CC BY
21
УДК 004.9:[519.852:519.6 ББК В183.41: В193.1
А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, АО. КАЗАКОВА, Ж.К. КАРАСЕВА, Е.И. АНДРЕЕВА
МЕТОД ПОТОЧЕЧНОЙ НЕВЯЗКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИБКОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ
Ключевые слова: задача гибкого линейного программирования, неустойчивые задачи линейного программирования, неустойчивые электротехнические задачи, метод поточечной невязки, сходимость, оценка погрешности.
В статье предлагается метод поточечной невязки для решения задачи гибкого линейного программирования с приближенными данными. Метод приводит к вспомогательной задаче, которая является также задачей линейного программирования. Доказаны компактность и выпуклость нормальных решений множества приближенных решений, теорема сходимости, получены оптимальные по порядку оценки аппроксимации решений исходной задачи приближенными решениями. Предложенный метод может применяться для решения прикладных задач, в том числе электротехнических задач, которые могут быть сведены к системам линейных алгебраических уравнений и неравенств и задачам гибкого линейного программирования.
1. В задачах линейного программирования, к которым в некоторых случаях сводится ряд электротехнических задач, часто достаточно найти точку и = [иьи2,...,ип]Т , гарантирующую, что значение целевой функции не превышает некоторого значения. В этом случае мы приходим к задаче линейного программирования: найти вектор и из условия
(с, и <а, и еиа, (1)
где (с,и = С\Щ + с2и2 +... + спип; аей, ЭТ - множество действительных чисел, и0 = ипВи = {и е : Аи = ГВи<й},
В = {иеЭТ+ : Ахи = Вхи = а1}, ЭТ + = {и = [и1,и2,
А =
«11 «21
«12
«22
а1п а2п
В
А1 =
_ат 2 ат 2 атп _
" ¿11 ¿12 •• • ¿1п "
¿21 ¿22 •• • ¿2п
Ьр 2 ¿р2 •• ¿рп
а111 а112 .. а11п
а121 а122 .. а12п
еЭТт
еЭТ рх
ип ]T еЭТп : иу > 0,у = 1,п} , /1'
Г = /2
_ /т
А 2
А
еЭТ р,
«з2
а зп
еЭТ3
р _ /21
Л.
еЭТ3
1
B1
bl2l Ь122
b1
l2
d1 =
d 1
^kx", k = rn, p, s, l - пространства вещественных матриц и векторов, соответственно. В дальнейшем считаем, что множество D известно точно, т.е. матрицы A1 и B1, а также векторы f1 и d1 заданы точно. Например, в модельной задаче (1) D = !й" . Очевидно, что множество D замкнутое и выпуклое. Задача (1) относится к так называемым задачам гибкого линейного программирования.
Пусть U = {ueUD :(c,u)< а}.Рассмотрим задачу нахождения нормального решения задачи (1):
Hull. ^ inf, u eU,
(2)
где HU1 = \щ\ + |u2| + ••• + \u„\ - октаэдрическая норма вектора. В нашем случае U = [иьu2,„.,u„]T еUD + , тогда Uj >0, j = 1,„ . Следовательно, задача (2) эквивалентна следующей задаче:
ф(и) = u1 + u2 + • + u„, ueU. (3)
В дальнейшем считаем, что множество решений задачи (1) U ^ 0 . Теорема 1. Множество решений задачи (3)
U* = {u е U : ф(и) = ф*,ф* = inf ф(и)}
ueU
непусто, компактно, выпукло, и любая минимизирующая последовательность {uk}:иk eU(k = 1,2„., lim ф(иk) = ф*) сходится к U*, т. е. limp(uk,U*) = 0,
к
k -^ад
где p(uk,U*)= inf ||uk - v||, II - произвольная норма в
Доказательство. Множество и замкнуто и выпукло, как пересечение выпуклых и замкнутых множеств и, В и {и :(с,и)—а}, а функция ф(и) конечна, непрерывна, выпукла и ограничена снизу ф(и) > 0, так как множество и с ЭТ" . Тогда по теореме 1 [1. С. 159] множество и* выпукло. С другой стороны, все условия теоремы 3 [1. С. 50] выполнены, тогда множество решений задачи (1) и* Ф 0 компактно и любая минимизирующая последовательность {ик}еи сходится к и*, т.е. Ншр(ик,и*) = 0, где р(ик,и*)=inf ||ик -V2,
к -^ад
veU*1
||w||2 = jГ I . В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны,
1/2
т.е. существует константы М\ и М2 такие, что М\ 2 — ||Н1 — М2 2, - произвольная норма вектора w. Тогда
М1 |ик -w||2 — ||ик -w|| — М2 -||ик -w||2, Vuk ей М1 inf ||ик - w||2 — inf ||ик - w|| — М2 inf ||ик - w||2, Уик е и.
