CC BY
35
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 2(83)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ГЕЛЬМГОЛЬЦА
© 2011 А.А. Абашкин1
Для вырождающегося эллиптического уравнения в полуполосе исследована нелокальная задача, краевые условия которой существенно зависят от изменения коэффициента уравнения при младшей производной. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.
Ключевые слова: нелокальная задача, уравнение Бесселя, базис Рисса, равномерная сходимость ряда.
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
2р
Ьи = пхх + иуу + —иу - Ь2 и = 0 (1.1)
в полуполосе Б = {(х,у) | 0 < х < 1, у > 0}. Для уравнения (1.1) поставим следующую задачу.
Задача. Найти в области Б функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (1.1) и условиям
и(х,у) е С1(Б и{х = 0,у> 0}) П С2(Б);
i(0,y)= u(1,y), Ux(0, y) = 0, lim u(x,y) = 0,
lim y-1uy (x,y) = v(x), 2p < —1,
lim (V1 Uy(X,y)) = v(x), 2p = —1, y-o+ ^ ln(y) ) K h 1 '
lim y2puy(x,y) = v(x), 2p > —1.
1.2)
1.3)
1.4)
1.5)
1.6)
Заметим, что в работе Е.И. Моисеева [1] для уравнения (1.1) исследована аналогичная задача, но условия (1.4)—(1.6) имеют другой вид.
1Абашкин Антон Александрович ([email protected]), кафедра высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.
Отметим также, что подобные задачи, но для уравнения
утихх + иуу — Ъ2ути = 0, Ъ > 0, т > 0
рассматривались в публикациях [1—3].
Настоящая работа выполнена в русле отмеченной тематики.
2. Единственность решения
Теорема 1. Если решение задачи для уравнения (1.1) с условиями (1.2)—(1.4); (1.2),(1.3),(1.5); (1.2),(1.3),(1.6) существует, то оно единственно.
Доказательство. Пусть и(х, у) — решение какой-либо из этих задач. Рассмотрим функции
1 1
Му)=41и(х,у)^пх^ и0(у)=2!и(х,у)(1 -х)*х
о о
1
(у) = 4 J и(х,у)(1 — х) сов 2ппхйх.
1
иг,\У) = 4 У и
о
Так как и(х,у) удовлетворяет уравнению (1.1), то 1
/2р
(uxx + uyy +--uy — bu) sin 2nnxdx = 0. (2-1)
0
1
Рассмотрим интеграл 4 f uxx sin 2nnxdx, который дважды проинтегрируем по
0
частям, учитывая условия (1.3):
1 1
4 j uxx sin2nnxdx = —4(2 nn)2 j u sin2nnxdx = — (2nn)2vn. (2-2)
00
Из (2.1), (2.2) и определения функции уп(у) следует, что:
Уи(у)" + ~Уп(у)> — ((2пп)2 + Ъ2К(у) = 0. (2.3)
у
Из (1.4), (1.5) и (1.6) получаются условия на уп(у):
1
(х
о
1
lim y2pvn(y)' =4 v(x) sin 2nnxdx, 2p > — 1, (2-4)
J
0
1
lim y-1vn(y)' = 4 v(x) sin 2nnxdx, 2p < — 1, (2-5)
y^°+ J
0
1
lim ( y-| =4 í v (x) sin 2nnxdx, 2p = — 1. (2-6)
y^°+ V ln(y) JJ
Из (1.3) также следует, что
lim vn(y) = 0. (2.7)
yi<x
Проведем замену: Уп(у) = у р+ 2 Ш(Ь1у), где Ь\ = ^(2пп)2 + Ь2. Тогда для Ш уравнение (2.3) приобретет следующий вид:
1 (Р- 1 )2 Ш(Ь1у)" +— Ш(Ь1у)' — (1+^,2 2 )Ш(Ь\у) = 0.
Ь1у Ь1у
После замены переменной г = Ь1у и переобозначения р1 = р — 2 это уравнение принимает вид
1 р 2
Ш (г)'' + - Ш (г)' — (1 + р1 )Ш (г) = 0.
