Об оценке константы в лемме Хоффмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 004.9:[519.852:519.6] ББК В 183.41 :В 193.1

Б.В. АЛЕКСЕЕВ, А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, ЕВ. ПЛОТНИКОВА

ОБ ОЦЕНКЕ КОНСТАНТЫ В ЛЕММЕ ХОФФМАНА

Ключевые слова: оценка погрешности приближенных решений технических и инженерных задач, константа Хоффмана.

В работе предлагается новый способ оценки константы Хоффмана, более удобный при его практическом использовании в отличие от способов, предложенных в работах Белоусова Е.Г. «О вычислении точных констант Липшица и Хоффмана для систем линейных неравенств» и A.Hoffman «On Approximate Solutions of Systems of Linear Inequalities». Для пространства R2 приведены формулы для вычисления точного значения этой константы, в которых используется лишь скалярное произведение и длины векторов строк матрицы ограничений неравенств. На простом примере показано сравнение оценок константы, полученных различными способами. Результаты работы могут быть использованы для оценки погрешности приближенных решений технических и инженерных задач.

1. При использовании различных методов для инженерно-технических задач, сводящихся к математическим задачам с приближенными данными, возникает необходимость оценки погрешности аппроксимации искомых точных решений приближенными решениями. Для этой цели в некоторых случаях, когда множество решений задачи может быть представлено в виде линейных неравенств, можно использовать лемму Хоффмана [13]. В работах [5, 10] впервые она применена для оценки скоростей сходимости метода регуляризации, а затем в [4, 7] - метода поточечной невязки и в [2] - метода квазирешений для задач линейного программирования с приближенными данными. В работах [3, 12] (первое издание в 1998 г.) приводится доказательство расширенного варианта леммы Хоффмана для оценки расстояния от произвольной точки до полиэдра

и = {и е Я"•. Аи = Ь,Ви 2 а) * 0 ,

Агътхп п тъ рхп ■ г» т ■ -п Р

е К , В е К - матрицы порядка т х п и р х п , Ь е К , а е К -векторы размерности т и р, соответственно. В работах [6, 8, 9] этот вариант леммы использован для оценки аппроксимации точных решений приближенными, полученными методом поточечной невязки для систем линейных уравнений и неравенств, а также одновременного решения прямой и двойственной задачи линейного программирования с приближенными данными. Суть этой оценки состоит в следующем. Если в множестве и вместо матриц А е {%}, В е {Ъ^} и

Т Г ~\Т

векторов Ь е[Ъ1,Ъ2,...,Ът] , а е| ё1,ё2,...,ёр I известны их приближения

A е

{a, }, B е{~ }, ь е[~, ~2,..., ~

d е

такие, что

\a, - a,\<А,,

bs,- bs,

<л s

b - b

<5,.

ds - ds

(1)

T

2

где i = 1, m, j = 1, n, s = 1, p, то мы имеем оценку

sup p(u,U)< с-(a + A + 5 + A) (2)

u e U(ct)

где U(a), a = |Aj, Asj., 5i, As j - множество, полученное методом поточечной невязки, A = max Aij, A = max A., 5 = max 5i, A = max As, с - константа, за-

i, j s, j i s

висящая только от элементов матриц А и В.

Эта оценка оптимальная по порядку, т.е. множество U(a) аппроксимирует множество U с такой же точностью, что и порядок задания входных данных

(1). В работах [8, 9] при численной реализации метода поточечной невязки для решения модельных, сильно неустойчивых задач с известным точным решением, в которых число обусловленности матрицы ограничений порядка 104, обнаружилось, что если A = A = 5 = A = 10-6, то sup p(u,U) « 10 2. Это означа-

ueU(a)

ет, что константа Хоффмана имеет порядок 104. На практике, как правило, мы не знаем точно множество U , можем лишь оценить правую часть множества

(2). В этой связи для оценки sup p(u, U) важно уметь вычислять константу

ueU (a)

Хоффмана с.

