Моделирование контура постоянной скорости основания гидротехнического сооружения при наличии криволинейного водоупора Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.546

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТУРА ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ОСНОВАНИЯ ГИДРОТЕХНИЧЕСКОГО СООРУЖЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ВОДОУПОРА

Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова

Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации 196210, г.Санкт-Петербург, ул. Пилотов, 36 e-mail: [email protected]

Строится подземный контур заглубленной прямоугольной плотины, углы которой округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, в случае, когда водопроницаемое основание подстилается криволинейным водоупором, в состав которого входит горизонтальный участок, характеризуемым постоянством скорости обтекания. Решение соответствующей многопараметрической смешанной задачи теории аналитических функций осуществляется с помощью применения принципа симметрии Римана-Шварца и полу-обратного варианта способа годографа скорости, впервые предложенного П. Я. Полубари-новой-Кочиной и И. Н. Кочиной. Приводятся результаты численных расчетов и дается гидродинамический анализ влияния основных физических параметров модели на форму и размеры подземного контура плотины, горизонтального и криволинейных участков водо-упора. Отмечается предельный случай, когда водоупор на всем своем протяжении является горизонтальным (случай П. Я. Полубариновой-Кочиной и И. Н. Кочиной).

Ключевые слова: фильтрация, грунтовые воды, плотина, принцип симметрии Римана-Шварца, полуобратный вариант способа годографа скорости.

Введение. Проблема подбора плавных подземных профилей оснований гидротехнических сооружений впервые была рассмотрена в [1], где фигурировала так называемая обратная краевая задача теории плоской установившейся фильтрации грунтовых вод [2]. Эта работа дала толчок к развитию целого направления - отысканию контуров гидротехнических сооружений по каким-либо заданным на них свойствам,- и принадлежащих главным образом казанской школе математиков и механиков (см., например, [3,4]).

Ниже рассматривается построение не только плавного подземного контура заглубленной прямоугольной плотины, углы которой округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, но и определяется очертание подстилающего водопроницаемое основание криволинейного водоупора, в состав которого входит горизонтальный участок, характеризуемого постоянством скорости обтекания. Решение соответствующей многопараметрической смешанной задачи теории аналитических функций осуществляется с помощью применения принципа симметрии Римана-Шварца [2,5] и полуобратного варианта способа годографа скорости [6]. Отмечается предельный случай течения, когда водоупор на всем своем протяжении является горизонтальным (случай П. Я. Полубариновой-Кочиной и И. Н. Кочиной [1,2]).

1. Постановка задачи. Рассматривается плоское установившееся течение под водонепроницаемым подземным контуром заглубленной прямоугольной плотины ABCC1B1A1 (рис. 1). Пусть контур основания плотины AA1 состоит из двух вертикальных отрезков AB и AiBi одинаковой длины d1, среднего горизонтального отрезка C\DC длиной 2/1 и примыкающих к ним дуг кривых BC и B1C1 с постоянной величиной скорости их обтекания |w| = v0. Снизу область течения ограничена водоупором G1G, состоящим из горизонтального F1EF и криволинейных G1F1 и FG участков, на которых величина скорости фильтрации также постоянна w = и0 ( 0 < и0 < v0 ) . Предполагается,

что границы верхнего и нижнего бьефов горизонтальны, грунт однороден и движение подчиняется закону Дарси с известным коэффициентом фильтрации к = const. Действующий на сооружение напор H, скорость обтекания v0, фильтрационный расход Q и глубина T горизонтального участка водоупора F1EF считаются заданными.

Рис. 1. Профиль гидротехнического сооружения и криволинейного водоупора, рассчитанные при у0 = 1, Н = 2, 2 = 1.14, Д = 0.296 и = 0.295

Введем комплексный потенциал движения со=р + і/, где р - потенциал скорости, / - функция тока и комплексную координату г = х + іу, отнесенные соответственно к к Н и Н. Задача состоит в определении положения кривых ВС, В1С1, G1F1 и GF при следующих краевых условиях:

А^ь у=0, р = -0.5Н; А1В1: х= -1, /=0;

С^С: у= ^, /=0_; АВ: х=1, /=0; (1.1)

AG: у=0, р=0.5Н; F1EF: у= -Т, /=0; G1F1 и FG: /=0;

В1С1 и ВС: |^| = у0; G1F1 и GF: = м0.

