CC BY
73
УДК 517.95
Е. А. Данилова
ОБ ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ СОЛИТОННОГО ТИПА ДЛЯ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА
Аннотация. Приводятся важные для решения прикладных задач (дифференциальная геометрия, волновые сейсмические процессы, оптика, биология, сверхпроводимость, метеорология) результаты исследований об отсутствии решений солитонного типа для одной модификации уравнения синус-Гордона.
Ключевые слова: антисолитон, решение солитонного типа, солитон, уравнение синус-Гордона.
Abstract. The article introduces the results of researching solitonic type solutions for the Sine-Gordon equation modification, which are important for applied problems solving (differential geometry, wave seismic processes, optics, biology, superconductivity, meteorology).
Key words: antisoliton, solitonic type solution, soliton, Sine-Gordon equation.
Введение
Уравнение синус-Гордона описывает такие физические явления и процессы, как распространение импульсов в двухуровневых резонансных средах, технологию сверхдальней связи по оптическим линиям [1], поведение бло-ховских стенок в ферромагнитных кристаллах, движение дислокаций, процессы в джозефсоновских контактах [2], описание нелинейных эффектов в геофизических средах [3] и ряд других физических явлений. Лишь в 1936 г. немецкий математик Штойервальд нашел решения, соответствующие по современным критериям одному, двум солитонам и бризеру.
Впервые в физику его ввели в 1939 г. Я. И. Френкель и Т. М. Канторова как уравнение, описывающее распространение дислокаций в одномерном кристалле [4]. В настоящее время уравнение синус-Гордона широко используется в геометрии и сейсмологии, в оптике и биологии, в физике и метеорологии. Каждая из этих наук по-своему подошла к открытию уравнения синус-Гордона, но, открыв, стала активно его использовать и находить все новые и новые стороны его применения, а также его модификаций.
1. Постановка задачи
Рассмотрим одну модификацию уравнения синус-Гордона:
zXx (xt)-ztt (xt) =sin(z(xt)) +sin((xt)). (1)
По Gaetano Fiore [5], солитонным называется устойчивое решение типа бегущей волны z (x,t ) = g (x - v • t ), отличное от константы, у которого частные производные zx (x,t), z't(x,t) быстро стремятся к нулю вне ограниченной области. Из них солитонами называются те решения солитонного типа, у которых g ' > 0, антисолитонами - те, у которых g ' < 0 .
Требуется отыскать решения уравнения (1) солитонного типа или доказать, что их не существует.
2. Сведение задачи к изучению свойств решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений
В исследуемом случае будем искать решение в виде z (x, t ) = g (4), где 4 = x - v •t. Получим уравнение
(- v2 )(4) = sin((4)) + sin(3g(4)). (2)
В случае v = ±1 получим, что 0 = sin (g (4)) + sin (3 • g (4 )). или
g (4 ) = y, k eZ. Но тогда найденное решение - константа, что противоре-
чит определению решения солитонного типа.
При v ^± 1 уравнение (2) эквивалентно системе
' g '(4 ) = p (4 ).
p' (4) = -Ц- (((4)) +sin (3g(4)))• (3)
1 — v
Решения уравнения (1) будут солитонного типа при v ^±1, если g '(4 ) будет стремиться к нулю при 4 ^ и при 4 ^ —^.
3. Изучение положений равновесия
Поскольку правые части системы (3) периодически зависят от g , то ее особые точки делятся на 4 вида в зависимости от значения g :
1. g1 = 2nk, k eZ .
2. g2 = 2 + 2nk , k eZ .
3. g3 = n + 2nk , k eZ .
4. g 4 =-h 2nk, k eZ .
04 2
Сначала рассмотрим точки, тип которых можно найти по первому приближению правых частей.
В первом случае имеем
sin ( ) + sin (3g ) = sin ( — g1 ) + sin (( — g1 )) =
= ( — g1 ) + o( — g1 ) + 3( — g1 ) + o( — g1 ) = 4( — g1 ) + o( — g1 ),
и систему (3) можно переписать в виде
' g '(4)=p (4)
p'(4) = -Ц--(4(( — g1 ) + o( -g1 )).
1 — v
ЗЗ
Матрица коэффициентов имеет вид значения X определятся из уравнения
1 - V2
X2^ = 0.
