CC BY
26
УДК 532.546 ББК 22.253
Святослав Евгеньевич Холодовский,
доктор физико-математических наук, профессор, Забайкальский государственный университет (672Q39, Россия, г.Чита, ул. Александро-Заводская, 3Q)
e-mail: [email protected] Ирина Анатольевна Ефимова, кандидат физико-математических наук, доцент, Забайкальский институт предпринимательства (672Q86, Россия, г.Чита, ул. Ленинградская, 16) e-mail: [email protected]
Об оптимальном расположении дренажа под бетонной плотиной с эллиптическим флютбетом1
Рассмотрена задача о фильтрации жидкости под непроницаемой плотиной. Основание плотины имеет форму вытянутого эллипса, на котором расположен сток (дренаж). Мощность стока является заданной. Уровни жидкости слева и справа от плотины различны. Область фильтрации не ограничена снизу. Найдены оптимальные координаты стока, при которых скорость фильтрации в крайней точке выхода воды в нижний бьеф равна нулю.
Ключевые слова: фильтрация жидкости под плотиной, оптимальное расположение точечного дренажа, метод особых точек потенциала, смешанная краевая задача для оператора Лапласа.
Svyatoslav Yevgenyevich Kholodovskii,
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,
Transbaikal State University (30 Aleksandro-Zavodskaya St., Chita, Russia, 672039)
e-mail: [email protected] Irina Anatolyevna Efimova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,
Transbaikal Institute of Entrepreneurship (16 Leningradskaya St., Chita, Russia, 672086) e-mail: [email protected]
Optimal placement of Drainage Under the Concrete Dam with an Elliptical
Base2
The problem of fluid filtration under impermeable dam is considered. The base of the dam has the shape of an ellipse, where there is drain. Drain capacity is given. Fluid levels on the left and right of the dam are different. Filtration area is unbounded from below. Optimal drain coordinates at which the rate of filtration at the point of exit of water in the tailrace is zero.
Keywords: liquid filtration under the dam, the optimum location of the point of drainage, the method of singular points of the potential, the mixed boundary value problem for the Laplace operator.
1 Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 2014/255 НИР 2603.14).
2The work is performed within the State Task for the Higher Institution of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project 2014/255 NIR 2603.14).
100
© Холодовский С. Е., Ефимова И. А., 2014
При проектировании гидросооружений, в частности, гидроэнергетических плотин на реках одной из основных является проблема снижения скорости фильтрации жидкости под плотинами из верхнего бьефа в нижний. Указанная фильтрация обусловлена разностью уровней воды с разных сторон от плотины. При больших скоростях фильтрации возможно размывание основания плотины, что может привести к разрушению плотины. В литературе отмечается, что большинство катастроф, связанных с разрушением плотин, обусловлены фильтрацией жидкости под плотинами [1; 2]. Для снижения скоростей фильтрации в основании плотин сооружают всевозможные шпунты, завесы,
экраны, дренажи, перехватывающие фильтрационные потоки и т. д. [1—4]. Особенно опасны боль-
шие скорости в крайней точке флютбета, где фильтрационный поток выходит в нижний бьеф.
Отметим, что под тяжестью тела плотины её основание (флютбет), как правило, несколько углубляется в грунт ниже русла реки. Поэтому эллиптические флютбеты являются более точными моделями плотин по сравнению, например, с плоскими флютбетами.
Рассмотрим в вертикальной плоскости с декартовыми координатами х, у фильтрацию жидкости под непроницаемой (бетонной) плотиной, где ось у направлена вверх, ось х направлена вдоль линии бьефов, флютбет плотины имеет форму вытянутого эллипса Ь с фокусами в точках х = ±1:
Ь= (х,у: +р-= 1. У <°), С1)
областью фильтрации Б является внешность эллипса Ь в нижней полуплоскости:
0= (х,у: ^ + ^->1, У<о'), (2)
в верхнем бьефе (при х < —а, у = 0) потенциал постоянный и равен —р, а в нижнем бьефе (при х > а, у = 0) потенциал равен нулю, т.е. давление отсчитывается от давления в нижнем бьефе. Здесь
1 ( 1 ^ , 1 ( 1
а=- г°Н-------, Ъ = - [го----------
2 V го) 2 1 г о
го > 1 - заданная постоянная, характеризующая форму флютбета плотины.
Пусть на флютбете Ь (1) в точке А(хо,уо) имеет место точечный сток заданной мощности Q, моделирующий дренаж. Задача заключается в нахождении координат расположения стока х0,у0, при которых в правой кромке флютбета В (а, 0) (где фильтрационный поток выходит в нижний бьеф) скорость фильтрации равна нулю. Другими словами в точке В скорость фильтрации за счёт разности давлений в бьефах и скорость за счёт стока в точке А(хо,уо) должны компенсировать друг друга.
В данной модели для потенциала и(х,у) задача имеет вид
(х,у) Є В, (3)
ди
|£ = ’ иу\х=а,у=0 = (4)
причём в окрестности точки А(хо, уо) Є Ь выполняется условие
и(х,у)-----^“1п[(ж - хо)2 + (у ~ уо)2], (5)
где Дху - оператор Лапласа в переменных х, у; р > 0, Q > 0 - заданные постоянные, иу — ди/ду, ди/дп - производная по направлению внешней нормали к Ь. Из граничных условий (4)
и|у=о
0, х > а
—р, х < —а
следует, что в концевой точке флютбета B(a, 0) вектор скорости фильтрации равен нулю, т. е. точка B является критической точкой течения.
