Об оценках числа крайних точек множества решений задачи приближения многозначного отображения полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.82

И. Ю. Выгодчикова

ОБ ОЦЕНКАХ ЧИСЛА КРАЙНИХ ТОЧЕК МНОЖЕСТВА

РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОЛИНОМОМ*

1. Рассматривается задача [ 1 ]:

р(л V. так {(А,к)-V т€

РХ ' 4 е [о: .V] ' А, (1)

где 7 = {/о <1\ <...<ГУ}, р„{А,г) = аС1+а]1+... + ап1п, А = (а0,аи...,а„), Г{л,и)^тик\у2 л - р„(л,1к),рп{л,1к)~ у[Л\, Обозначим через р* := зпГ р(/4). 9?:= У€Й"+!:р(^) = р* ,

АеЯ"*'

У 2,к ~>\к .. I, г.. ,.п Угк~У\,к т = тах —........, М := <к е 0: N : ——-— = т\-

А е [ 0; Л ] 2 1 ^ ]

Считаем, что N > п. В таком случае 9? - выпуклый многогранник, натянутый на свои крайние точки [1 -4]. Будем считать также, что решение задачи (1) не единственно. Тогда имеем р = т [ 1].

Требуется оценить число крайних точек множества 9?.

2. Приведём вспомогательные факты [3].

Выборкой назовем упорядоченное подмножество из (п +1) узлов сетки Т вида Д = < <... <*9п }с:7*, и пусть /(Д):= {дк, к е [0: и]}.

Обозначим через М число элементов множества М.

ТЕОРЕМА 1. Пусть | 5Я | >1. Вектор А е К"'1 является крайней точкой множества 5Я тогда и только тогда, когда существуют выборка Л с: Г: М с /(Д) и числа е 0:1, к е [0: п], qk <£ М . такие, что выполняются равенства

\р»{А>*Як)" У\,Чк)+ Чк -рп{А,ГЯк))=т,Чк&[0-.п\; (2)

и

р (А)=т. (3)

Замечание 1. Если выполняется равенство (3), то левая часть равенства (2) совпадает с /\А^к).

Замечание 2. Если дке М, то левая часть равенства (3) не зависит

от Ък-

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ - 1295.2003.1).

Следствие 1. Пусть I91 >1. При /V = п множество крайних точек множества решений задачи (1) представляет собой совокупность решений систем (2) при всех наборах параметров е 0 :1, к е [0: п], г М . Таких

решении 2

3. Пусть далееN>>7+1.Обозначим /,(Л,:=(-!)'(у,-4-р„(Аак)), ы,2-

ТЕОРЕМА 2. Пусть | Я | >1. Тогда существует А е 9? такое, что

/(ЛД) = т \/кеМ и /(А,к)<т V к е [0: М . (4)

Доказательство. Обозначим множество крайних точек множества 91 через Е( 5Я) и возьмём А е

91\£:(Ш). Пусть /{Л,к)= т, V Л е М и . Поскольку Л 91), то ввиду теоремы 1 имеем ^:=,А/иН <« + 1. Так как то /(Д/1с)<от, Возьмём Ё с: [о: Лф{м и н},

|3 = п +1 - д. Пусть Ае - решение следующей системы:

Где \ ОДеЛ/иН

кеМ^ЁиЕ, [(-1)\ ЛЙД)>/3_Д*)ДеЗ'

По непрерывности при малом е>0 вектор будет удовлетворять условию (4). Теорема доказана.

ЛЕММА 1. Пусть -оо<.х, <...<хп <ос, Ае Е(9?). Тогда )П|<2, где П := {А е £(*): рп(А,хк) = Рп{а,хк), V * б [1: п\}.

Доказательство. Пусть в множестве П присутствуют 3 элемента. Тогда значение одного из полиномов в любой точке х Ф хк,к е [1 : и] лежит между двумя другими. А поскольку значения этих полиномов совпадают в п различных точках хк, то один из них является выпуклой комбинацией двух других, то есть не может быть крайней точкой. Лемма доказана.

Поскольку 9! является выпуклым многогранником, то имеет не менее двух крайних точек. Применяя лемму 1, получаем следующий факт.

ТЕОРЕМА 3. Пусть А' > п, 19?! >1 и \М | = п . Тогда \Е{91 )| =2.

Обозначим символами 90 :=п + 2-\М\, 0, :=2',+ ! м* • С^',,

гу п +1 - \М\ А

г .Ясно, что 0, =— 1

N + 1 - п

ТЕОРЕМА 4. Пусть /V > п , |9{[>1. Тогда 90 < Е( 9? )| < в2 . Доказательство. 1. Поскольку задача (1) имеет не единственное решение, то \М\ < п [3]. Ввиду теоремы 3 можно считать \М\ < п . Ясно, что /(АЛ) = т, УкеМ, УАе 9?. 2. Построим попарно различные крайние точки Ак еЕ(9? ), к е [1: В0]. Возьмём произвольно А1 е £(91).

