CC BY
48
УДК 550.834, 620.17
Об определении упругих констант высокопластичных материалов
Ю.И. Колесников, С.С. Борода1
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 1 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 630090, Россия
Измерение упругих констант выгсокопластичныж материалов статическими методами затруднено вследствие их низких пределов упругости, а динамическими — из-за очень сильного поглощения поперечныж волн. В работе обсуждаются особенности методики определения упругих свойств выгсокопластичныж материалов по данным измерений параметров стержневых и объемных продольных волн. При работе с относительно небольшими образцами измерения параметров объемныж продольныж волн выполняются на частотах порядка сотен килогерц, а стержневых — на первых килогерцах, чтобы выполнялось условие тонкости стержня в сравнении с длиной волны. На примере пластилина показано, что из-за повышенных поглощающих свойств высокопластичных материалов при обработке результатов измерений по рассматриваемой методике необходимо учитывать обусловленную поглощением собственную дисперсию скоростей упругих волн.
Ключевые слова: высокопластичные материалы, упругие константы, поглощение упругой энергии, собственная дисперсия скоростей
On the determination of elastic constants of highly plastic materials
Yu.I. Kolesnikov and S.S. Boroda1
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 1 Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090, Russia
Elastic constants of highly plastic materials are difficult to measure by both static methods due to their low elastic limits and dynamic methods because of very high absorption of shear waves. In the paper we discuss peculiarities of a procedure for determining elastic properties of highly plastic materials using data obtained for longitudinal waves in bars and bulk specimens. For relatively small bulk specimens parameters of longitudinal waves must be measured at frequencies about several hundred kilohertz and those in bars about several kilohertz to satisfy the condition of the bar thinness as compared to the wavelength. Plasticine is used to show that for this procedure the dispersion of elastic wave velocities induced by absorption should be taken into account due to increased absorbing properties of highly plastic materials.
Keywords: highly plastic materials, elastic constants, elastic energy absorption, proper velocity dispersion
1. Введение
Существует ряд материалов как природного, так и искусственного происхождения, обладающих повышенными пластическими свойствами: воск, парафин, битум, асфальт, пластилин и др. Из горных пород наиболее типичными пластичными материалами являются влажные глинистые грунты, хотя в определенных термобарических условиях пластичными могут становиться многие породы (наглядный пример — магма, изливающаяся в виде лавы при извержении вулканов).
Определение упругих констант высокопластичных материалов связано со значительными трудностями. Применение статических методов, основанных на измерении упругих деформаций образцов, к которым при-
ложены квазистатические нагрузки, затруднено из-за очень малых пределов упругости высокопластичных материалов. Более широкие возможности для определения упругих свойств таких материалов имеют динамические методы, основанные на возбуждении в образцах упругих колебаний с относительно небольшими амплитудами деформаций и наблюдении за возникающими при этом волновыми процессами. Измерив скорости и поглощение продольной (Р) и поперечной волн, можно по этим параметрам рассчитать другие упругие константы материалов (например модули Юнга, сдвига и всестороннего сжатия, коэффициент Пуассона и т.д.) [1].
Одна из основных проблем при лабораторных исследованиях упругих свойств высокопластичных мате-
© Колесников Ю.И., Борода С.С., 2009
риалов динамическими методами — определение параметров поперечных волн, т.к. для таких материалов характерно более сильное поглощение энергии S-волн в сравнении с Р-волнами. Высокое поглощение и более низкая скорость поперечных волн приводят к тому, что на малых базах измерений импульсы S-волн могут быть сильно искажены в результате интерференции с хвостовыми частями импульсов Р-волн. Следствие этого — повышенные требования к способам излучения и приема, которые должны обеспечивать регистрацию практически чисто сдвиговых колебаний с приемлемым отношением сигнал/помеха.
Альтернативный способ определения упругих параметров — наряду с объемными продольными волнами использовать низшие продольные нормальные волны в тонких по отношению к длине волны стержнях (далее будем называть их стержневыми волнами). Продольные колебания в стержнях технически легко возбуждать, к тому же они регистрируются, в отличие от S-волн, в первых вступлениях, не интерферируя с пришедшими ранее волнами. Проиллюстрируем возможности такого способа на пластилине — высокопластичном материале, основные механические свойства которого близки к свойствам влажных глинистых грунтов [2-4].
