CC BY
29
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2012. № 9(100)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.6
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ДВУОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
© 2012 А.А. Абашкин1
Для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца в бесконечной полосе 0 < x < a поставлена задача со специальными условиями на линии y = 0. Данные условия устанавливают разности некоторых односторонних пределов в виде известных функций, кроме того, на правой части границы, а также в бесконечности искомая функция полагается равной нулю, на левой границе задается нулевое условие, но при некоторых значениях параметра ц, входящего в уравнение, это условие с весом.
При одних ограничениях на параметры уравнения установлено существование решения поставленной задачи, при других — единственность.
Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, задача о скачке, функции Бесселя, ряд Фурье — Бесселя, принцип максимума.
1. Постановка задачи
Для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца
2м 2p . .
Uxx + Uyy +--Ux +--Uy + Xu =0 (1.1)
yy x y y
рассмотрим задачу в полосе D = {(x, y) | 0 < x ^ a, —ж < y < +ж}.
Задача P. Найти функцию u(x,y), удовлетворяющую следующим условиям:
u(x, y) е C((0, a] x ((—ж, 0) U (0, +ж)) П C2(D3\{y = 0}), (1.2)
p[u(x,y)]=0, u(a, y) = 0, lim u(x,y)=0, (1.3)
lim x2ß-1u(x, y) = 0, p> -, (1.4)
x^ü+ 2
u(x, y) -lim —-= 0, ц =-, (1.5)
x^0+ ln x 2 v 7
хАбашкин Антон Александрович ([email protected]), кафедра высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.
u(0,y)=0, ¡< 2, (1.6)
lim [y2p-1u(x,y)] — lim [(-y)2p-1 u(x,y)] = r(x), p> 1, (1.7)
y^o+ y^o- 2
lim -1— lim --I = r(x), p =-, (1.8)
y^o+l lnу y^o-ln(—y)1 1 2' v 7
lim u(x,y) — lim u(x,y) = r(x), p< -, (1.9)
y^o+ y^o- 2
lim [y2puy(x,y)] — lim [(—y)2puy(x,y)] = q(x), p > —-, (1.10)
y^o+ y^o- 2
u
(x,y)^ ^ и „л-1 uy(xi у) i__1
Hm [y-1^^-] — liin [(—y)-^fP)] = q(x), P = — 2, (1.11) y^o+ ln y y^o- ln( —y) 2
lim [y-1uy(x,y) — lim [(—y)-1uy(x,y)] = q(x), p< —-, (1.12)
y^o+ y^o- 2
где r(x), q(x) — известные непрерывные функции, заданные на отрезке [0, а], такие, что:
r(0) = 0, при ¡л < 2, r(a) = 0, q(a) = 0.
Отметим, что задача, подобная задаче P, но для всего пространства при p, ¡л = = 0, А> 0 была исследована в работе [1], к такой задаче приводится скалярная задача о падении на плоскую границу раздела сред ||-поляризованных волн. Также отметим, что различные задачи в полуполосе для частных случаев уравнения (1.1) изучались в работах [2-4] и др.
2. Получение формального решения
Будем искать решение задачи P при л ^ 2 в виде:
u<*-»)={'0;, (2.1)
тогда функции u1(x,y) и u2(x,y) удовлетворяют следующим условиям:
H^p(ui(x,y)) = 0, ui(a,y)=0, г = 1,2, (2.2)
lim u1 (x,y) = 0, lim u2(x,y)=0, (2.3)
lim x2ß-1ui(x,y) = 0, л > -, i = 1, 2, (2.4)
ui(x,y) n 1 ■ 1 о ioK\
lim —--= 0, л =—, г = 1, 2, (2.5)
ln y 2 y '
lim y2p-1u1(x,y) = y(x) + r(x), p> 1, (2.6)
V u1 (x,y) i \ I i \ 1
lim —--= wix) + r(x), p =—, (2.7)
y^o+ ln y K ' w 2
ui(x, 0+) = ¥>(x) + r(x), p< 1, (2.8)
lim (-y)2p-1u2(x,y)= v(x), p> 1, (2.9)
y^ü- 2
r u2(x,y) / ч 1 /о 1пч
lim w-r = p = ö, (2.10)
y^ü- ln( —y) 2
u2(x, 0-) = y>(x), p< 2, (2.11)
где y(x) — неизвестная функция, подлежащая определению.
Пусть X < 2, где ri — наименьший положительный корень уравнения
Jß1 (z) = 0, Jv(z) — функция Бесселя первого рода [5, с. 132], ¡1 = л — 2, тогда методом разделения переменных получаем
ui(x,y) = 53 Bnxy-pi JM1 (Гпx)Kpi (£ny), (2.12)
, ^—^i^—yii (r' a
n=1
здесь К(г) — модифицированная функция Бесселя [5, е. 139], р1 = р — 2, гп — положительные нули функции (г), пронумерованные в порядке возрастания,
= (а)2 — ^, а коэффициенты Вп определяются равенствами
Вп = (сф + , Р= 2' (2Л3)
Вп = — (сф + еП), Р =2, (2.14)
где сф, сП — коэффициенты разложения в ряд Фурье — Бесселя со значком ¡л\ [5, е. 164] функций хф(х) и хг(х) соответственно.