В работах [1, 11, 13] рассматривается система линейных неравенств

Uj = {u:Au < b, A e Rmxn, b e Rm j

и оценивается расстояние от произвольной точки до этого множества. В [11, 13] показано, что

Fn (u - О < с - Fm (Au - b)+, (3)

где Fn и Fm - положительно однородные функции, заданные в пространст-

■ n m in__t% m

вах Rn и R m , соответственно,

in \ f n \ in Л

(Au - b)+ =

max

j=1

/

0; Za1juj -b ,max 0; Za2juj -b2 ,...,max 0; £ащп. -bm

j=1

/

V j= Л

срезка вектора (Аи - Ь). При таком подходе для вычисления константы с необходимо знать ранг матрицы А. В работе [1] для вычисления константы Хоффмана возникает необходимость обращения или вычисления собственных значений матриц Грама. При практическом вычислении этой константы использование обоих подходов становится проблематичным, если строки (столбцы) матрицы А «почти линейно зависимы»: численное значение ранга матрицы А может сильно отличаться от его реального значения и, как следствие, обратная матрица Грама или ее собственные значения также будут отличаться от точных значений. В этой связи хотелось бы получить способ оценки константы Хоффмана, во-первых, достаточно простой для вычисления, во-вторых, не требующий вычисления ранга матрицы, столь неустойчивого к погрешностям при вычислениях.

2. Рассмотрим совместную систему линейных неравенств в пространстве R

a11 х + a12 y < Ь1

a2iх + a22У < Ь2

(4)

am1 х + am2 y < Ь„

ml m2s m

или в матричной форме

Au < b, A =

a11 a12 " Ь1"

a21 a22 ,b= Ь2 ,u

am1 a 2 m2 _ Ьп _

Обозначим через U1 множество ее решений. В дальнейшем под U1 будем также подразумевать соответствующий этому множеству многоугольник на плоскости. Из оценки (3) следует, что

inf F„ (u - Uo)

C = supFU077A-b)+), yUo e Ui, Vu Й Ui. (5)

u Fm ((Au - b)+)

В дальнейшем будем считать, что Fn (u) = 1|ii||2 = yjх2 + y2 , Fm (u) = ||ii||ш= max ||х| ,|y|J и строки системы нормированы, т.е. для

Va, = [an, aj Fn(aT) = = 1.

Нормирование строк упростит операции с вектором (Au - b), поскольку каждая из положительных его компонент a,u - b, представляет собой длину проекции точки u на прямую a,u - b, = 0 . Действительно, пусть upr - проекция точки u на эту прямую. Тогда u = upr +1 aT (рис. 1) и, следовательно,

a,u - b, = a, (upr +1 af) - b, = (a,upr - b,) +1 (a,, af) = t •

= t.

У '

u = <X У) T

a, - нормаль

Д t

a,u - b,-=0----- //upr

X

Рис. 1. Расстояние между точками u и up

a

2

Расстояние между точками и и и

рг

и - и

= ?

=

Для определения infЕп(и - и0), т.е. для нахождения ближайшей внут-

и о

ренней точки многоугольника, нужно рассмотреть точки его границы. На плоскости граница выпуклого многоугольника состоит от отрезков и вершин. Поэтому рассмотрим два случая:

1) проекция точки и на множество и1 попадает на часть некоторой

прямой аги - Ьг- = 0 (рис. 2), являющейся отрезком границы множества и1, но не попадает на вершину многоугольника;

а

о

2

2

Рис. 2. Проекция точки попадает на границу множества и1

2) проекция точки и на множество и1 попадает на вершину многоугольника, т.е. на пересечение каких-то прямых а^и - Ьг1 = 0 и аг-2и - Ь2 = 0 (рис. 3).

