СУЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫХ НА ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Stepanov S.E. On the global theory of projective mappings // Math. Notes 1995. Vol.58. №1. P.752-756.

3. Stepanov S.E. O(n)xO(m - n)-structures on m-dimensional manifolds and submersions of Riemannian manifolds // St. Petersburg Math. J. 1996. Vol.7. № 6. P.1005-1015.

4. Stepanov S.E. On the global theory of some classes of mappings // Ann. Global Anal. Geom. 1995. Vol. 13. P. 239-249.

5. Beem J., Ehrlich P. Global Lorentzian geometry. Marsel Dekker. Inc. New York and Basel, 1981.

6. SulankeR.., Wintgen P. Differetialgeometrie und Faserbundel. Dt. Verlag d. Wiss. Berlin, 1972.

7. Yano K., Ishihara S. Harmonic and relatively affine mappings // J. differ. Geom. 1975. Vol. 10. P. 501-509.

8. Ponge R., Reckziegel H. Twisted products in pseudo-Riemannian geometry // Geom. Dedicata. 1993. Vol. 48. P.15-25.

9. Stepanov S.E. A class of Riemannian almost product structures // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1989. N 7. P. 40-46 (English transl. in Russian Math. (Iz. VUZ)).

10. Wu H. The Bochner technique. Proc. of the 1980 Beijing Symposium on Differential Geometry and Differential Equations (Beijing, 1980). Vol. 2. Science Press, Beijing, 1982. P.929-1071.

11. Har'El Z. Projective mappings and distortion theorems // J. Differ. Geom.1980. Vol.15. P. 97-106.

12. Rocamora A.H. Some geometric cosequences of the Weitzenbock formula on Riemannian almost-product manifolds; weak-harmonic distributions // Illinois J. Math. 1988. Vol. 32. № 4. Р. 654-671.

С.Е. С т е п а н о в, И.И. Ц ы г а н о к

ТРИ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКТИВНЫХ СУБМЕРСИЯХ

Проективные отображения широко изучены в литературе. Теория проективных субмерсий менее исследована. Настоящая работа посвящена изучению глобальной и локальной теорий проективных субмерсий. В частности, обобщаются 2 результата в случае некомпактного риманова многообразия.

УДК 514.75

СУЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫХ НА ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ

А.В. С т о л я р о в

(Чувашский государственный педагогический университет)

В работе путем построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащающих объектов, исследуются геометрии двух оснащений (в смысле А.П.Нордена [5] и Э.Картана [13]) т-мерной регулярной гиперполосы Нт , погруженной в п-мерное проективное пространство Рп (т<п-1).

Результаты получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым [2] ^ [4]. Исследования проведены в минимально специализированной системе отнесения. Индексы принимают следующие значения:

I, К, Ь = 0, п ; I, у, к = 0, т; I, у, к, 1,1 = 1, т; и, V, w = т + 1, п - 1.

1. Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп , отнесенное к подвижному точечному реперу Я = {А- }; деривационные формулы репера Я

имеют вид

.К

¿А1 = сК А К, (1)

к

где формы Пфаффа с подчинены уравнениям структуры проективного пространства Рп [10]:

бюк = щь а сок = 0- (2)

Известно [6], [7], что в репере 1-го порядка дифференциальные уравнения регулярной гиперполосы Hm с Рп (т < п - 1) [1] имеют вид

сП=с;=с = о, с=лпс, с/=лс, с = , (3)

где

Л» ] =4; ] = 0 кы ] = 0- (4)

Отметим, что совокупность функций { Л: } образует тензор первого порядка, а

каждый из наборов функций { Л/., Л: }, { N.}, {А., Л:} - геометрический объект [3] 2-го порядка:

уа: +лпс0 =лпС, лп. ] = о,

ул; + лс0 + лпс: = , л/ . ] = о,

УЩ + Кс00 -¿с = кс,к ] = о, (5)

