm stable with respect to the informational noise and computational errors, forming (by the feedback principle) a control allowing us to track the solution of an equation which is subject to perturbation by the solution of the given equation, is indicated.

Key words: parabolic equation; dynamical inversion.

Близорукова Марина Сергеевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]

Blizorukova Marina Sergeevna, Institute for Mathematics and Mechanics of Ural branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Senior Researcher, e-mail: [email protected]