Рассмотрим первый случай. Проекция и0 точки и на отрезок границы

реализует искомое минимальное значение ^ Еп (и - и0) при условии, что

и 0

аг-и0 - Ь < 0, аг-0и0 - Ьг-0 = 0 . Так как Гт — максимум абсолютных значений

координат вектора, будем рассматривать только положительные компоненты вектора (аги - Ьг), каждая из которых есть расстояние от точки и до соответствующей прямой. Докажем, что максимум достигается для компоненты г = г0. Прямая а-0 V - Ьг0 = 0 касается в точке V = и0 круга

||V - и||2 = ||аг-0и - Ьг0||2 с центром в точке V = и (рис. 4). Любая из прямых

а^ - Ь1 = 0, г Ф г0 является хордой в этом круге, так как разделяет точки V = и0 и V = и (поскольку аги0 - Ьг < 0 в силу (4), мы учитываем только положительные компоненты вектора (аги - Ьг)). Расстояние до хорды в круге всегда меньше радиуса. Следовательно, искомое значение отношения

Г (и - и0) ||и - и0

Г ((Аи - Ь)+) и - и0

= 1.

2

2

У

X

Рис. 4. В точке V = и0 прямая касается круга с центром в точке V = и

Эти рассуждения будут справедливы и для любых пространств Яп , п > 3 . Если точка и такая, что ее проекция и0 на границу области попадает на часть границы коразмерности 1: для двухмерного случая - на отрезок границы, для трехмерного - на грань, то максимальное значение отношения

Гп(и - и 0) = 1 ¥т ((Аи - Ь)+) •

Отсюда, кстати, следует, что константа Хоффмана (и, соответственно, любая ее оценка сверху) не может быть меньше 1 (при данном выборе норм).

Далее рассмотрим случай 2. Проекция точки и попадает на вершину многоугольника, определяемого системой (4). Вершина представляет собой пересечение некоторых двух прямых а- и - Ьг1 = 0 и а-2и - Ь-2 = 0. Векторы

нормалей а^ к прямым аги - Ьг = 0 можно упорядочить, например, по часовой стрелке. При проходе границы по часовой стрелке прямые г1 и г2 должны

иметь последовательные по направлению векторы нормалей, т.е. не должно быть вектора нормали (какой-либо другой прямой границы), занимающего промежуточное положение между векторами а^ и аТ2 .

Допустим, проекции точки и на эти прямые равны и и и2. Никакая прямая границы не должна разделять точку и0 от точек и1 и и2 в треугольнике и0щи2, т.е. точки и0, и1 и и2 должны быть по одну сторону от прямой (рис. 5).

а,- • и - Ъ,- = 0

а,^ • и - Ъ,- = 0

Рис. 5. Проекция точки попадает на пересечение двух прямых границы

Поэтому для любой прямой , хотя бы одна из двух пар точек и0, и1 или и0, и2 будет по одну сторону от этой прямой. Пусть, например, это пара и0, и1. Значит, эта прямая разделяет точки и1 и и (так как точки и0, и лежат по разные стороны от этой прямой). Тогда по тем же соображениям, что и для случая 1 (хорда круга удалена от его центра не больше чем на радиус) компонента (а,и - Ъ,)+ вектора (Ли — Ъ)+ не будет больше компоненты (а, и — Ъ, )+.

Поэтому все компоненты вектора (Ли — Ъ)+ не больше максимума из двух

компонент (а,1и — Ъ,1)+, (а,2 и — Ъ,2)+ .

Таким образом, если точка и расположена так, что ее проекция на границу множества попадает на вершину, то максимальное значение отношения

Г„(и — и0)

равно

¥т ((Ли — Ъ)+)

и — и0

тах(а,,и — Ъ, а,2и — Ъ,2)

где а,и—Ч =0; а,2и0— Ъ,2 =0; а,и—Ъ >0; а,2и—Ъ,2 >

2

Разложим вектор u по векторам a^ , aT2

u = u0 +aa;i +Pa;2, a> 0, P> 0. Тогда выражение (6) принимает вид

aaf +Baf

'i ' '2

max[a;i (uo + aal + Paf2) - Ьг1, a-2 (uo + aaT + paf2) - b2 ]

aaT+Pa;

2

2L

(7)

тах[аг1 (а^^р^^З-До^ ^ + ^)]

= д/а2 +Р2 + 2аРу

тах(а + Ру, ау + Р)'

(Т Т I Т Т

аг-1, а-2) - скалярное произведение векторов аг-1, а-2. Максимальное значение этого выражения достигается при а = Р. Тогда выражение (7) примет вид

л/2 + 2у

(1+ Y) \

2(1 + у)

(i + у)2 V

(1 + у)

(8)

Представим векторы a^ и a^ в виде (рис. 6)

ai = (cos91,sinф1); aJ2 = (cos92,sinф2).

