Об оценках погрешности одного варианта смешанного метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 155, кн. 2

Физико-математические пауки

2013

УДК 519.68

ОБ ОЦЕНКАХ ПОГРЕШНОСТИ ОДНОГО ВАРИАНТА СМЕШАННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

А.П. Гогин, М.М. Карчевский

Получены оценки точности смешанной схемы конечных элементов для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка с сильно монотонным и локально лип-шиц-пеирерывпым оператором, когда в качестве вспомогательной переменной при построении схемы выбирается градиент искомого решения.

Ключевые слова: квазилинейное эллиптическое уравнение, смешанный метод конечных элементов, оценки погрешности.

Введение

В настоящей работе получены оценки точности в смысле норм соболевских пространств смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих условиям сильной монотонности и локальной липшиц-непрерывности в пространстве ШР1 (П), р > 1. В качестве вспомогательной переменной при построении смешанной схемы выбирается градиент искомого решения. Характерная особенность таких схем состоит в возможности их применения для весьма широких классов квазилинейных уравнений. в том числе и для уравнений, допускающих вырождение по градиенту. Слабая сходимость указанных схем для уравнений с монотонными операторами при р = 2 изучалась в [1, 2]. Оценки точности схем, рассматриваемых в настоящей работе,

р = 2

ные с итерационными методами решения соответствующих дискретных нелинейных седловых систем уравнений, рассматривались в [2, 4, 5]. Отметим также работы [6 8], посвященные исследованию сходимости и итерационным методам для смешанных схем, основанных на использовании «потока» в качестве вспомогательной переменной.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида

где П С Е2 - ограниченная многоугольная область, Г - граница области П, а(х,п) = (а\(х,г]), а2(х/г/)), а0(х,п) - заданные функции, непрерывные по П; П £ Е3, для всех х £ П. В дальнейшем будем использовать следующую запись: П = (по,п), По £ Е, п = (ПЪП2) € Е2.

Аннотация

<ііу а(х, и, Уи) + ао(х, и, Уи) = /(х), х £ О,

и(х) =0, х £ дО,

(1)

(2)

Предполагаются выполненными алгебраические условия сильной монотонности и лиишиц-иепрерывности

(а(х,п) - а(х,£))-(п - 0-(|п| + 1^1)2-Р > со|п-с|2 V п,££ Е3, п,£ £ Е2, х £ П, (3)

|а(х,п) - а(х,/)| < 01 |п - /р-1 Vп,/£ Е3, х £ П, (4)

в случае 1 < р < 2 и

(а(х,п) - а(х,0) ■ (П - О > с2|п - £|р V п,С£ е3, п,£ £ е2 х £ П, (5)

|а(х,п) - а(х,/)| < 0з|п - £| ■ (|п| + |С|)Р 2 Vп,/£ Е3, х £ П, (6)

в случае р > 2; о0, о1? о2, о3 - положительные постоянные, а через а(-) обозначена вектор-функция вида а(-) = (а0(-), а1(-), а2(-)). Здесь и в дальнейшем точкой обозначаем стандартное скалярное произведение в арифметическом пространстве Е” соответствующей размерности. Не ограничивая общности класса рассматриваемых задач, будем также считать, что

а(х, 0) = 0, ао(х, 0) = 0. (7)

Принятые нами условия на функции а, ао позволяют включить в рассмотре-

О (1)

ние так называемые отображения двойственности пространства Соболева Шр (П) в пространство в Ш-1(П) (см., например, [9, с. 184]). Отметим, что близкие нелинейные уравнения в связи с задачами теории фильтрации неныотоновских жидкостей изучались в [10].

Хорошо известно, что при выполнении условий (3) (6) задача (1), (2) имеет

О (1)

единственное обобщенное решение из пространства Соболева Шр ) (П) при любой правой части / £ Ьч(П). Здесь и далее через д обозначается сопряженный к р показатель, то есть 1/р + 1/д = 1.

2. Смешанная схема конечных элементов

Пусть Тн - регулярная (см., например, [11]) триангуляция области П. Пусть, далее,

ЕРЙ(К) = (Рк(К))2 ® хРк(К), х = (х1,х2),

есть пространство Равьяра-Тома [12]. Поясним, что каждый элемент V из ЕТк(К) есть вектор-функция вида

V1 р1+рзх1

V2 р + рзх2_

где р* £ Рк (К), г = 1, 2, 3, Рк(К) - пространство полиномов степей и не выше к по совокупности переменных.