По теореме 1 существует, по крайней мере, 0О -1 индексов: М |мл <... < н'ео je [0: TV] \ М таких, что /(-41 ,к)= т, V к еМ.

Возьмём вектор А е SR, удовлетворяющий условию (4), положим j := 1 и переходим к л. 3 доказательства.

3. Положим ß?=l, Z)?MuM\}n'J, А:-А. Для достаточно малого е>0 условию (4) будет удовлетворять решение Аъ следующей системы;

Гп(А>'к)= Рп{Ьк\ VkeD, где ^ [-1 ,рп{А^)<р,илУ

причём p\Az,tvtj )* рДл'.Ц ).

4. По непрерывности найдётся е > 0 такое, что и f(Ae,sk)=m V/te[l:r], где г>1. Если ¡Л/! + г > п +1, то по теореме 1 вектор AJ+I := Ае будет крайней

точкой множества Я . Если при этом j = 90 -1, то переходим к п. 6; если же j < 90 - 1, то полагаем j := j +1 и возвращаемся к п. 3.

Если .Щ+г <п + 1, то берём / := max{l, 3 - j] и переходим к п. 5.

5. Обозначим .S^ji] <...<.v(I r : t^ >tN, &e[l :n-r—\4\j (если \М\ + r — rt, то 5 = 0), А := Ae.

Пусть ß := — 1, /:=/, A:=A. Снова берём достаточно

малое е > 0 и решаем относительно Аг систему (5). Тогда Ае е ЭТ , причём

рМ^*,)* Р№ )• ММ.

/(Ае,к)=тУ k&M^S и f(Ae,k)< т, V к е [О: ЛГ]\{tfuS} .

Продолжаем увеличивать е > 0, пока не получим АЕ е 9? такое, что f(Ae,sk) = m, У£е5,где 5 := {l,,...,s>} с [ö: Лг]\Л/, r> 1. Пусть далее S и S, г := г + г .

Если Mj + r>« + l, то по теореме 1 вектор А^ будет крайней точкой множества решений задачи (1). Полагаем А'+] := AF. Если j = 0О - 1, то переходим к п. 6, если j < 90 -1, то полагаем j j + 1 и переходим к п. 3. Если М, + г < п +1, то берём i := max{; +1 ,j +1} и переходим к п. 5.

6. Таким образом будет построено 80 попарно различных крайних 1 1 й

точек А ,А ,...,А 0 . Оценка 80 <| )| получена. Переходим к п. 7.

7. Покажем, что [¿T^IR )j < в2 - Все крайние точки множества решений задачи (1) можно отыскать, решая систему (2) для различных выборок из

27

(п + l) узлов сетки Т, перебирая на каждой выборке двоичные наборы параметров к е[0:и], qk <£ М, и проверяя каждый раз равенство (3). Таких решений системы (2) конечное число, следовательно, множество 9? имеет конечное число крайних точек: ¡ £(5R )j<9]. По лемме 1 для каждого

фиксированного набора из п узлов сетки Г (их С" 7 ) существует не более двух крайних точек. Учитывая теперь, что каждая точка подсчитана и+1-Л/ раз, получаем нужную оценку. Теорема доказана.

Пример. Пусть п = 2, N = 3, Т = {0<1<2<3}, \М\ = 1. В таком случае 0О = 3,02 = 6. Если Ф(о)=[-1;1], ф(1)=[-1;0], Ф(2)= Ф(з)= [0;1 ], то число крайних точек множества решений задачи (1) есть 3 и достигается оценка 0О. Если же Ф(0) = [ -1; 1 ], Ф(1) = Ф(2) = Ф(3) = {О}, то число крайних точек равно 6 и достигается оценка 02.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении дискретного мультио тобра-жения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 25 - 27.

2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

3. Выгодчикова И.Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2003. Вып. 5. С. 15-18.

4. Выгодчикова И. Ю. Процедура решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 12-й Сарат. зимней мат. гак. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 48 50.

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

УСЛОВИЕ МЕТРИЗУЕМОСТИ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ В НЕГОЛОНОМНОМ МНОГООБРАЗИИ X¡

Проблема метризуемости аффинной связности V, заданной на гладком многообразии Хп, была обозначена в работе [1]. Эта проблема сводится к интегрируемости системы дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Условия метризуемости аффинной связности, заданной на двумерном многообразии, получены в [2]. Как показано в [3], задача о метризуемости аффинной связности в неголономном многообразии [4] является весьма актуальной с точки зрения применения дифференциальной геометрии к изучению движения точки переменной массы. В настоящей