Итерационные методы для смешанных схем конечных элементов решения нелинейных задач теории оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 3, № 4, 1998

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СМЕШАННЫХ СХЕМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

Л. Ш. ЗАБОТИНА Казанский государственный технический университет, Россия

М. М. КАРЧЕВСКИй Казанский государственный университет, Россия e-mail: [email protected]

Iteration methods for the numerical implementation of combined schemes of finite elements for geometrically and physically non-linear problems of the theory of shallow shell theory are suggested and investigated.

Смешанные схемы конечных элементов широко применяются для решения задач теории пластин и оболочек (см., например, [1, 2] и цитированную там литературу). По сравнению с классическим схемами, основанными на эрмитовой интерполяции, они позволяют использовать более простые (лагранжевы) элементы. При этом удается единообразно получать схемы сколь угодно высокого порядка аппроксимации. Построение смешанных схем основано на сведении тем или иным способом уравнений четвертого порядка к системам уравнений второго порядка. Одним из наиболее универсальных способов такого сведения является способ, предложенный в [3] применительно к линейным задачам теории непологих оболочек. Аналогичные схемы для нелинейных задач теории пластин и оболочек построены и исследованы в [4-9].

1. В настоящей работе изучаются итерационные методы градиентного типа для численной реализации смешанных схем конечных элементов решения геометрически и физически нелинейных задач теории пологих оболочек.

Все рассмотрения ведутся на примере задачи о равновесии пологой оболочки, жестко защемленной по одной части (Ги) и шарнирно опертой по другой части (Гст) контура Г = Ги U Гст. Эта задача может быть сформулирована (см., например, [10], с. 260) как задача отыскания критических точек функционала (потенциальной энергии)

П — ограниченная двумерная область в плоскости х\,х2, отождествляемая со срединной поверхностью оболочки, (р — плотность потенциальной энергии изгиба, / = (/ь/2,/3) — внешняя нагрузка, и = (щ,и2,и3) — вектор смещений, п\, и2 — касательные смещения,

© Л.Ш. Заботина, М.М. Карчевский, 1998.

F(u) = F0(u) — fiUidx, F0(u) = <p(e, Kdx,

и3 — нормальное смещение (прогиб),

( я

V = ^ и е W21 х W21 X W22, и = 0, X е г,-дП = 0, х е Г

где п = (п1, п2) — нормаль к Г. Компоненты тангенциальной е = (е11, е12, е22) и изгибной к = (хц, к12, х22) деформации вычисляются по формулам

е^(и) = ву(и) + 0.5щ,г,

вц (и) = 0.5(щ,у +Щ ,г ) + кцЩ, I,] = 1, 2 (кгу — начальные кривизны оболочки, г,] = 1, 2),

ди д2и Кгз(и) = -из,гу , г,] = 1, 2, и,г = — ,и,ц =-

дхг дхгдх у

В дальнейшем предполагается, что функция р дифференцируема. Необходимые условия минимума функционала Г дают уравнения равновесия оболочки в перемещениях и естественные граничные условия на Гст. Решения уравнений равновесия — критические (не обязательно экстремальные) точки функционала Г.

Для простоты изложения будем считать, что П — многоугольная область, на которой проведена регулярная триангуляция (см., например, [1], с. 134) с максимальным диаметром элементов к, удовлетворяющая так называемому обратному предположению ([1], с. 142). Предполагается также, что все точки х е Га П Ги при триангуляции совпадают с вершинами треугольников.

о о

Обозначим через Иг(Иг) подпространство функций из W21(W21), являющихся полиномами степени не выше I по совокупности переменных на каждом из треугольников триангуляции.

Приближенное решение исходной задачи будем искать как функцию

ооо

У = (У1,У2,УЗ) е Ун =И 1-1 X И1-1 X Иг, I > 2, являющуюся критической точкой функционала Гн(у):

gradГн(y) = 0, (1)

где

Гн(у)= [ р(ен(у), хн(у))йх - [ Шх, ¿п ¿п

еН(У) = (У), Кн(у) = (у) = (Уз), г,] = 12 функции ^¡у(У3) =е Иг, определяются соотношениями, аналогичными [3]:

/ фх = -0.5 (уз ,г +Уз,у п,г ^Х _ 0.5 (Уз,гПу + узу щ) фх (2)

¿П ./п ¿Га

для любых п е Иг, г,] = 1, 2.

