Об оценивании волнового поля, рассеянного мягкой сферой Текст научной статьи по специальности «Физика»

радюф1зика

радиофизика кабюриубтсз

УДК 537.874.6

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко

ОБ ОЦЕНИВАНИИ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ, РАССЕЯННОГО МЯГКОЙ

СФЕРОЙ

На примере коротковолнового рассеяния плоской волны мягкой сферой установлена возможность использования для решения трехмерных задач нового подхода, апробированного ранее на двумерных объектах в случае их возбуждения электромагнитной волной. Теория основывается на свойстве локальности высокочастотного рассеяния, принимает во внимание кривизну граничной поверхности и не предполагает обращения в нуль полей на затененной ее части. Метод более точен, чем приближение физической оптики, однако сохраняет сравнимую с ним простоту.

ВВЕДЕНИЕ

В процессе решения задач рассеяния коротких электромагнитных или акустических волн простым и удобным инструментом является метод физической оптики (приближение Киргофа) [1]. Для оценки значений поля на освещенной части рассеивателя он использует замену его граничной поверхности бесконечной плоскостью касательной к поверхности в рассматриваемой точке. На затененной части поверхности поле предполагается равным нулю. Поле вне рассеивателя определяется затем с помощью определенного вида поверхностного интеграла. Такой подход является весьма эффективным, так как не требует матричного решения. Однако применим он только для больших гладких объектов. К тому же оценка рассеянного поля ухудшается с увеличением отклонения рассматриваемого направления от зеркального. Более точными (и значительно более сложными) высокочастотными методами, которые могут быть использованы для нахождения рассеянных полей, являются геометрическая [2] и физическая [3] теории дифракции.

В недавних работах [4, 5] был предложен новый подход к оценке поля рассеянного выпуклыми двумерными объектами, который, сохраняя простоту метода физической оптики, позволяет заметно улучшить оценки для незеркальных направлений и дает приемлемую точность и в среднечастотном диапазоне. Подобно методу физической оптики он основывается на свойстве локальности коротковолнового рассеяния, однако принимает во внимание кривизну поверхности и не предполагает обращения в нуль поля на теневой части рассеивателя. В настоящей работе исследуется возможность использования развитого подхода при решении трехмерных задач. Рассмотрено рассеяние плоской волны простейшим выпуклым объектом - мягкой сферой. В последующем развиваемый подход предполагается распространить на выпуклые препятствия общего вида, включая случай электромагнитного рассеяния.

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Рассмотрим стационарное звуковое поле, которое устанавливается в среде, характеризуемой плотностью р и скоростью звука с, при наличии в ней мягкой сферы, показанной на рис. 1. Звуковое поле будем характеризовать давлением р и круговой частотой колебаний <в. Пусть р(х, у, г, £) = р(х, у, г)е и ось г направлена навстречу падающей плоской волне

1кг

Тогда давление

Рг = е

Р = Рг + Рз

(1)

(2)

© Крапивной А. В., Чумаченко В. П., 2006

РАДЮФ13ИКА

Рисунок 1 - Геометрия задачи

Приблизим сначала рассеивающую поверхность в окрестности точки Р поверхностью кругового цилиндра, который перпендикулярен плоскости падения волны и ось которого проходит через центр сферы. Кривизна поверхности в направлении перпендикулярном плоскости падения при этом очевидно не учитывается. Повторив выкладки, проделанные в [4] в случае цилиндрического

в (6) мо-

рассеивателя, мы убедимся, что величина

дп

жет быть приближенно представлена выражением

др дп

= pi(P)[ik cos у - X'(R)],

X'(R) = k

' ц нЦ2+ i ( kR) kR нЦ2)(kR) .

Здесь H^2)(kR) - функция Ганкеля и

(7)

где у - угол падения в точке P, а X ' (R) имеет вид

(8)

удовлетворяет уравнению Гельмгольца

ц = kR sin y.