ул. + 2лпс + Л:с - лп. л\с = лпс,

А[ к, ] = л: А^,,+л; л\киУ

В силу регулярности гиперполосы тензор Л: является невырожденным:

л=

л:

^ 0; относительный инвариант Л первого порядка удовлетворяет дифференциальному уравнению

а 1п Л + т(с00 + <) - 2ск = Л с, л к = Л. Л.. (6)

Компоненты обращенного тензора Ллп определяются из соотношений

К л; = 8 (7)

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

УЛ^ -Лп< =-ЛкпЛпЛп<. (8)

Продолжая уравнение (6), находим

УЛг + Л<00 + (т + 2)(<0 - Л< ) = Л<, Л[Л, = 2Л;фМ^]. (9)

Показано [6], [7], что регулярная гиперполоса Нт с Рп в 3-й дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик Qи-l, уравнения которых относительно репера первого порядка имеют вид

■ ■ Л, _ „

Лпхгхи + 2-—х'х" + В"хих; + 2Ьх;х" + (хп )2 = 2х V. (10)

и т + 2 и; ; п

Заметим, что в каждой точке Ао е Нт касательная плоскость Тт(Ао) к базисной поверхности Ут гиперполосы и характеристика Пи-т-1(Ао) ее главной касательной гиперплоскости Пи-1(Ао) полярно сопряжены относительно гиперквадрики (10).

Доказано [7], что обращение в нуль симметричного тензора Дарбу второго порядка

Б;к = (т + 2Щк -ЛП и Л к), УППк + 2^><0 = ,

^ = (т + 2)Лпф-Л\] Л к)-Лп{1] Л (11)

есть условие касания 3-го порядка соприкасающихся гиперквадрик поля (10) с гиперполосой Нт с Рп .

2. Известно [6], [7], что нормализация гиперполосы Нт с Рп в смысле Норде-на-Чакмазяна [5], [11]

равносильна заданию на Нт двух полей квазитензоров

г 0

К К :

У < +< = «> (а) У Уг° + < = у>0к . (б) (12)

При этом (12-а) есть условие инвариантности поля нормалей первого рода Кп-

т = = [Пп-т-1,Кп], где

N п = Ап + у: а г + а; А V, а^1Л Л]. (13)

Заметим, что прямая к = [АоКп] инвариантна относительно преобразований стационарной подгруппы элемента гиперполосы Нт . Аналогично, (12-б) есть условие инвариантности поля нормалей второго рода Кт-1 = [№], где N1= А,- + у¡° А 0.

Условием взаимности [5] нормализации гиперполосы Нт с Рп относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (10) является обращение в нуль тензора

Т»:

Т»-К + ЛХ; (14)

т + 2

в частности, нормализации Фубини (F:, F^) и Вильчинского (—Wnl, Wi0), определяемые в третьей дифференциальной окрестности, являются взаимными [6], [7].

В работах [6] , [7] в 3-й дифференциальной окрестности построено поле канонического пучка инвариантных нормалей первого рода у': с осью Пп-т-1(Ао), определяемое полями квазитензоров ^ и (—Wnг) 3-го порядка:

к +F:), (15)

где т - инвариантный параметр.

Отметим, что совокупность функций

+ Fin, атп - тс: + = тс (16)

есть тензор 3-го порядка. Обращение тензора Т* в нуль есть условие, при котором в каждой точке Ао е Нт канонический пучок нормалей первого рода (15) вырождается в одну нормаль ^-т(Ао); такие гиперполосы Нт с Рп по аналогии с поверхностью У2 с Р3 [14] назовем коинцидентными.

