О реконструкции неизвестных характеристик в системах второго и третьего порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

О РЕКОНСТРУКЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В СИСТЕМАХ

ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ 1

Ключевые слова: реконструкция; вспомогательная управляемая система-модель.

Аннотация: Рассматривается задача устойчивой динамической реконструкции неизвестных характеристик в системах второго порядка. Указывается ориентированный на работу в реальном времени алгоритм, обладающий свойствами динамичности и устойчивости: первое из них означает, что текущие значения приближения входа вырабатываются в «в реальном времени», а второе - что приближение сколь угодно точно при достаточной точности наблюдения.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка

с начальным условием x(to) = хо, X(to) = Жю- Предполагается, что постоянные In и известны. На систему действует управление — измеримая по Лебегу функция, удовлетворяющая условию u(t) Е Е P = [-f, f ], t Е Т. Здесь f = const Е (0, +го). Это управление, также как и соответствующее ему решение системы (1), неизвестно. В дискретные, достаточно частые моменты времени Ah = = [ч^т^о, Ti+l,h = Ti,h + 5(h), To,h = to, Tmh,h = § измеряются С ошибкой величины х(Тг). Результаты измерений - числа ^ - удовлетворяют неравенствам

где h Е (0,1) - уровень информационного шума, символ |а| означает модуль числа а. Требуется указать алгоритм, позволяющий восстанавливать (синхронно с развитием процесса) неизвестную скорость изменения координаты ж^) (то есть ж(£)) и неизвестное входное возмущение и(Ь).

Один из подходов к решению рассматриваемой задачи был развит в работах [1, 2]. В соответствии с этим подходом системе (1) сопоставляется некоторая искусственно смоделированная с помощью компьютера управляемая система М (модель) с фазовой траекторией wh(t) и управлением ин(1). Затем указывается правило формирования управления в модели по принципу обратной связи. Это правило выбирается таким образом, что выход wh(t) или управление ин({) модели «приближает» неизвестные величины х^), и^). Семейство разбиений Д^ интервала [^, $] предполагаем фиксированным. Итак, задача состоит в следующем.

М

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00378), Программы Президиума РАН «Математическая теория управления» и Урало-Сибирского интеграционного проекта.

© М. С. Близорукова

X1 = x2, x 2 = —2lp1x2 — u‘2p2x1 + u(t)

(1)

\x(Tih) — g\ < h,

такие, что имеют место сходимости

е

uh(t) — X(t)

2

uh(t) — u(t)

(4)

to

to

Здесь uh(t) = {uh(t),uh(t)}, uh(t) = ulh11 uh(t) = uh2 при t G Si,h.

Пусть известно число K G (0, +ro) такое, что каждое решение (xu(t), xu(t)) (u G P(•) = = {u(0 G L2(T; R) : u(t) G P для п.в. t G T}) уравнения (1) удовлетворяет следующим условиям

max \xu(t)\ ^ K, sup \Xu(t)\ ^ K. (5)

to^e1 Wl to^-e

Введем некоторую функцию a(h) : (0,1) ^ R+ = {r G R : r > 0} со свойствами

a(h) ^ 0, S(h) ^ h, h1/6/a(h) ^ 0 при h ^ 0.

Пусть начальное состояние модели wh = (xo, Хю), а управления в модели находятся по формулам

uh

ui1

—@ih2/3, если \ві\ < Kh2/3, —Ksignei; если \ei\ У Kh2/3,

uih2

—в(1а 1(h), если — f signe(1), если

в

(1)

в

(1)

< a(h)f, У a(h)f.

(б)

(7)

Здесь число К определено в (5), ті = Тіві = ^і(ті) — в(1) = ^2(ті) — п^.

Опишем процесс решения рассматриваемой задачи. Работа алгоритма начинается в момент іо и разбивается на шь — 1 идентичных шагов. До момента іо фиксируются — велпчпна Н G (0,1), функция а = а(Н), разбиение А = и модель (2). Затем организуется процесс управления по принципу обратной связи моделью М синхронно с развитием процесса функционирования системы (1). Во время г-го шага на промежутке времени 5^ = [ті,н,Ті+і,н) происходит следующее. Сначала вычисляется управление в модели пн(ті^ь) по формулам (6), (7). После этого пересчитывается фазовое состояние модели: к ранее известному отрезку траектории wh(t), і G [іо,ті] добавляется отрезок, полученный на временном интервале (ті,ті+і]. На следующем шаге все операции повторяются. Алгоритм заканчивает работу в момент §.

Сходимость алгоритма устанавливается в следующей теореме.

Теорема. Если уравнения модели выбраны в виде (2), закон управления — в виде (3) (6), (7), то имеют место сходимости (4).

Описанный выше алгоритм легко модифицируется для некоторых классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка.

е

ЛИТЕРАТУРА

1. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Basel, Gordon and Breach, 1995.

2. Maksimov V.I. Dynamical inverse problems of distributed systems. VSP, Boston, 2002.

Abstract: The problem of stability of unknown characteristics dynamic reconstruction in systems of second order; the focused at real-time work algorithm, possessing dynamic and stability properties: the first means, that present input values produce "in real-time", the second - that approximation is such precise as precise the supervision.

Key words: reconstruction; an auxiliary dynamical system-model.

Близорукова Марина Сергеевна к. ф.-м. н., доцент Институт математики и механики УрО РАН

Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]

Marina Blizorukova

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: [email protected]

УДК 517.977

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ВИРТИНГЕРА

ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ 1

© Г. П. Бочкарёв

Ключевые слова: интегральное неравенство; оператор; \¥-подстановка; квадратично суммируемая функция; сопряжённый оператор; собственное значение; спектральный радиус.

Аннотация: На примере неравенства Виртингера рассматривается применение методов, разработанных Пермским семинаром по ФДУ, к доказательству интегральных неравенств.

При исследовании неравенства Виртингера [2, с. 245]

П П П

Л*)* </ = 0 (1)

оо

удобно рассмотреть вариационную задачу в Н1 = Н1 [а,Ь], пространстве функций, чья вторая производная принадлежит пространству Ь2 = Ь2[а,Ь], квадратично суммируемых функций:

b

Фx = J (X2(t) — p(t)x2(t)^j dt ^ min, J x(t)dt = 0. (2)

a a

Если эта задача имеет решение, то значение минимума функционала равно 0.

Обозначим через D = D[a,b] = |х Е H 1[a,b] | x(t)dt = AC = AC[a,b] - пространство абсолютно непрерывных функций. Следуя подходу, разработанному Пермским семинаром [1], сведём рассматриваемую проблему к задаче в L2[a, b] с помощью подстановки, определяющей взаимно однозначное соответствие между пространствами D и L2 (х Е D, z Е L2):

b

X(t) = z(t), J x(t)dt = 0, (3)

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-96060.

b