2. Методика экспериментов
Поскольку пластилин обладает сильными поглощающими свойствами, то для определения его упругих параметров динамическим способом необходимо измерить скорости и декременты поглощения изучаемых (в нашем случае продольной и стержневой) волн [5]. При этом нужно учитывать возможную зависимость этих параметров от частоты, т.к. измерения приходится проводить в разных частотных диапазонах — в килогерцо-вом для стержневой волны, т.к. стержень должен быть тонким в сравнении с длиной волны, и на значительно более высоких частотах для Р-волны, что связано с ограниченными размерами объемного образца.
Результаты ультразвуковых измерений, выполненных для продольной волны на блоке из пластилина по методике прозвучивания под углом 45° [6], приведены в работе [7]. Эти измерения показали, что на частоте 300 кГц скорость и декремент поглощения Р-волны равны соответственно ср = 1695 м/с и 6р = 0.21. При этом коэффициент поглощения в диапазоне нескольких октав примерно пропорционален частоте. Поперечные волны в этих экспериментах на ультразвуковой сейсмограмме визуально не наблюдались, лишь после подавления высокочастотных колебаний низкочастотным фильтром удалось получить весьма приближенные оценки параметров S-волны на частоте 15 кГц: с8 = 390 м/с и 98 = = 1.1.
Для определения скорости и поглощения стержневой волны нами проведены эксперименты со стержнями, изготовленными из того же пластилина, на блоке
которого проводились измерения скорости и поглощения Р-волны. Механические свойства пластилина довольно сильно зависят от температуры, поэтому в ходе экспериментов она поддерживалась в пределах 17 ± 0.5 °С, как и в эксперименте на продольных волнах, описанном в работе [7].
Методика экспериментов основана на сравнении сигналов, прошедших через два стержня разной длины из одного материала. Вначале был изготовлен стержень диаметром 5.4 мм и длиной примерно 830 мм с утолщениями на торцах, к которым были прикреплены два пъе-зокерамических датчика. Попытки использовать один из датчиков как излучатель, подавая на него сигналы от генератора прямоугольных импульсов, не дали удовлетворительных результатов — уровень регистрируемых сигналов не обеспечивал приемлемого отношения сигнал/помеха.
Поэтому упругие колебания в стержне возбуждались ударом тонкой плоской пружины, жестко закрепленной с одного конца, по торцу контрольного датчика (рис. 1). Такой способ излучения позволил получить записи стержневой волны с высоким отношением сигнал/помеха в диапазоне частот, обеспечивающем достаточную тонкость стержня. Во всем диапазоне длины волн более чем на порядок превышали толщину стержня, что является условием регистрации стержневой волны в чистом виде, практически в отсутствие геометрической дисперсии ее скорости [8].
При выбранной схеме излучения изготовленный на базе пьезокерамического диска диаметром 10 мм и толщиной 1 мм высокочастотный датчик, по которому производились удары, использовался для контроля формы излучаемого сигнала и синхронизации записывающего устройства — цифрового компьютеризированного осциллографа В-423. Второй датчик — акселерометр ИС-313А (рабочий диапазон частот 0.01-20 кГц) служил для регистрации осциллографом импульсов, прошедших через исследуемый образец. В ходе экспериментов регистрировались сигналы от обоих датчиков — как в точке излучения, так и в точке приема.
После измерений на длинном стержне средняя часть его была вырезана, а образовавшиеся свободные торцы крайних частей разрезанного стержня сращены. При этом условия на контактах датчиков с образцом не менялись (датчики оставались прикрепленными к разрезанному стержню), а расстояние источник-приемник
Рис. 1. Схема эксперимента. ДП и ДИ — ультразвуковые датчики в точках приема и излучения соответственно
уменьшалось на длину вырезанной части стержня (611 мм) — эта длина в данной методике является базой измерений.
3. Обработка экспериментальных записей
Обеспечить точную повторяемость от удара к удару формы и амплитуды излучаемых импульсов, что требуется для корректного сопоставления прошедших через стержни разной длины сигналов, при выбранном способе излучения практически невозможно. Поэтому была получена серия записей: 40 сигналов для длинного и 40 для короткого стержня (по 20 сигналов от каждого датчика — в точке излучения и в точке приема). Шаг дискретизации при регистрации цифровым осциллографом был равен 1 мкс, длительность записи — примерно 16 мс.
Для выбора записей импульсов, прошедших через стержни разной длины, но имевших в точке излучения максимально совпадающую форму, все сигналы, зарегистрированные контрольным датчиком (в точке удара), после вычитания постоянной составляющей нормировались на максимальное для каждой записи значение. Затем из всех возможных комбинаций пар записей для стержней разной длины были выбраны два наиболее схожих по форме сигнала (коэффициент корреляции равен 0.997).