г г2
Это модифицированное уравнение Бесселя [4, с. 13], как известно [5, с. 245], общее решение этого уравнения имеет вид:
Ш (г) = С1/Р1 (г) + С2 КР1 (г), где 1и(г) и Ки(г) — модифицированные функции Бесселя. Из этого следует, что Уп (у) = С\у-Р11р1 (Ь1у) + С\у-Р1 Кр1 (Ь1у). (2.8)
Поскольку (г) имеет на бесконечности порядок ^, то, учитывая (2.7), необходимо потребовать, чтобы С1 = 0. Так как при г ^ 0 [5, с. 246]
V ( ) Г(|^|) /о ОА
К(г) ~ ¥-ЙХЙ, (2.9)
то, учитывая формулу [4, с. 91]
[у-К„ ]' = у-Ки+1 (2.10)
и
v,
(y)' = Cb y-pi Kpi + l(bly), (2.11)
nW - Up!
найдем ylim+ y2pvn(y)' = C261 ^l+li.
При 2p > — 1 условие (2.4) нам дает представление для C2:
1
2-pi bpi ¡' C2 = ^-Лг 4 v(x) sin 2nnxdx.
Г(Р1 + 1) J
o
А тогда формулу (2.8) перепишем в виде
1
2-pi+2i,Pl }
vn(y) = r(pi + 1) J v (x)sin2nnxdxy pi Kpi (biy). (2.12)
o
При 2p < —1, учитывая (2.9) и (2.11), найдем
lim y-1vn(y)' = C2bi lim y-pi-1Kp1+i(biy) = C2bpi+22-pi-2r(—pi — 1).
yi0+ yi0+
Согласно условию (2.5), имеем следующее:
о i
2pi+2b-pi-2 г C2 = —;-1-— v (x)sin2nnxdx,
2 Г(— pi — 1) J K } '
0
о 1
2Р1+25-Р1-2 /■
vn(y) = ^-t-1—тг v(x) sin2nnxdxy-piKPi (biy). (2.13)
r(-P1 - 1) J
0
При 2p = -1, учитывая, что при z ^ 0 [5, с. 246]
Ko(z) ~ ln(-) (2.14)
z
и опираясь на формулу (2.11), получим
y-1vn(y)'\ _ „ , f y-íyKo(biy)\_ .. ln ъЦ - lnУ
li^ ^ = C2b1 lim -—, ^ = C2b1 lim \ —^- = -C2b1.
y^o+ \ ln(y) J y^o+ y ln(y) J y^o+ \ ln y I
1
На основании (2.6) будем иметь C2 = -4b-1/ v(x) sin2nnxdx, а vn(y) прини-
1o
мает вид
1
vn(y) = -4b-1J v(x)sin2nnxdxyK-1(b1y). (2.15)
o
Тем же методом, что и для vn(y), получаем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять uo(y):
uo(y)" + —uo(y)' - b2uo(y) = 0. (2.16) y
Из (1.4), (1.5) и (1.6) получаются условия на uo(y):
lim uo(y)=0, (2.17)
у^ж 1
y"ruo(y)' = 2 v(x)(l - x)
lim y2puo(y)' = 2 v(x)(1 - x)dx, 2p > -1, (2.18)
J
o
1
lim y-1uo(y)' = 2 v(x)(1 - x)dx, 2p < -1, (2.19)
J
о 1
у1^ ( =2 /ФК1 — х)^ 2Р = -1. (2.20)
о
После замены ио(у) = у-Р1 Ж(Ъу) уравнение (2.16) примет вид:
Ж (Ъу)" + - Ж (Ъу)' — (1 + ^ (Ъу) = 0. (2.21)
у Ъ2 у2
Если в качестве аргумента рассмотреть Ъу, то уравнение (2.21) — это модифицированное уравнение Бесселя [4, с. 13]. Его решение
Ж (Ъу) = С11Р1 (Ъу) + С2КР1 (Ъу).
Тогда
ио(у) = С1у-Р11р1 (Ъу) + С2 у-Р1 Кр1 (Ъу). Так как при г ^ ж 1и(г) имеет порядок ^, то необходимо положить С1 =0. Подобно, как для уп(у), найдем С2, используя условия (2.18)—(2.20).