(9)

* i í.2 п и ю 2п Ар + k р = 0, k = — = — c к

и граничному условию

р(P) = 0, P е S,

(3)

(4)

где S - поверхность рассеивателя.

Рассеянное поле ps на бесконечности удовлетворяет условию излучения. Вне S оно может быть представлено интегралом

Попытаемся теперь учесть кривизну поверхности и в направлении перпендикулярном плоскости падения. С этой целью в окрестности точки Р введем локальные сферические координаты (г, 9, ф) с началом отсчета в центре сферы и полярной осью вдоль оси упомянутого выше цилиндра. При этом точке Р отвечает

значение 9, равное 2 и ф = 0 - 0р при 9 = п. Разделяя

переменные в уравнении Гельмгольца [6], мы получим

ps = X (r) Т(9)Ф(ф),

(10)

р.( *)=-¡ул?

-ikrp

-dS =

' PM

ikZ

-ikrP

orr e v„—

г Я>

- dS,

PM

(5)

Tr( r2 dX + (k2r2 - X) X = 0,

1 d ( . nd т-тг-тхI sin9 in 9 d9V

dT\( m2

d9) + lX —29

1 sin 9

T = 0,

(11)

(12)

где

1 dp

ikZ0дп

= _i_r d^i + dps] P kZ„L дп дп\

(6)

- скорость колебания частиц среды в направлении нормали к поверхности (направление п показано на рис. 1), а = с р - волновое сопротивление среды.

Пусть (г, 0, ф) - сферическая система координат с началом в центре шара и полярной осью вдоль Ог. Испробуем два способа определения приближенных значений р5 у поверхности шара.

2

d2Ф , 2, „ -+ m Ф = 0.

тф2

(13)

Будем считать далее, что в малой окрестности точки P, как и в случае плоской поверхности, функциональные зависимости падающей и отраженной волн совпадают вдоль поверхности с точностью до постоянного множителя. Это дает T = C = const и m2 = % sin 9.

Отсюда m = V%

и

Ф = e

i-УХф

P

P

S

S

п

P

при 9 = Чтобы сравнить зависимости от ф, исполь-

ikR cos е ikR cos (ф + вр)

зуем в выражении pi = e = e разло-

жение косинуса в ряд Маклорена по степеням ф:

ikR (cos вр - sin врф + ...) ikR( cos у - sin уф)

Pi = e «e . (15)

Сравнивая (14) и (15), мы получим, что эти зависимости совпадут до постоянного множителя, если

X = k2 R2sin2y.

(16)

Удовлетворяя условиям на бесконечности, выберем

(2) (2)

решение уравнения (11) в виде Х(г) = Н^ (кг)/Н^ (кЕ), где Н[|2)(кг) - сферическая функция Бесселя, а

ц = J% + 0, 25 - 0, 5.

(17)

Подставив найденное значение рз в (4), мы определим, что С = -Рг( Р). Таким образом отраженное поле в окрестности точки Р может быть приближенно представлено как

(D) ( kr) -гЯФ

Ps = -Pi( P ) -e

kR)

(18)

X' (R) = k

_tL

kR

h ft 1 ( kR) h^2)(kR).

(19)

Знание нормальной производной давления на поверхности сферы позволяет с помощью формул (5) и (6) определить полностью все характеристики рассеянного поля.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На рис. 2 значения vn, рассчитанные описанными выше способами, сравниваются с соответствующими значениями, полученными методом физической оптики, и точными значениями. Под точным решением мы подразумеваем решение, полученное в виде ряда методом разделения переменных [7]. Как видно, приближенные результаты, полученные с помощью развитого подхода, являются значительно более точными, чем приближение физической оптики. При этом расчетные данные для arg (vn) в теневой области являются правильными вплоть до углов, где |vn| становится весьма малым.

