CC BY
5
Библиографический список
1. Андреев Б.А. Структуры теории точечных соответствий в геометрии гиперповерхностей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1993. № 24. С. 16 - 23.
B.A. Andreev
CHARACTERISTIC DIRECTIONS AND DARBOUX DIRECTIONS OF NORMALIZED SURFACE
In the point P0 of smooth normalized surface of projective-affine space the sets of Darboux directiones are studied. The last ones are the generalizations of characteristic directions of the theory of point mappings. In the general case there exist 3 Darboux directions at the point P0 and coinciding with them 3 characteristic directions. Some theorems are proved in which every possible ti-pes of characteristic configuratios and corresponding them structures of sets of Darboux directions are investigated.
УДК 514.763.8
Г.А. Банару, М.Б. Банару
(Смоленский государственный педагогический университет, Смоленский гуманитарный университет)
ОБ УПЛОЩАЮЩИХСЯ 6-МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЯХ АЛГЕБРЫ ОКТАВ
Доказано, что уплощающиеся 6-мерные эрмитовы подмногообразия алгебры Кэли общего типа линейчаты.
Предметом исследования в настоящей работе являются 6-мерные эрмитовы подмногообразия алгебры Кэли. Напомним [1], что почти эрмитовым называется четномерное многообразие M2n, наделенное римановой метрикой g = (•, •) и почти комплексной структурой J, которые согласованы
условием
(JX, JY) = (X, У), VX, Y е K(M2n).
Если почти эрмитова структура многообразия является интегрируемой, то она называется эрмитовой (соответственно, многообразие, оснащенное эрмитовой структурой, - эрмитовым многообразием).
Пусть О = Я8 - алгебра октав. Как известно [2], в ней определены два антиизоморфных 3-векторных произведения
р1 (X, = -х(уг)+(х, у)г +(у, ^х - (z, хуУ; р2 (X, У,Z) = -(хУ^+(х, Уz + (у, ^х - (z, Ху.
Здесь х,У^ е О, (•, •) - скалярное произведение в О, х ^ х - оператор
сопряжения в О. При этом любое другое 3-векторное произведение в алгебре октав изоморфно одному из вышеуказанных.
Если М6 ^ О - 6-мерное ориентируемое подмногообразие, то на нем индуцируется почти эрмитова структура |1а,(•,•)}, определяемая в каждой
точке р е М6 соотношением
I а (х) = Ра (х,^), а = 1,2, где {е1,е2} - произвольный ортонормированный базис нормального к М6 подпространства в точке р, х е Тр(М6) [2]. Напомним [3], что точка р е М6 называется общей, если
ео е Тр(М6) с Ь(ео)1,
где е0 е О - единица алгебры Кэли, Ь(е0)х - ее ортогональное дополнение. Подмногообразие, состоящее только из общих точек, называется подмногообразием общего типа [3]. Все рассматриваемые далее подмногообразия М6 ^ О подразумеваются подмногообразиями общего типа.
Определение. 6-мерное почти эрмитово подмногообразие алгебры октав называется уплощающимся, если оно является подмногообразием гиперплоскости в О.
В [4] получены структурные уравнения 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав:
дюа = юЪ л юъ + —еаЪЬБЬсюс л юъ;
л/2
дюа = -юЪ л юъ + —^ еаъьОЬсюс л юъ;
л/2
dœb = œC л œb +
Л
— 8ahD ngc -YTФTФ
2 0bgDhdD Ь ac Tbd V2 Ф
œc л œd.
Tab =±^Tab; = +HTa7b' I- const,
Здесь sabc = B£, sabc = sab3 - компоненты тензора Кронекера порядка три
[5];
Dhc = + Th8c + iTh7c ; Dhc = Dhc = + Thc - iThc, (1)
где {rkj} - система функций на пространстве расслоения комплексных реперов. Эти функции служат компонентами тензора эйлеровой кривизны
[6], или, по Грею [7], конфигурационного тензора. При этом ф = 7,8; a, b, c,
d, g, h = 1, 2, 3; a = a + 3; k, j = 1, 2, 3,4, 5, 6; i = 4-1.
Поскольку эрмитово М6 является уплощающимся тогда и только тогда [8], когда
т8 = ±iiT7 • T- - ,
âb ^ âb
а для келеровых M6 œ O имеют место [4], [9] соотношения
Tb =±^; Tb = (2)
то справедлива
Теорема I. Всякое 6-мерное келерово подмногообразие алгебры октав является уплощающимся.
Из (1) и (2) вытекает, что ранг матрицы (Dkj ) равен рангу матрицы (ткф). Поскольку матрица (Dkj ) - вырожденная ( rang(Dkj )< 2 ), то вырожденной является
и каждая из матриц (Tkj) и (т^ ). Это означает, что справедлива
Теорема II. Всякое уплощающееся 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры октав является линейчатым.
Замечание. К числу уплощающихся 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли относятся так называемые подмногообразия Калаби (или специальные 6-
мерные подмногообразия [9]). Такие M6 œ O хорошо изучены [7], [10], [11], [12], поэтому они остаются за рамками данной работы.
Список литературы
1. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Проблемы геометрии. М.,1986. Т. 18. С. 25-71.
2. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 141. P.465-504.
3. Кириченко В.Ф. Почти келеровы структуры, индуцированные 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Вестник МГУ. 1973. №3. С. 70-75.
4. Банару М.Б. О почти эрмитовых структурах, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры октав // Полианалитические функции. Смоленск, 1997. С. 113-117.
5. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: ИИЛ, 1960. 216 с.
6. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере // М.: Изд-во МГУ, 1960. 298 с.
7. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois J. Math. 1966. V. 10. №2. P. 353-366.
8. Банару М.Б., Банару Г.А. Об уплощающихся 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Избранные вопросы математики и методики ее преподавания. Смоленск, 1998. С. 31-32.
9. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 1980. №8. С. 32-38.
10. Calabi E. Construction and properties of some six-dimensional almost complex manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. V. 87. P. 407-438.
11. Gray A. Six-dimensional almost complex manifolds defined by means of three-fold vector cross products // Tohoku Math. J. 1969. V. 21. P. 614-620.
12. Yano K., Sumitomo T. Differential geometry of hypersurfaces in a Cayley space // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1962-1964. P. 216-231.
G.A. Banaru, M.B. Banaru
ON PLANED 6-DIMENSIONAL HERMITEAN SUBMANIFOLDS OF ALGEBRA OF OCTAVES
It is proved, that planed 6-dimensional Hermitean submanifolds of Cayle's algebra of general is linear.
УДК 514.763.8
М.Б. Банару (Смоленский гуманитарный университет) О ПАРАКЕЛЕРОВЫХ И С-ПАРАКЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Получены критерии паракелеровости и с-паракелеровости почти эрмитовых многообразий. Приведены примеры 6-мерных паракелеровых и с-паракелеровых многообразий.
