Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Если для /еЬ(Я^) существует <ре/.(К + ), такая что !ип II/* Л„ — ср И - ч = 0, то ф =/)(/) назовем модифицированной силь-

п+ ОО /

ной мультипликативной производной (МСМП) для /, где

А» — >•* |x[o,mt)(*H2 - последовательность ядер.

( > J _ V /„\_-2

ТЕОРЕМА 3. Если у / е L(R +) существует МСМПср е ¿(R+), то ф(о)= 0 и ф(*) = f(x)/h(x) при jc > 0, где h(x) определена в теореме 2.

СЛЕДСТВИЕ 3. Если для / е /„(R + ) существует МСМП D(j) и при этом /(0)= 0, то для ¿)(/) существует МСМИ, причём J(d(/))= / .

ТЕОРЕМА 4. Если для / существует МСМИ ./(/) и при

этом /(О) = 0, то для j(f) существует МСМП, причём

СЛЕДСТВИЕ 4. Каждая из функций ак „, где к е N, пе Z+, является собственной функцией оператора D , причём 1)[ак „)= mr ак п, где г определяется вложением 1к с[/лг,отг+1) по лемме 4.

СЛЕДСТВИЕ 5. Оператор D неограничен на своей области определения

При рк = 2 результаты работы получены Б. И. Голубовым [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Голубое Б.И., Ефимов А В., Скворцов В А Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

2. Schipp /•' , Wade W.R , Simon Г. Walsh series Budapest.: Akademiai Kiado, 1990.

3 Голубое Б.И. О взаимной обратимости сильного двоичного интеграла и производной // Современные проблемы теории функций и её приложения. Саратов Гос. УНЦ, «Колледж», 2002. С. 51 - 52

УДК 517.518.82

И. Ю. Выгодчикова

ОБ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИСКРЕТНОГО МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

1. Постановка задачи. Пусть 0 < /0 < Г, <... < < 1, Ф() - дискретное многозначное отображение с образами в виде отрезков Ф('*)=1да причём Уг.к*У1,к, *е[0:Л'];

рп(Л,г) = а0 +а{1 +... + ап1п - алгебраический полином степени не выше п

с вектором коэффициентов А =(а0,я,,...,ап)е Дл+1. Рассмотрим задачу <Ц

р(л) = тах /[А,к)--> шш , С1)

где /{А,к)=тах{у11с-р„(А,1к),рп(А,1к)-у1к }. Доказано, что решение задачи (1) существует. Обозначим через р* = шш р(л)>

И = р(л)=Р*| Заметим, что

\/АеЯп+1: р(А)>р'> тах (2)

*е[о.Л'] 2

• У") /с ~~ к Нетрудно видеть, что при N < п р = шах ——-— и

^[О:*] 2

ЭТ = |А(л)еКп+1:ктаХ)^ик|<1, где Л =(Л0 .А,

МО:"]

1 V 2 у

2. Вспомогательные факты.

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы /4*е/?"+1 являлся решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

(а) существует точка * е[0:/V ], в которой имеет место равенство:

Уг.* -А.(Л*Л)= А.ЙЛЬД^РМ, (3)

(б) существуют (п + 2 ) точки 0 < 1ко < ^ <... < ^ £ 1, е [0 : N ], /е[0: л + 1 ], и числа е{0 ,1}, /е[0 : п + 1 ], такие, что выполняются соотношения:

гЦд*, -/ФЧЖО-илА-Рп(л\1к,))=

= (-1^р(/Г), /б[0:л + 1]; = 1 - , 1б[0: л ].

При этом р*=р(/Г).

ТЕОРЕМА 2. Пусть А - некоторое решение задачи (1). Для того чтобы оно было единственным, достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

(а) р'> тах ; (5)

к е [ 0. л' ] 2

(б) существуют (л + 1) точки 0 < 1ко <1к| <...<1к^ < 1, Аг,-е[0:Л/], /е[0 ; п ], в которых выполняется равенство

р =У2'к<~У1к< , ¡е[0:п] (6)

Теоремы 1 и 2 приводится в работе [2] Докажем следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3. Если //>«, то существует Л*е91 и точки [1к }с [0; 1 ], /с, е [о: Л' ], ;е[0: и ], для которых выполняется условие

/(А\к,)=р, ,-е[0:«]. (?)

Доказательство. Возьмём произвольно Л^еИ. Обозначим через г(Л)={*е[0:ЛГ]: /(4>.*) = Р*(- Ясно, что /{А0,к)<р\ ке[0-^]\г{А<)).

Пусть - число элементов множества '¿{А>) Если

17. (Ау) | > п +1, то (7) выполняется.