wей "2 wей " wей "2
где
b1
b1
b1
12
b1
b1
ln
Переходя к пределу при к ^ да, получим, что
р(1.к и. ) = 0 р(..к
к ^да
Нтр(ик ,и*) = 0, р(ик ,и*)= ц^ ||ик -и||
иеи*
где || - произвольная норма. Теорема доказана.
2. Пусть множество Б известно точно, а множество и - приближенно, т.е. вместо данных {А, Г, В, ^ с} в задаче (1) известны их приближения,
{А, ~,В, а, с},
А =
«11 «12 «21 «22
ат2 «т2
«1п «2п
еШ
~1
ъ
_/т _
~11 ~12 • •• ~1п d1 "а1"
В = ¿21 ¿22 • •• ¿2п еШ рхп, ~ = d 2 еШ р, а = ~2
Ьр2 Ьр2 • ¿рп _йр _ _~п _
такие, что выполнены соотношения
|«у - «ц\ <А1 , \?г - < 5г, |а1 - С'! 1, (4)
- ¿к| <Л 1, - <Хк, г = 1,т, 1 = 1, п, к = 1,р, где Ау > 0, 5г > 0, Лу > 0, Xк > 0, лу - уровни погрешностей в заданных
входных данных {А, Г, В, ^ с}.
В общем случае, если в задаче (3) данные {А, Г, В, ^ с} заменить на их приближения {А, Г, В, ^ с} и решать задачу
ф(и) = и1 + и2 + ... + ип ^inf, и еи = {и е Б: Аи = Г,Ви < ¿,(с,и)<а}, (5) то она может оказаться неразрешимой, а в случае разрешимости - неустойчивой [1-3, 6, 7]. Поэтому для ее решения необходимо использовать метод регуляризации [1-7]. Одним из таких методов является метод поточечной невязки, представленный ниже.
Пусть ст = [А, 5, Л, X, л] - набор погрешностей входных данных из (4)
Л 5 2
Л =
"Ап А12 •• • Ащ"
А = А 21 А 22 •• • А 2п е^Гп,
_А т2 А т2 •■ А тп _
Лц Л12 •• Лщ " "Х1
Л 21 Л22 - Л 2п еШ+хп, X = X 2
Л р2 Лр2 • • Лрп_ _х р
8 =
5
еШ
Л1
П2
.Лп.
еШ+
тп
П
Рассмотрим множество
p ~ ~ p
U (о ) =
- n f
u e D: ZanuJ - f
_ j=1
<ZAyU + 5i, ZbkjUj - dk < ЕЛkjUj + Яk, j=i k=i k=i
(c,u)-a<(n,U, i = 1,m, j = 1,n, k = 1,p
или в матрично-векторнои записи
U(о) = {u е D : |Äu - f | < Au + 5,Bu - d < Au + Я,(с,u) -a < (n,u)},
или
U(o) = {uеD:Äu-f <Au +5,-(Äu-f)<Au+5, Bu-d < Au + Я,(с,u)-a<(n,u)}.