При 2p > —1
1
2-pi bPi г C2 = —;--2 v (x)(1 — x)dx,
2 r(pi + 1) J У A > '
0
а uo(y) в этом случае имеет вид
1
2-Pi + 1bPi г
uo(y) = Г(р1 + 1) J v(x)(1 — x)dxy-piKpi (by). (2.22)
0
При 2p < —1
1
2Pi+2 b-Pi-2 j' C2 = -=r,-7^2 v(x)(1 — x)dx.
r(—p1 — 1) J
0
Для uo(y) в этом случае получаем следующее представление:
1
2Pi+3b-Pi-2 Г
uo(у) = Т?-n v(x)(1 — x)dxy-PiKpi (by). (2.23)
r(—p1 — 1) J
При 2p = —1
1
C2 = —2b-1J v(x)(1 — x)dx.
o
Функция uo(y) в этом случае принимает вид:
1
1
uo(y) = —2b-1J v(x)(1 — x)dxyK-1(by). (2.24)
o
Тем же методом, что и для vn(y), получаем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять un(y):
un(y)" + —un(y)' — ((2nn)2 + b2)un(y) = —Anuvn(y). (2.25) y
Из (1.4), (1.5) и (1.6) получаются следующие условия на un(y):
lim un(y)=0, (2.26)
y^ix
1
lim y2Pun(y)' = 4 v(x)(1 — x) cos 2nnxdx, 2p > —1, (2.27)
J
o
1
lim y-1un(y)' = 4 v(x)(1 — x)cos2nnxdx, 2p < —1, (2.28)
J
n
o
1 ^ 1
lim (y u"(y ) =4 f v(x)(1 — x)cos2nnxdx, 2p = —1. (2.29) y^o+ V ln{y) ) J
o
Уравнение (2.25) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение, его решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное уравнение совпадает с уравнением (2.3), его решение имеет вид (2.8).
Частное решение уравнения (2.25) будем искать в виде Су"К^(Ъ1у), где С, V и — параметры, подлежащие определению. Подставляя его в уравнение (2.25), получаем, что для того чтобы Су"К^(Ъ1у) было частным решением (2.25), необходимо, чтобы V = —р1 + 1, = р1 — 1 и, при 2р > —1
1
2-р1+2ъР1-1 г
С = —р-1пп---v(x) sin2пnxdx, (2.30)
Г(Р1 + 1) ]
о
при 2р < —1
при 2р = —1
о 1
2Р1+2ъ-Р1-3 г
С = р-1пп—--1-— V(х) sin2пnxdx, (2.31)
Г(—Р1 — 1) .]
о
1
С = р-1пп4Ъ-2 1 V(х) вш 2пnxdx. (2.32)
о
Таким образом, общее решение для (2.25) выглядит следующим образом:
ип(у) = С\у-Р11Р1 (Ъ1у)+ С\у-Р1 КР1 (Ъ1у) + Су-Р1 + 1КР1-1(Ъ1у), (2.33)
где С удовлетворяет (2.30), если 2р > —1; (2.31), если 2р < —1; (2.32), если 2р = = —1.
По рассуждениям, аналогичным приведенным для уп(у) и ио(у), необходимо положить С1 = 0.
Так же, как для уп(у), найдем С2, используя условия (2.27)—(2.29). В случае 2р > —1
1
2-Р1Ъ?1 [ С2 = —-г4 V(х)(1 — х) сов 2пнхс1х
Г(р1 + 1) ]
о
Тогда формула (2.33) принимает следующий вид:
1
2-Р1+2ЪР1
ГрТПУ
ип(у) = —-V I v(x)(1 — x)cos2пnxdxу Р1 КР1Ъу) —
о
1
2-Р1+2 ьи-1 г р-1пп---V(х) sin2пnxdxу-Рl+1КР1_ 1(Ъ1у).
Г(р1 + 1) ]
(2.34)
Г(р1 + 1)
В случае 2р < —1
С2 =
2Р1+3 ь-Р1-1
Г(—р1 — 1)
1
J V (х)(1 — x)cos2пnxdx+
2-Р1+3ЪР1
+р пп
о
1
2
Г(р1 + 1)
о
(—р1 ) / V(x)sin 2пnxdx,
а для ип(у) получается следующее представление:
1
2Р1+3Ъ-Р1-1 ?
