CC BY
20Квантовые солитонные операторы аффинных систем Тоды
Зуевский А.Б.
Факультет Теоретической Математики, Вайцмановский Институт Науки, Реховот, 76100, Израиль
Аннотация
На примере квантовой модели синус-Гордон рассматриваются аффинные системы Тоды в кван-тово-групповом подходе. На основе квантованной универсальной обертывающей аффинной алгеры Ли £/9(5/2) мы строим квантовую версию вертексных операторов, генерирующих солитоны в классическом пределе.
1 Введение
Двумерные интегрируемые теории поля привлекали большое внимание исследователей в последние годы. Как в классическом, так и в квантовом случаях они представляют собой красивые примеры теорий, имеющих достаточно богатую внутреннюю алгебраическую структуру. В частности, большая работа была проведена в случаях конформной и аффинной моделей Тоды. Среди аффинных систем Тоды случай уравнения синус—Гордон, который соответствует аффинной алгебре Ли 5/2, является наиболее разработанным. Эта теория интересна со многих точек зрения.
В пионерской работе [11] общее решение аффинных систем Тоды было построено на основе теоретико—группового метода [12]. Было показано как, исходя из общего решения, получить солитонные решения уравнений аффинных систем Тоды в классическом случае. Построение основано на существовании главной (однородной) гейзенберговой подалгебры соответствующей аффинной алгебры Ли Q.
Квантовая теория полей систем Тоды (на компактном или некомпактном пространстве) может быть введена различными способами [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. В подходе Замолодчиковых [22] квантовая модель синус—Гордон рассматривалась в рамках ¿'—матричного формализма. Эта модель известна как пример релятивистской квантовой теории поля с факторизуемой матрицей рассеяния. Со-литоны и антисолитоны генерируются некоммутирующими операторами F(6) и F(6) (в обозначает быстроту (rapidity) солитона (антисолитона)), которые действуют на вакуум теории и образуют ассоциативную алгебру, описывающую рассеяние сооветствующих частиц (см. Раздел 9). Спектр квантовой теории синус—Гордон состоит из солитонов, антисолитонов и связанных солитон—антисолитонных состоы-аний (квантовых дублетов). В работах [23, 24, 25, 26, 27] квантовая модель синус-Гордон была рассмотрена в рамках подхода углового квантования. Попытка отыскать рудименты классической алгебраической структуры в квантовом случае были предприняты в статье [28]. В этой работе была введена квантовая функция взаимодействия, которая должна играть роль классической функции взаимодействия для некоторых солитонных вертексных операторов.
Цель данной работы — прояснить дальнейшие связи между кватовыми группами и квантовыми двумерными интегрируемыми системами. На примере квантовой модели синус—Гордон, мы показываем, что структура солитонных операторов в подходе Замолодчиковых основывается на свойствах соответствующей квантовой группы. Используя вторую реализацию Дринфельда квантованной универсальной обертывающей алгебры [/^(5/2), мы строим конкретную реализацию квантовых вертексных операторов, которые имеют квантовую функцию взаимодействия, введенную в [28], и удовлетворяют алгебре Замолодчикова. В отличие от вертексных операторов, вычисленных в подходе углового квантования, алгебраический смысл наших вертексных операторов намного более прозрачен и удобен для дальнейших приложений. Мы вычисляем также вертексные операторы в антисолитонном секторе алгебры Замолодчикова. Наши квантовые вертексные операторы вырождаются в обычные
вертексные операторы, генерирующие солитоны в классическом пределе. Мы об-суждем также их возможную роль в теории квантовых солитонов.
План этой работы следующий. В Разделе 2 мы вспоминаем аффинные системы Тоды, их общее решение и солитонную специализацию в теоретико—групповом подходе. В Разделе 3 мы строим классические солитонные решения в однородной градуировке. Раздел 4 посвящен ¿'-матрице модели синус—Гордон и ее связи с квантовым дилогарифмом. В Разделе 5 мы вводим квантовые вертексные операторы и обсуждаем их свойства. Квантовые антисолитонные вертексные операторы вычислены в Разделе 6.
Памяти Михаила Владимировича Савельева
Тема этой работы была предложена М.В. Савельевым, как часть проекта по приложению теории квантовых групп к двумерным интегрируемым системам и продолжению теоретико-групповых методов, развитых в [12, 29]. Большинство идей, нашедших отражение в этой работе, возникло в результате обсуждений с Михаилом Владимировичем. Внезапная смерть М. В. Савельева потрясла многих. Мы будем помнить его не только как выдающегося научного деятеля, превосходного педагога, но и как очень доброго и отзывчивого человека. А. 3. глубого признателен М.В. Савельеву и хотел бы посвятить эту работу его памяти.
2 Солитоны в аффинных системах Тоды
Вспомним вначале некоторые известные результаты, касающиеся аффинных систем Тоды в классической области. Пусть А4 — двумерное многообразие, скажем Ш2 или (С1, со стандартными координатами 2± = I ± з; и производными д±. В случае (С1 мы предполагаем, что = . Пусть С — комплексная простая группа Ли с
аффинной алгеброй Ли С/ ранга г + 1, снабженной некоторой Ж—градуировкой.
г
Поля аффинной Тоды ф = ^ /¿¿</>г- (здесь /¿¿, г = 0,..., г — картановские элементы
г = 1
алгебры <3) удовлетворяют уравнениям
£ ) =0, ,2.1)
где «¿, % = 0,..., г — простые корни алгебры С?, ф = —«о — старший корень и соот-
/ г
ношение = ^ тг-% определяет шг-. Уравнения (2.1) соответствуют некоторой
г = 1
аффинной алгебре Ли С/ в главной градуировке. В (2.1) г] традиционно обозначает вещественную константу обратной длины, а (3 — константу связи. Коэффициенты в (2.1) подобраны таким образом, что ф = 0 — постоянное решение. Сам факт ин-тегрирумости систем (2.1) был установлен на основе подходящей плоской формы связности как и в случае конформных (конечномерных) систем Тоды, см. [12, 29] и ссылки в этих работах.