Нетрудно показать, что U с U и , следовательно, U / 0 , так как, по нашему предположению, U / 0 . Множество U является специальным расширением множества U . В неравенствах, определяющих множество U(c), заложена идея согласования поточечных невязок Äu - f, Bu - d, (с,u) -a с погрешностями входных данных A, 5, Л, Я, ц, соответственно. Запишем множество U(c) в виде
U(о) = {u е D :(Ä - A)u < f +5,-(Ä + A)u < -f +5, (6)
(B - A)u < d + Я,(с - n,u) < a}
и рассмотрим задачу
9(u) = u1 + u2 + ...+un ^inf, u eU(c). (7)
Так как D - выпуклое и замкнутое множество, то, как видно из (6), множество U(c) выпукло и замкнуто, а функция 9(u) непрерывна, конечна, выпукла и ограничена снизу на множестве U (о) с ^ + . Тогда, аналогично теореме 1, справедлива теорема 2.
Теорема 2. Множество решений задачи (7)
U* (о ) = {u eU (о): 9(u) = ф*, ф* = inf 9(u)}
ueU (о)
непусто, конечно, выпукло, и любая минимизирующая последовательность {uk} сходится к U*(c), т.е. lim p(xk,U*) = 0, где p(xk,U*) = inf I\xk -ull, ||-|| -
k ueU*11 11
произвольная норма в
При численном решении задачи (7) достаточно определить вектор u(a, е) из условия
u(о, s): ф(и(о, s))<ф*(о) + s, s > 0. (8)
Множество векторов, удовлетворяющих условию (8), обозначим U*(c, е). Покажем, что в качестве приближенных решений задачи (3) можем взять элементы множества U*(c, е).
Обозначим через (Äu - f)k, (Bu - d)k k-е компоненты векторов Äu - f, Bu - d, соответственно,
Ai = max A„, A = max Ay, A = max Ay, 5 = max 5г-,
1< j < n 1<i< m i, j 1<i <m
Л s = max Л j, Л j = max Л j, Л = max Л j, Я = max Я s, q = max q j.
1< j<n 1<s< p s,j 1<s<m 1< j<n
Справедлива следующая теорема сходимости. Теорема 3. Пусть U ^ 0 , тогда
P(U* (о, s),U* )= sup infl|w - ull ^ 0
weU. (o,s )ueU*
при (A, 5, Л, X, ^ 0, где U*(c, s) и U* - множества решений задач (8) и (3), соответственно.
Доказательство. Возьмем произвольные последовательности
(оk } = {Ak, 5k, Лк, Xk, s k 0, sk ^ 0, при k .
По определению верхней грани найдется последовательность (u } e U*(ct , s ) такая, что
inflluk -u||>P(U*(o,s),U*)--1, k = 1,2,... (9)
ueUU*11 11 k
Так как U с U* (о), то ф* (о)<ф*, тогда V(u k }eU * (о, s)c U (о + из (8) получим
ф(u k) = uk + u k + ... + uk = ||u k||1 <ф* (о) + sk <ф* + sk. (10)
Таким образом, последовательность {uk} ограничена, и из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Не ограничивая общности, считаем, что сама последовательность сходится (u } ^ u* при k ^ да. Для Vuk eU(оимеем
(Au k - f )■ < 2[(A u k) +5i ] < 2[A г (uk + U2k + ...ukn) + 5г < 2(A г|| u k| [ +5г)], i =
Отсюда и из (10) получим
(Auk -f)■■ < 2[Ak(ф* + sk)+5k], i = 1m. (11) Аналогично для Vu k eU (о) имеем
- (Auk - f )■■ < 2[Ak (ф* + sk ) + 5k ], i = 1m; (12)
(Buk - d)5 < 2^k (ф* + sk )+5k], 5 = 1p; (13)
(c, u) < 2rjk (ф* + s k )+a. (14)
Переходя к пределу при к — да в неравенствах (11)—(13), или, что то же самое, при {йк } — 0, вк — 0, получим
(Аи - Г )г < 0, -(Аи - Г) < 0, г = 1т; (Ви - ё) < 0, 5 = 1, р, (с,и) <а. Или в матричной форме
Аи* = Г, Ви* <^ (с,и*)<а. (15)
Так как и* - предельная точка последовательности {ик} е и(ст), а множество и(ст) с Б и и(ст) и Б замкнуто, то и* е Б. Тогда с учетом соотношений (15) имеем, что и* еи . С другой стороны, из (10) при к — да получим ф(и*) < ф*. Следовательно, и* - решение задачи (2), т.е. и* е и*. Переходя к пределу в (9) при к — да, получим
в(и* (ст, в), и*) — 0
Теорема доказана.