В данной работе изучается двуслойный итерационный метод градиентного типа

у.к+1 _ ук

в-—+ gradГн У) =0, к = 0, 1, 2,... (3)

для решения задачи (1), где

Ву = gradФ(y), Ф(у) = 0.5 ^ I (уэ))2 ¿х + 0.5 ^ I \Ууг\2 ¿х,

г]=\ г=1 ^

т > 0 — итерационный параметр.

Исследуем сходимость метода. В дальнейшем будем обозначать арифметическое пространство узловых параметров пространства Ун также через Ун, [•, •] — скалярное произведение в этом пространстве. Следуя [3], введем на пространстве Ун норму

2 С 2 2 ^

II У II2 = ^ / К Ы)2 ¿х + ^ \^Уг \2 ¿х.

Итерационный метод (3) в дальнейшем будет удобно записывать в виде

ук+1 _ ук

Ву-^ + Лнук = fн,

т

где оператор Лн : Ун ^ Ун и fн € Ун порождаются соотношениями

[Лну,у] = [ (V (Ан (у)) ,\н (у, у)} ¿х, ,/п

,/п

Ан (у) = {ен (у), (у)) , Ан (у, у) = (ен (у, у) , (у)) ,

(у, у) = + 0-5 + уэ,]у3,г) ,

(•, •} — скалярное произведение в пространстве Я6.

Относительно области П всюду в дальнейшем будем предполагать, что задача Дирихле

Аи = f, х € П, и = 0, х € Г

о

имеет решение и € П для любых f € Ь2, и

1 и Ц ж2 < с 1 f

\ь2

(см. [11] с. 208-221).

Приведем необходимые вспомогательные результаты. Лемма 1 [4]. Существует постоянная с > 0, такая, что

< 1К(у)\\ь2 уу €Н1 ■

г,] = 1

Очевидным следствием леммы 1 (см. также [3]) является Лемма 2. Существует постоянная с > 0, такая, что

2

<7 II

г,] = 1

<

<Е \К (у)\\Ь2 Vy €Н

2

Из леммы 2 и неравенства Корна непосредственно вытекает

Лемма 3 [9]. Существуют не зависящие от к постоянные с®, с1 > 0, такие, что

со

2

Е I (\4- (y)\2 + \< (у) dx -ы2 -

ij=1

2 o - *£/ (\4 (v)\2 + (v)\2) dx Уу eHi

гу=1

Лемма 4. Пусть функция р дифференцируема, сильно выпукла, и ее градиент Vр липшиц-непрерывен, то есть

р(0 + р(п) _ 2р(—21^ > со - п\2 е Я6,

¡Vр (£) -Vр (п)\< с^ - п\\ Ч,п е Я6. (4)

Тогда существуют постоянные г, 71(г), у2(г) > 0, такие, что

Чу1 ,у2 е Я = {у е Ун, ЦуЦ < г}

[Ану1 - Ану2,у1 - у2] > Ъ || у1 - у2 ||2 . (5)

\ [Ану1 - Ану2,у] \< Ъ || у1 - у2 |||| V Ц (6)

Доказательство. Имеем

[Ану1 - Ану2,у1 - у2] = [ (Vр {Хн (у1)) ,Хн (у1 ,У1 - У2)) дх- (7)

п

- [ V (Хн (у2)) ,Хн (у2,у1 - у2)) дх. п

Нетрудно подсчитать, что

Хн (у1, У1 - У2) = Хн (у1) - Хн (у2) + вн (у1 - У2) ,

Хн (у2,У1 - У2) = Хн (у1) - Хн (у2) - вн (у1 - У2) , вн(у1 - У2) =

= 0.5 ((у1 - у1л)2 , (у1 - уЪ) (у3,2 - У!,2) , (у3,2 - Уз,2Т , 0,0, 0) . Тогда из (7) получим

[Ану1 - Ану2,у1 - у2} = Г V (Хн (у1)) - Vр (Хн (у2)) , Хн (у1) - Хн (у2)) дх+

JQ

+05 tf (г (Ь (У'» + Г (Xh - УМ № - vj» dx.