T

\

\

1 uo)

1 \ / \Уф2 J

„т

T

'2

Рис. 6. Векторы нормалей к прямым границы множества U1

Тогда у = cos ф1 • cos ф2 - sin ф1 • sin ф2 = cos^ - ф2) и выражение (8) примет вид

2

1 + cos(q>! -ф2)

2

1

2cos2

2 ( ф -ф2

cos

ф1 -ф2 2

Угол ф - угол между нормалями к смежным сторонам границы и дополняет внутренний угол в вершине до 180°: 180° - ф = ф! - фг.

Окончательно получаем, что при выбранных нормах Е„ и константа Хоффмана

1

с = —Т-, (9)

12

где ф - минимальный внутренний угол многоугольника и1.

В частности, для правильного многоугольника с п вершинами внутрен-

ний угол

ф = л-

n — 2

Константа Хоффмана для правильного многоугольника

1

1

1

с = •

sin

ж(п — 2) 2n

ж ж

sin|---

2n

cos

Например, при п = 4 (множество и1 - квадрат) получим

с = —Г^ =

С08| —

14

Запишем формулу (9), используя элементы матрицы А. Имеем

у = (а£, af2) = ан Л • а2

+ а,.

Тогда, если вернуться к первоначальным, не нормированным значениям коэффициентов матрицы А, можно показать, что константа определяется по формуле

НаП

с = ——'У ' T T , (10)

I aT | • | af2 | -(aT, aT2)

где справа надо брать максимум по всем строкам матрицы А, пересечение уравнений прямых которых является вершиной. Действительно, угол между двумя прямыми есть угол между нормалями к этим прямым, который определяется по формуле

(aT, aT2)

cos Ф = -

|aT HaTJ

и, следовательно,

Тогда

sin 2 ф= 1 - COs Ф = 1 2 2 2

1 -

(aT,aT2) ^ |aTHaTjy

1

с = ■

Ф sin—

2

1 -

(aT,aTh) ^ | aT | • | aT2 |y

1

2-1 aT11 • | aT2 |

|a( | • | a^2 | — (a(, a£)

n

ж

n

а

2

2

1

Отметим, что формула (9) и формула (10) (последняя - с учетом необходимости выбора максимального из ее значений при переборе всех вершин многоугольника решений системы) представляют собой не оценки константы Хофф-мана, а ее точное, неулучшаемое значение для систем на плоскости.

3. Рассмотрим, как вычисляется константа Хоффмана на примере системы линейных неравенств

'-3х + 2у - 5 < 0 < х- у - 0,5 < 0 2 х + у -1 < 0

Рис. 7. Множество решений системы линейных неравенств

Г-3 2 1

А = 1 -1

V2 1 у

Если проекция произвольной точки попадает на границу множества решений (случай 1), то с = 1. Если проекция попадает на вершину, то будем вычислять с по формуле (10):

Если аг =

Г- 31

V 2 у

аТ = г2

Г1 1

V- 1У

то

с =

2-л/13 -л/2

V >/13-л/2 - (-3 - 2) "V л/26 + 5

2-л/26

1,0049.

Если а,- =

(- Ъ\

v 2 v

af =

Г

V 1V

, то

c =

2 -V13-V5

\л/13-45 - (-6 + 2) VV65 + 4

2-л/65

1,16.

Если a, =

Г11

V- Ъ

aT,2 = 2

Г 21

V1 V

то

c=

2 ^л/2

\V2-V5-(2-1) vVio-1

2-Vi0

1,71.