Оснащение гиперполосы Нт с Рп в смысле Э.Картана [13] равносильно [9] заданию на Нт полей геометрических объектов {К }, {,у'п, а. }, {к°} :

УК + < = к>0, (а)

у к0 + кс + ас + с0 = кс, (б) (17)

У К = к>ко. (в)

Геометрически это означает, что в каждой нормали первого рода ^-т(Ао), определяемой квазитензором у'п, задана оснащающая плоскость ^-т-1(Ао) = [Кп,^], где

Кп = к0 Ао = Ап+ К Л,- + аV Ау+ к0 Ао, N = к/ Ао + Аv . (18)

(п-т-2)-мерная ось = Nn-m-l п Пп-т-1 оснащающей плоскости определяется квазитензором к/ (см. (17-в)); в качестве к/ можно взять квазитензор 2-го

г0'

'V

порядка (-а.):

а0 = 1 "к,, (19)

т

что и предполагается в дальнейшем.

Задание поля нормалей первого рода определяет оснащение в смысле Э.Картана гиперполосы Нт, причем неоднозначно. Например, в качестве функции кп , удовлетворяющей уравнению (17-б), можно взять охваты:

К( V) =- -1«-Х°ууУ. ) - а„Ч°, (20)

т

¿Л 1

ач /) = ^+а;кк + вуа)+—Л к+ъиаип.

2 и т + 2

3. Известно [9], что на оснащенной в смысле Э.Картана (см. п. 2) гиперполосе Нт с Рй система форм {CC }, где

111 i

X = X X = <D0,a>¡ = c¡ - jn, C = C - - a»: + aJC, (21)

удовлетворяет структурным уравнениям Картана-Лаптева [3]

1т 1 Т ir 11,

DX = а лс( + -Rj ACÍ, (22)

1

а следовательно, определяет первое пространство проективной связности

В структурных уравнениях (22) компоненты тензора кривизны-кручения про-

1

странства Рт,т имеют следующие строения:

К; = 0, Я1 = 0, = 2(ЛЦ] + Л\8(У - Л\3иа0 +

+ N¡8 а; а; +Лп^ Лп уУ + Л^ ]), (23)

R 0 = ] -Avt ^а, ]+Ant a +

■"is<ua + UAtls - aVA[s + aVa0A^

+ A^Vit& +{vVA"[s -a0AV[s + a^A\s)a?} .

Согласно работе [4] , другое пространство проективной связности Рт,

p

>

m,m

определяется системой форм {C }, получающихся преобразованием

p _ 1 _ p _

а = C+п к c ■ (24)

p -■

Требование того, чтобы система из (m + 1)2 форм Пфаффа coj удовлетворяла структурным уравнениям Картана-Лаптева

Т"Ч p j p к p j 1 & V t

dc=a a а+- Rst a A а, (25)

равносильно следующей системе дифференциальных уравнений

vníjk + Пк а = Й^ C, vnt + rr0k Xo +П4 = ntVks X,

p ■ p ■ n p ■ n p ■

v Пк+П j а - Пк с0 = пк а , (26)

vrik+Пк c - Г10к c + Пк a = rrVks X ■

В силу соотношений (5), (8), (9), (11), (16), (17) уравнениям (26) удовлетворяют следующие системы охватов:

1111

пJ = п0 = пJ = п0 = о-

п0 к п0 к п ik п ik 0-

2

п1

0к

2

п

0

П 0 =

п 1к

0к

1 Г 1

0, п к

т + 2

А п—Ик,

Л'Л п° + У'—п

т + 2 V т + 2 п ! 'к п '1ку

(27)

(28)

3

1

3

п к =—8: п 0к, П 0к =

т

3 ■ 3 п

П0к = 0, п0к = л\гп,

Г Л. л ■п 0 к +Л0. у!

3

т +1 3

т

V т + 2

у

(29)

4 4 4 1

п1 = 0 п0 = Лп Т' п1 =

п0к 0,п0к ЛЬ1п ,п 1к

п пк

п

1к

т + 2

г 1 т +1 Л Г А

а— -—8: л\т1

V т + 2

!1к

т

у

— 81 Лп Т

8 Лк'1:

т 1 к5 п

л

ьап, у1 V т + 2 ^ п.