ип(у) = [—-1-г- V(х)(1 — х) соб2ппх^,х+
Г(—р1 — 1) .]
2-Р1+ЛЩ1-2 [
+p nn---—pi) v(x)sin2nnxdx]y P1KP1 +
r(pi + 1) J
Г(Р1 + 1) 2P i+2b-p1-3
0
i
2P i+2 b-pi-3 Г _ +
+p nn-r(--—J v(x)sin2nnxdxy Pl Kp 1-1(b1y). (2.35)
Г(—Pi — 1)
0
При 2p = —1
i
i
C2 = —4b-ij v{x){1 — x)cos2nnxdx.
0
Формула (2.33) в таком случае имеет вид
i i „W = —4-j v — — n,,b-2J v
00
(2.36)
Из формул (2.12), (2.13), (2.15), (2.22), (2.23), (2.24), (2.34), (2.35), (2.3б) следует, что если v(x) = 0, то un(y) = 0 и vn(y) = 0, но тогда u(x,y) = 0, в силу полноты системы
{4sin2nnx}™=i, {2(1 — x)}, {4(1 — x) cos2nnx}™=i,
что завершает доказательство теоремы.
3. Существование решения
Теорема 2. Если v(x) G C[0,1], то решения задач (1.3), (1.4); (1.3), (1.5); (1.3), (1.6) для уравнения (1.1) существуют и представимы в виде суммы ряда
u(x, y) = uo + un cos 2nnx + vnx sin 2nnx (3.1)
n=i n=i
где при 2p > —1 uo, vn, un определяются соответствено формулами (2.12), (2.22), (2.34), при 2p < —1 uo, vn, un определяются формулами (2.13), (2.23), (2.35) и при 2p = —1 uo, vn, un определяются формулами (2.15), (2.24), (2.36). Доказательство. Поскольку системы функций
{4sin2nnx}™=i, {2(1 — x)}, {4(1 — x) cos2nnx}™=i,
{x sin2nnx}'^=i, {1}, {cos2nnx}'^=i (3.2)
образуют базис Рисса в L2 [6], то ряд (3.1) сходится для каждого y G L2(0,1). Если мы докажем его равномерную сходимость, то этот ряд будет являться разложением по базису Рисса (3.2) для своей суммы. Таким образом, в той области, где ряд (3.1) сходится равномерно, его сумма будет удовлетворять уравнению (1.1) и условиям (1.3).
Рассмотрим ряд из абсолютных значений коэффициентов при cos 2nnx, то есть из \un\ при y ^ S > 0. Из формул (2.34), (2.35), (2.36) следует, что в слагаемых,
входящих в un при любом p, присутствуют четыре типа множителей, зависящих i i от n: 1) bi, 2) J v(x)(1 — x) cos2nnxdx, 3) f v(x)sin2nnxdx и 4) Kv(biy). Рассмот-
o o
рим их при n ^ ж.
bi л. \J (2nn)2 + b2 2 lim — = lim -= 2п.
n—n n—n
Поэтому bi ~ 2nn при n ^ ж, а значит, b\ ~ (2nn)l и Kv(h\y) ~ Kv(2nny). При z ^ ж Kv (z) ~ , откуда следует, что
e-2nny
Kv(biy) ~ ^=== n ^ж. (3.3)
Осталось рассмотреть множители типа 2) и 3), а они будут убывать при n ^ ж как коэффициенты ряда Фурье.
Поскольку по формулам (2.34), (2.35), (2.36) все слагаемые в каждом un имеют множитель типа Kv(biy), который по формуле (3.3) убывает экспоненциально, а остальные множители, зависящие от n, как показано выше, имеют степенной
характер в бесконечности или убывают, то ряд \un\ сходится равномерно.
n=i
Аналогично доказывается равномерная сходимость ряда \vn\.
n=i
Из равномерной сходимости \un\ и \vn\ следует равномерная сходимость
n=i n=i
ряда (3.1) для y ^ 5 > 0.