Максимальная константа равна c « 1,71. Если оценивать константу для этого примера, следуя подходу из статьи Хоффмана [13], то получим с < 1,88, а если вычислять по способу, предложенному в работе [1], то с = 5.

Литература

1. Белоусов Е.Г. О вычислении точных констант Липшица и Хоффмана для систем линейных неравенств // Вестник Тамбовского университета. 2000. № 4. С. 416-417.

2. Васильев Ф.П. Оценка скорости сходимости метода квазирешений для задач линейного программирования // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1991. № 1. С. 16-22.

3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал Пресс, 2008. 328 с.

4. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю., Морозов В.А. Оценка скорости сходимости метода невязки для задач линейного программирования с приближенными данными // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30, № 8. С. 1257-1262.

5. Васильев Ф.П., Морозов В.В., Ячимович М.Д. Оценка скорости сходимости метода регуляризации для задач линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. Т. 29, № 4. С. 631-635.

6. Иваницкий А.Ю., Васильев Ф.П., Морозов В.А. Метод поточечной невязки для решения некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 8. С. 1140-1152.

7. Иваницкий А.Ю., Васильев Ф.П., Морозов В.А. Оценка скорости сходимости метода поточечной невязки для решения задач линейной алгебры // О кооперируемых работах НИВЦ МГУ и БУВЦ: сб. тр. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990, С. 24-31.

8. Иваницкий А.Ю., Карасева Ж.К. Об одном методе регуляризации прямой и двойственной задачи линейного программирования с приближенными данными // Вестник Чувашского университета. 2015. № 3. С. 141-148.

9. Иваницкий А.Ю., Урусов А.М. Численный анализ метода поточечной невязки для решения прямой и двойственной неустойчивой задачи линейного программирования с приближенными данными // Вестник Чувашского университета. 2018. № 1. С. 108-116.

10. Морозов В.В., Ячимович М.Д. Оценка скорости сходимости одного метода регуляризации задачи линейного программирования // Вычислительные комплексы и моделирование сложных систем: сб. тр. ф-та ВМиК МГУ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. С. 134-138.

11. Agmon S. The relaxation method for linear inequalities. Canadian Journal of Mathematics, 1954, no. 6, pp. 382-392.

12. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-depth analysis of linear programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.

13. Hoffman A. On Approximate Solutions of Systems of Linear Inequalities. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 1952, no. 4, pp. 263-265.

АЛЕКСЕЕВ БОРИС ВАСИЛЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент, программист, ООО «4 капли», Россия, Красногорск ([email protected]).

ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

ПЛОТНИКОВА ЕКАТЕРИНА ВАСИЛЬЕВНА - магистрант кафедры прикладной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

B. ALEKSEEV, A. IVANITSKIY, E. PLOTNIKOVA ESTIMATION OF CONSTANT IN HOFFMAN'S LEMMA Key words: error estimation of approximate solutions in technical and engineering problems, Hoffman's constant.

The article proposes a new method of estimation of Hoffman's constant which is more convenient for its practical use in comparison with those, offered in works by E.G. Belousov "On sharp Lipschitz and Hoffman constants for system of linear inequalities " and A. Hoffman "On Approximate solutions of systems of linear inequalities". For space R2 the formulas for finding more accurate value of this constant are given, and in these formulas, only scalar product and lengths of the vectors of rows of the inequality constraint matrix are used. The simple example shows comparison of constant estimations, obtained by different methods. The results of work can be used for error estimation of approximate solutions in technical and engineering problems.

References

1. Belousov E.G. O vychuslenii tochnyh constant Lipshitsa i Hoffmana dlya system lineynych neravenstv [About calculation of sharp constant of Lipschitz and Hoffman for linear systems of inequalities]. Vestnik of Tambov university, 2000, no. 4, pp. 416-417.