Формальное общее решение уравнения (2.1) было найдено в работах [11, 30]
-рхЗ.ф _ < а^|7+У;У-7-|Л^ >
< Ло|7;У;У-7-|ЛО >т
(2.2)
где >, ] = 1,...,г — старший вектор го фундаментального представления алгебры 3, отвечающего фундаментальному весу А.,-, (т3 — отметки на диаграммах Дынкина 3).
Отображения : }Л —у С удовлетворяют уравнениям
д±ц± = к±ц±, (2.3)
гДе
= (2.4)
г=0
(ж±г-, г = 0, ...,г — генераторы Шевалье алгебры 3)}
(0) ±г
ГО) , ч
ф±] = тзе 8=0 , (2-5)
где ф±- — свободные поля и (2.4) может быть представлено как
= 7±^±17±, (2-6)
Г
£■±1 = у/т~х±1. (2.7)
¿=о
Отображения 7±(.г±) : Л'! —>■ Со в (2-2) имеют вид
7± = е<=° . (2.8)
В случае чисто комплексной (3 аффинные системы Тоды обладают солитонными решениями. Уравнение синус—Гордон
0, (2.9)
*)
является частным случаем, связанным с аффинной алгеброй Ли 3 = 5/2 как в главной, так и в однородной [31] градуировках. Общее решение (2.9) в однородной градуировке выглядит так же, как (2.2). Солитонное решение уравнения (2.9) имеет вид
/ x — vt \
ф,01 = агсЬд (2.10)
В работе [11] была предложена некоторая замечательная специализация общего решения (2.2) в однородной градуировке, которая приводит к солитонным решениям. Авторы выбирают отображения 7± в (2.6) единичными элементами группы
Со-
Тогда мы видим, что к± = Е±\ в (2.6) и легко проинтегрировать уравнения (2.3). Находим
ц± = ц°±еГ1г±Ё±1. (2.11)
Общее решение (2.2) примет вид
е
(2.12)
< Ао\е~Г]Е1г+ /2°е~Г]Е~1г |Л0 >г
где /1° = (/л^)-1//- некоторое постоянное отображение АЛ —С, независимое от координат г±. М—солитонные решения могут быть получены из (2.12) выбором группового элемента /л(0) в виде
n
//(0) = П (2.13)
п=1
где (п = , 7 = ~ быстроты солитонов) и — логарифм начальной
координаты п-го солитона. В формуле (2.13) Рп((п) — вертексные операторы в главной градуировке [32], т.е. элементы главной вертексной конструкции. Эти операторы являются собственными векторами по отношению к элементам главной гейзенберговой подалгебры Е±к (см. (2.7) для к = 1). Это позволяет нам исключить Е± 1 из решений (2.12), переставляя их с /л(0). Заметим также, что экспоненциальные ряды от операторов Рп((п) обрываются после порядка, совпадающего с уровнем предсталения старшего веса. Эти свойства делают решение (2.12) равным классическому солитонному решению, [33]. Можно видеть, что вертекные операторы ЯпРп((,п) генерируют солитоны в классической теории.
3 Солитонные решения в однородной градуировке
Заметим, что в случае алгебры 5/2, как главная, так и однородная градуировки приводят к уравнению синус—Гордон (2.9). Следовательно, можно построить солитонные решения, используя общее решение (2.2) в однородной градуировке, имея соответствующие вертексные операторы, построенные с использованием генераторов однородной гейзенберговой подалгебры 5/2 [32].
В однородной градуировке отображения 7± могут быть параметризованы как
7± = еЛф<,есфсеф°х°, (3.1)
где б? — градуирующий оператор, с — центр алгебры 5/2 и ж^ — генераторы подпространств соответствующие однородной градуировке. Отображения //± удовлетворяют
д±ц± = к±ц±, (3.2)
где
= а±1 + ф^х^. (3-3)
Для того, чтобы получить солитонное решение, мы полагаем
ф± = 0, ф± = 0. (3.4)
Тогда общее решение сводится к
< A0\ea+^z+ /j(0)ea-^z~\Ao >'
% n i i i IK - i / \ i >
e - ' = -—-x^-rrt-—-• (3.5)
Следующий групповой элемент /л(0) в (3.5) генерирует /V—солитонное решение
М Г 1я 1
М0) = е"^П ехр((-1)д*+1гСЭпФ((п))е^ада , (3.6)
п=1
где действие операторов и е~ на вектора старшего веса |ЛП >= \1(3е~п >, п = 0,1 — то же, что и в случае £/9(5/2) [32] (см. Раздел 8). Оператор Ф(С) дается выражением
ф(0 = ехр (£ ^с) ехр (- £ , (3.7)
\п=1 п J \ п=1 п J
и диагонализует действие а±к, к £ 14,
[а±к,Ф(0] = (±кФ((). (3.8)
Заметим также, что произведение двух вертексных операторов может быть нормально упорядочено как
Ф(С1)Ф(С2) = ВД:Ф(С1)Ф(С2):, (3-9)
где
(3.10)
(оо ^2п \
— ^- I = ехр (log(l — ж2)) .
п=1 ^ /
Если ж = 1, то Х(х) равно нулю, что имеет следствием
Ф(С)-Ф(С) = О, (3.11)
и экспоненциальный ряд от оператора Ф(С) обрывается после первого порядка.