Поскольку функция p сильно выпукла, ее градиент сильно монотонен, то есть (Vp(£) -Vp (п) Л - п)> с \ С - П \2, с = const > 0 п G R6,

следовательно,

\_Лну1 _ Л"у2,у1 _ у2] > с\\Ан (у1) _ Ан (у2)_

-с

г,3 = 1

др

-г,

А" (у1) + др ^(у2))

з,г у2,г) (уз,з уэ]

¿2

3 ' 11^2

причем

\А" (у1) _ А" (у2) ^ > с\\уз _ у

1 2\ 2

1 2\ 2

э,г _ у!,) (у3,З _ у1з) к < с № _ у

31 \\Ь2

кроме того, в силу (4) и леммы 2, имеем

Е

г,3=1

^ (А" (у1)) + ^ (А" (у2))

г3

г3

< с ГПу1 \ + \у2Ю < 2сг.

¿2

Из полученных оценок очевидным образом вытекает справедливость неравенства (5). Для доказательства неравенства (6) заметим, что

[Л"уз _ Л"у2,у] = [ <Vр (А" (у1)) ,А" (у1 ,у)) ¿х_

п

Далее

+

_ / <Vр (А" (у2)) ,А" (у2,у)) ¿х = п

= [ V (А" (у1)) , А" (у1,у) _ А (у2,у)) ¿х+ п

[ V (А" (у1)) _ ^ (А" (у2)) , А" (у2,у)) ¿х. п

" (у\у) _ А" (у2,у)\\1 \\ (у!, _ у|,) Уэ,з +

г,3=1

+ {у\,з _ уэД\2 < Ну1 _ у212 И2 .

Кроме того, в силу липшиц-непрерывности функции р для любых у1, у2 € Бг \ \ V* (А" (у1)) _ Vр (А" (у1))\\1 < с \ \А" (у1) _ А" (у1)\\2 <

(8)

(9)

причем

< с^ \\\е„ (у1 _ у2)+|ш;

г,3=1

*3 (у1 _ у2) + К (у1 - V2)\\1, +

+ Ыг Ы, _ уУ+ К, Ы _ уУ

(уэз _ &с < с\\уз _ ""з"í

11

г

3/ II ¿2

, (у1,. _ у22,^ \\12 < с \\уз _ У

2\ 1\ 2

< сг

2 2 2 2 2 1 2 2М \'2М < сг2 \11

2

2

2

Таким образом,

V (\h {y1)) - Vp {Xh {yl))t < d \\y1 - y2\\2 [1 + r2] . (10)

L2

1 „,2

Из (8 ) - (10) получим Vy1, y2 G Sr, v G Vh

| [Ahy1 - Ahy2,v] \ < cor Wy1 - y2\\ ||vM + cir {l + r2)1/2 \\y1 - y2

= 72 \\у1 - у2\\ •

Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 4, и

II I 11в-1 < ^ {72 - (т! - 12)1/2} г• (11)

Тогда итерационный процесс (3) сходится при т = т0 = ^Н?. при любом начальном приближении у0 Е Бг. Справедлива оценка скорости сходимости

yk+1 - y l|2< Po || yk - y ||2, (12)

где po = 1 - 7i2/722 •

Доказательство. Пусть

Бу = у - тВ-1 Ау + тВ-11. Согласно [12] (с. 106), для любых у,у Е Б г получим

|| Бу - Бу ||2=

= 11 у - у II2 -2т[Ау - Ау,у - у] + т2[В-1(Ау - Ау),Ау - Ау], откуда в силу леммы 4 следует, что

II Бу - Бу ||2< р(т) || у - у ||2, (13)

где р(т) = 1 - + т. Тогда

II Бу ||<|| Боу || +т || В-11 ||в< р1/2(т) || у || +т || I ||в-1 • (14)

Минимальное значение р(т) достигается при т = т0 = 71/7!, р(т0) = 1 - 71/7!. Пусть выполнено условие (11). Учитывая, что || у ||< г при т = т0, из (14) получим || Бу ||< г, то есть оператор Б осуществляет сжатое отображение множества Бг в себя с коэффициентом сжатия р(т0) = р0 < 1, и для у — решения задачи (1) — справедливо неравенство (12). Теорема доказана.