Если функция и(х,у) является решением уравнения (1.1), то функция и(х, —у) также является решением данного уравнения. Поэтому функцию и2(х,у) можем записать в виде
+^
и2(х,у) = ^ Впх-»1 (—у)-Р1 КР1 (—inУ)J^ (- х), у< 0, (2.15)
п=1 а
где
^\Р1\ 1
Вп = сф Г(Р1|)2\Р1\-1, Р =2, (2.16)
Вп = —сф, р =1 • (2.17)
Подставим функцию и(х, у), определяемую формулой (2.1), в которой функции и1(х,у) и и2(х,у) задаются равенствами (2.12) и (2.15) соответственно, в условие (1.10), при р > 2 получим
]Г 2(2сф + cn)(pi + 1) JM1 (ax) = x»1 q(x).
Разложив правую часть последнего равенства в ряд Фурье — Бесселя и при-
равняв коэффициенты с одинаковым индексом и выразив сф, будем иметь
= —_ _
cn_ 1
2 4(pi + 1)' Р> 2 ■
(2.18)
Аналогичным образом находим значения коэффициентов сф при других зна-
чениях параметра Р
сф = cn
cr + cq
2
Р=
2
r(-pi)£pi
cr i i -cq - — -1 <p < 1
ГР + 1)22P1+2 n 2 ' 2 <Р< 2'
ф p 1 q ^n ^ _
= - cqn - у > p ^ " ■
(2.19)
(2.20) (2.21)
Для оператора H^p справедливы принципы соответствия [6, c. 163]
1
ф
n
n
Н*р(х1-2»и(х, у)) = у)), Нх^(у1-2ри(х, у)) = Н»-(и(х, у)). (2.22)
Из первого принципа следует, что для того чтобы получить формулы для решения задачи Р при ¡л < 2, необходимо в формулах (2.12)—(2.17) заменить ¡л\ на —¡1 и домножить на х-2»1 правые части формул (2.12) и (2.15).
В общем случае функции и\(х,у) и и2(х,у) можно записать в виде
и-1(х,у) = Вих-»1 у-р1 ^М1|(-х)Кр1 (&у), (2.23)
1 а и=1
где коэффициенты Ви определяются по формулам (2.13) и (2.14), Ги — нули функЦии ^ »1М,
и2(х,у) = ^2 Вих-»1 (—у)-р1 Кр1 (—ЬуЦ»11(ах), (2.24)
и=1
где коэффициенты Ви задаются равенствами (2.16) и (2.17).
3. Существование решения задачи
Теорема 1. Пусть Л < (Г^)2, функции r(x) и q(x) имеют ограниченную вариацию на отрезке [0, а] и для них верны соотношения: r(x) = o(x—^1-1+s), q(x) = = ) при x ^ 0+ для некоторого числа 5 > 0, тогда решение зада-
чи P существует и выражается с помощью формул (2.13), (2.14), (2.16)-(2.21), (2.23), (2.24).
Доказательство.
Достаточно доказать следующее:
1) что существует функция <^(x) такая, что числа ёф, выражаемые формулами (2.18)-(2.21), являются коэффициентами ее разложения в ряд Фурье — Бесселя, и сумма ряда совпадает с x);
2) что правомерно использовать вместо функций q(x) и r(x) их разложения Фурье — Бесселя;
3) равномерную сходимость рядов (2.12), (2.15) и рядов, получающихся от них одно- и двукратным почленным дифференцированием по х и по у.
оо
1. Докажем, что ряд сСф.1»1 (ax) с коэффициентами сф, определяемыми фор-
n
мулами (2.18)—(2.21), сходится и является рядом Фурье — Бесселя для своей суммы.
В случаях формул (2.18) и (2.19) это так, потому что ряд сф J»1 (ax) —
n
линейная комбинация равномерно сходящихся рядов.
Ряд Y1 cфJ»1 (ax) с коэффициентами, определяемыми формулами (2.20) и
n
(2.21), сходится равномерно как сумма двух рядов, один из которых сходится равномерно, а членами второго являются произведения членов равномерно сходящегося ряда и убывающей последовательности.
2. Для равномерной сходимости ряда Фурье — Бесселя достаточно непрерывности и конечной вариации функций x»1 r(x) и x»1 q(x) на интервале (0,a), а также
а а
конечности интегралов J Ix»r(x)ldx и J Ix»q(x)|dx [5,c.136-137]. Все эти условия в
üü данном случае выполнены.
