CC BY
5
4. Банару М.Б. О почти эрмитовых структурах, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры октав // Полианалитические функции. Смоленск, 1997. С. 113-117.
5. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: ИИЛ, 1960. 216 с.
6. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере // М.: Изд-во МГУ, 1960. 298 с.
7. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois J. Math. 1966. V. 10. №2. P. 353-366.
8. Банару М.Б., Банару Г.А. Об уплощающихся 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Избранные вопросы математики и методики ее преподавания. Смоленск, 1998. С. 31-32.
9. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 1980. №8. С. 32-38.
10. Calabi E. Construction and properties of some six-dimensional almost complex manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. V. 87. P. 407-438.
11. Gray A. Six-dimensional almost complex manifolds defined by means of three-fold vector cross products // Tohoku Math. J. 1969. V. 21. P. 614-620.
12. Yano K., Sumitomo T. Differential geometry of hypersurfaces in a Cayley space // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1962-1964. P. 216-231.
G.A. Banaru, M.B. Banaru
ON PLANED 6-DIMENSIONAL HERMITEAN SUBMANIFOLDS OF ALGEBRA OF OCTAVES
It is proved, that planed 6-dimensional Hermitean submanifolds of Cayle's algebra of general is linear.
УДК 514.763.8
М.Б. Банару (Смоленский гуманитарный университет) О ПАРАКЕЛЕРОВЫХ И С-ПАРАКЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Получены критерии паракелеровости и с-паракелеровости почти эрмитовых многообразий. Приведены примеры 6-мерных паракелеровых и с-паракелеровых многообразий.
Известный американский геометр Альфред Грей отметил [1], что ключом к геометрии почти эрмитовых многообразий являются тождества, которым удовлетворяет их тензор римановой кривизны (тензор Римана-Кристоффеля). А. Грей выделили несколько классов (типов) почти эрмитовых многообразий, характеризуемых тождествами:
Класс Я1: /Я(Х, Т) = (Я(Х, У)^, ГГТ);
Класс R2: (R(X, Y)Z, T) = (R(JX, JY)Z, JT) + (R(JX, Y)JZ, T) + (R(JX, Y)Z, JT); Класс R3: (R(X, Y)Z, T) = (R(JX, JY)JZ,JT
Многообразия класса интенсивно изучались многими авторами, причем обычно под названием паракелеровых многообразий [2] или 1-пространств [3]. В настоящей статье предметом исследования наряду с па-ракелеровыми многообразиями являются и так называемые с-паракелеровы многообразия, т. е. почти эрмитовы многообразия, тензор Вейля конформной кривизны которых удовлетворяет тождеству:
(Ш(Х, У^, Т = (W(X, У)И,ГГТ).
Оно аналогично тождеству, характеризующему Ш-многообразия.
Рассмотрим почти эрмитово многообразие, т. е. четномерное многообразие M2n, оснащенное римановой метрикой g = (•, •) и почти комплексной структурой J. При этом должно выполняться условие
(JX,JY) = (X,Y), VX,Y eK(M2n).
Через K(M2n) обозначен модуль гладких (класса Сю) векторных полей
на многообразии M2n, через R - тензор римановой кривизны; ríe - тензор Риччи [4], W - тензор Вейля конформной кривизны. Напомним, что компоненты тензора Вейля конформной кривизны связаны с компонентами R, ríe и g соотношением:
Wíjki = Rijki + (ríeíkgji + ríejigík - ríeíigjk - ríejkgíi)+ (n _ _ 2) (gjkgíi - gjigik)
где K - скалярная кривизна многообразия. Здесь и далее í, j, k, i=1, ..., 2n.
Задание почти эрмитовой структуры на многообразии эквивалентно заданию G-структуры, где G - унитарная группа U(n) [5]. Ее элементами являются реперы, адаптированные структуре (A-реперы). Важнейшие тензоры целесообразно рассматривать записанными в A-репере. Это соответствует задачам исследования почти эрмитовых многообразий. В.Ф. Кириченко, разработавший подобный метод [6], ввел понятие спектра тензора.
Спектры тензоров, определяющих почти эрмитову структуру, выглядят следующим образом [7]:
-О 8аЬ = 0 8аЪ =8ь, 8аЬ =8а, 8
'аЬ
0;
2)1Ь = 18Ь, 1 = 0, = 0, ТЬ = -18^
Здесь и далее а, Ь, с, ё, Ь=1, ..., п; а =а + п; 1 = 4-1.
Фундаментальная (или келерова) форма почти эрмитова многообразия определяется равенством
2п ■>
Б(Х, У) = (X, IX), X, У е К(М2П).
Спектр фундаментальной формы почти эрмитова многообразия имеет вид [7]:
^ = 0, Еь = 18Ь, РаЬ = -18Ь, Е
а' аЬ
0.
