CC BY
7
ОБ ОСНАЩЕНИЯХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
А.В. С т о л я р о в
(Чувашский государственный пединститут)
Задача внутреннего инвариантного оснащения (в смысле А.П.Нордена [1], Э.Картана [2], Э.Бортолотти [3] и т.д.) подмногообразий являлась одной из проблем дифференциальной геометрии. Усилиями ряда геометров (Г.Ф.Лаптев, Н.М.Остиану, М.А.Акивис, В.И.Близникас, Ю.Г.Лумисте, П.И.Швейкин, К.И. Гринцевичюс и т.д.) удалось решить ряд трудных вопросов в этом направлении.
Известно [4], [5], [6], что оснащение в смысле Э.Картана неголономных подмногообразий, погруженных в п-мерное пространство проективной связности Рии, играет существенную роль при изучении проективных и нормальных связ-ностей, индуцируемых на этих подмногообразиях.
В предлагаемой работе рассматриваются три инвариантным образом определяемые оснащения в смысле Э.Картана распределения гиперплоскостных элементов ^, погруженного в пространство проективной связности Рп,п . В случае взаимной нормализации подмногообразия находится инвариантная связь между ними.
В работе индексы принимают следующие значения:
I, К, Ь = 0, п; I, К, Ь, Р, б -1, п; I, ], к, s, г =1, п -1.
Рассмотрим п-мерное пространство проективной связности Рпп , определенное Э.Картаном [7] с помощью (п + 1)2 форм Пфаффа, подчиненных структурным уравнениям
ВФК = ЛФК +1 К^Р А ф ф = 0. (1)
В уравнениях (1) функции ЯКРд кососимметричны по Р, б и их совокупность
образует тензор кривизны-кручения пространства Рп,п ; в случае ККрд = 0 пространство Рп,п представляет собой п-мерное проективное пространство Рп .
Известно [4], [8], что в репере нулевого порядка {А0, А} дифференциальные уравнения распределения гиперплоскостных элементов ^ с Рпп имеют вид:
„п _ \п К
(Ог =А1рЮо . (2)
Совокупность функций {Л"у} образует тензор первого порядка (необязательно симметричный):
^ ^Ч] +Л уф0 =Л ]КФ0
ул; + л>0 -Л-фК . (3)
Ниже рассматривается класс регулярных распределений Шс Рп;, т.е. Симметрический тензор первого порядка {а, } , где
ЛП
* 0.
п '
1
п /Л" , Л п \ Т"7 п . п „ 0 п „Л
а, = +лД Уа; + а,"Со = а,,лСо,
вообще говоря, невырожден; это позволяет ввести в рассмотрение обращенный симметричный тензор а п.
„;к „п х~7 „ у „ 0 _ ;я _ ¡1 _п „Л
ап = ^ > Уа" - ОпС0 = - ап ап . (4)
Заметим, что
л» = ап + щ , щ = !(Л",-Л:я).
Во второй дифференциальной окрестности введем охват
Ь = аУкОПк, УЪ, + ЬсО + (п + 1)(сг0 - ""а" ) = ЪС • (5)
В третьей дифференциальной окрестности возьмем функцию
1 ( 1 ^ п2 -1V - п +1 - У
У^ + ад - 2
4 п +1 1 -' 1 Л
я1-1
(6)
Ъ С -а
я п п
^пЛ^О ■
V п + 1 я п п У
Известно [5], что поле геометрического объекта третьего порядка {5п, Ъ;, а" } на распределении Ш с Рп; определяет поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик, уравнения которых в репере нулевого порядка имеют вид:
2
а"х'ху + -—- Ъ^'х" + (х )2 = 2х0 х". (?)
Дифференцируемое подмногообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [9], если на нем
определено поле некоторого геометрического объекта (поле оснащающего объекта подмногообразия):
dga = ^ (ёС
где с'1 - главные (первичные) формы, с'2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии.
Тип оснащения погруженного подмногообразия характеризуется строением основных функций 1уО2 (ё), определяющих оснащающий объект ; в зависимости от их строения имеем различные оснащения подмногообразия. Например, оснащение (нормализация) распределения Ш с Рп; в смысле А.П.Нордена равносильно [4] заданию на подмногообразии двух полей квазитензоров У, и :
у у" + с" = у'лС , У У'0 + С = уЛС ; (8)
эти поля квазитензоров определяют на ^ поля нормалей первого и второго родов соответственно.
Известно [5], что условием взаимности (полярной сопряженности) нормализации {у'п , у0} относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (7) является выполнение соотношений
1
0 7 . П 5
у°=^~л Ъ + ап*Уп ' (9)
п + 1
Аналогично, оснащение распределения в смысле Э.Картана равносильно [4] заданию на подмногообразии двух полей геометрических объектов
К},{УУ} :
У У +Фп = у'прфр, Уу0 + уф +Ф0 = у>К; (10)
. У0
п
поле {уП, У0} определяет поле оснащающих инвариантных точек Мп = А
+
+ y1nAi + у0А0, принадлежащее полю нормалей первого рода у'п
Пусть распределение гиперплоскостных элементов ^ с Рпп нормализовано
полями квазитензоров у1п , у(° . Можно проверить, что каждый из следующих трех охватов удовлетворяет уравнению (10) для функции :
б0 (У) =1 Sn + ^ Ъу +1 а" У У, (11)
К0(У) = -—.« - а»:), (12)
п -1 4 '
п\} л \ т яг п п
п
:0/..\ 1 /..0 . .0,.0\ , ..0. .я
ко (у)=—л (уо - у; у; к + у; у. аз)
п - 1 у '
Точка б п = Ап + y1nAi + б °(у)А0 есть вторая точка пересечения нормали пер-
п
вого рода уп с соприкасающейся гиперквадрикой (7) в центре Ао распределения ^; отметим, что первой точкой пересечения нормали у'п с гиперквадрикой (7) является сам центр А0 .