Определим, следуя [12], конечноэлементные пространства

N = {дн £ Н,; д|* £ ВДК) VК £7,} ,

Мн = {V, £ £р(П); vн|к £ Рк(К) VК £ Тн} , (8)

Хн = Мн х Ж,.

Здесь (см., например, [13])

Н = Нч(&у, П) = {] £ (Ьд(П))2 | ё1у] £ Ьд(П), 0 < д < 11

с нормой

1н,

= У (Ы9 + I divЛч) ¿ж.

Отметим, что принадлежность д, пространству Нд обеспечивает непрерывность нормальных компонент вектор-функции д, при переходе через общую границу двух любых соседних элементов триангуляции Т, ■

Под приближенным решением задачи (1), (2) будем понимать пару функций (м,,.?,) € X, таких, что

У"(а(ж,м,,.?,(«,)) • .?,(«,) + ао(х, м,,^,(м,))«,) ¿ж = J /«,(ж) ¿ж V«, € М,, (9) п п

где для любого V, € М, функция он(«ь) € N определяется как решение уравнения

У.?,(«,) • д, ¿ж + J V, ё1у д, ¿ж = 0 Vд, € Ж,. (10)

пп

3. Исследование приближенного метода

При исследовании задачи (9), (10) важную роль играет

Лемма 1. Существует положительная постоянная с, не зависящая от к, такая, что для любой функции V, € М,1

J V, ё1у д, ¿ж

вир п—й—й------ с1КНып).

|Ы|я

Доказательство этого утверждения см., например, в [14, 15].

При получении оценок точности метода (9), (10) будем опираться на аппроксимативные свойства пространств М,, Ж, (см. [11, 12]).

Лемма 2. Пусть - элемент наилучшего приближения кие пространстве

М, в смысле нормы (О),

и € %(к+1)(П), Ум € (%(к+1)(П))2 , (И)

^(м^) определяется соотношением

У.?,(мЛ') • д, ¿ж + У ё1у д, ¿ж = 0 V д, € Ж,. (12)

пп

Тогда

IIм — м ||ьр(П) < ск + ||м||^г5к+1)(п), (^)

У Ум - ¿л(«л)||Мп) < скк+1|Ум|^(к+1)(п). (14)

1Всю^ в дальнейшем буквой с, возможно, с индексами обозначаются постоянные, не завися-

щие от Н.

Доказательство. Оценка (13) получается как следствие теоремы 3.1.4 [11. с. 24]. При этом надо учесть, что м^ можно строить как элемент наилучшего приближения в пространстве ¿2 та каждом конечном элементе триангуляции Т, ■ Докажем оценку (14). Так как м^ - элемент наилучшего приближения к и из М, в смысле нормы пространства Ь2(П), то

У (и — м,)'Ш, ¿ж = 0 V € М,. (15)

п

Вследствие (12), очевидно, выполнено тождество

УсЫм^) — Ум) • д, ¿ж + У (и — м*) div д, ¿ж = 0 Vд, € Ж,. (16)

По определению пространств М,, Ж, справедливо включение div д, € М,, поэтому

y*(jh(uh) —Ум) • д, ¿ж = 0 V д, € Ж,. (17)

п

(последнее равенство означает, что ,?’л,(мл')- элемент наилучшего приближения из Ж, к Ум в смысле нормы пространства Ь2(П)). Пусть, дштее, элемент г, € Ж, такой, что || Ум — г,||_£р(п) < ||Ум|| ^(*+1)(п) .Элемент г, с указанным свой-

ством существует (см., например, [12]). Для любого д, € Ж, имеем

У (г, — .?,(мл')) • д, ¿ж = У (г, — Ум) • д, ¿ж + J (Ум — ^(м^)) • д, ¿ж. (18)

п п п

Как показано выше, второе слагаемое в правой части последнего равенства равно

нулю. Таким образом, из равенства (18) следует, что

У (г, — (мл)) • д, ¿ж

< С^к+1|Ум|^(к+1)(п)|д,1ь,(п). (19)

Отсюда по лемме 3.3 из [7] имеем ||г, — ^,(м,)| < С^к+1 ||Ум|| ^(к+1)(п), следовательно,

||Ум — (м,)|Ьр(п) < ||Ум — г,|Ьр(п) + ||г, — ¿л(мл)||МП) < С^к+1|Ум|^(к+1)(п)-

□

В дальнейшем будет существенно использована

Лемма 3. Существует положительная постоянная с такая, что ||м,||ьр(П) < с|^,(м,)Уьр(П) V м, € М, где (м,) определяется как решение уравнения (10).