3. Достаточно доказать равномерную сходимость ряда (2.23) с коэффициентами (2.13), (2.14) на множестве
D+ = {(x, y) | £i < x < a, £2 < y < +ж},
где £i, £2 — произвольно малые положительные постоянные, и ряда (2.24) с коэффициентами (2.16), (2.17) на множестве
D- = {(x,y) | £i < x < a, —ж <y < —£2},
а также рядов, полученных из них почленным однократным и двукратным дифференцированием по x и по y.
Доказываемые утверждения являются следствием экспоненциального убывания на бесконечноси функции Kv (z) [5, c. 173].
4. Единственность решения задачи
Вначале докажем единственность двух вспомогательных задач. Задача D. В полуполосе D+ = {(x,y) | 0 < x < a, y > 0} нужно найти функцию ui(x, y), удовлетворяющую условиям (2.2), (2.4), (2.5), первому равенству условия (2.3), а также
ui(0,y) = 0, ¡< -, (4.1)
lim y2p-iui(x,y) = a(x), p> 1, (4.2)
у ui(x,y) , Л 1 /, o\
lim -= a(x), p = -, (4.3)
y^ü+ lny v 2 v 7
ui(x, 0) = a(x), p< 2, (4.4)
где a(x) известная функция достаточной степени гладкости.
Лемма 1. При X < 0, если существует решение задачи D, то оно единственно.
Доказательство. Представим решение задачи Б в виде
и\(х,у)= Л(х,у)Б(х,у). (4.5)
Подставив функцию п\{х,у) в виде (4.5) в уравнение (1.1), получим:
^(Л(х, у)) = Лжж + Луу +(х + Лж+
+ (7 + Б) Л» + ^ББЛ = 0. (4-6)
При Л < 0 обозначим Л = —к2.
Следуя методу, изложенному в работе [5], найдем функцию Б(х,у) такую, что Б(х, у) = 0(у1-2Р), р> 1, Б(х, у) = 0(1п у), р = 2 при у — 0, Б(х,у) = 0(х1-2^, *> 2, Б(х, у) = 0(1п х), * = 2 при х — 0, Б(х, у) > 0 и Н^р(Б(х,у)) < 0 в Б1.
Поставленным условиям будет удовлетворять функция
Б(х, у) = х-Р1 у[К^ (ах) + I^ (ах)] х
х[КР1 (V к2 — а2у) + 1Р1 (V к2 — а2у)]+ С, (4.7)
где 0 < а < к, С > 0.
Подставим функцию и(х,у) в виде (4.5), где функция Б(х,у) определяется равенством (4.7), в краевые условия задачи Б, получим
1^р(Л(х,у)) = 0, Л(а,у)=0, Л(х, 0) = 0, (4.8)
21-М1 уР1 1
уР1 1
Л("'у, = ФМ = — кп Ык2 — а'2у) + 1Г1 (Vk2 — а2у) * =2• (4Л0)
л, ч ^ ^к2 — а2Р1 х»1 . . 1 . .
Л(х, 0) = ^1(х)=2Р1-1Г(р1)[КМ1 (ах) + ^ (ах)] ф(х), Р> 2, (4.11)
Л(х, 0) = ф1(х) = —х^ [КМ1 (ах) + 1^1 (ах)]-1ф(х), р = 2, (4.12)
Таким образом, если и1 (х, у) — решение задачи Б при р, * ^ 2, то Л(х,у) удовлетворяет условиям (4.8)-(4.12), то есть является решением задачи Дирихле и наоборот. Из принципа максимума для эллиптических уравнений следует, что задача с условиями (4.8)-(4.12) имеет единственное решение, а значит, функция и1 (х, у) тоже находится единственным образом.
Утверждение леммы при других значениях параметра р и * является следствием принципов соответствия (2.22).
Задача N. Найти функцию и1(х,у), которая в области удовлетворяет условиям (2.2), (2.4), (2.5), (4.1), первому равенству условия (2.3), а также следующим условиям:
о 1
Иш у2Р-и = Ь(х), р> — -, (4.13)
ду 2
du 1
lim (у ln y)-1 = b(x), p = - -, (4.14)
Oy 2
du 1
lim y-1 = b(x), p< - -, (4.15)
dy 2
где b(x) — известная функция достаточной степени гладкости.
Лемма 2. При Л < 0, если существует решение задачи N, то оно единственно. Как и ранее, обозначим Л = -k2.
Пусть u1(x,y) решение задачи N с однородными краевыми условиями. Определим функцию
B(x,y) = xy-P1 K^ (jx)Kp1 (Vk2 - Yy) + C,
где y и C — произвольные числа, удовлетворяющие условиям 0 < y < k, C > 0.