2. Построение решения. Области комплексного потенциала w и комплексной скорости, которые отвечают краевым условиям (1.1), представляют собой соответственно прямоугольник -0.5Н^е w <0.5Н, 0<1т w <2 и круговой десятиугольник

плоскости w, являющийся правой половиной кольца 0 < и0 < < у0 , Re w >0 с дву-

мя разрезами вдоль вещественной оси (рис. 2).

Согласно традиционному подходу ([5], с. 175) подобные многоугольники посредством логарифмической функции преобразуются в прямолинейные с последующим применением формулы Кристоффеля-Шварца. Однако этот путь увеличивает количество неизвестных параметров конформного отображения. К этому дополняются и трудности, связанные с нарушением конформности отображения в критических точках w = 0 и w = да при этом используемой логарифмической функции.

102

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 9 (49) 2008

Разработана также методика построения отображающих функций на основе решений соответствующих уравнений класса Фукса [7].

В отличие от имеющихся возможностей решения задачи ниже используется принцип симметрии Римана-Шварца [2,5], который приводит к еще более существенному сокращению неизвестных констант. Конформное отображение реализуется при этом непосредственно в замкнутой форме через специальные функции, простой и удобной для последующих практических целей, все искомые параметры отображения определяются попутно в ходе построения решения.

Ввиду полной симметрии на плоскостях г, а и w ограничимся рассмотрением правой половины области движения ABCDEFG (рис. 1) и соответствующих ей одноименных областей на плоскостях а и w (рис. 2).

Учитывая специфические свойства многоугольников в полярных сетках, связанные с обилием прямых углов, удобно при конформном отображении в качестве канонической области взять прямоугольник плоскости т [8] СКЛе г<0.5, 0<1ш т«д.5р, р(к)=К'/К , К'=К(к'), к'=\ 1 — к2 где К(к)~ полный эллиптический интеграл первого рода при модуле к [9]. Тогда функция, совершающая конформное отображение этого прямоугольника на четверть кольца плоскости комплексной скорости w, выражается как

w(т)=v0 ехр(т -0.5)га, (2.1)

откуда определяется физический параметр и0=у0 ехр(-0.5пр).

Для решения задачи используем первый вариант способа годографа скорости ([6], с.250 - 251). Конформно отображая прямоугольник плоскости а на прямоугольник канонической области т, принимая во внимание соотношение (2.1) и поступая аналогично [10], придем к зависимостям

dа Msn(2Kт,k )сп(2 Кт,к )dn(2 Кт,к)

Рис. 2. Область комплексной скорости

і

А(х)

(іг Msn(2Kт, к )сп(2Кт, к )іп(2 Кт, к) ехр ((0.5 - т )пі)

іт

А(т) ^ 7[1-^1^П2(2КТТк)^-П2^П2(2КТТк)^^+(Г-^^П2(2Кт,к)].

(2.2)

Здесь М>0 - масштабная постоянная моделирования, X = VI - к2В2 , п = ^ 1 - к2С2 А = 8п(2КтА,к’), В = 8п(2Кт0,к'), С = 8п(2КтЕ,к') , яп(ф,к),еп(ц>,к)и іп(ф,к) -

эллиптические функции Якоби при модуле к. При этом должно выполняться соотношение

(і - к'2 а2в2)(1 - к'2с2;

(1 - к'2В2)(1 - к'2 А2С2/

(2.3)

которое служит для определения модуля к.

Интегрируя (2.2) вдоль контура области т, получаем выражения для геометрических и фильтрационных характеристик (используются для нахождения неизвестных параметров отображения А, В, С и М)

М0.5

— I Хв^ = д/,

М

Vо о

0.5р

М\

I ФЕР^ + | ФроЖ

ЕО

0

= 0.5Н

V

М

и,

| YBCdt = Дd

0 0 0.5

|YFGdt = Т ,

(2.4)

00

координаты точек подземного контура флютбета Хвс ^), УБС ^), а также координаты криволинейной части водоупора Х¥0 (^) , У¥а (^), 0 < t < 0.5.