В пределе q = 1 солитон—солитонное, антисолитон—антисолитонное и солитон— антисолитонное рассеяние сводится к классическому случаю, т.е. (9.4)—(9.6) (см. Раздел 9), вырождается в
Fa(Ci)Fb(C2) = (3.12)
где ж2 = а,Ь обозначают солитон (антисолитон), а множитель ^ возникает из перестановки операторов е"^2^ и е^^" ■, (см. Раздел 3). Следовательно, вертексный оператор, генерирующий классическое солитонное решение есть
F(C) = Q^(C)ef (1да. (3.13)
Принимая во внимание свойства оператора мы переписываем решение (3.5)
в виде
^ < ах| (1 + (-1)9«+чдФ(0) >
е
< Л0| (1 + (-1)9°+Ч£Ф(С)) (2да |Ло >
Окончательная форма (3.14) имеет вид
1 + гОе<г+-<: ^
1 -гОе^-^1*
-1 'С-
(3.14)
(3.15)
Антисолитонное решение может быть поставлено в соответствие вертексному оператору
(3.16)
4 Дилогарифмическая структура Б—матрицы квантовой модели синус—Гордон
В работе [28] была найдена замечательная квантово—дилогарифмическая (см. Раздел 10) структура матричных элементов факторизуемой б1—матрицы, вычисленной в [22]. Как оказалось, матричные элементы 3(6), и могут быть выражены
через новую функцию Хд(х)} которая является отношением двух регуляризованных
квантовых
дилогарифмов, [34, 35]. В добавок, функция Хд(х) (
называемая квантовой
функцией взаимодействия) может рассматриваться, как квантовый аналог так называемой функции взаимодействия, которая играет важную роль в классике. Обычная функция взаимодействия Х(в) [28, 30] появляется в результате нормального упорядочения двух вертексных операторов, генерирующих солитонные решения в классической области,
ПСОПСз) = Х(в12) : ^(СОПСз) : •
(4.1)
где в\2 = 02 — $1, (в{} г = 1,2 — быстроты двух солитонов), (п = е т , 7 = ^ . Как
оказывается, б1—матрица модели синус—Гордон совпадает, с точностью до множителя (некоторой скалярной функции) с К—матрицей квантовой группы [/^(5/2), [36] (здесь мы использовали обозначения работы [28])
/ хд — х 1д 1
3п(в) = у(х)
V
о о о
о
ч-ч о
-1
-1
/ т
о о
\ О
о
о
ч-ч о
о
-1
-1
о о о
хд — х~1д~1
\
£я(0) Зт(в)
Бт(в) Зн(в)
О О
О \ О О
3(9) /
(4.2)
8 8 2
где ж = е~ , д = е г~. 311(в) отличаются от Л—матрицы ^(5/2) скалярной функцией и(ж) [28]
/ \ д Хя(х) (А оч
у{х) = --— (4.3)
I — ж^ Лд(х 1) 5(0) = и(ж)(жд- ж"1^1), (4.4)
5,й(0) = ^(Ж)(д-д"1), (4.5)
£т(0) = у(х)(х - ж"1). (4.6)
Мы видим, что параметр деформации д квантовой группы £/9(5/2) связан с перенормированной константой связи, которая является вещественной. Здесь Хд(х) — вышеупомянутая квантовая функция взаимодейтвия. Наиболее важным фактом является то, что квантовая функция взаимодействия Хд(х) может быть выражена как отношение
вгдеЛ(е™+2т™ж2) '
где Згд132(г) — регуляризованный квантовый дилогарифм. [34, 35], (определения
и
свойства квантовых дилогарифмов см. в Разделе 10).
5 Квантовые вертексные операторы
Вопрос, который можно задать теперь — что могло бы соответствовать классическим вертексным операторам, которые ответственны за рождение солитонов в классике. Естественной идей было бы найти такой вертексный оператор, который имел бы функцию взаимодействия как в (4.7) и удовлетворял алгебре Замолодчикова (см. Раздел 9). Дилогарифмическая структура квантовой функции взаимодействия подсказывает нам ответ.
Мы предлагаем следующую форму квантового вертексного оператора дР(()
ЯР(С) = Я (5.1)
Здесь дФ(С) ~~ произведение
,Ф(С) = Фа(С)-Фь(С), (5.2)
где
Ф.(С) = (| ехР (-1 ^Г») , (5.3)
Фь(о = ^(Е11^#п(2(1+2тЬ")сп)
=1 [2"]',
п=1 У1п\ч )
(5.4)
В (5.4) С = С~ и
ц~ = ещ, д = ем2. (5.5)
Два других множителя в (5.1) будут объяснены позже. Оператор Фа(С) (5-3) — вертексный оператор, введенный в [37]. Фа(С) содержит элементы однородной квантовой гейзенберговой подалгебры £/9(5/2)- Оператор Фь(С) построен с помощью элементов однородной гейзенберговой подалгебры квантованной универсальной обертывающей алгебры с параметром деформации д, связанным с д. В (5.4) мы ввели однородную гейзенбергову подалгебру квантованной универсальной обертывающей
алгебры [/-(5/2)- Ее генераторы {Ьк,к £ {Ж — 0},7±2]- удовлетворяют
соотношениям
[аиЬк] = [хп,Ьк] = [К,Ък] = ЬМ] = 0, (5.6)
Щд - ~
к д — д
го71 ~ мк
ГА А 1 X \.1к\д1* -7 .
[Ьк,от\ = дк-т -¡-1————, (5.7)
к, га, I £ {Ж — 0}, и £ 2. Здесь
(5-8)
д — д 1
Операторы 7±2 лежат в центре £/-(5/2) и коммутируют со всеми элементами £/5(5/2). Генераторы 7 действуют как 7(/ (х) е'3) = д(/ (х) е'3) на вектор представления (см. Раздел 8).