Таким образом, матрицы римановой метрики 8, почти комплексной структуры I и фундаментальной формы Б в А-репере запишутся следующим образом:
V =
0 1п ^ «п 0 Л ' (ЕУ>= ' 0 11п 1
!п 0 У 0 V - 11п , I- ¡1„ 0 У
где 1п - единичная матрица порядка п.
Пусть V - риманова связность метрики 8 почти эрмитова многообразия {м2п,8,1}. Напомним [8], что оператором кривизны называется отображение
Р: К(М2п) хК(М2п) хК(М2п) ^К(М2п),
определяемое равенством
РХ, У)г = V Х V - V У V Хг - v[X,У]z.
Определение. Тензором (полем) римановой кривизны многообразия М2п называется 4-ковариантное тензорное поле, определяемое соотношением
Я(Х-, Х2, Хз, Х4) = (Р(Хз, Х4)Х2, Х^, где XJ е Тр(М2п), ] = 1, 2, 3, 4.
При этом тензор римановой кривизны [8], рассматриваемый как квад-рилинейное отображение
Тр (М2п) х Т„ (М2п) х Т„ (М2п) х Тр (М2п) ^ (-«;+»),
обладает свойствами:
1) я(Хь Х2, Хэ, Х4) = -К(Х2, Хь Хэ, Х4),
2) R(X1, Х^ Xэ, Х4) = - я(Хь X2, Xэ, X4),
3)Я(Хь Х2, Хэ, Х4) + Я(ХЬ Хэ, Х4, Х2) + Я(ХЬ Х4, Х2, Хэ)=0, (1)
4) Я(ХЬ Х2, Хэ, Х4) = Я(Хэ, Х4, Х1, Х2).
Теорема 1. Почти эрмитово многообразие является паракелеровым многообразием тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры выполняется условие
В-аЪеа = В-&Ъс1с = ^аЪсй = 0 (2)
Доказательство.
1. Пусть почти эрмитово многообразие является паракелеровым. Тогда для произвольных векторных полей X, У, г, Т е Х(М2п) выполняется условие:
(я(Х, У)г, Т=(я(Х, у)^, гг). (э)
Это условие можно переписать следующим образом:
я(т, г, X, У) = я(1Т, к, X, у).
Отсюда следует, что
я(Х, у, г, т) = я(Х, у, к, гг).
Распишем последнее равенство на пространстве присоединенной О-структуры:
Х'У^Т1 (я(е^ е j, ек, - Я(е1, е J,Jsk,Jsl) )= 0. С учетом того, что индексы 1, j, к, 1 пробегают значения от 1 до 2п, имеем:
ХауЬхстаяаЬса+ Ха уЬхстаяаЬса+ХауЬ гстаяаЬс(1 + Ха уь гста яаЬса+
+ХаУЬгста я +ХаУьгста + ХауЬ гста я + Ха уь гста =0.
аЬса аЬса аЬса аЬса
Ясно, что тождество выполнятся тогда и только тогда, когда
яаьса=0, яаьса =0, ЯаЬса =0, Яаьса =0, ЯаЬса =0, ЯаЬса =0, ЯаЬса =0, яаьса =0.
что эквивалентно равенствам (2).
2. Пусть имеет место (2). Рассмотрим равенство Яаьса = 0, или
Я(стХ, стУ, стХ, стТ) = 0, X, У, г, Т е К(М2п), где операторы ст и ст определены так:
ст = 2(1ё - и), ст= 2(1ё + и). Раскрыв по линейности выражение
— Я(Х + ИХ, У + НУ, Z - iJZ, Т - ИТ) = 0, 16
получим:
Я(Х, У, ^ Т) + Я(1Х, 1У, JZ, 1Т) + Я(1Х, У, Т) + Я(Х, 1У, JZ, Т) + + ЯЦХ, У, Z, 1Т) + Я(Х, 1У, Z, 1Т) - Я(Х, У, JZ, 1Т) - ЯЦХ, 1У, Z, Т) + + 1[ЯЦХ, У, Z, Т) + Я(Х, 1У, Z, Т) - Я(Х, У, JZ, Т) - Я(Х, У, Z, 1Т) -- Я(Х, 1У, JZ, 1Т) - Я(1Х, У, JZ, 1Т) + Я(1Х, 1У, JZ, Т) + ЯЦХ, 1У, Z, 1Т)] = 0.
Очевидно, это равенство равносильно обращению в нуль действительной компоненты его левой части
Я(Х, У, ^ Т) + ЯЦХ, 1У, JZ, 1Т) + ЯЦХ, У, JZ, Т) + Я(Х, 1У, JZ, Т) + + ЯЦХ, У, Z, НТ) + Я(Х, 1У, Z, 1Т) - Я(Х, У, JZ, НТ) - Я(1Х,1У, Z, Т) = 0. (4)
Поскольку условия ЯаЬсё = ЯаЬсё = 0 равносильны выполнению тождеств [9]
К(Х,УЛТ)=КЦХЦУ,^ЦТ), Я(Х,УЛТ)= R(X,У,JZ,JT) + R(X,JУ,JZ,T) + КЦХ,У,^,Т),
то из (4) получаем, что
Я(Х,УЛТ)= R(JX,JУ,Z,T) - КЩ,У^,Т) - R(JX,У,Z,JT) (5)
Из (4) вытекает, что
Я(Х,УЛТ)= R(JX,JУ,Z,T) + К(Ж,УД^Т) + R(JX,У,Z,JT) (6)
Складывая (5) и (6), получаем:
Я(Х,УЛТ)= КЩДУЛТ),
что равносильно условию (3).