Точка К п = Ап + у'пА{ + К0 (у)А0 есть точка Кенигса нормали Угп [4], [8], которую назовем первой точкой Кенигса. В соответствии с этим точку К п = А п + у'„А{ + К°(у)А0 назовем второй точкой Кенигса нормали у1п. Отметим, что, в отличие от полей оснащающих точек б и к , поле второй точки Кенигса
порождается лишь при задании поля нормали второго рода у0 на ^ с Рп,п (сравни охваты (11) - (13)).
Точка Кп = А + УпА + у° А нормали у'п , полярно сопряженная первой точке Кенигса к относительно гиперквадрики (7), определяется охватом
~ 2
У0 = КО = Яп - КО + а]УяУя +— Ъ1 у. (14)
п +1
п
Охват (14) равносилен одному из следующих соотношений:
K0 = 2Q0 — K0;(A0Q ;KnKn ) = -1.
Пусть нормализация распределения Ш с Рп; является взаимной, т.е. справедливы соотношения (9). Из (9) находим
i ik v = a
n n
1
v —
n +1
(16)
Дифференцируя последние соотношения, имеем:
' 1 Л
1 ,i „it „kj n 0
v = — a a a ^ I v —
ns n n js\ k
n + 1
+ a
ik
vi —
1
b
откуда с учетом (5) находим
s sk
v = a
ns n
1
vks —
n + 1
bks — +
ks
ks
n +1 J
bb
sk n + 1 J
(17)
В силу соотношений (6), (11) - (13), (14), (16), (17) имеем Л° = Лп0. Таким образом, справедлива
Теорема. Для регулярного распределения гиперплоскостных элементов Ш с Рп;, нормализованного взаимно, точки пересечения нормали первого рода с
соприкасающейся гиперквадрикой в соответствующем центре распределения и ее точки (первая и вторая) Кенигса образуют гармоническую четверку.
В условиях этой теоремы справедливо Л° + = 2.
п
1
Библиографический список
1. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
2. Cartan E. Les éspaces â connexion projektive // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М., 1937. Вып. 4. C. 147-159.
3. Bortolotti E. Connessioni nelle luogo varietâ di spazi; applikazione alla geometria metrika differenziale delle congruenze di rette // Rent. Semin. Sci Univ. Cagliari. 1933. №3. P. 81-89.
4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения да-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. 1 // Тр. геом. семинàöà / ВИНИТИ. АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 49-94.
5. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. Чебоксары: Чувашск. пед. ин-т, 1994. 290 c.
6. Столяров А.В. Двойственные нормальные связности на гиперполосном распределении // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1997. Вып. 28. С. 72 - 78.
7. Cartan E. Lecons sur la théorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937.
8. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 71-120.
9. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275-382.
A.V. S t o l y a r o v
SUMMARY PAPER "ABOUT EQUIPPET DISTRIBUTION OF HYPERPLANE ELEMENTS"
The paper equippet in the sense of E.Cartan distribution of hyperplane elements, dipped into the space a connexion projektive; in case of mutual normalization of sub-manifolds there is an invariant link among them.
УДК 514.7
ЛОРЕНЦЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОЛЕ КИЛЛИНГА С ОСОБЕННОСТЬЮ
И.А.У н д а л о в а
(Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского)
В работе изучаются аналитические 4-мерные лоренцевы многообразия, допускающие однопараметрическую группу движений с изолированной неподвижной точкой О. Получен вид метрики таких пространств. Найдены условия, при выполнении которых, точка О является полюсом (в смысле А.С. Солодовни-кова).
Пусть - 4-мерное, аналитическое лоренцево многообразие, допус-
кающее однопараметрическую группу движений ^^ с изолированной неподвижной точкой О. Известно [1],[2], что можно подобрать нормальную (с центром в О) систему координат, относительно которой компоненты Аа векторного поля А группы G1 имеют вид:
А^2 , A2=-x1 , A3=c2x4 , A4=x3 , (1)
где xа (а,Р=1,...,4) - нормальные координаты произвольной точки, а с -некоторая отличная от нуля постоянная. Среди всех траекторий группы Gl геодезическими являются только изотропные кривые : x1=0, x2=0, x3=±cx4. Решая уравнения* (Б^)^ =0 , Граа xPxст=0, можно найти компоненты gap метрического тензора g
относительно данной нормальной системы координат [2]:
g11=1+n(x2)2+kю-2m2юx1x2 , g22=1+n(x1)2+kю+2m2юx1x2 ,
g12=-nx1x2+m2ю(x1)2-m2ю(x2)2 , g13=-kx1x3+m2y2x2x3+m4юx1x4+m6x2x4 ,
g14=c2kx1x4-c2m2y2x2x4-m4юx1x3-m6x2x3 , g23=-kx2x3-m2y2x1x3+m4юx2x4-m6x1x4 , (21)4 2 4 6 23 2 4 6
g24=c2kx2x4+c2m2y2x1x4-m4юx2x3+m6x1x3 , g33=1+ky2+8(x4)2-2m4y2x3x4 , g34=m4y2(x3)2+m4y2c2(x4)2-8x3x4 , g44=-c2-c2ky2+5(x3)2-2c2m4y2x3x4 ,
* Здесь и в дальнейшем -дифференциал Ли на базе векторного поля А, Граа -коэффициенты связности V, определенной метрикой