Задача (3)-(5) является краевой задачей математической физики для оператора Лапласа в криволинейной области D со смешанными граничными условиями при наличии стока заданной мощности Q на границе области в точке A. При этом координаты точки A определяются из последнего условия (4).
Наряду с задачей (3)-(5) рассмотрим вспомогательную задачу для функции v на комплексной плоскости Z = С + = reia вида
A^v = 0, (r, a) G Di(r > ro, —п < a < 0), (6)
v|a=0 0, v|a=—n p, vr|r=ro, —n<a<0 0, (7)
va|r=ro,a=0 0, (8)
V------^:lnK - Co)2 + (v - vo)2}, (9)
где С = r cos a, n = r sin a, Co = ro cos ao, no = ro sin ao,
1 f 1 \ 1 f 1 \
x0 = о г0 н-----cosa0, Уо = 77 h*o----sina0, (Ю)
2 V ro J 2 \ ro J
(r, a) - полярные координаты плоскости £. Функция Жуковского z = ^(£ + С-1), где z = х -\- iy,
1 f 1 ^ 1 f 1 V
z=- Jr + -Jcosa, У=2\Г--) sm«,
конформно отображает область D1 (6) на область фильтрации D (2), при этом задача (3)-(5) переходит в задачу (6)-(9) для функции u(x(r, a), y(r, a)) = v(r, a). Отметим, что переменные r, a являются эллиптическими координатами на основной плоскости (x, y). В задаче (6)-(9), кроме функции v(r, a), ищем полярный угол ao G (—п, 0) (определяющий точку стока (Co, no) (9)), при котором выполняется условие (8).
Подбирая особые точки течения, решение задачи (6)-(9) получим в виде
v = vi + v2, (11)
где
VI = ln[(C - Со)2 + (n - ??о)2] + ^ 1п[(С - Со)2 + (v + 7?о)2],
Р f С п
v2 =-----arctg - + -
п \ n 2
или в полярных координатах (r, a) плоскости Z:
v\ = —-у- In [г2 + г2 — 2rro cos(a — ao)] + 7— ln[r2 + г2 — 2rro cos(a + ao)], (12)
4п 4п
v2 = —a, (13),
п
что проверяется непосредственно. Функция vi является потенциалом течения, индуцированного
стоком в точке (ro,ao) и источником в симметричной точке (ro, — ao), а функция v2 является потенциалом течения, индуцированного вихрем в начале координат [5]. При этом окружность r = ro
является линией тока для обоих потенциалов v* (12), (13). Полярный угол ao найдём из условия
(8). Отсюда с учётом (11) получаем уравнение 2p(1 — cos ao) + Q sin ao = 0, решение которого имеет вид
«о = —2 arctg (14)
2p
или Q = —2ptg(ao/2), где —п < ao < 0. Из последнего равенства следует, что мощность стока
(дренажа) Q, расположенного в точке (ro,ao), может меняться в диапазоне Q G (0, то).
При Q ^ 0 имеем ao ^ —0 (14), при этом источник и сток в симметричных точках (ro, —ao) и (r0, a0) сближаются (12) и стремятся погасить друг друга, т.е. скорость фильтрации от этих особых точек во всей области стремиться к нулю. В данном случае точка B (правая кромка флютбета) попадает в окрестность указанной системы источника и стока (точка B лежит между источником и стоком). Поэтому скорость фильтрации в этой точке должна бесконечно возрастать. Однако при условии Q ^ 0 и зависимости (14) скорость фильтрации в точке B имеет конечное значение, компенсирующее скорость от вихря (13).
При Q ^ +то имеем ao ^ —п (14), при этом источник и сток также сближаются (12) и скорость фильтрации от этих особых точек во всей области стремиться к нулю. В данном случае точка B лежит вне окрестности источника (стока) и для того, чтобы в этой точке компенсировать скорость от вихря (13) мощность стока (источника) Q должна возрастать по закону (14).
На плоскости (x,y) координаты точки оптимального расположения стока имеют вид (10), (14). При этом мощность стока Q можно задать так, чтобы жидкость самотёком перетекала из дренажа в нижний бьеф.
Список литературы
1. Непорожний П. С. Гидротехнические сооружения комплексных гидроузлов. М.: Энергия, 1973. 283 с.
2. Чугаев Р. Р. Подземный контур гидротехнических сооружений. Л.: Энергия, 1974.
234 с.
3. Субботин А. С. Основы гидротехники. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. 318 с.
4. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.
660 с.
5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
References
1. Neporozhnii P. S. Gidrotekhnicheskie sooruzheniya kompleksnykh gidrouzlov. M.: Energiya, 1973. 283 s.
2. Chugaev R. R. Podzemnyi kontur gidrotekhnicheskikh sooruzhenii. L.: Energiya, 1974.
234 s.
3. Subbotin A. S. Osnovy gidrotekhniki. L.: Gidrometeoizdat, 1983. 318 s.
4. Polubarinova-Kochina P. Ya. Teoriya dvizheniya gruntovykh vod. M.: Nauka, 1977.
660 s.
5. Lavrent’ev M. A., Shabat B. V. Metody teorii funktsii kompleksnogo peremennogo.
M.: Nauka, 1973. 736 s.
Статья поступила в редакцию 03.05.2014