Теорема 2. Почти эрмитово многообразие является с-паракелеровым многообразием тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры выполняется условие
Кош = ^ = = 0. (7)
Доказательство этой теоремы полностью повторяет доказательство Теоремы I (достаточно в первом доказательстве всюду букву Я заменить на Это, разумеется, объясняется тем, что тензор Вейля конформной кри-
визны обладает свойствами [8], аналогичными свойствам (1) тензора ри-мановой кривизны.
В заключение, приведем примеры паракелеровых и с-паракелеровых многообразий. В [10] вычислены спектры тензора римановой кривизны и тензора Вейля конформной кривизны 6-мерных эрмитовых (общего типа) подмногообразий алгебры октав. В частности, показано (2) и
Каьеа =-£ та£тм' где Т^ - компоненты тензора эйлеровой кривизны [11]
ф
(или, в более употребительной терминологии Грея [12], конфигурационного тензора). Здесь а, Ь, с, ё = 1, 2, 3; а = а + 3; ф = 7,8; к= 1, ..6. Из Теоремы I следует, что справедливо
Предложение 1. Всякое 6-мерное эрмитово подмногообразие (общего типа) алгебры Кэли является паракелеровым многообразием.
Этот факт, доказанный ранее в [13] другим способом, интересен прежде всего тем, что дает примеры некелеровых паракелеровых многообразий. К данному моменту известно относительно немного таких примеров, а тот факт, что всякое келерово многообразие является паракелеровым доказан еще Греем [1]. Среди 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли как раз много некелеровых многообразий (см., например, [7], [14], [15], [16]).
Воспользуемся значениями спектра тензора Вейля 6-мерных эрмитовых (общего типа) подмногообразий алгебры октав [10]:
^^аЬсё= ^^аЬсё =0,
abcd
'zT£T£8b + ZTbhThd5a -ZTihThd8b -zT^TiCSd1 K
ЧФ Ф Ф Ф У
^5bda. (8) 20
Поскольку тождественное обращение в нуль скалярной кривизны 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли [16] повлечет Тк = 0,
получаем, что для 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры октав нулевой скалярной кривизны соотношения (8) примут вид (7). Из Теоремы II следует, что справедливо
Предложение 2. Всякое 6-мерное эрмитово подмногообразие (общего типа) алгебры Кэли нулевой скалярной кривизны является с-паракелеровым многообразием.
Список литературы
1. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tohoku Math. J. 1976. V. 28. №4. P. 601-612.
2. Rizza G.B. Varieta parakahleriane // Ann. Mat. Pura ed Appl. 1974. V. 98. № 4. P. 4761.
3. Sawaki S., Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature // J. Diff. Geom. 1974. V. 9. P. 123-134.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2 М.: Наука. 1981. 416 с.
5. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants// Ann. Mat., Pura ed Appl. 1980. V. 123. №4. P. 35-58.
6. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных метрических многообразий // Проблемы геометрии. М.,1986. Т. 18. С. 25-72.
7. Банару М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: Изд-во МПГУ, 1993. 99 с.
8. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:Наука, 1964. 664 с.
9. Банару М.Б. Об одном свойстве 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли / Смоленский госпединститут. Деп. в ВИНИТИ 13.11.96. № 3328-В96.
10. Банару М.Б. О спектрах важнейших тензоров 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Новейшие проблемы теории поля. Казань: КГУ-КЦ РАН, 2000. С. 18-22.
11. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во МГУ, 1960. 298 с.
12 Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // 1ll. J. Math. 1966. V. 10 №2. P. 353-366.
13. Банару М.Б. О паракелеровости 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1994. № 25. С. 15-18.
14. Кириченко В.Ф. Устойчивость почти эрмитовых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли: Сб. // Укр. геом. 1982. Т. 25. С. 60-68.
15. Кириченко В.Ф. Эрмитова геометрия шестимерных симметрических подмногообразий алгебры Кэли // Вестник МГУ. 1994. №3. С. 6-13.
16. Банару М.Б. О 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. № 31. С. 6-8.
M.B. Banaru
ON PARAKAEHLERIAN AND C-PARAKAEHLERIAN MANIFOLDS
Criteria of parakaehlerianity and c-parakaehlerianity are found for almost hermitian manifolds. Exampes of 6-dimensional parakaehlerian and c-parakaehlerian are given.
УДК 514.75
О.О. Белова