(30)

5

п1

0к

5 , 1 п1 =-

п 1к т + 2

81 п0 8к ,п0к

п

А

к +АпУ,

т + 2

-Л— + Лп у'

{ т + 2 15 п,

¿к1

п 0 =

п 1к

г

1 Г 1 л

■Л'! л„ в°к + у—

т + 2 V т + 2

Л,

л

V т + 2 у

/

Л

к

'1к

V т + 2 у

(31)

В силу (24) охваты (27) определяют первое пространство проективной связ-

ности Рт,т, индуцируемое оснащением в смысле Э.Картана гиперполосы Нт с Рп ; охваты (28)+(31) определяют формы пространств проективной связности

2+5

Р

имеющие следующие строения:

1

с = с, с0 = с, с = с+

-Л1—0 ск

т + 2 Л

с

с+

1

г

1

л

А л —п + У'—п т + 2 V т + 2 А п А !—'1к + Упи'1к у

с

0 5

(32)

1 3

1

3

1

1

с

1 = с, с0 = с0 + лптск, с = с—8/ ЛОТ

с0 = с0

т +1

с

т

, к 1 Лк'Т : с0 ,

т

-Л°, Т'

к' п

Л

+ Лпу У

V т + 2 О

с

0 '

(33)

4 14 1 4 1 Г 1

с =с ,с0 =с+Л\ттс1 ,с=с+

Л

V т + 2 п '1к

— 81 Лп Т' т8 Лк'Тпу

с

1

2

4

0

5

2

2

1

2

1

2

к

3

к

4 1

= Шг0 +

1

V т + 2

Л'; О"

Л пэ;гк

1 5

т +1

л

т 8^

Л

—— + Лп У/ V т + 2 +Л

к

С0;

1

/

1 О 1 0 0 ,

щ = 2щ = щ +

Л,

5 1

щ = Щ +

1

- 8

2 п ^гк к

+ Лп У: V т + 2 + Л У

Л,.

C0o,

V т + 2 + ,

C0,

5 1

0 0 , < = < +

г г

1

1

т + 2 V т + 2

Л Л Оп +

Л п Л :Б;гк + УпБшгк

(35)

Л..

V т + 2

—+Л;х

Л

+ Л1К

V т + 2

к; уп

(0С

В структурных уравнениях (25) компоненты тензоров кривизны-кручения

2+5 1

пространств Рт,т имеют следующие строения (для пространства Ртт см. (23)):

1

2 2„ 2.1. I

1 = 0, я! = 0, Я] = Я,+ 2^

::

1:1 Ш

т + 2

28/Л;/[:^|;|;] -Л8

-лп Л / [: лп, - У (ад + Б^: Л" г лп )]-Л

Лпгк ^Х,;] + ^^ (Л 8 Л г + Л£ Л к Л [Ж]г )},

(361)

2 1 Я = Я +

Ш Ш т + 2

Г 2/ Ч ^

я/ - я/

Л / 2 ■ 1

+

2

+

(т + 2)2 2

ЛЫп Л к- уп (л / ЛпТ:Л ;] + Л г Л^Л ,] )] +

+

К (2ЛП, Л;к[Х,;] - Л/[:Л", + Ук„ [яЛ"у

(362)

т + 2

-Л г[: Л ; ]/)- вщУ: ] + Л/Я0 Л ^_2

гкл/]

+ Лп,Л\мь, ^) +

лк/(л;,БП Л.1 + КП1ТП

- 2 у/ (Л ; Л; Д;,; ] +

ипп пп

г);

К. = 2

(т + 2)2 п' к /г[: :] п ь[: :]/г

з . т +1 , Щ . = 2-81 Л" ,Тк,

т +1 т +1

-Л Л" Тк +-Л" Л" ТкУ/ + Тк Л"

т(т + 2) 'Л:]" + ™ Л/['Л:]кТ" У"+ 1"['Л;]к

з . 1.2 я = я - —

1 Чш: г:;

т

т +1 ,

-Л" Тк Л +

т + 2 8[:Л;]кТ Лг +

(371)

(372)