3. Из теоремы 3 следует, что при достаточно малых {A, 5, Л, Я, ц} в качестве приближенных решений задачи (3) можно взять решения задачи (7) или (8). Но пока вопрос: насколько «близко» множество U*(c, е) к множеству U* остается открытым? Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.
Теорема 4. Пусть U = {u e UD : (с, u) < a} /0, тогда справедлива оценка
Р(Що, s),U*) = О^ + б + Л + Я + ц + е). (16)
Доказательство. Множество решений задачи (13) можно представить в виде полиэдра
U* = {u e D: ф^) < ф*, (с,u) < a, Äu = f, Bu < d}, где D = {u e : Ä1u = f1,B1 u < d1} тоже является полиэдром. Тогда к множеству U* можно применить теорему 2.5.3 [2. С. 121]: существует такая постоянная M > 0, зависящая лишь от элементов матриц Ä и B и вектора с, что p(u,U*) < M max{max{0; ф^)-ф*}; max{0,( с, u)};
max{(Äu -f),.|}; max{0;(Bu - d),}} Vu e D, (17)
1<.< m 1< s <m '
С n \1/2
где p(u,U*) = inf llu -u*|L = inf I У |u, -u*,|2 I . Так как U*(c, е) с D, нера-
u.eU. 112 u*eU*I j=1 J _
венство (17) справедливо для Vu*(c, е) e U*(c, е). Оценим правую часть (17) при u = u* (c, е). Аналогично, как и при доказательстве теоремы 3, имеем ф(ш(а, е)) < ф*(с) + е < ф* + е, так как U с U(о) и, следовательно, ф*(с) < ф*. Тогда ф(ш(а, е)) - ф* < е, отсюда имеем
max{0; ф(ш (о, s))-ф*}< s. (18)
Так как (с,u) <a для Vu eD, в частности, для Vu*(о,s)eU(о)с D имеем (с, u* (о, s)) < a . Следовательно,
max{0;( с, u* (о, s))-a} = 0. (19)
Рассуждая аналогично, как при доказательстве неравенств (11)—(13), получим
maxi(Äu*(о, s))) < 2^(ф* + s) + 5]; (20)
1<i<m
maxmax{0;(Bu*(о,s)-d)s}< 2[Л(ф* + в) + Я]. (21)
1< s< m
С учетом соотношений (18)-(21) получим:
p(u*(5,s),U*) <Mmax{e;0;2[A^* + b) + 5]; 2[Л(ф* + в) + Я]}, Vu*^, s)e U*(о, s).
Переходя к точной верхней грани по всем Vu*(c, е) e U*(c, е), получим утверждение теоремы. Теорема доказана.
4. Рассмотрим модельную задачу гибкого линейного программирования: найти вектор u = [ui,u2]T e^+, удовлетворяющий условию
^V2u1 ^V18u2 < a (22)
при выполнении следующих ограничений:
и + 2и2 < 6;
\ - V2u1 -л/8и2 < -л/72; (23)
и1 > 0, и2 > 0.
Рассмотрим модельную задачу (22), (23) при а = 42 и а = л/Гб2 . Пусть а = 42, тогда, разделив на 42 неравенства (22) и разделив на -42 второе неравенство в (23), получим систему неравенств
- и1 + 3и2 < 1; и1 + 2и 2 < 6; и1 + 2и 2 > 6; и1 > 0, и2 > 0.
На рисунке представлено множество решений этой системы - отрезок АВ.