Здесь Д1 = / - /1, Дd = d - d1, Ь = / +/2, Хвс , Увс , Ф ЕЕ , Ф

ЕО

Ф X и У -

^АО хЕО и УЕО

выражения правых частей (2.2) на соответствующих участках контура плоскости т. Полагая в уравнениях для координат t=0.5, находим искомые размеры подземного контура флютбета и водоупора

М

/1 = Хвс (0 5) > d1 = Увс (0 5) , /3 = Ь - ХЕО (05Х /2 = — I ФАО ЄХР(П)dt .

л; •>

0.5 р

(2.5)

3. Случай П. Я. Полубариновой-Кочиной и И. Н. Кочиной. Остановимся на случае [1,2], когда водоупор на всем своем протяжении является горизонтальным. Тогда в плоскости движения г точки G и ¥ сливаются на бесконечности, а прямоугольник плоскости вспомогательной переменной т превращается в полуполосу 0 < Re т < 0.5, 0 < 1тт < да , поскольку модуль к=0, к' = 0, К = 0.5^, К' = да и, следовательно, р = да . Из формул (2.5) вытекает, что при этом /2 = да, /3 = да, а выражения (2.4) для Н и Тудается проинтегрировать в явном виде:

Н =

Т =

М

k =

П (1 - С 2)(1 - А2 в 2У у^(1 - А 2)(1 - в 2)(1 - с2) ’ \

(1 - А2в 2)(1 - С2)

(1 - в 2)(1 - А2 С2)

(3.1)

Формулы (3.1) совпадают с соответствующими формулами [2] (стр.191, формулы (7.17) и (7.18)), если учесть, что параметры а и в из [2] связаны с данными следую-

щими соотношениями: а =

в_

*С^

(1 - С2) 1

(1 - в Г Н

(1 - С2)

(1 - в2)

4. Схема вычислений и анализ численных результатов. На рис. 1 изображена картина течения, рассчитанная при у0 = 1 , Н = 2 , 2 = 1.14 , 7=1.934, А/ = 0.308 и

Ad = 0.295 . Результаты расчетов влияния определяющих физических параметров у0 , Н, 2, Т, А/ и Ad на размеры /1, d1 (а, следовательно, / и d ), /2 и /3 приведены в табл. 1-3. В каждом из блоков таблиц (они разделены вертикальными линиями) варьируется (в допустимом диапазоне) один из указанных параметров, а значения остальных фиксируются у0 = 1, Н = 2, 2 = 1.14, 7=1.934, А/ = 0.308 и Ad = 0.295. Анализ данных таблиц и рисунков позволяет сделать следующие выводы.

Таблица 1

0.5

0

0

а

V) /1 d1 /2 /3 Н /1 d1 /2 /3

0.085 0.838 0.375 2.038 1.835 0.12 0.085 0.076 2.646 0.900

0.090 0.662 0.329 2.035 1.677 0.14 0.170 0.133 2.410 1.028

0.100 0.397 0.161 1.640 1.051 0.16 0.273 0.186 2.228 1.160

0.120 0.359 0.118 1.026 1.018 0.18 0.395 0.230 2.072 1.288

104 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ИЯ № 9 (49) 2008

Т аблица 2

2 /1 й1 /2 /3 Т /1 й1 к /3

0.14 0.571 0.226 2.014 1.1 0.710 0.055 1.265 1.543

0.16 0.587 0.209 2.808 1.3 0.682 0.101 1.454 1.562

0.18 0.597 0.200 3.192 2.846 1.7 0.598 0.202 1.795 1.626

0.20 0.601 0.195 3.579 3.245 1.9 0.553 0.246 2.020 1.668

Т аблица 3

А/ к й1 /2 /3 Ай /1 й1 /2 /3

0.30 0.617 0.203 2.294 1.904 0.25 0.374 0.537 2.695 2.128

0.37 0.395 0.349 2.536 0.30 0.586 0.209 2.311 1.901

0.44 0.102 0.649 2.751 2.056 0.35 0.723 0.066 1.992 1.651

0.50 0 0.723 2.759 2.058 0.40 0.738 0 1.974 1.627

Уменьшение скорости обтекания и увеличение действующего на сооружение напора приводят к росту всех размеров плотины, а также величины горизонтального участка водоупора. Из табл. 1 следует, что изменение скорости в 1.41 раза увеличивает ширину / и толщину й1 соответственно на 133 и 218 %. При этом наиболее существенное влияние на ширину плотины и ее глубину оказывает действующий напор: из второго раздела табл. 1 видно, что при возрастании параметра Н на 50% величины /1 и й1 изменяются в 4.6 и 3 раза соответственно.