Соответствующие выбранным ударам записи сигналов, зарегистрированные вторым датчиком в точке приема для длинного и короткого стержней, также предварительно обрабатывались — после вычитания постоянной составляющей их амплитуды делились на нормирующие множители, применявшиеся при нормировании сигналов с контрольного датчика (т.е. на максимальные амплитуды этих сигналов). Таким образом, было имитировано излучение в стержни разной длины импульсов практически одинаковой амплитуды и формы. После этого для удаления из записей, полученных в точках приема, высокочастотного шума они фильтровались низкочастотным фильтром с частотой среза 20 кГц. Сигналы после фильтрации приведены на рис. 2.
4. Поглощение и дисперсия скорости стержневой волны
Для определения зависимости коэффициента поглощения стержневой волны от частоты аЪ (f) были рассчитаны амплитудные спектры сигналов, зарегистрированных в точках приема на коротком и длинном стержнях. При вычислении спектров для уменьшения возможного влияния отражений от торцов стержня применялась симметричная относительно первого максимума каждого сигнала косинусная весовая функция Хана [9] с шириной временного окна 3 мс.
Учитывая экспоненциальный характер вызванного поглощением убывания амплитуды с расстоянием [10], а также то, что геометрическое расхождение при стерж-
Рис. 2. Сигналы в точке приема, соответствующие двум наиболее схожим в точке излучения сигналам для короткого (1) и длинного (2) стержней
невых измерениях отсутствует, коэффициент поглощения для каждой частотной составляющей может быть определен из выражения
а (л _ Щ.АУ)/A2(f)]
аЪ(/ ) _->
г2 - Г1
где А1(f) и А2(f) — амплитудные спектры импульсов, зарегистрированных для короткого и длинного стержней соответственно; г2 - г1 — база измерений, т.е. разность длин двух стержней (в нашем случае 611 мм).
На рис. 3, а представлена экспериментальная зависимость коэффициента поглощения стержневой волны от частоты аЪ(f). Зависимость приведена для сравнительно узкого частотного диапазона (порядка октавы), т.к. на более высоких частотах резко снижается отношение сигнал/шум из-за очень низких амплитуд высокочастотной части спектра, в особенности для длинного стержня. На более низких частотах спектры могут быть сильно искажены из-за применения при их расчетах относительно короткой весовой функции [9]. Тем не менее, как видно из рисунка, в исследуемом частотном диапазоне зависимость коэффициента поглощения стержневой волны от частоты близка к линейной.
Построенная зависимость хорошо согласуется с полученными ранее результатами для объемной Р-волны в пластилине [7], но наклон графика для стержневой волны существенно больше, что говорит о ее более сильном поглощении — определенный в данном эксперименте средний для исследованного частотного диапазона декремент поглощения стержневой волны равен 9Ъ = 0.88, в то время как декремент продольной волны,
согласно [7], составляет 6р = 0.21.
аь, м' 5
а
сь, м/с
ш
500
490
480
470
о
V
У
1.5
2.0 2.5 1, кГц
1.5 2.0
2.5 1, кГц
Рис. 3. Коэффициент поглощения (а) и скорость (б) стержневой волны в пластилине в зависимости от частоты
Со, м/с
Е, ГПа
330
290
250
\ппрок(» мация^
Экспери лент
12
15 1, кГц
Рис. 4. Рассчитанная по скоростям продольных и стержневых волн экспериментальная дисперсионная кривая для скорости поперечных волн в пластилине и ее аппроксимация моделью Кьяртансона
можно видеть из рисунка, даже с учетом собственной дисперсии отличие этой оценки от скорости с8 = 340 м/с, рассчитанной для 15 кГц по измеренным значениям ср и сь, составляет примерно 13 %, что существенно превышает точность определения скоростей ср и сь, составляющую в нашем случае 0.1-0.3 %.
6. Динамические упругие константы пластилина
Теперь, когда известны частотные зависимости для скоростей продольных и поперечных волн, можно по ним построить аналогичные зависимости для модулей Юнга Е, сдвига ц и всестороннего сжатия К, воспользовавшись известными из теории упругости формулами, связывающими эти величины:
Е =
рс82(3ср2 - 4с2)
2 2 СР - С
ц = рс82, к = р| Ср2 с2 1, (5)
где р — плотность (для пластилина р = 1.38 г/см3), хотя модуль Юнга можно вычислить и непосредственно по полученной в эксперименте скорости с2: Е = рсь2.