2. Vasiliev F.P. Otsenka skorosti shodimosti metoda kvaziresheniy dlya zadach lineynogo programmirovania [Estimation of convergence rate of quasi-solution method for linear programming problems]. Vestnik of Moscow state university. Ser. 15. Vychislitel'naya matematica i kibernetika, 1991, no. 1. pp. 16-22.

3. Vasiliev F.P., Ivanitskiy A.Yu. Lineynoye programmirovanie [Linear Programming]. Moscow, Factorial Press Publ., 2008, 328 p.

4. Vasiliev F.P., Ivanitskiy A.Yu., Morozov V.A. Otsenka skorosti shodimosti metoda nevyazki dlya zadach lineynogo programmirovania s priblishennymi dannymi [Estimation of convergence rate of residual method for linear programming problems with approximate data]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1990, vol. 30, no. 8, pp. 1257-1262.

5. Vasiliev F.P., Morozov V.V., Yachimivich M.D. Otsenka skorosti shodimosti metoda regulyarizatsii dlya zadach lineynogo programmirovania [Estimation of convergence rate of regulari-zation method for linear programming problems]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1989, vol. 29, no. 4, pp. 631-635.

6. Ivanitskiy A.Yu., Vasil'ev F.P. , Morozov V.A. Metod potochechnoi nevyazki dlya reshenia nekotorykh zadach lineinoi algebry i lineinogo programmirovaniya [Pointwise Residual Method for Solving Some Problems of Linear Algebra and Linear Programming]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1998, vol. 38, no. 8, pp. 1140-1152.

7. Ivanitskiy A.Yu., Vasil'ev F.P., Morozov V.A. Otsenka skorosti shodimosti metoda potochecnoy nevyazki dlya reshenia zadach lineynoy algebry [Estimation of convergence rate of pointwise residual method for solving of linear algebra problems]. In: O kooperiruemyh rabotah NIVC MGU i BUVC: sb. tr. [Collection of works «About cooperated works of NIVC MGU and BUVC»]. Moscow, Moscow State University Publ., 1990, pp. 24-31.

8. Ivanitskiy A.Yu., Karaseva Zh.K. Ob odnom metode regulyarizacii pryamoy i dvoystvennoy zadachi lineynogo programmirovania spriblizhennymi dannymi [About one method of regularization of the direct and dual linear programming problem with approximate data]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2015, no. 3, pp. 141-148.

9. Ivanitskiy A.Yu., Urusov A.M. Chislenny analiz metoda potochechnoy nevyazki dlya resheniya pryamoy i dvoystvennoy neustoichivoy zadachi lineynogo programmirovania s priblizhennymi dannymi [Numerical analyses of pointwise residual method for solving direct and dual ill-posed problem of linear programming with approximate data]. VestnikChuvashskogo universiteta, 2018, no. 1, pp. 108-116.

10. Morozov V.V., Yachimivich M.D. Otsenka skorosti shodimosti odnogo metoda regulyariza-tsii zadachi lineynogo programmirovania [Estimation of convergence rate of one regularization method of linear programming problem]. In: Vychislitelnye kompleksy i modelirovaniye slozhnyh system: sb. rabot faculteta VMiK MGU [Collection of works of faculty VMiK MSU «Computer systems and modeling of complex systems»]. Moscow, Moscow State University Publ., 1989,pp. 134-138.

11. Agmon S. The relaxation method for linear inequalities. Canadian Journal of Mathematics, 1954, no. 6, pp. 382-392.

12. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-depth analysis of linear programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.

13. Hoffman A. On Approximate Solutions of Systems of Linear Inequalities. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 1952, no. 4, pp. 263-265.

ALEKSEEV BORIS - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, Programmer, LLC «4 kapli», Russia, Krasnogorsk ([email protected]).

IVANITSKIY ALEXANDER - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Applied Mathematics, Physics and Information Technology, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).

PLOTNIKOVA EKATERINA - Master's Program Student of Department of Applied Mathematics and Informatics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).

Формат цитирования: Алексеев Б.В., Иваницкий А.Ю., Плотникова Е.В. Об оценке константы в лемме Хоффмана // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 3. - С. 139-150.