Теперь мы объясним форму (5.2). Квантовый вертексный оператор дФ(С) состоит из двух коммутирующих множителей дФ(С) = Фа(С) ' Фь(0- Легко видеть, что произведение двух операторов (5.3) с неравными аргументами £1 и (2 удовлетворяет
Фа(С1)Фа(С2) = Х;ПГе°(Х) : Фа(С1)Фа(С2) =, (5.9)
Фа(С1)Фа(С2) = ^гед/_пФа(С2)Фа(С1), (5-Ю)
И
Х^пге9(х)
где двоеточия обозначают нормальное упорядочение, т.е. что все {а_„,п £ М} генераторы переставлены налево по отношению к {аП}п £ Е^} генераторам. Функция ХуПгез(х) дается выражением
00 Чпх2п[п\ п\2п]
( ^ д^жМпЛ
где .
2 _ С2 ж " С1'
(5.11)
(5.12)
Аналогично, оператор Фь(С) переставляется как
Ф6(С1)Фь(С2) = : Фь(С1)Фь(С2) (5.13)
ч
■и.пгеп ,
ж
ипгед I
Фь(С1)Фь(С2) = х»и^_1)Фь(С2)Фб(С1), (5.14)
где х = х '-1 и
Л-Г»(г) = £ 2-и[2в]. - '■) • (5.15)
Поскольку £ {Ж — 0}} коммутирует с {6/,/ £ {Ж — 0}}, результат перестановки
двух операторов и дФ(С2) есть
Х^(х) Х%пгез(х)
т-ипгед ^
гФ(С1),Ф(С2) = (5-16)
Обозначим
^(х) = х;пге9(х) • Х^пгед(х) (5.17)
9
регуляризованную квантовую функцию взаимодействия. Тогда
Хгед(х)
МС1ШС2) = хг!д('х_;)дФ((2)дФ((1)- (5.18)
Ключевым моментом яляется то, что функция Х'^е9(х) в (5.16) совпадает с так называемой квантовой функцией взаимодействия Хд(х) (4.7), введенной в [28]. Это можно показать, используя формулу (10.4) (см. Раздел 10), которая расщепляет регуляризованный квантовый дилогарифм в произведение двух нерегуляризованных квантовых дилогарифмов. Мы видим, что перестановка двух квантовых вертексных операторов ?Ф(Сп)5 и = 1,2 (5.2) дает в точности общий множитель в правой части равенства (5.16). Таким образом, с точностью до скалярной функции, наши операторы (5.2) удовлетворяют алгебре квантовых солитонных операторов, введенных в [22] (см. Раздел 9).
Убедимся теперь, что часть квантового вертексного оператора (5.1)
соответствует вышеупомянутой скалярной (Я—матричной части) функции. Рассмотрим перестановку двух операторов в форме которые действуют на
11 ап
вторую часть тензорного произведения в векторах старшего веса 11 Сх) е 2 > квантовой группы £/9(5/2) (см. Раздел 8). Мы имеем
(еЧ1Я°) .<? = (в»сГ") .в". (5.19)
Следовательно, мы получаем
е*С?°а) (еЧ!9*) = I (еЧ!9*) (е*С?°а) ■ (5-20)
б1—матричный элемент, соответствующий рассеянию двух солитонов (или двух ан-тисолитонов) равен
С(Л\ _ хд-х~1д-1 Хд(х) _1 Хд(х) [ )~ 1 — д2х2 Хд(х~1) ~ хХд(х~'У [ }
Вертексный оператор (5.1) удовлетворяет алгебре квантовых солитонных операторов в смысле [22].
В классическом случае, вертексные операторы обладают некоторыми важными свойствами. В частности, они являются собственными векторами по отношению к действию элементов гейзенберговой подалгебры квантовой группы [^(з^)- Это именно то свойство, которое позволяет переставить вертексные операторы в экспоненциальных выражениях в решении уравнения синус—Гордон (3.5). Более того, квадрат вертексного оператора равен нулю. Этот факт ответственен за обрыв экспоненциальных рядов в (3.5). В виду этих свойств решение совпадает с хорошо известным солитонным решением уравнения синус—Гордон [33].
Квантовый вертексный оператор дФ(С) имеет похожие
свойства. Прежде всего, легко видеть, что дФ(С) — собственный вектор по отношению к генераторам а±к квантовой группы ^(5/2) (вспомним, что а±к коммутирует с Ь±п для каждого к}п £
{2-0}),
Ф(С)] = #ЙС\Ф(С),
[а_*„Ф(С)] = д--уГ%Ф(С).
Во-вторых, оператор дФ(С) удовлетворяет
9Ф(С1)9Ф(С2) = Хд(Ж):дФ(С1)дФ(С2):
Более того,
Хд(х) = Х™°>>(х)-Х2п""(х),
и
где
X.
ипгеЦх) =
(чипгед /
^ипгед
пипгед ,
Од-2 (
= П (1 + Ч~2{2к+1\^+2т™х2Ч2]
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
к=О
Тогда при £1 = (2, т-е- когда х = 1, первый множитель (к = 0) в произведении (5.27) есть ноль и, следовательно, Би-1еэ (ег'К+2тг'К х2 д2)\х=\ = 0.
<3 __
В то же время, БГ.^'9 {еш+2тш х2)\х=1 ф 0. Аналогично, Б^'9 {еш+2тш х2д2)\х=1 = 0
х2)\х=1 ф 0. Таким образом Х^пгед(1) = 0 и Х~"2геЯ(1) = 0. Мы заключаем, что Хч{1) = 0 и
,Ф(С)-,Ф(С) = 0. (5.28)
Эти свойства квантовых вертексных операторов оказываются очень полезными при вычислении форм факторов и корреляционных функций в квантовой модели синус-Гордон. Это станет темой некоторой последующей статьи. Легко видеть, что в классическом пределе вертексные операторы (5.1) генерируют солитонные решения уравнения синус—Гордон. В частности, в пределе д —> 1, благодаря (5.5), мы имеем д = еЗ!5", I £ Ж, когда I —> =Ьоо, то д —У 1 и мы получаем солитонное решение (3.14).