Для получения зависимости от частоты коэффициента Пуассона V воспользуемся также известной из теории упругости формулой (2). Как и при вычислении с8 по измеренным ср и с2, не будем принимать во внимание комплексный характер упругих констант, поскольку это практически не влияет на результаты их определения.
Построенные частотные зависимости представлены на рис. 5. Как видно из рисунка, для пластилина наиболее сильная зависимость от частоты наблюдается для модулей Юнга и сдвига — их рост с частотой в иссле-
0.34
0.32
7
■{а
ц, ГПа 0.116
0.108
ш
1.5 2.0 2.5 ^ кГц 1.5 2.0 2.5 кГц К, ГПа у
3.06
3.02
Ш
0.483
0.481
ай гч
к
1 г
1.5
2.0
2.5 f, кГц
1.5
2.0
2.5 кГц
Рис. 5. Динамические модули Юнга (а), сдвига (б), всестороннего сжатия (в) и коэффициент Пуассона (г) пластилина в зависимости от частоты
дуемом частотном диапазоне составляет 11-12 %. Для модуля всестороннего сжатия рост менее заметен и составляет менее 3 %. Коэффициент Пуассона меняется наиболее слабо, причем для него наблюдается обратная в сравнении с ц, Е и К зависимость, т.е. уменьшение значений V с ростом частоты.
Учитывая наблюдаемую зависимость от частоты как скоростей упругих волн, так и динамических упругих параметров, представляет интерес оценить возможное влияние собственной дисперсии скоростей на результаты измерений упругих свойств такого высокопластичного материала, как пластилин, в более широком частотном диапазоне. В табл. 1 представлены значения скоростей и упругих модулей на нескольких частотах, условно отнесенных к различным частотным диапазонам, полученные по формулам (2) и (5) с использованием аппроксимации экспериментальных данных о скоростях ср и с8 зависимостями вида (4).
Как и следовало ожидать, наблюдается значительно более сильная дисперсия скорости поперечной волны с8, характеризующейся высоким поглощением, по сравнению с дисперсией скорости продольной волны ср. Характер изменения упругих модулей от квазистатического к ультразвуковому диапазону качественно схож с исследованным частотным диапазоном, но, естественно, выражен намного сильнее — модули сдвига
Таблица 1
Оценки упругих параметров пластилина в разных частотных диапазонах (для модели Кьяртансона)
Частотный диапазон ср, м/с С, м/с ц, ГПа Е, ГПа К, ГПа V
Квазистатический (0.2 Гц) 1 252 123 0.021 0.063 2.14 0.495
Сейсморазведочный (20 Гц) 1 381 187 0.048 0.143 2.57 0.491
Акустический (2 кГц) 1 524 283 0.111 0.328 3.06 0.482
Ультразвуковой (200 кГц) 1 680 429 0.255 0.746 3.56 0.465
и Юнга возрастают примерно на порядок, модуль всестороннего сжатия — менее заметно, но тоже достаточно сильно. Коэффициент Пуассона уменьшается, но всего лишь примерно на 6 %.
Качественно эти выводы согласуются с данными о различии упругих констант горных пород, измеренных динамическими и статическими методами, одна из сводок которых приведена, например, в работе [15]. Согласно этим данным, динамические модули Юнга, как правило, больше статических (иногда в десятки раз), в то время как динамические коэффициенты Пуассона могут быть как больше, так и меньше статических. Таким образом, можно утверждать, что собственная дисперсия скоростей упругих волн является одним из основных факторов, влияющих на наблюдаемые в экспериментах различия динамических и статических упругих констант.
Как следует из таблицы, при определении упругих свойств высокопластичных материалов динамическими методами переносить полученные результаты на другие частотные диапазоны нужно с осторожностью. Исключение — коэффициент Пуассона, который вследствие относительно небольшого отношения у = ср в пластичных материалах от собственной дисперсии скоростей зависит слабо. Еще один вывод — если измерения С и ср для таких материалов сделаны в разных частотных диапазонах и при расчете упругих параметров не учитывается собственная дисперсия фазовых скоростей, результаты следует относить к частотному диапазону, в котором выполнены измерения более резко меняющейся с частотой скорости с8 (или скорости сЪ, по которой определяется с8).