(24)
5
4
2 1.4 1 ч "ч. "ч ^ А „ - " - Л
■ 1 . . , . . , . . , 1. . , . . , В
V1 0 1 2 З32 4 5 б 1 8
Модельная задача
Аналогично (3), рассмотрим задачу нахождения нормальных решений ф(и) = и1 + и2 ^ т£ и = [иьи2]т е и = [Л,Б] или, что то же самое,
ф(и) = и1 + и2 ^ т£ (25)
' -Ли, + л/18и2 <42;
и1 + 2и 2 < 6;
-42щ -л/18и2 <-л/72;
и1 > 0, и 2 > 0,
решением которой при а = 42, как видим из рисунка, будет точка и* = [3,2; 1,4]т и ф* = ф(и*) = 4,6 . При а = V162 , рассуждая аналогично, легко получить нормальное решение и* = [0; 3]т и ф* = 3. Округление чисел
42 = 1,4142136...,л/18 = 4,2426407...,л/72 = 8,4852814... можно интерпретировать как внесение возмущений в ограничения задачи (25) или как задание приближенных данных {А, 1", В, ^ с} в соотношениях (4). Пусть к - число удерживаемых цифр после десятичной точки при значении 42,л/8,л/18,л/72 . При этом ошибка округления не превышает величины 0,5 х 10-к. Для различных к, отличающиеся друг от друга, возмущения порядка 0,5 х 10-к приводят к задачам, которые не имеют решения, или же, в случае разрешимости, эти решения носят неустойчивый характер. Как видно из табл. 1, при а = 42 задача нахождения нормальных решений задачи гибкого линейного программирования (25) при любом к не имеет решения, что нетрудно показать, хотя точное решение этой задачи сущществует и* = [3,2; 1,4]т . Таким образом, в этом случае ни при каком к мы не сможем получить это решение. При а = л/ 162 имеем ситуацию: то решение есть (при к = 0, 2, 5, ...) и оно либо совпадет с точным нормальным решением и* = [0; 3]т или близко к нему, то решения нет (при к = 1, 3, 4, 6, ...), т.е. процесс нахождения нормальных решений носит неустойчивый характер.
Таблица 1
Решения модельных задач при произвольных к
а и Точное решение к
0 1 2 3 4 5 6
Л и*1 3,2 - - - - - - -
и*2 1,4 - - - - - - -
л/162 и*1 0 0 - 0 - - 0 -
и*2 3 2,66666666666667 - 3 - - 2,999996464469688 -
Решим задачу (25) при а = 42 и а = 4162 методом поточечной невязки (7) или (8) при различных к в среде МаЛаЬ Я2014Ь, используя симплекс-метод. Результаты вычислений приведены в табл. 2, из которой видно, что приближенные решения и*(о) = [и*1(о), и*2(о)]т , полученные методом поточечной невязки, описанным и обоснованным выше, сходятся к точным решениям задачи (25) и* = [3,2; 1,4]т при а = 42 и и* = [0; 3]т при а = 42 . При этом погрешность ||и* - и* (а)|| составляет порядка 0(10-к).
Таблица 2
Решение задач методом поточечной невязки
а Точное и. (о) к
решение 0 1 2 3
и*! = 3,2 и*1(ст) 3,051690073649114 3,11689326515492 3,19857735290287 3,19960315307825
72 и*2 = 1,4 и*2(о) 1,285719139835297 1,40914240306478 1,40012893927333 1,40008042535857
|| и* - и*(о)||1 0,14830992635089 0,08310673484508 0,00142264709713 0,00039684692175
и*1 = 0 и*1(о) 0 0 0 0
^162 и*2 = 3 и*2(о) 2,51305787493998 2,981366158776386 2,998186678452162 2,999815760887402
|| и* - и*(о)||1 0,48694212506002 0,01863384122362 0,00181332154784 0,00018423911260
Окончание табл. 2
a Точное u, (o) к
решение 4 5 6
u,j = 3,2 u*!(a) 3,19989557974757 3,19999436375989 3,19999832711111
V2 u,2 = 1,4 u*2(o) 1,40001589514708 1,39999937968591 1,40000009575692
|| u, - u,(o)||1 0,00010442025243 0,00000563624011 0,00000167288889
u,j = 0 u*1(o) 0 0 0
V162 u,2 = 3 u,2(o) 2,999985345108936 2,999992102682857 2,999999680802728
|| u, - u,(o)||1 0,00001465489107 0,00000789731715 0,00000031919728
Таким образом, метод поточечной невязки, во-первых, позволяет получить приближенные решения с точностью порядка задания входных данных, во-вторых, вспомогательная задача (7) или (8), к которой приводит этот метод, тоже является задачей линейного программирования, т.е. мы остаемся в классе задач, однотипных с исходной задачей (1).