и
6 Антисолитонные вертексные операторы
Антисолитонный сектор в (9.5)—(9.6) может быть получен аналогичным путем. Ясно, что квантовый антисолитонный вертексный оператор должен иметь почти ту же форму, что и д-Р(С) в (5-1)- Антисолитонное решение в классическом случае дается выражением
Фа-ntisoi = arctg ^е VT^j , (6.1)
которое может быть получено из классического решения изменением знаков ж и t. На основе формы солитонного решения (6.1) можно сделать предположение относительно классического антисолитонного вертексного оператора. Возьмем
qF(C) =-MC)ef (<Cffa , (6-2)
в качестве такого антисолитонного квантового вертексного оператора, здесь а(() — некоторая функция. Тогда перестановка двух антисолитонных операторов дает
.F((1),F(fO=(^)I^pJ.F(ü).F(fl). (6.3)
Однако, в соответстии с (9.5), антисолитоны рассеиваются на антисолитонах также, как солитоны на солитонах. Следовательно, принимая во внимание (5.21) мы получаем условие на функцию а(()
СМС2) = С2а(С i). (6.4)
Фунция а(() может быть определена с помощью правил (9.5)—(9.6), приводящих к выражению
/ 1 i /1 — а2х\
w» =-f* {-г?г) • (6-5>
где ж2 = Из (6.2) в пределе q —> 1 мы получаем (3.16).
Таким образом, мы построили квантовый вертексный оператор (6.2), соответствующий антисолитону (в смысле алгебры Замолодчикова). Спектр связанных солитон—антисолитонных состояний дается формулой тьг(п) = 2mso¡ sin (у^-) , п = 1,2,... < [22], где msoi — масса солитона. Заметим, что, в соответствии с (4.5), Sr(x)— часть ¿'-матрицы, отвечающая отражению, равна нулю когда q = ±1, т.е.
О 1 I
п = и (а(£))2 = ¿С2- Принимая во внимание формулу (6.5) и рассматривая классический предел солитонного решения, соответствующего квантовому антисолитон-ному вертексному оператору (6.2), можно видеть, что не существует связанных состояний при 7 > 87Г.
7 Заключение
Мы построили явное представление квантовых вертексных операторов, удовлетворяющих алгебре Замолодчикова, обобщающие обычные вертексные операторы и генерирующие солитонные решения модели синус—Гордон в классическом пределе q = 1.
Эти квантовые вертексные операторы обладают квантовой функцией взаимодействия Хд(х), введенной в [28]. Нужно заметить, что некоторые другие варианты вертек-сных операторов модели синус—Гордон были построены в работах [38, 27]. Однако, с точки зрения теоретико—группового подхода, не была ясна связь подобных операторов с классическими солитонными вертексными операторами. В нашем построении явно видна роль генераторов квантованной универсальной обертывающей алгебры £/5(5/2)- Структура этих вертексных операторов основана на двух квантованных универсальных обертывающих алгебрах с параметрами деформации д и д. Хотя мы ограничились самым простым случаем модели синус—Гордон, достаточно очевидно, что такая констукция может быть расширена на случаи высших алгебр (квантовая функция взаимодействия для 11д(з1^) была вычислена в [28]).
Естественно задать вопрос, что может являться квантовым солитоном. В подходе Замолодчикова к квантовой модели синус—Гордон мы имеем алгебру операторов генерирующих солитоны и некоторое вакуумное состояние, на которое они действуют. Квантовые солитоны являются состояниями теории и могут быть связаны (в соответстствующем классическом пределе) с классическими солитонными решениями уравнения синус—Гордон.
Другой подход к квантовым конформным или аффинным теориям Тоды состоит в выборе одного из стандартных способов квантования, скажем, метода светового конуса [20]. В этом случае нужно определить квантовые уравнения аффинных (конформных) систем Тоды, например, путем задания нормального упорядочения экспонент. Решение квантовых аффинных уравнений Тоды должно быть гейзенберговым оператором. Опыт в этом направлении показывает, что формальное решение таких уравнений может быть построено на основе квантовых групп [19]. Поскольку в классике вертексные операторы генерируют солитонные решения уравнений аффинной Тоды, можно думать, что в квантовом случае ситуация в некотором смысле аналогична и можно попробовать построить некоторые специальные операторные решения, используя квантовые вертексные операторы. К сожалению, за исключением явного представления квантовых вертексных операторов, мало известно о их роли в такой специализации. В классике, солитонные решения могут быть выделены из общего решения при помощи элементов главной или однородной гейзенберговой подалгебры квантованной универсальной обертывающей алгебры соответствующей аффинной алгебры. Рассматривая вторую реализацию Дринфельда [39, 40, 41, 37] квантованной универсальной обертывающей алгебры £/?(£?) мы находим, что однородная гейзенбергова подалгебра естестенно возникает в этой формулировке (см. Раздел 8). В квантовом случае можно думать, что ситуация аналогична. Однако, к сожалению, не полностью ясно, как выделять главную гейзенбергову подалгебру в квантованной унивесальной обертывающей алгебры 11ч{<3). В данной мы работе использовали однородную квантовую гейзенбергову подалгебру для того, чтобы ввести квантовые вертексные операторы.
В качестве приложения квантовых вертексных операторов, построенных в этой работе можно думать о вычислении форм факторов [23, 25, 26, 42] и корреляционных функций [43, 44] квантовой модели синус—Гордон. В работе [27] был предложен некоторый путь вычисления с использованием вертексных операторов. Он включает
вычисление следов произведений вертексных операторов. Имея явное и алгебраически прозрачное представление квантовых вертексных операторов, мы в состоянии вычислить форм факторы теории. Это станет темой одной из последующих публикации. Другое алгебраическое построение в рамках подхода углового квантования к модели синус—Гордон было недавно представлено в работе [24].