Из второго раздела табл. 2 следует, что наряду с параметром Н мощность пласта также сильно влияет на глубину й1, изменяя последнюю в 4.6 раза.

Разделы табл.3, относящиеся к параметрам А/ и Ай, отражают закономерность, которая является естественной с физической точки зрения: увеличению разности А/ (Ай) сопутствует убывание (рост) ширины плотины / и рост (убывание) ее толщины й. Так, с изменением А/ на 47% ширина /1 уменьшается в 6.1 раза, толщина й1 увеличивается в 3.6 раза, а при изменении Ай на 40% ширина плотины /1 увеличивается на 97%, в то время, как толщина й1 убывает уже на 714%.

Последняя строка табл.3 соответствует случаям обтекания шпунта (зуба), когда /1=0, /= А/, и флютбета с горизонтальной вставкой, где й1 =0, й= Ай.

Литература

1. Кочина И. Н., Полубаринова-Кочина П. Я. О применении плавных контуров основания гидротехниче-

ских сооружений// ПММ. - 1952. - Т. 16. - Вып. 1. - С. 57-66.

2. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. - М.: Гостехиздат, 1977. - 664 с.

3. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1965. - 333с.

4. Аксентьев Л. А., Ильинский Н. Б., Нужин М. Т., Салимов Р.Б., Тумашев Г.Г. Теория обратных крае-

вых задач для аналитических функций и ее приложения// Итоги науки и техники. Мат. анализ. -1980. - Т. 18. - С. 67-124.

5. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. - М.: Изд-во иностран. лит., 1963.

- 406 с.

6. Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде.

- М. - Л.: ОНТИ, 1936. - 365 с.

7. Береславский Э. Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным ото-

бражением круговых многоугольников в полярных сетках// Дифференц. уравнения. - 1997. - Т. 33. -№ 3. - С. 296-301.

8. Береславский Э. Н. О конформном отображении некоторых круговых многоугольников на прямоугольник// Изв. вузов. Математика. - 1980. - № 5. - С. 3-7.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. -

1108 с.

10. Береславский Э. Н. Определение подземного контура заглубленного флютбета с участком постоянной скорости при наличии соленых подпорных вод// ПММ. - 1998. - Т. 62. - Вып. 1. - С. 169-175.

MODELING OF A CONSTANT VELOCITY CONTOUR OF THE DAM WITH EXISTENCE OF THE CURVED WATERSUPPORT

E.N. Bereslavskii, L.A. Aleksandrova

St.-Petersburg State University of Civil Aviation,

38 Pilotov str., St.-Petersburg, 196210 Russia e-mail: [email protected]

It is built underground keyline of the deep square-wave dam, which comes are rounded on crooked constant value of the velocities to filtration when permeable foundation is laid under curvilinear watersupport, incomposition which enters the horizontal length, herewith rest area are characterized by constancy to velocities flows around. The decision corresponding to multivariable mixed problem to theories analytical function is realized by means of using the principle to symmetries Rimann-Schwartz and floorinverse of the variant of the way godograf velocities, for the first time offered by P.YA. Polubarinova- Kochinoy and I.N. Kochinoy . Happen to the results numerical calculation and is given hydrodinamical analysis of the influence main physical parameters to models on the form and sizes of the underground keyline of the dam, horizontal and curvilinear area watersupport. It is marked limiting case, when watersupport on all its length is horizontal (the case P.YA. Polubarinova- Kochinoy and I.N. Kochinoy).

Key words: filtration, ground water, dam, principle to symmetries Rimann-Schwartz and floorinverse of the variant of the way godograf velocities.