Доказательство. Из определения ^’,(м,) следует равенство

/ м, div д, ¿ж = / Л (м,) • д, ¿ж

и п и п

Оценим правую часть этого равенства с помощью неравенства Гельдера:

1/Р / „ \ 1/9

м, div д, ¿ж

< ( J |^,(м,)Г ¿ж п

Ы9 ¿ж ) = 11^,(м,)Уьр(п)Уд,Уь,(п)-

Поделим обе части неравенства на ||д,||ь (п), возьмем точную верхнюю грань по всем д, € Ж,. Тогда, используя лемму 1, получим искомую оценку.

□

Лемма 4. Пусть м - решение задачи (1), (2), (м,,^,(м,)) - решение задачи (9), (10), выполнены условия гладкости (11). Тогда существует такая пос

— м,|Цр(п) < с^(к+1)1Ь

^Рк+1)(п)

с||Ум — лМН^п).

Доказательство. Поскольку Ж, С Н9, можно написать, что для любых

д, €

(21)

J (Ум — ^,(м,)) • д, ¿ж + J (м — м,^гу д, ¿ж = 0.

пп

Обозначим через м, € М, элемент наилучшего приближения к м в смысле нормы в Ь2(П), тогда

(22)

J (м — д, ¿ж = 0 Vд, € Ж,.

так как div д, € М,. В равенстве (21) к разности м — м, добавим и вычтем м, так, чтобы второе слагаемое можно было представить в виде двух, одно из которых обращается в нуль в соответствии с (22). Получим

J (Ум — ^,(м,)) • д, ¿ж + J (м, — м,^гуд, ¿ж = 0. пп

Из последнего уравнения следует равенство

/ (Ум — ^,(м,)) • д, ¿ж = / (м, — м,^^ д, ¿ж

п 3 п

Очевидно, что

J (м, — м,) div д, ¿ж

</ |Ум — ^,(м,)||д,1 ¿ж < |Ум — ^,(м,)|Ьр(п)|д,Уь,(п). п

Поделив обе части неравенства на ||дл,||ь, (п) > взяв точную верхнюю грань по всем д, € Ж, и использовав лемму 1, получим

||мЛ, — м,|ьр(п) < с||Ум — ^,(м,)|ьр(п). (23)

Осталось оценить ||м — м,||^ (п) • Для этого воспользуемся неравенством треугольника, неравенством (23) и затем результатом леммы 2. Получим

IIм — мЛ. + мЛ. — м,|ьр(п) < с (|1м — м,|Ьр(п) + Нмл- — мл-Ньр(п)) <

< с^+1)||м||^(к+1)(п) + с|Ум — .?,(м,)||£

£р(п)

□

Теорема 1. Пусть выполнены, условия (3) (6). Тогда при любой правой части / € (О) решение задачи (9), (10) существует и единственно. При этом

с при в е дл и в а о ц енка

Н-Ы^Ньрф) < с|/||ьч(п)- (24)

Доказательство. Уравнение; (10) уравнение с положительно определенной матрицей (матрицей масс) относительно .’л,(мл,) ирн заданном и^,. Поэтому на уравнение (9) можно смотреть как на уравнение вида А^(мь) = 0 относительно и^,. Убедимся, что для конечномерного оператора А^(м^) выполнены условия топологической леммы Брауэра (см., например, [16, с. 94]). Вследствие условий (4), (6) функции а*(-), I = 0,1, 2, порождают операторы Немыцкого (см., например, [17, с. 204]), а значит, оператор А является непрерывным. Покажем теперь, что

(ил.) • ил. У (а(х,иЛо.л»(м^)) • .^(м^) + «о(х?ил»?.^(м^))и^) У /иЛ. > 0?

п п

если |м^|^р(П) достаточно велика. В силу условий (3), (5) и (7), а также неравенства Гельдера имеем

Аь(мь) • > соУ.ь(мь)Уьр(п) — |/ Нь,(п)Нил.||ьр(п)• (25)

По лемме 3

со

Аь(мь) • > с Нил-Ньр(п) у/Нь,(п) Нил.||ьр(п)- (26)

Из неравенства (26), очевидно, следует, что А^(м^) • и^, > 0, если |м^|^р(П) >

> (с||/|ь,(П)/с^1/(р Х) • Отсюда по лемме Брауэра вытекает разрешимость уравнения (9) н априорная оценка (24). Единственность решения нетрудно доказать, опираясь на условия монотонности (3), (5) и лемму 3. □