1 - V2
поэтому собственные
(4)
Отсюда видно, что в зависимости от v особая точка может быть разных типов:
I. Седло при 0 < v| < 1. Уравнение (4) имеет два корня разных знаков.
II. Центр при v| > 1. Уравнение (4) имеет два чисто мнимых корня, поэтому далее исследуем исходную нелинейную систему (3). Умножив первое
—~2~(sin( -()-sin(( -gi))) а второе - на
уравнение системы на
1-V
p (^), получим на фазовой плоскости семейство линий:
2p2 (S) + _^ГI cos( - gl)-3cos(3( - gl )) | = const’
1-V
или
1 p2 (S)+—22 ( - gi )2 = const+o (( - gi )3) •
2 1 - V2
В окрестности точек третьего вида имеем
sin(g) + sin(3g) = sin( - g3 + П) + sin(3( - g3) + 3n) =
= -( - g3)- o ( - g3)- 3( - g3)- o ( - g3 ) = -4( - g3) + o ( - g3 )• Тогда систему (3) можно переписать следующим образом:
¿ (S ) = p (s),
р (S) = —Ц(-4(-g3) + 0(г-g3)).
1 - V
Матрица коэффициентов имеет вид
( 0 1 ^ -4
1 - V2
следовательно, X
определится из уравнения
X2 +-^т = 0.
1 - V
2
(5)
Отсюда видно, что в зависимости от v особая точка может быть разных типов:
I. Седло при М > 1. Уравнение (5) имеет два корня разных знаков.
II. Центр при 0 < VI < 1. Уравнение (5) имеет два чисто мнимых корня,
поэтому далее исследуем исходную нелинейную систему (3) аналогично второму случаю для точек первого вида.
В окрестности точек второго и четвертого вида имеем
sin( g) + sin ( 3g) = sin ^g — g2,4 ± П j + sin ^3 ( ( - §2,4 ) ± y j :
= ±COS(g — g2,4 ) + cos(3(g — g2,4 )) •
Тогда систему (3) можно переписать в виде
^ g ,(4) = Р(4)
p'^^V(Cos(g — g2,4 ) — Cos(3(g — g2,4 )))•
1 — v ' '
Умножив первое уравнение системы на
(сое (я - g2A)- сов (з( g — g 2,4))),
1 — V
а второе на р (^), получим на фазовой плоскости семейство линий:
2Р2 (^) + ^( — g2-4 ) — 38ІП(3(( — g2,4 ) = С0П81 •
Заключение
Для фазового портрета системы (3) возможны случаи: VI > 1 (рис. 1), и 0 < VI < 1 (рис. 2).
/ / ^ ~N \ \ У / У N /
/ / / \ \ \ / / /, .-Ó \ \ \ у /
Ч / °-5 V' / J Í і І V/ sr
7 ■ 6 5 ■ 4 /Л / ч 2 1 \ 0 | у, Л Ч Г 0 1 2 3
/ / V \ \ V, і У / \ \ \ / / /
/ / \ ч / / / / ___ У
Рис. 1. Фазовый портрет системы (3) при VI > 1
Как видим, во всех рассмотренных случаях уравнение (2) не имеет решений таких, для которых р(^) = gг(4) стремится к нулю и при и
при Таким образом, уравнение (1) не имеет ни солитонов, ни анти-
солитонов.
/ р У'-'"-- ч
s' f N \ tf /~\ "ч / / ■//'V / / . /
\ \J V \ / /■" / \ V/ V .
4 /\ - / V 2 - 0 8 Д/ 4 ■ 1 ) 2 ; !/ * V. \ ' А 1 !/\ 0 1
/ 1 \ / / / -у \ \ ■■,vy.. /
ч _ X
Рис. 2. Фазовый портрет системы (3) при 0 < U < 1
Список литературы
1. Голубев, А. Солитоны / А. Голубев // Наука и жизнь. - 1992. - № 8.
2. Гольцман, Г. Н. Эффекты Джозефсона в сверхпроводниках / Г. Н. Гольцман // Соросовский образовательный журнал. - 2000. - № 4. - С. 96-102.
3. Викулин, А. В. Физика волнового сейсмического процесса / А. В. Викулин. -Петропавловск-Камчатский : Изд-во КГПУ, 2003. - 151 с.
4. Давыдов, А. С. Солитоны в квазиодномерных молекулярных структурах / А. С. Давыдов // Успехи физических наук. - 1982. - Т. 138, № 4. - С. 603-643.
5. Fiore, G. On soliton and other travelling-wave solutions of a perturbed sine-Gordon equation / G. Fiore // Preprint Matematica e Applicazioni. - Universita' di Napol, 2007.
Данилова Евгения Александровна Danilova Еvgeniya Aleksandrovna
аспирант, Московский государственный Postgraduate student, M. V. Lomonosov
университет им. М. В. Ломоносова Moscow State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.95 Данилова, Е. А.
Об отсутствии решений солитонного типа для одной модификации уравнения синус-Гордона / Е. А. Данилова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№ 3 (19). - С. 32-36.