(373) 79

5

+ (m + l)Ss Л" ll

Tj KikVj + Si Tj[sЛ tlk I

R

¿о , Z( m + l) \( 0 aj , o 0 aj 0A o \ a j rrl

R°jt + ---[(V° Л1[s + aoao Kl[j - ao Л1[s jЛi1lTJ -

r l ^

Л..г. + viЛ" . + Л", vL„ Л", Tk +

V m + Z

n il [ s

"il n[s J t lk n

(374)

Í

+

л

\

k

m + 2 + л>" j

Í

TJ Kjs -

л

л

m + 2 j

Tk Л"

Tj[s Л t lk

4 ■ з ■ \ з 0 4 j 2 Z

R0st = R0st, R0st = R0st, Rist = Rist ~~

m +1

-Sj Лj Tk л +

m + Z S[jЛ*1kT Лl +

+ (m + 1)S¿ Л" lkTjk Л"У" + S S Tj[s Л" lk ],

Zno , Z(m + 1)

4 0 Z 0 Z( m + l) 0 n o 0 n 0 o n l Rist = Rist +--- (VnЛi[s + aoao Л1[ s - ao Ki[s )Л" MTn

r l л

i[ s + V"Л"1 [s + Л"lV^

Лn Tk +

Л t1kTn +

(38l)

(З82)

+

r л,

tJ л"[s л" V -

л,.

V m + Z

+ Л", vl

rpk A J

Tj[s Л t lk

s s 4

R, = o, R, = --T + Zv! Лк

m + Z 1 [j oi'l j[j '11 '

s Z

Rj = К t+Z

1 k Z ,

—jlv1+^ sj KV л к

m + Z

S j (лк liVO+Лк «Л -KO liaO )

r 1 ^

—лг„ + лк, vL S/

V m + Z

l[j

il vj[jJ^t 1

(39l)

(392)

S[j

A Л Л л 11 \ + Л" Knv vkvl - Л". Л" vk vl

Z t lk il n n t ]i kl n n

( m + 2)2

J

s 2 Г/

RRJ = ^ + Z[(v0KJ[j + aoa0Лк. - a0Лк

1

m+2л i[j

vj Лкл [j -KJvj [j

к o l[j

V Л

Vi[j

JV m + 2 + K V

+

(393)

+

r Л ,Y 2

V m + 2

n

J

■Ko г Ni

vk. лк

Vm + 2 k[j l^1 n[j t1k

- V

KV +

Л к Y l

■Л" Л,П + vl Л" Лк

m + 2JVm + Г1 ' "k i[j ( 1l,

з

k

Теорема 1. Оснащение в смысле Э.Картана регулярной гиперполосы Нт с Ри

индуцирует пять пространств проективной связности Рт,т с формами связности

(21), (32)-(35), компоненты тензоров кривизны-кручения которых имеют, соответственно, строения (23),(36)-(39).

1 2 5

Следствие. Пространства От,т , Вт,т, Рт,т - без кручения, причем кручения этих пространств не зависят от оснащения гиперполосы; пространство

3 4

Рт,т (Рт,т) имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда гиперполоса является коинцидентной.

Замечание. В силу (21), (32)-(34) инвариантные аналитические условия по-

1+4 1+4

парного совпадения связностей УР пространств Рт,т имеют вид :

1 2 3 4 1 3 2 4

Ур - У р ^ У р - УР ^ Опк - 0; Ур = Ур ^ Ур = Ур ^ Т1п - 0;

14 2 3

Ур — УР ^ УР — УР ^ {Д^ - 0,тп - 0};

4. Определение. Будем говорить, что пространство аффинной связности Ат,т является сужением данного пространства проективной связности Рт т , если некоторая нормализация пространства Ртт индуцирует Атт . Известно [5], [8],

что пространство проективной связности Рт,т со структурными формами {О \} называется нормализованным, если в нем задано поле ковектора ссЦ Ф 0 (т.е. в каждом слое задана плоскость Кт-1, не проходящая через его центр). Считая с° = —1, имеем:

Сс° + с0 О 0 — с0 О { + О 0 = с0 О 0. (40)

Если в качестве Ртт взять любое из пространств проективной связности

р

Ртт(р = 1,5), индуцируемых на оснащенной в смысле Э.Картана регулярной гиперполосе Нт с Ри , то уравнения (40) запишутся в виде

7Р0 Р0 Р 0 Р0 Р , Р 0 Р0 Р ,

сс° + с° о00 — с°0 со/ + с ° = с° О,Р = 1,5 . (41)

Уравнения (12-б), (41) с учетом соотношений (21), (32)-(35) показывают, что

и 0 __о т т

задание поля нормалей второго рода Уi на регулярной гиперполосе Нт равно-

р

сильно нормализации любого из пространств Ртт полем квазитензора

С -А Р = 1,5):

70 0 Р 0 0 Р 1 Р 0 Р 0 Р 1

Су- + У- СР00 — V; со/ + О = УУ О. (42)

^0 у} "Л' ' Уу ^0

Р 0

В уравнениях (42) функции у° имеют вполне конкретные значения:

10 0. ли / 0 k 0\,/ i» ли » \ 0

= V- + Aj(v- К - К ) + (Av - A^n К s

к

20 = 10+ _L_AhDn.T°0(v), 3- = v0 m + ^

j m + 2 n sij к ( Л ij lj m

iJ

Tu( y)AnsX

1 AksDn T0( v) V0 = —

AnDsj1k ( K ), vij 2

40 З0 ,

V.. = V- + A D .1,

17 17 . n sj k

J J m + 2 J

20 - T,°( v)Tj°( v) + v° v0

Будем говорить, что гиперполоса Нш с Ри оснащена, если она нормализована в смысле Нордена-Чакмазяна и оснащена в смысле Э.Картана одновременно; ниже предполагается такое ее «двойное» оснащение.

Согласно работе [8], нормализация пространства проективной связности

p 0

Pm,m полем квазитензора v. индуцирует пространство аффинной связности

p p.p. Am m , определяемое системой форм (0-, 0/ }, где

def pj def p V zi p 0 , si 0 к 0 j л C

00 = œ- > 0/ = œ/- 33 œ- + 33 4^0 - V- œ-V , p = 1,5 .

(43)

p. p .

В силу соотношений (21), (32)-(35), (43) формы (0- ,/7} имеют следующие стро-

ения:

60 = a-,в-7 = œj - i><0 + 3/»^ - »"a" - ».œ.;

AjsDn œk •

AnDsikœ- ;

2 1 2 1 1 /0j = 6V = œ- в/ = 0+-—Z

m + 2

3. к . з. 1. m +1 ,

0/ = в/ = a. ,0/ = 01 - m— 3 A"faT>ok ;

m +1

-'о

' ^i

m

4 1 4 1

0q' = 0-j = œ-V в/ = / +

1

л

5 15 1

/v = 20/ ,05 v = / v +

V m + 2 1_ m + 2

■AVSD

и sik

—ij A"! m 1 ks n у

k

AVnD"ik-SiVTk0(»)-j0(») ]œ-k.

В структурных уравнениях Картана-Лаптева

p. p,p. 1 p. , p. p, p. 1 p. D 0-V = 0-k a 0kV +1 j œ- a œ., D 0tJ = /k a /k7 + 1 ^ œ- a œ.