Оценку точности рассматриваемого нами приближенного метода устанавливает

Теорема 2. Пусть решение и задачи (1), (2) удовлетворяет условиям гладкости (11). Предполож.им также, что каждая триангуляция с меньшим, шагом строится по триангуляции с большим шагом путем, разбиения ее треугольников. Тогда

||и - иьЩр(п) + II'Vм - лЫН^п) <

< сЬ(‘+«(3--> (+ II'иг„г„(П)) + с^ЧиГ^,^ (27) в случае 1 < р < 2 и

Нил. — и11!р(П) + |.Л(г*Л.) — Уи11|ъ,(П)]2 <

< («иГ;,к+„(П) +1'иц;^,^) + скр(‘+1>|и»;,„+„(„, (28)

р > 2

Доказательство. По аналогии с [1, 2] нетрудно доказать, что «¿(ж,и^, Уи^),

I = 0,1, 2, сходятся слабо в пространстве (О^п Н ^ 0 к «¿(ж, и, Уи). Поэтому для любого Н выполнено тождество

/(а(ж,и, Уи) • .’ь(иь) + ао(ж, и, Уи)«ь) ¿ж = /«ь ¿ж V€ М^.

Применяя хорошо известные в теории проекционных методов преобразования, получим, что

У ((a(x,uh,jh(uh)) - a(x,u, Vu)) ■ (jh(uh) - Vu) + n

+ (ao(x,uh,jh(uh)) - ao(x,u, Vu))(uh - u)) dx =

= J((a(x,vh,jh(uh)) - a(x,u, Vu)) ■ (jh(vh) - Vu) + n

+ (ao(x,Vh,jh(uh)) - ao(x,u, Vu))(vh - u)) dx, (29)

где Vh - произвольный элемент пространства Mh ■ Оценим теперь левую часть последнего равенства снизу, используя условия (3), (5), а правую сверху, используя

vh = uh uh

наилучшего приближения к u в пространстве Mh в смысле нор мы Ь2(^). Рассмотрим сначала случай p > 2. Используя условия (5), (6), получим

С2 J |Vu - jh(uh)\p dx < сз J |Vu - jh(uh)\(|Vu| + |jh(uh)\)p-2 |Vu - jh(vh)\dx + n n

+ c3 J |u - uh| (|u| + \uh\)p~2 |u - vh | dx. n

Далее, по обобщенному неравенству Гельдсра

1/p

C2 i |Vu - jh(uh)f dx < сз / |Vu - jh(uh)f dx \ x

n 'n '

x ( У (|Vu| + jh^h)^ dx^ ^ J ^u - jh ivh)f dx^ +

\p-2/p( f \ u| + [uh^ dx / |u - vh|p dx

nn

(\1/p ( \ p-2/p ( \l/p

/ |u - uh|p dx I

n n n

Откуда в силу леммы 3 и теоремы 1

с2 ||Vu - jh(uh)\\PLq (n) <

< с5 \ Vu - jh(uh)llLp(n)\Vu - jh (vh)\\Lp(n) + c6|u - uh || Lp(n)\\u - vh || Lp(n) • Продолжим оценку с использованием неравенства Юнга:

с2 ||Vu - jh(uh)IIPLp(n) <

< с5 (eP\\Vu - jh(uh) \Lp(n) +£-q |Vu - jh(vh)liqLp(n)) +

+ с6 \ £pi\u - uh \Lp(n) + £1Ч llu - vh \ Lp(n)

где є і, є 2 — произвольные положительные числа. Теперь воспользуемся оценкой леммы 4, умноженной на некоторое положительное число є з, тогда

С2|| Vй - Ік(ик)|ІЬр(П) - (с5є?||УМ — Ін{ин)\\РЬр(о) + Сбє2І|и — икНЬр(П)) +

+ ЄзІ|и — ик11Ьр(п) — ЄзС7І^и — Ік.(ик)ІІЬр(П) <

- ™ї(‘+П (^- ||^с,,+„(П)+«є-чм;.^) + єзС^’М^+і^.

є1, є2 єз

что будет выполнено неравенство (28).