Б лагодарности
Мы хотели бы выразить нашу признательность А. Замолодчикову, В. Фатееву и С. Лукьянову за доброе отношение к нашей работе и полезные комментарии. Мы благодарим также A.B. Разумова за ценные обсуждения статьи на завершающей стадии.
Приложения
8 Вторая реализация Дринфельда квантованной универсальной обертывающей алгебры ^(5/2)
Вспомним вторую реализацию Дринфельда квантованной универсальной обертывающей алгебры [/9(5/2), [39, 40, 37], которая является естестенным квантовым аналогом алгебры 5/2 в петлевой реализации. [/9(5/2) — ассоциативная алгебра, генерируемая элементами {х^,к £ Ж]ап,п £ {Ж — 0}; 7±2 5 К}, где 7±2 принадлежат центру алгебры, удовлетворяющая коммутационным соотношениям
[K, ak}= 0, (8.1)
[2k]7k-7-k щ — ok,-i , 1 , k q — q 1 (8.2)
Kx±K~l = q±2x (8.3)
г ±1 . [2га] ± n (8.4)
L^jfc 1 ХП \ ~ _1 5 g-g 1 (8.5)
ry t ^ ry ry - t ^ ry ry ry ry ■Lk+VLl q ■Ll .Lk — q -Xk-Ll+l -Xl+l-Lk. (8.6)
Генераторы фк и ф_к, к £ Ж+ связаны с генераторами ак и посредством выражений
оо / ОО \
Y, = Кехр (q - q-1) £ akz~k , (8.7)
k=0 V n=1 /
00 / 00 \
£ ф-тгт = K~lexp -(g - q~l) £ a.kzk , (8.8)
k=0 V n=1 /
что означает
фт = 0, т < О, (8.9)
фт = 0, т > 0. (8.10)
к —к
Здесь [к] = ^Е^г-
Неприводимое представление старшего веса квантованной универсальной обертывающей алгебры £/9(5/2) уровня единица может быть построено следующим образом [41, 37]. Пусть Р = = Жа — решетка весов/корней алгебры 5/2. Р
асс-
мотрим групповые алгебы Я[Р]} Р[0\. Мультипликативный басис групповой алгебры Я[Р] задается экспонентами е~п, п £ Ж. модуль делится на Р[Р] = Р[Р]о Ф гДе Р[Р]п = Структура 5/2—модуля на пространстве = £[а_1, а_2,...] <Е> ^[-Р] дается действием генераторов ак1к £ {Ж - 0} и еа, 9а = «о в соответствии с правилами
ак(/®еР) = {ак$ ® егз), к < 0, ак(/®еР) = ([ак,/]®еР), к > 0,
е«(/®е/3) = (/®еа+/3),
да(/®е'3) = (а,Р)(/®е13), (8'П)
К = 1® 7 = д ® 1(1.
Тогда W — £/9(5/2)— модуль. Его подмодули изоморфны неприводимому модулю старшего веса У(ЛП) со старшими векторами |ЛП >= |1 ® е~ >,п = 0,1.
9 матричный подход к квантовой модели синус—Гордон
Квантовая модель синус-Гордон была рассмотрена в рамках ¿'—матричного подхода в работе [22]. Эта модель известна как пример релятивистской квантовой теории поля, приводящей к факторизуемому рассеянию. В специальном построении, предложенном в [22] некоторые ассоциативные некоммутирующие операторы Fi{9j) соответствуют частицам теории. Переменая 6j связана с быстротой (rapidity) и i в Fi(6j) обозначает род частицы. Асимптотические in- и out— состояния в теории рассеяния состоят из произведений операторов Fi(6j), обозначающих солитоны. Частицы одного типа представлены идентичными операторами; при этом статистика не принимается во внимание. Рассеяние частиц описывается факторизуемой S— матрицей, т.е. перестановка двух операторов зависит от элементов ¿'—матрицы. А именно, для двух частиц разных масс (отражение в этом случае запрещено)
Fl(el)F2(e2) = ST(e12)F2(e2)F1(e1). (9.1)
В случае частиц разных типов, но равных масс, мы должны также влючить в рассмотрение процесс отражения,
= 5Т(012)^2(ВД(01) + (9-2)
что дает
= 3(912)Р2(92)Р1(91), (9.3)
когда частицы идентичны. Следовательно, любое произведение операторов, идентифицируемое с некоторым состоянием, может быть преобразовано при помощи правил (9.1)—(9.3). Каждая перестановка двух операторов обозначает двухчастичное столкновение.
Спектр квантовой модели синус—Гордон состоит из солитонов, антисолитонов и солитон—антисолитонных связанных состояний (квантовых дублетов). Правила перестановки для солитон—солитонного, антисолитон—антисолитонного и солитон— антисолитонного рассеяния могут быть записаны в терминах операторов, в виде
А(91)А(92) = Б{912)А{92)А{91), (9.4)
А{91)А{92) = Б{912)А{92)А{91), (9.5)
А{91)А{92) = Зт{912)А{92)А{91) + Бн{912)А{92)А{91), (9.6)
где А(9ф и А(9ф обозначают солитонное и антисолитонное состояния соответственно. Солитон—антисолитонные связанные состояния и солитонное рассеяние было исследовано в квазиклассическом подходе, см. ссылки в [22]). Вычисление ¿'—матричных элементов в [22] было основано на аналитических свойствах ¿'—матрицы, которые следуют из общих принципов квантовой теории поля, и на данных квазиклассического анализа.