При более сильных ограничениях на функцию р (см. [12, 13]) оценку скорости сходимости итерационного процесса (3) можно улучшить. Будем предполагать далее, что функция р дважды дифференцируема. В этом случае оператор Ан имеет в каждой точке у пространства У% производную Гато дА%. Нетрудно подсчитать, что для любых у,у,п Е Ун выполняется равенство

[дАьу,п]= [ {(^2р(Хн(у))Хн(у,у),Хн(у,п)) +

v

+ (Vр(Хн(у)),дн(у,п))} дх, где ( )

Хн(ь, у) = [ен (VV, у), тн (у)) , ен (у, у) = ен (у) + дн (V, у),

дн (у,У) = 0.5у3,г У3,У, г, ] = 1, 2

V2р(£) — матрица вторых производных функции р в точке £ е Я6. Лемма 5. Пусть существуют постоянные со, с1 > 0, такие, что

со \ п \2<< V2р(£)п, п>< в1 \ п \2 Ч£, п е Я6. (15)

Тогда существуют постоянные г0, 71(го), 12(г0) > 0, такие, что

11 || У ||2< [дА„у,у] < ^2 || у Ц2 Чу е Ун,у е Бг. (16)

Доказательство. Используя левое неравенство (15), получим

[дА„у,у]= ( {(V2р(Хн(v))Хн(v,y),Хн(v,y))(Vр(Хн(v)),дн(y,y))} дх > п

> с Н Хн(р,у) ^ -с|| Vр(Хн(v)) и2|| дН(у,у) и2.

В силу леммы 3

н Хн^,у) щ> с н у г -с н дн^,у) т.

Используя лемму 1, нетрудно показать, что

|| дн^,у) НЪ< с || у Н2Н v ||2 . Кроме того, в силу (4) и леммы 2

|| Vр(Хн(v)) ||2< (\\1 + \\ен И^) < ||vЦ2.

Следовательно,

[дAvу, у] > с || у ||2 (1 - с (|| v || + || v ||^) .

Выбирая г0 > 0 так, чтобы (1 - с(|| v || + || v ||2) > 0 при || v ||< г0, получим левое неравенство (16). Правое же неравенство обосновывается аналогично, с использованием правого неравенства (15) и леммы 3. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 5 и

|| I ||в-1 < Иг. (17)

Тогда итерационный процесс (3) сходится при любом начальном приближении у0 е Бг и 0 < т < 2/^2- Наилучшая оценка скорости сходимости достигается при т = т0 =

2/Ы + Ъ):

|| Ук+1 - У ||< Р0 || Ук - У ||,

где р0 = (1 - () / (1 + С) , С = И/И-

Доказательство аналогично [12], [13] и основано на оценке || дБ^ ||.

Замечание 1. Нетрудно видеть, что в случае геометрически линейной модели оболочки, когда компоненты тангенциальной деформации егу(и) полагают равными егу(и),

ограничения (11) (соответственно (17)) на нагрузку f при исследовании сходимости итерационного метода (3) можно снять.

2. Обсудим теперь практические аспекты применения итерационного процесса (3). Опишем сначала в общих чертах способ вычисления gradFk(yk) (см. также [4, 3]). Имеем

[А?у, у] =2 [ {а^е? (у) {е? (у) + •д? (у) V? (у)) + ип

(у) кКы (у)) йх. (18)

Представим правую часть равенства (18) в виде

/ (ЯгПг + 9к,гПк,г) йх, (19)

./п

где дг, дк,г — известные (если известен вектор у) функции. Тогда вычисление компонент вектора gradFh(y) сводится к вычислению на каждом элементе Т С П интегралов вида

/ дгфзйх, / дк,гфв,гйх, ит ит

где ф3, в = 1, 2,... — базисные функции Лагранжа элемента триангуляции Т, и последующему применению хорошо известного в МКЭ алгоритма "сборки" (см., например, [14]). Очевидно, что выражения, не содержащие , имеют нужную форму (19). Для преобразования остальных слагаемых в правой части (18) определим функции € Иг с помощью соотношений

/ ¡кМх = Ъгзк1 (у) пйх Ч'п € Щ. (20)

3 п 3 п

Тогда, используя определение (у), получим

/ Ъгзк1К^ (у) мкл (у) йх = ¡кш? (у) йх =

пп

= -0.5 ¡щуз,к + /к?1,куз,1 ) йх Уу . п

Подчеркнем, что вычисление функций ¡^, (уэ) предполагает решение систем линейных алгебраических уравнений с матрицей масс [14], соответствующей базису пространства Иг.