Осталось доказать то, что сумма этого ряда удовлетворяет условию (1.4), если 2p > -1, (1.5), если 2p < -1, и (1.6), если 2p = -1. Для этого исследуем на равномерную сходимость ряд (3.1), почленно продифференцируемый по y, то есть ряд
u0 + un cos2nnx + vn x sin2nnx. (3.4)
n=i n=i
Его коэффициенты при 2p > -1
1 i
2-pi+2bPi + i r
v'„ = ^-^— I v(x) sin 2nnxdxy-P1 KPl + i(biy), (3.5)
r(pi + 1) i
j v(x)(1 — x) cos2nnxdxy-P1 KPl+i(biy)— (3.6)
2-P1+2 bPl+i
^лПТ
0
0 i
при 2p < —1
i
2Pi+2b-Pl-i f
b1
vn=
r(-pi - 1) J
0
v(x)sln2nnxdxy PlKPl+i(biy), (3.7)
i
2Pl+3 b-Pl
2Pl+3 b-Pl f
ui, = \—-- v(x)(1 — x) cos2nnxdx+
n T(-pi - 1) J
T(-pi - 1)
0
i
_i 2-Pl+3bPl-i
+p-i nn rp +i1) (-pi) J v(x)sln2nnxdx]y-Pl Kp1 + i+ (3.8)
r(p i + 1)
0
о i 2P1 +2b-Pl-2
+p Vn—--—1) I v(x) sln2nnxdxy Pl+iKPl (by)
u
при 2р = — 1
1
у'п = V(х)ът2ппхё,хуК0(Ъ1у), (3-9)
1
и'п = V (х)(1 — х) сов2ппхАхуКо — ппБЪ-1 J V (x)sin2пnxdxy2K-l(Ъly). (3-10) о о
Из формул (3.5)—( 3-10) следует, что коэффициенты при сов2ппх и х ^т2ппх у ряда (3-4) имеют такую же структуру, как и для ряда (3-1), то есть являются суммами, в которых все слагаемые имеют множители, зависящие от п, тех же четырех видов- И каждое слагаемое также имеет множитель вида К^(Ъ1у)-А значит, ряд (3-5) сходится равномерно по тем же соображениям, что и ряд (3-1)-Из равномерной сходимости следует, что его сумма является частной производной по у от суммы ряда (3-1)- Следовательно, сумма ряда (3-1) удовлетворяет условию (1-4), если 2р > —1, (1-5) если 2р < —1 и (1-6), если 2р = —1, что завершает доказательство теоремы-
1
Литература
[1] Моисеев Е-И- О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Диф-ференц- уравнения- 2001- Т- 37- № 11- С- 1565-1567-
[2] Валитов И-Р- Решение нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом // Труды международной научной конференции- Уфа: Гилем, 2003- Т- 1- С- 100-110-
[3] Сабитов К-Б-, Сидоренко О-Г- Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом // Труды международной научной конференции- Уфа: Гилем, 2003- Т- 1С- 213-219-
[4] Бейтмен Г-, Эрдейн А- Высшие трансцендентные функции- М-: Наука, 1973Т- 2- 296 с-
[5] Олвер Ф- Асимптотика и специальные функции- М-: Наука, 1990- 528 с-
[6] Моисеев Е-И- О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Дифференц- уравнения- 1999- Т- 35- № 8- С- 1094-1100-
Поступила в редакцию 27/IV/2010;
в окончательном варианте — 20/ VI/2011-
ONE-VALUED SOLVABILITY OF A NONLOCAL PROBLEM FOR THE AXISYMMETRIC HELMHOLTZ
EQUATION
© 2011 A.A. Abashkin2
A nonlocal boundary value problem for degenerate elliptic equation is considered. Boundary value of this problem considerably depend on low derivative coefficient changes. Existence and uniqueness of a solution are proved.
Key words: non-local problem, Bessel equation, Riesz basis, uniform convergence of series.
Paper received 27/IV/2010. Paper accepted 20/ VI/2011.
2Abashkin Anton Alexandrovich (samcocaaarambler.ru), Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russian Federation.