10 Квантовые дилогарифмы
Регуляризованная версия квантового дилогарифма была введена в работе [35]
« = »о-Ц
14 .) х зп[1тх)зп{[1х) I
где д = ещ и контур интегрирования в (10.1) проходит над полюсом, находящемуся в начале координат. Квантовый дилогарифм удовлетворяет определяющему свойству
3:е9{дю) 1
Гез(г,-1,.л ~ 1 , „..' (Ю.2)
5'дея(д 1и;) 1 + т Нерегуляризованная версия квантового диогарифма [34, 35]
оо /со ( — т)к \
ЗГеЯН = Д (1 + = ехр , (Ю.З)
удовлетворяет тому же самому определяющему свойству (10.2), однако первое выражение в (10.3) сходится, когда |д| < 1, в то время как второе выражение сходится при |д| ф- 1, и |к;| < 1. Нерегуляризованный квантовый дилогарифм связан с регул-яризованным посредством формулы
(ж) = 5'^пге9(х) ■ (10.4)
~ — л —Л.
где q = <р2 и ж = х » . Заметим, что расхождения нерезуляризованных дилогариф-мов при |д| = 1 взаимоуничтожаются в формуле (10.4).
Список литературы
[1] A.V. Razumov, M.V. Saveliev, А.В. Zuevsky. Nonabeliean Toda equations associated with classical Lie groups. To be published in the Memorial volume dedicated to M.V. Saveliev, Dubna, 1999; math-ph/9909008;
[2] M.V. Saveliev, S.A. Savelieva, A.B. Zouevski. Some properties of Z-gradations for simple Lie algebras. Topics in theoretical physic, vol. II. Festschrift for Abraha H. Zimmerman. Brasil, 1998; http://www.igt.unesp.br/Portugues/Zimerman/content.html
[3] H.S. Bias Achic, L.A. Ferreira. Confinement, solitons and the equivalence between the sine-Gordon and massive Thirring models. IFT-P.073/99, hep-th/9909118;
[4] H. Babujian, M.Karowski. The exact quantum sine-Gordon field equation and other non-perturbative results, hep-th/9909153;
[5] M.A.C. Kneipp. Vertex operators, semiclassical limit for soliton ¿'-matrices and the number of bound states in affine Toda field theories, hep-th/9909128;
[6] H.Belich, G Cuba. Surfaces of constant negative scalar curvaure and the correspondence between the Liouville and the sine-Gordon equations. IFT-P.070/99, CBPF-NF-045/99, solv-int/9909018;
[7] V.V. Mkhitaryan, R.H. Poghossian, T.A. Sedrakyan. Perturbation theory in radial quantization approach and the expectation values of exponential fields in sine-Gordon model. LAPTH-752/99, hep-th/9910128;
[8] B.E. Корепин, П.П. Кулиш, JI.Д. Фаддеев. Квантование солитонов. Письма в ЖЭТФ. Том 21, вып. 5, стр. 302-305, 1975;
[9] В.Е. Корепин, Л.Д. Фаддеев. Квантование солитонов. Теоретическая и математическая физика, т. 25, стр. 147, 1975;
[10] R.F. Dashen, B.Hasslacher, A. Neveu. Particle spectrum in model field theories from semi-classical functional integral techniques. Phys. Rev. D. V. 11, Number 12, 1975;
[11] D. I. Olive, N. Turok, J.W.R. Underwood. Solitons and the energy-momentum tensor for affine Toda theory. Nucl. Phys. B401, (1993), 663-697;
[12] А. Н. Лезнов, М. В. Савельев. Групповые методы в теории нелинейных интегрируемых систем. Наука, 1982, Group-Theoretical Methods for Integration of NonLinear Dynamical Systems. Progress in Physics Series, v. 15, Birkhauser-Verlag, Basel, 1992;
[13] 0. Babelon, D. Bernard, F.A. Smirnov. Quantization of solitons and the restricted sine-Gordon model. Commun. Math. Phys. 182, (1996), 319-354, hep-th/9603010;
[14] 0. Babelon, D. Bernard, F.A. Smirnov. Null vectors in integrable field theory. Comm. Math. Phys. 186, 601-648, (1997), hep-th/9606068;
[15] E.Braaten, T.Curtright, C.Torn. Phys. Lett. B118, 115, 1982; Phys. Rev. Lett. 48, 1309, (1982); Ann. Phys. (N.Y.) v.147, 365, (1983); E. Braaten, T. Curtright, G. Gandour, C. Torh. Phys. Rev. Lett, v.51, 19, (1983); Ann. Phys. (N.Y.) v. 153, 147, 1984;
[16] J.-L. Gervais , A. Neveu. Nucl. Phys. B199, 69, 1982; Nucl. Phys. B209, 125, 1982; Nucl. Phys. B224, 329, 1982; Nucl. Phys. B238 , 125, 1984; Nucl. Phys. B238, 396, 1984; Nucl. Phys. B257 [FS14], 59, 1985; Comm. Math. Phys. 100, 15, 1985; Phys. Lett. B151, 271, 1985; Nucl. Phys. B264, 557, 1986;
[17] J.-L. Gervais, J. Schnittger. The many faces of quantum Liouville exponentials. Nucl. Phys. B413.; J.-L. Gervais. Nucl. Phys. B431;
[18] A. Leclair. Form factors from vertex operators and correlation functions at q = 1. Proceedings of SMQFT Conference, USC, Los Angeles, May 1994, hep-th/9501076; Spectrum generating affine Lie algebras in massive field theory. Nucl. Phys. B415, (1994), 734, hep-th/9305110; Affine Lie algebras in Massive field theory and form factors from vertex operators. Theor.Math.Phys. 98, (1994), 297-305, hep-th/9311004; Restricted sine-Gordon theory and the minimal conformal series. Phys. Lett. B, 230, n.1,2, p.103; A. LeClair, D. Nemeschansky. Affine Lie algebra symmetry of sine-Gordon theory at reflectionless points. Mod. Phys. Lett. All, (1996), 139-146, hep-th/9506198;
[19] A.N. Leznov, I.A. Fedosseev. Theor. Math. Phys. v.53, 3, (1982) 1175; A.N. Leznov, M.A. Mukhtarov. Theor. Math. Phys. v.71 (1), (1987), 370;