7. Заключение
На примере пластилина показано, что при определении динамическим методом упругих констант высокопластичных материалов, характеризующихся повышенным поглощением поперечных волн, удовлетворительные результаты могут быть получены по данным измерения параметров стержневых и объемных продольных волн. Хотя декременты поглощения поперечных и стержневых волн сопоставимы по величине, стержневые измерения могут проводиться на образцах относительно небольшого объема в более низкочастотном диапазоне, что существенно уменьшает влияние поглощения и облегчает получение надежных результатов. Одна из особенностей такой методики — различные частотные диапазоны для волн разных типов, т.к. измерения на Р-волнах приходится проводить на высоких частотах из-за относительно небольших размеров
объемных образцов. В работе показано, что, учитывая повышенные поглощающие свойства высокопластичных материалов, при обработке результатов измерений такого типа необходимо учитывать собственную дисперсию скоростей, обусловленную поглощением энергии упругих волн.
Работа выполнена при поддержке ^езидиума РАН (программа 16, проект M 3), ^езидиума CO РАН (интеграционный проект M 6-18) и гранта Hрезидентa РФ для поддержки ведущих научных школ M НШ-2750.2006.5.
Литература
1. Физические свойства горных пород и полезных ископаемых (петро-физика): Cпрaвочник геофизика. - M.: Недра, 1984. - 456 с.
2. Бивин Ю.К., Buкmoрoв B.B., Cmenaнoв Л.П. Исследование движе-
ния твердого тела в глинистой среде // Изв. АН CCCR Mеxaникa твердого тела. - 1978. - M 2. - C. 159-165.
3. Бивин Ю.К., Buкmoрoв B.B., Коваленко Б.Я. Определение динамических характеристик грунтов методом ненетраций // Изв. АН CCCR Mеxaникa твердого тела. - 1980. - M 3. - C. 105-110.
4. Брагов A.M., Грушевский r.M., Ломунов A.K, Meдвeдeв A.A. Mеxa-
нические свойства пластилина в условиях высокоскоростной деформации // ^и^ладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов: Всесоюзный межвузовский сборник. - Нижний Новгород: Нижегородский университет, 1991. - Вып. 49. - C. 106-111.
5. Maк-Cкuмuн Г. Ультразвуковые методы измерения механических характеристик жидкостей и твердых тел // Физическая акустика / Шд ред. У. Mэзонa. - M.: Mир, 1966. - Т. 1, Ч. А. - C. 327-397.
6. Шамина О.Г. ^тощен^ продольных и поперечных волн в образ-
цах различной формы // Изв. АН CCCR Cер. геофиз. - 1959. -M 11. - C. 1619-1624.
7. КолесниковЮ.И., ИгнamoвAM., КокшаровB.3. О точности оценок
поглощения P-волн но данным акустического каротажа. Результаты физического моделирования // Геол. и геофиз. - 1992. - M 9.-C.134-141.
8. Zemanec J., Jr., RudnickI. Attenuation and dispersion of elastic waves in a cylindrical bar // J. Acoust. Soc. Am. - 1961. - V. 33. - No. 10. -P. 1283-1288.
9. Бam M. Cпектрaльный анализ в геофизике. - M.: Недра, 1980. -535 с.
10. Ceйсмoрaзвeдкa: ^равочник геофизика. - M.: Недра, 1981. -464 с.
11. Muкeр Т., Meйmцлeр A. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинках // Физическая акустика / Шд ред. У. Mэзонa. - M.: Mир, 1966. - Т. 1, Ч. А. - C. 140-203.
12. Колесников Ю.И. Cрaвнительный анализ поглощения объемных сейсмических волн и нормальных волн в тонких стержнях и пластинах // Геоакустические исследования. Mетодикa и аппаратура: C6. науч. тр. - Новосибирск: ИГиГ, 1988. - C. 67-83.
13. Коган C.Я. Краткий обзор теорий поглощения сейсмических волн. II // Изв. АН CCCR Физика Земли. - 1966. - M 11. - C. 17-28.
14. Kjartansson E. Constant Q-wave propagation and attenuation // J. Geophys. Res. B. - 1979. - V. 84. - No. 9. - P. 4737-4748.
15. Tutuncu A.N., Podio A.L., Gregory A.R., Sharma M.M. Nonlinear viscoelastic behavior of sedimentary rocks. Part I: Effect of frequency and strain amplitude // Geophysics. - 1998. - V. 63. - No. 1. - P. 184194.
^ступила в редакцию 10.11.2008 г.
Сведения об авторах
Колесников Юрий Иванович, к.т.н., доцент, заведующий лабораторией экспериментальной сейсмологии ИНГГ СО РАН, [email protected]
Борода Сергей Сергеевич, магистрант геолого-геофизического факультета НГУ