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

Р1 Р1 л

компоненты тензоров кручения и кривизны пространств Ат

следующие строения:

имеют

1V

'- st

= -, rist = 2(A»[aNjt] - ViirsA", - 3/ v-st] + vi-sSÜ +

n

n[s A t ]i

^ л j

i st ]

i[ s1-^ ]

+ Vkv. Airsiti - vknvi A"[s A" ]k - vXj

n n l[s t ]k

-, -r^t]

2 ■ 2

rj = - rJ

'-st 'ist

2

m + 2

(Ai vkD" [ s A" ]i + AV Di[sij

+

1

+ Л, + ЛД-Д) -—(л^и + КЛПыЛ\^ш)+ (51) +-т Л л, dZ Д +ллд +ик л,Лг );

(m + —)— ^ n к "Ls '] 1 [s '] n k [s ']4

3. m +1 , з. i . —( m +1) ,

J =-2-TkЛпкД, rj = r'-—-1 ЦТ^ЛПк; (52)

mm

p = P Г j = Г j - -(m +1) ДТк ЛП • (53)

r0si = r0si , ist rist Ui Tn[sЛ t]k; V У

5 . 5.2. — ,,

= о r J = r J +-(Лк/ Л Dn Д - Л Л Д ) -

r0st = 0, 'ist Гist + 2)— (Лn Л^li^t] ЛiЛ[s^t] )

—

m + —

(Лк!^0 D^Ls^tJ + —уПк Л к ЛП[ Д - —Л ХД +

+ 2Л1КЛпк[8 - 28? л\[ки] + Л8 + Укп а;.Л[8) - (54)

-2(лупл\,8] + 3У0У08 - ууЛ\,8] + зЛ£, +

+ ЛпйУ1пУкп Лпк 8 -Лп1кукпу08 +8/укп1, АО ]к + Лу '8] -

Теорема 2. На оснащенной регулярной гиперполосе Нт с Рп каждое из пяти

р —

индуцируемых пространств аффинной связности А тт (р = 1,5) является сужени-

р

ем соответствующего пространства проективной связности Рт,т с формами

связности (44)-(48), причем компоненты тензоров кривизны и кручения про-

р

странств Ат,т имеют строения (50)-(54).

р р

Следствие. Соответствующие пространства Ртт, Атт имеют равные тен-

p . p. p зоры кручения: R]0jst = rjt; при любом фиксированном р пространства Pm,m, индуцируемые при различном выборе поля оснащающих плоскостей n n-m-1(v),

имеют одно и то же сужение

p

А,

Библиографический список

1. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос //Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1950. Вып. 8. С. 197-272.

2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М.,Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геометрии / ВИНИТИ. М.,1979. Т. 9. 246 с.

3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275-382.

4. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюз. матем. съезда (1961). 1964. Т. 2. С. 226-233.

5. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.

6. Столяров А.В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. № 10. С. 97-99.

7. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения да-мерных линейных элементов // Пробл. геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117-151.

8. Столяров А.В. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности // Там же, 1977. Т. 8. С. 25-46.

9. Столяров А.В. Дифференциальная геометрия полос // Там же, 1978. Т.10. С.25-

54.

10. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.

11.Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // ДАН Арм.ССР. 1959. №4. С.151-

157.

12.Cartan E. Leçons sur la théorie des espaces â connexion proective. Paris, 1937.

13.Cartan E. Les espaces â connexion projective // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / М.: Изд-во Моск. ун-та, 1937. Вып. 4. С. 147-159.

14.Mihâilescu T. Geometrie differentiala projectiva. Bucureçti Acad. RPR, 1958. 494 p.

A.V. S t o l y a r o v

CONTRACTIONS OF THE PROJECTIVE CONNECTION SPACES INDUCED ON AN EQUIPPED HYPERSTRIP

Geometries of two equipments (in A.P.Norden's and E.Cartan's sense) of m-dimensional reqular hiperstrip, immersed in the n-dimensional projective space (m<n<1) are investigated by construstion of fields of geometric enveloped by fundamental and equipping objects. The results are obtained with application of the theory of connections in fiber spaces in Laptev's form.

УДК 514.75

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ НОРМАЛИ ПОВЕРХНОСТИ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

А.Н. С ы р о к в а ш и н а

(Калининградский государственный университет)

В аффинном пространстве способом Лаптева исследуется групповая связность в расслоении, ассоциированном с поверхностью как многообразием касательных плоскостей. Кривизна связности является тензором, содержащим два подтензора касательной и нормальной линейных связностей. Произведено