Рассмотрим случай, когда \2(А0)\< п +1 Выберем множество индексов ¿;(4))с[0:Аг] так, что ¿(А0)г>г(А0) = 0 и ¡2 (/!„ )| +(/^ )| = п + 1. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно Л(е), г > О:

(Л(\ , у/ . ч

Обозначим е1 = шт{е > 0: 3 к (е)е [0: N ]\г(Ло), /(л(е),*(е))=р*, /(А(е),к )< р*Де[0: N ]}. Положим Ах=А(гх), Тогда по построению А1е(,Я и |7(/4[)( >17(^)1 + 1 Если 12{АХ)\< п +1, то к А1 применим те же рассуждения, что и к Ао- Тогда через число шагов не более чем п +1 -\2(Ац)| мы получим вектор коэффициентов А' ея, для которого выполняется (7). Теорема доказана.

3. Алгоритм решения для случая N = п + 1. Пусть функции Фо( ) и ф1 (•) принимают значения:

, \ [ - четно, \у2к, к -нечётно,

А-нечётно, у1к,к-чётно.

Тогда (4) эквивалентно условию:

cpI(it)-pn(^Vj=(-irip(^), *е[0:/» + 1]. Для функций ф0 (•) и ф, (•), заданных дискретно, положим

df _

р,{А)= шах |ф,(tk)~ рп(А>'к)\, '=0.1.

0: п+1 ]

и рассмотрим соответствующие задачи П Л. Чебышева [1, гл.1]

РМ)-* nun , / = 0,1 (8)

Алгоритм решения задачи (1) состоит в последовательности шагов

Шаг 1. Применяем для ф0() чебышевскую интерполяцию [1, гл. 1,

§2] в узлах tk, £е[0:я + 1 ], то есть находим решение А^ задачи (8) при

/ = 0: р0(Д))= nun р0(/}). Если р0(л) = max f[A^,k), то, в силу AeR"*1 Ae[0:n+I J

теоремы 1 и теоремы 2.1 из [1, с. 14], будет искомым, причём единственным, решением задачи (1). Иначе переходим к шагу 2

Шаг 2. Решаем задачу (8) для / = 1 Пусть р,(/1,) = min Если

А бЯ"+|

p1(/J,)= шах f(Altk), то А1 будет искомым, причём единственным,

*е(0:л+1]

решением задачи (1). Иначе переходим к шагу 3.

Шаг 3. Итак, ни одна из задач П Л. Чебышева (8) не даёт решения задачи (1). Следовательно, условие (б) теоремы 1 не выполняется, а значит,

имеет место (а) и р* = max . Обозначим через

*е[0:л-И] 2

Z = | Лее [О : N ]: Уг'к ^ "V''* = р* j. Если \Z\> я + 1, то имеет место (6),

следовательно, по теореме 2, решение единственно и находится из системы (я +1) линейных уравнений

(а* , \ Уук+Уг.к . л Рп\А ,'к )=-~——.

где Z cz,jzj = п + 1.

Если | Z | < я + 1, переходим к шагу 4,

Шаг 4. Пусть к0 е[0: я + 1 ]\Z . Возьмём произвольно ще{0,1}, А е [ 0 : я + 1 ], к * к0 и решим относительно А систему

I А . \ А* + У*.* 1 7 /глч

Pn(A,tk )= • , keZ, (9)

А(М)=-р*)+ 0--Р*)*6[°:п + к *ко- ПО)

Нетрудно увидеть, в силу теоремы 3, что найдётся е[0: л +1 и набор параметров ц*е{0,]}, Ае[0:и + 1], к*к0, при которых решение А* системы (9) - (10) будет одновременно решением задачи (1), то есть А' б Критерием распознавания решения служит условие /[а*, к0)<р' Таким образом, для нахождения А* требуется решить не более чем (и + 2 -12 |)- 2л+1 1/1 систем линейных уравнений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Демьянов В Ф , Мапоземов В.Н Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

2 Выгодчикова И.Ю О наилучшем приближении дискретного мультиотобра-жения алгебраическим полиномом // Математика Механика: Сб науч тр Саратов:

Изд-во Сарат. ун-та, 2001 Вып. 3 С. 25-27

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

НЕГОЛОНОМНЫЕ ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С ПРИСОЕДИНЕННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ

1. Пусть (Х",со) - неголономнос почти симплектическое многообразие с интегрируемым оснащением Х"„'т [1]. Обобщая голономный случай [2], рассмотрим допустимую связность на X™ [1] V такую, что

Уш = цОсо, (1)

где цеЛ, /*»(ЙЯЙ0 = £Ло(ЯЙ,Яу,ЯЙ0, Я :Т{Х„)X™ - проектор вдоль оснащения Х"п'т. Связность V назовем присоединенной связностью. Расписывая уравнение (1) в специальных координатах [1] и циклируя его, получаем, что в случае, когда ¿)со*0, присоединенная

связность может быть симметричной только при ц = у. Если при этом

/)со = 0, то присоединенная симметричная связность оказывается почти симплектической симметричной связностью [1].

В настоящей статье рассматривается (Х™,со) с присоединенной

связностью V в случае ц = ^. В специальных координатах, таким образом,

мы имеем