Рассмотрим случай 1 < р < 2. По аналогии со случаем р > 2 оцепим левую часть равенства (29) снизу, а правую сверху, используя условия (3) и (4). соответственно. Получим, что

со||^ -лЮН!р(П) (ЫЫ^Ь^П) + І^иІІЬр(п))2 2 <

< сіІІ^, - - ¿кМІІЬр(п) + сі||и - ^Н^)\\и - ІІЬр(П),

откуда вследствие леммы 3 и теоремы 1 будем иметь

С1о|^и - ¿кЫШр^) <

< - - 3к(Ук)ІІЬр(п) + Сі||и - икУ2Р(п)||и - УкУьр(п)-

Возведем обе части последнего неравенства в степень р/2 и продолжим оценку

с учетом неравенств Гельдера для сумм и Юнга. Получим

еі2І^и-ік(ик)Гьчт < ЄНР/2(к+1) (у Vu -Ік(ик)УЬ,(П) + |и - икУЬр(пО^"^ Х

Х (^С^+^П) + І^Ср^Чп)) <

< є1/(Р -1) (|ГVu - і'к(ик)|Ь,(П) + 11и - икУЬр(П^ +

1 / \ 1/(3 — Р)

+кФ+ц,(3-'"{»'+„(„, + .

є2 ,

зультате

с12І| ^ - ІкМІЬ^п) - є2/(Р -1) (|^и - Ік(ик)|Ьч(п) + 11и - икУЬр(п^ +

+ є2 ||и - икУЬр(п) - є2с13 Н ^7и - Ік(ик)|Ьр(п) <

1 / \ і/(з 2)

< с^р-рг лр(к+1)/(3 - р> ( і^иС.»«^, + »иіі;,р,+і,(„^ +

єі є2

место искомое неравенство и в случае 1 <р < 2. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты X- 11-01-00667. 12-01-00955. 12-01-97022. 12-01-97026).

Summary

А.P. Gogin, М.М. Karchevsky. Он Error Estimates for a Variant, of the Mixed Finite Element Method.

The mixed finite element method for the second order quasilinear elliptic problems with a strongly monotone and locally Lipscliit.z continuous operator is investigated. The error estimates are obtained in the case when the gradient of the required solution is chosen as an auxiliary variable in the construction of the mixed finite element method.

Keywords: quasilinear elliptic equation, mixed finite element method, error estimates.

Литература

1. Карчеоский М.М. Об одном подходе к построению смешанных схем МКЭ для квазилинейных эллиптических уравнений // Материалы Пятого Всерос. семинара «Сеточные методы для краевых задач и их приложения». Казань: Изд-во Казан, ун-та. 2004. С. 108 111.

2. Федотов А.Е. Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений: Дис. . .. капд. физ.-матем. паук. Казань, 2007. 112 с.

3. Карчеоский М.М. Об оценке погрешности одного варианта смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений // Материалы Девятой Всерос. копф. «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Отечество, 2012. С. 220 222.

4. Карчеоский М.М. Об итерационных методах численной реализации смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Исслед. по прикл. матем. и информатике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2004. Вып. 25. С. 59 69.

5. Гогин А.П., Карчеоский М.М. Об итерационных методах для некоторых классов смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений // Материалы Девятой Всерос. копф. «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Отечество, 2012. С. 90 94.

6. Карчеоский М.М., Федотов А.Е. Об одном варианте смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений // Исслед. по прикл. матем. и информатике. Казань: Казан, гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 74 80.

7. Karchevsky М.М., Fedotov А.Е. Error estimates and iterative procedure for mixed finite element solution of second-order quasi-linear elliptic problems // Comput. Met.li. Appl. Math. 2004. V. 4, No 4. P. 445 463.

8. Гогин А.П., Карчеоский М.М. Об одном итерационном методе для смешанных схем конечных элементов // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2011.

Т. 154, кп. 4. С. 5 10.

9. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир,

1972. 588 с.

10. Batlriev I.B., Karchevskii М.М. Convergence of an iterative process in a Banacli space // J. Math. Sci. 1994. V. 71, No 6. P. 2727 2735.

11. Сья'рле. Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.

12. Brezzi Г., Fortin М. Mixed and Hybrid Finite Element. Methods. N. Y.: Springer-Verlag,

1991. 362 p.

13. Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир. 1981. 408 с.

14. Farhluul М. A mixed finite element method for a nonlinear Diriclilet. problem// IMA J. Xпинт. Anal. 1998. V. 18, No 1. P. 121 132.

15. Farhloul M., Manouzi H. On a mixed finite element method for the p-Laplacian // Can. Appl. Mat.li. Quart. V. 8, No 1. P. 67 78.

16. Гаевский X., Грёаер K., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

17. Вайиберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.:

Гос. изд-во техп.-теорет. лит., 1956. 345 с.

Поступила в редакцию 05.04.13

Гогин Алексей Павлович аспирант кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

Карчевский Михаил Миронович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

Е-шаП: Mikhail.KarchevskyQkpfu.ru