Литература
1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 415 с.
2. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал Пресс, 2008. 347 с.
3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю., Морозов В.А. Метод поточечной невязки для решения некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 7. С. 1140-1152.
4. Морозов В.А.. Медведев Н.В.. Иваницкий А.Ю. Регуляризация задач алгебры и анализа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 80 с.
5. ТихоновА.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 284 с.
6. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. 278 с.
7. Vasilyev F.P., Ivanitskyy A.Yu. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Boston, London, 2001, 312 p.
ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
КАЗАКОВА АНАСТАСИЯ ОЛЕГОВНА - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
КАРАСЕВА ЖАННА КОНСТАНТИНОВНА - магистрант кафедры прикладной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
АНДРЕЕВА ЕВГЕНИЯ ИГОРЕВНА - магистрант кафедры прикладной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
A. IVANITSKIY, A. KAZAKOVA, Zh. KARASEVA, E. ANDREEVA POINTWISE RESIDUAL METHOD TO SOLVE THE PROBLEM OF FLEXIBLE LINEAR PROGRAMMING WITH APPROXIMATE DATA
Key words: problem of flexible linear programming, ill-posed problems of linear programming, ill-posed electrotechnical problems, pointwise residual method, convergence, inaccuracy estimate.
The article proposes the pointwise residual method for solving the problem of flexible linear programming with approximate data. The method brings to an auxiliary problem, which is also a linear programming problem. Compactness and convexity of normal solutions of approximate solutions set as well as the theorem of convergence are proved, optimal estimates of initial problem solution approximation by approximate solutions are achieved. The offered method can be used to solve the applied problems including elec-trotechnical problems that can be reduced to linear algebraic equations and inequalities systems and to linear programming problems.
References
1. Beklemishev D.N. Dopolnitel'nye glavy lineinoi algebry [Additional Chapters of Linear Algebra]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 337 p.
2. Vasil'ev F.P., Ivanitskii A.Yu. Lineinoe programmirovanie [Linear Programming]. Moscow, Faktorial Press Publ., 2008, 347 p.
3. Vasil'ev F.P., Ivanitskii A.Yu., Morozov V.A. Metodpotochechnoi nevyazki dlya nekotorykh zadach lineinoi algebry i lineinogo programmirovaniya [Pointwise Residual Method for Solving Some Problems of Linear Algebra and Linear Programming]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoifiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1998, vol. 38, no. 7, pp. 1140-1152.
4. Morozov V.A., Medvedev N.V.. Ivanitskii A.Yu. Regulyarizatsiya zadach algebry i analiza [Regularization of Algebra and Analysis Problems]. Moscow, Moscow University Publ., 1987, 80 p.
5. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for Solving Ill-Posed Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 284 p.
6. Fedorov V.V. Chislennye metody maksimina [Numerical Maximin Methods]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 278 p.
7. Vasilyev F.P., Ivanitskyy A. Yu. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Boston, London, 2001, 312 p.
IVANITSKIY ALEXANDER - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Applied Mathematics, Physics and Information Technologies, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).
KAZAKOVA ANASTASIYA - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Actuarial and Financial Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).
KARASEVA ZHANNA - Master's Program Student, Department of Applied Mathematics and Informatics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).
ANDREEVA EVGENIYA - Master's Program Student, Department of Applied Mathematics and Informatics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).
Ссылка на статью: Иваницкий А.Ю., Казакова А.О., Карасева Ж.К., Андреева Е.И. Метод поточечной невязки для решения задач гибкого линейного программирования с приближенными данными // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 1. - С. 225-234.