Следующий этап численной реализации итерационного метода — обращение матрицы В, то есть решение на каждом шаге итераций системы линейных уравнений вида

,к+1

-А?ук+1 = Fгk ,г =1, 2

Вэу3к+1 = F3,

о

где А? — конечноэлементная аппроксимация оператора Лапласа на пространстве Иг-1, а

оо

оператор Вэ :Иг^Иг определяется следующим образом:

2 „

[В3у3,у3] = -°.5 ^ / (« (у3)) ^ у3,г + Ы) г уэ,^ йх

п

г,3=1

для любых уз ЕЩ, Гк = —т gradFh(yk) + Бук. Это означает, что для отыскания приходится решать линейную систему вида

М< + Сгзук+ = 0, г, 3 = 1, 2, 2

£ ¿ГА = Fkk,

%3 = 1

где М — матрица масс, Сгц — матрицы конечноэлементных аппроксимаций дифференциальных операторов второго порядка, определяемые правыми частями соотношений (2). Для решения систем такого вида можно применять методы типа Холесского [15, 16]. Наибольшую трудность при реализации итерационного метода (3) представляет, очевидно, отыскание у3. Заметим, что

о

[Бзуз,уз] = [М-1Сгзуз, Сгуз] Ууз ЕЩ .

Из регулярности триангуляции вытекает, что матрица М-1 энергетически эквивалентна диагональной матрице О с постоянными эквивалентности, не зависящими от к [3]. Отсюда непосредственно вытекает, что с0Б° < Бз < с1Б{°0, где Б° = СТОСц. Теперь ясно, что в итерационном методе (3), не ухудшая оценки скорости сходимости, матрицу Бз можно заменить на Б°. Очевидно, Б0 — симметричная положительно определенная ленточная матрица. Ширина ленты зависит от I и к.

Иногда возможно использование оператора Бз еще более простой конструкции. В частности, на прямоугольной области П при специальной триангуляции можно использовать итерационный метод с матрицей Бз, соответствующей аппроксимации оператора Лапласа

о

на пространстве Н^, то есть определить оператор Б равенством

[Бу,у] = ¿ I \Ууг? ¿х Уу Е Ун. (21)

г=1™

В этом случае скорость сходимости итерационного процесса зависит от к. При исследовании сходимости итерационного процесса используется Лемма 6 [3]. Существуют постоянные 11,12 > 0, такие, что

2

12 0 11 \\у\\щ1 \\™гз {у)\\ь2 < к2 Уу ЕН '

г,з=1

Теорема 3. Итерационный процесс (3) с оператором Б, определенным равенством (21), для нахождения решения с относительной точностью £ требует не более 0(к-21п £-1) итераций.

Доказательство теоремы непосредственно следует из [12] (см. также [13]) и леммы 6. При реализации описанных итерационных методов на каждом шаге приходится решать конечноэлементные уравнения Пуассона. В случае простых областей и специальных триангуляций с этой целью можно использовать экономичные прямые и итерационные методы [13], [17], [18] с числом операций, пропорциональным числу точек сетки.

3. Возможности обсуждаемых в работе итерационных методов иллюстрируются на примере классической задачи [19] о деформации пологой бесконечно длинной цилиндрической

оболочки под действием равномерно распределенного нормального давления. Продольные края оболочки предполагаются жестко защемленными. Задача сводится к решению уравнения

gradФ(y) = 0, (22)

где

Ф(у)

-1

кг К — Уз + 0.5 (у/)2) + (у'зу — 2дуз) <%,

/А 2

к1 = 3к2/4, д = рЯЬ2/О — безразмерный параметр нагрузки, к = 4Ь2/Ш — безразмерный параметр кривизны, Ь — толщина оболочки, Ш — радиус оболочки, 2Ь — ширина оболочки, О — изгибная жесткость, при граничных условиях

Уг ( —1) = у г (1) = 0, г = 1, 3, У/ ( — 1) = У/ (1) = 0.

(23)

Для решения задачи (22) - (23) применялся итерационный процесс (3) при I = 2 (I определяет пространство конечных элементов У^,) Отрезок [—1, 1] разбивался на элементы равной длины. Оператор Б определялся соотношением

[Бу,у]

-1

(уу')2 + ю2 (уз) <х У у Е у

Для расширения диапазона нагрузок, при которых обеспечивается сходимость итераций, применялся хорошо известный в теории нелинейных оболочек метод продолжения по параметру нагрузки (см., например, [20, 21]). Использовался простейший вариант этого метода. Сначала задача решалась при некотором малом д = д0. Затем нагрузка увеличивалась по закону д = дц = д0 ГГ, г > 1,3 = 1, 2 ..., ив качестве начального приближения принималось решение, полученное при д = дц-1. Оптимальные значения итерационных параметров т°, т3°, используемые для решения задачи при д = д0, выбирались экспериментально (они зависят от к). В дальнейшем параметры т\, т3 уменьшались по закону тЦ = т0, г = 1, 3, Гг > 1 при 1 < 3 < 30. Количество итераций, необходимых для достижения требуемой точности, при этом оказывается практически не зависящим от числа элементов.