Определим бистатический поперечник рассеяния как

ст = lim 4 nr ,

Г ^ <» Qi

(20)

с учетом выражения (18) снова при-

Нахождение др дп

водит нас к формуле (7), где X ' (Е) имеет вид

где Qг = 2^-е(Рг V) - интенсивность падающей волны, 1 *

Qs = 2Ке(Рз ) - интенсивность рассеянной волны, а Уг

Рисунок 2 - Скорость колебания частиц среды в радиальном направлении на поверхности сферы:

сплошная линия - точно, пунктир - метод физической оптики, кружки - формула (8), крестики - формула (19)

РАД1ОФ1ЗИКА

Рисунок 3 - Угловая зависимость рассеянного поля в дальней зоне: сплошная линия - точно, пунктир - метод физической оптики, кружки - формула (8), крестики - формула (19)

и Уз - соответствующие скорости. Нахождение предела (20) и последующее интегрирование в (5) по ф приводят к следующему выражению для поперечника

ö(6m ) =

= tÍR

[dp ikRcos eM cos e

Jdw 0( kRsin eM sin e) e sin ede

.(2l)

На рис. 3 представлены результаты расчета значений поля в дальней зоне. Видно, что для направлений, отличных от зеркального, данные, полученные с помощью нашего метода, являются значительно более точными, чем в случае, когда j-П в формуле (21) находится методом физической оптики. Из рисунков 2 и 3 также следует, что два рассмотренных варианта, ведущие, соответственно, к формулам (8) и (19), являются для рассматриваемого рассеивателя приблизительно равноценными. Использование формулы (19) вместо (8) лишь незначительно улучшает точность расчета дальнего поля в направлении распространения падающей плоской волны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На примере мягкой сферы установлена возможность использования в случае трехмерных выпуклых препятствий высокочастотного метода, развитого ранее для оценки полей, рассеянных проводящими или импедан-сными цилиндрами при возбуждении их плоской электромагнитной волной. Установлено, что, как и в случае двумерных объектов, предлагаемый подход является более точным, чем метод физической оптики, и обладает приблизительно той же эффективностью. Он позволяет улучшить оценки характеристик поля на поверхности препятствия и заметно повысить точность

расчета поля, рассеянного в незеркальных направлениях.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Knott E. F., ShaefferJ. F., Tuley M. T. Radar cross section. - Norwood, MA: Artech House, 1993. - 611 p.

2. Keller J. B. Diffraction by a convex cylinder // IEEE Trans. Antennas Propagat. - Vol. AP-4. - July 1956. - P. 312321.

3. Уфимцев П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. - М.: Советское радио, 1962. - 244 с.

4. Chumachenko V. P. On the estimation of scattering from convex conducting cylinders // Microwave and Optical Technology Letters. - Vol. 45. - May 2005. - P. 191194.

5. Krapyvny A. V., Chumachenko V. P. On the estimation of scattering from convex impedance cylinders // Proceedings of 2006 Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkiv, Ukraine. - June 26-29, 2006. -P. 248-250.

6. Пошляков H. С., Глинер Э. Б., Смирнов M. М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.

7. Лепендин Л. Ф. Акустика. - М.: Высшая школа, 1978. -448 с.

Надшшла 5.06.06

На npuKAadi короткохвильового розствання плоскоi хви-л1 м'якою сферою встановлена можливiсть використання при розв'язувант тривимiрних задач нового тдходу апро-бованого ратше на двовимiрних об'ектах у випадку ix збудження електромагттною хвилею. Tеорiя Грунтуеть-ся на властивостi локальностi високочастотного розсiю-вання, приймае до уваги кривину гранично'i поверхт i не передбачае перетворення в нуль nолiв на тiньовiй ii частит. Метод е бiльш точним, чим наближення фiзичноi оптики, але збериае nорiвнянну з ним простоту.

The problem of plane-wave scattering off a soft sphere is studied by using a new method, which was recently introduced to approximately solve two-dimensional problems for conducting and impedance cylinders. The investigation has shown applicability of the technique to three-dimensional scatterers. The theory is based on the locality property of short-wave scattering and considers the curvature of the target and the shadow-side fields. The approach is more accurate than the physical optics approximation and keeps the simplicity comparable with that.

2

0