[20] P. Mansfield. Nucl.Phys. B208, (1982), 277; Nucl. Phys. B222, (1983), 419-455; T. Hollowood, P. Mansfield. Quantum group structure of quantum Toda conformal field theories (I). Nucl. Phys. B330 ;
[21] H.J. Otto, G. Weight, Phys. Lett. B159, 341, 1985; Z. Phys. C31, 219, 1986; G. Weight. Critical exponents of conformal fields coupled to two-dimensional quantum gravity in the conformal gauge. Talk given at 1989 Karpacz Winter School of Theor. Physics, preprint PHE-90-15; G.Weight. Canonical quantization of the Liouville theory , quantum group structures, and correlation functions. Talk given at 1992 Johns Hopkins Workshop on Current Problems in Particle Theory, Gotebirg, Sweden, hep-th/9208075, preprint-92-0383 (Desy-IFH);
[22] A.B. Zamolodchikov, Al.B. Zamolodchikov. Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models. Ann. Phys. 120, (1979), 253-291;
[23] V. Brazhnikov, S. Lukyanov. Angular quantization and form-factors in massive integrable models. Nucl. Phys. B512, (1998), 616-636, hep-th/9707091;
[24] S. Khoroshkin, A. LeClair, S. Pakuliak. Angular quantization of the sine-Gordon model at the free fermion point; hep-th/9904082;
[25] S. Lukyanov Form-factors of exponential fields in the affine Toda model. Phys.Lett. B408, (1997), 192-200, hep-th/9704213;
[26] S. Lukyanov. Form-factors of exponential fields in the sine-Gordon. Mod.Phys.Lett. A12, (1997), 2543-2550, hep-th/9703190;
[27] S.Lukyanov. Free Field Representation For Massive Integrable Models. Commun. Math. Phys. 167, (1995), 183, hep-th/9307196;
[28] P.R. Johnson. Exact quantum S-matrices for soliton in simply-laced affine Toda field theories. Nucl. Phys. B496, (1997), 505-550; hep-th/9611117;
[29] A.V. Razumov, M.V. Saveliev. Lie algebras, Geometry, and Toda-type systems. Cambridge lecture notes in physics. 1997;
[30] D.I. Olive, N. Turok, J.W.R. Underwood. Affine Toda solitons and vertex operators. Nucl. Phys. B409, (1993), 509-546;
[31] L.A. Ferreira, J.L. Miramontes, J.S. Guillen. Solitons, Tau-functions and Hamiltonian reduction for Non-Abelian Conformal affine Toda theories. Nucl. Phys. B449, (1995), 631679, hep-th/9412127;
[32] V. G. Kac. Infinite dimensional Lie algebras. Third edition, Cambridge university Press, Cambridge, 1990; РусскищО перевод: В.Г. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли. Мир, Москва, 199...; V.G. Kac, D.H. Peterson. 112 constructions of the basic representation of the loop group of In: Symp. on Anomalies, Geometry and Topology, W.A. Bardeen and A.R. White (eds.), World Scientific, Singapore, 1985; I.B. Frenkel, V.G. Kac, Invent. Math. 62, (1980), 23; G. Segal, Commun. Math. Phys. 80, (1981), 301; V.G. Kac, D.A. Kazhdan, J.Lepowsky and R.L. Wilson, Advances in Math. 42, (1981), 83;
[33] L.D. Faddeev, L.A. Takhtajan. Hamiltonian methods in the theory of solitons. SpringerVerlag, 1987;
[34] L.D. Faddeev, R. Kashaev. Quantum dilogarithm. Mod. Phys. Lett. A9, (1994), 423-434, hep-th/9310070;
[35] L.D. Faddeev. Current-like variables in massive integrable models. Lectures delivered at the international school of physics 'Enrico Fermi', held in Villa Monastero, Varenna, Italy, 94, hep-th/9408041;
[36] N. Reshetikhin, F. Smirnov. Hidden quantum group symmetry and integrable perturbations of conformal field theories. Comm. Math. Phys., 131, 157-177, (1990);
[37] M.Jimbo, K.Miki, Т. Miwa, A.Nakayashiki. Correlation functions of the XXZ model for 8 < -1. Phys. Let. A. 168, (1992), 256-263;
[38] E. Corrigan, P.E. Dorey. Phys. Lett. В 273, (1991), 237-245, hep-th/9109056;
[39] V. G. Drinfeld. Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation, Sov. Math. Dokl. 32, (1985), 254;
[40] V.G. Drinfeld. A new realization of Yangians and quantized affine algebras. Soviet Math. Dokl., 36, (1988), 212-216;
[41] I.B. Frenkel, N. Jing. Vertex representations of quantum affine algebras. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. Vol. 85, 9373-9377;
[42] F.A. Smirnov. Form factors in completely integrable models of quantum filed theory. Advanced series in mathematical physics - Vol.14, World Scientific,1992;
[43] V. Fateev, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov, Al. Zamolodchikov. Expectation values of boundary fields in the boundary sine-Gordon model. Phys. Lett. B406, (1997), 83-88, hep-th/9702190;
[44] V. Fateev, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov, Al. Zamolodchikov. Expectation values of local fields in Bullough-Dodd model and integrable perturbed conformal field theories. Nucl. Phys. B516, (1998), 652-674, hep-th/9709034;
[45] S. Lukyanov, A. Zamolodchikov. Exact expectation values of local fields in quantum sine-Gordon model. Nucl. Phys. B493, (1997), 571-587, hep-th/9611238;
[46] M. Jimbo. A g-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation. Lett. Math. Phys., 10, (1985), 63;
[47] Д.П. Желобенко. Представления редуктивных алгебр Ли. Наука, Москва, 1994.