Ч

20 -

¿ = 11.5 и

/ / / /

/ ^ / /

У

/

/

/

/

Ю

0.20

0.40

0.60

1.00

1

2

1

Рис. 1.

q

¿ = 15 7

>

?

/У

/ /

/ —

1

О 0.20 0,40 0,60 0,80 1.00

Рис. 2.

Результаты расчетов при к = 11.5, 15, ^о = 1 (начальная нагрузка), г = 1.2, г\ = 1.2, г3 = 1.5, ^'о = 5, 5 = 10-4, т° = 1, Тд = 0.8, п =15 (количество элементов) приведены на рис. 1, 2. Сплошные кривые описывают точные зависимости [19] максимального безразмерного прогиба от безразмерного параметра нагрузки. Штриховые кривые построены по результатам расчетов. Видно, что при превышении критического значения нагрузки (при к = 15 оно соответствует хлопку оболочки) происходит резкое возрастание расчетного прогиба. При этом точность расчетов в закритической области несколько снижается. Таким образом, предлагаемый итерационный метод позволяет удовлетворительно описывать прогибы оболочки в областях их однозначной зависимости от параметра нагрузки.

Список литературы

[1] СьяРЛЕ Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Мир, М., 1980.

[2] Дьяконов Е. Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. Наука, М., 1989.

[3] АстРАХАНЦЕВ Г. П. О смешанном методе конечных элементов в задачах теории оболочек. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 29, №10, 1989, 1492-1504.

[4] КАРЧЕВСКИЙ М. М. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории пластин. Изв. вузов. Математика, №7, 1992, 18-23.

[5] КАРЧЕВСКИЙ М. М., Заботина Л. Ш. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Казан. ун-т., Казань, Деп. в ВИНИТИ 07.04.93, №877-В93, 1993, 22 с.

[6] Karchevsky M. M., Zabotina L. Sh. On some class of mixed finite element schemes for nonlinear shell theory problems. Матем. заметки ЯГУ, 2. Вып. 2, 1995, 121-139.

[7] ЗАБОТИНА Л. Ш. Оценки точности смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Казан. ун-т., Казань, Деп. в ВИНИТИ 14.04.95, №1041-В95, 1995, 18 с.

[8] ЗАБОТИНА Л. Ш. О сходимости смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Ред. журн. Изв. вузов. Матем., Казань, Деп. в ВИНИТИ 12.07.95 №2142-В95, 1995, 23 с.

[9] ЗАБОТИНА Л.Ш., КАРЧЕВСКИй М. М. О смешанных схемах конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Изв. вузов. Матем. №1, 1996, 45-52.

[10] БЕРДИЧЕВСКИй В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. Наука, М., 1989.

[11] ЛАДЫЖЕНСКАЯ О. А., УРАЛЬЦЕВА Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973.

[12] КАРЧЕВСКИй М.М., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики. КГУ, Казань, 1976.

[13] САМАРСКИЙ А. А., Николаев е. С. Методы решения сеточных уравнений. Наука, М., 1978.

[14] СТРЕНГ Г., ФИКС Дж. Теория метода конечных элементов. Мир, М., 1977.

[15] МАСЛОВСКАЯ Л. В. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 29, №1, 1989, 67-74.

[16] ИКРАМОВ Х. Д. Несколько замечаний по поводу обобщенного алгоритма Холесского. Там же, 32, №7, 1992, 1126-1130.

[17] КОРНЕЕВ В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. ЛГУ, Л., 1977.

[18] СОЛОВЬЕВ С. И. Быстрые прямые методы решения сеточных схем МКЭ с бикубиче-сими элементами для уравнения Пуассона. В "Иссл. по прикл. математике". Вып. 17, КГУ, Казань, 1990, 120-129.

[19] Корнишин М. С., Муштари Х. М. Устойчивость бесконечно длинной пологой цилиндрической панели под действием нормального равномерного давления. Изв. Казанского филиала АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук, Вып. 7, 1955, 36-50.

[20] КОРНИШИН М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. Наука, М., 1964.

[21] Корнишин М. С., ИСАНБАЕВА Ф. С. Гибкие пластины и панели. Наука, М., 1968.

Поступила в редакцию 14 января 1998 г.