Вследствие асимптотического поведения функции Kv(z) при y ^ 0 [5, c. 173], однородные условия (4.13)-(4.15) эквивалентны условию
Ihn (-By(x,y))-1 ^ =0, (4.16)
dy
а условия (2.4), (2.5) и (4.1) эквивалентны
Um U-P^\=0. (4.17)
y^o+ B(x,y)
Из условий (4.16) и (4.17) следует, что для любого е > 0 существует п > 0 такое, что
д
\ (х,у)\ < —еВу (х,у), (4.18)
ду
\и1(х,у)\ < еВ(х,у),
для всех 0 < у ^ ц.
Рассмотрим функции Ш(х,у) = еВ(х,у) ±и1(х,у). Для них верно соотношение Н»р<0, откуда следует, что функция Ш(х,у) не может иметь отрицательного минимума во внутренней точке.
Для области = (ц,а) х (ц, ж), на левой и правой границе области, а также в бесконечности Ш(х,у) > 0. Если наименьшее значение функции Ш(х,у) отрицательно, то Ш(х,у) принимает это значение на линии у = ц, но этого не может быть в силу свойства (4.18). Получаем, что Ш(х,у) > 0 везде в , в силу того что ц может быть сделано сколь угодно малой, то это свойство выполнено для всего . Из произвольности е следует, что и1(х,у) = 0, что и требовалось доказать.
Теорема 2. При Л < 0 решение задачи Р единственно.
Доказательство.
Допустим, что и1(х,у), и2(х,у) представляют два различных решения задачи Р, рассмотрим их разность и%(х,у) = и1(х,у) — и2(х,у), тогда функция и%(х,у) тоже будет решением задачи Р, в которой г(х) = д(х) = 0. Обозначим Щ(х,у) = = из(х, —у). Эта функция также будет решением уравнения (1.1). Тогда разность и±(х,у) = из(х,у) — Щ(х,у) удовлетворяет задаче Б с однородными условиями. По лемме 1 и±(х,у) = 0.
Мы получили, что us(x,y) = u%(x,y), но в таком случае
г 2p du3(x,y\ у и \2p du3(x,y\ ^ 1
] = - y^-^'—d^-] p> -2,
lim y— du3(x,y) = - imv {(-уГ1 du3(x,y) p = -1
y^o+Liny dy y^o- ln(-y) dy 2
а значит
lim y-1d_us^] = - l.m (-y)-1
dy
y^o-
8u3(x,y) dy
p< - 2,
Г 2p du3(x,y\ „ ^ 1
lim}y —я— ] = 0, p> -Ö
y^o+ dy 2
y 1 du3(x,yV =0 =
i , p 2,
lim [, n
y^o+ ln y dy
1 du3(x,y) 0^ y^o+yy dy J '
1
p< - 2 •
В этом случае из(х,у) — решение задачи N с однородными условиями. По лемме 2 из(х,у) = 0, что и требовалось доказать.
Замечание. При ^ ^ 2 решение задачи Р будет ограничено в окрестности прямой х = 0. Поэтому, если заменить условия (2.4), (2.5) на условие ограниченности решения вблизи оси ОУ, то такая задача будет однозначно разрешима, единственность решения следует из теоремы 2 и того, что условие ограниченности более жесткое, чем условия (2.4), (2.5).
1
i,
Литература
[1] Плещинский Н.Б. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные задачи дифракции электромагнитных волн на плоских металлических экранах. Казань: Изд-во КГУ, 2003. 30 с.
[2] Шимкович Е.В. О весовых краевых задачах для вырождающегося уравнения эллиптического типа в полуполосе // Литовский математический сборник. 1990. № 30. С. 185-196
[3] Лернер М.Е., Репин О.А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. С. 1562-1564.
[4] Моисеев Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. С. 1565-1567
[5] Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. СПб.: Лань, 2010. 368 с.
[6] Маричев О.И., Килбас А.А., Репин О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. Самара: Изд-во СГЭУ, 2008. 275 с.
Поступила в редакцию 22/V/2012; в окончательном варианте — 22/V/2012.
ON ONE PROBLEM IN INFINITY STRIP FOR BIAXISYMMETRIC HELMHOLZ EQUATION
© 2012 A.A. Abashkin2
Boundary value problem with special conditions on line y = 0 in infinity strip 0<x<a for generalized biaxisymmetric Helmholz equation is set. Conditions of this problem set difference of some one-sided limits of known functions. Unknown function is zero in the right boundary and in infinity. Unknown functions with weight for one parameter ^ value and without weight for other. Existence of solution is proved for some conditions. Uniqueness of solutions is proved for other some conditions.
Key words: Helmholz equation, problem about leap, Bessel function, Fourie — Bessel series, maximal principle.
Paper received 22/ V/2012. Paper accepted 22/V/2012.
2Abashkin Anton Alexandrovich ([email protected]), the Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russian Federation.
