Об одной задаче из теории колебаний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ИЗ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

© В.К. Евченко (Каверина)

Ключевые слова: периодически возмущенная автономная система ОДУ; топологическая степень отображения; усреднение по Стеклову; коэрцитивность отображения. Указываются достаточные условия, при которых периодически возмущенная автономная система ОДУ имеет периодическое решение.

В книге В.И. Зубова [1, с. 220] есть задача, которую можно сформулировать следующим образом: рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в векторной форме

х = /(х), (х € Мп), (1)

где / : Мп ^ Мп есть локально липшицево отображение, для которого /(0) = 0 и /(х) = 0 , если х = 0. Предположим, что нулевое стационарное решение системы (1) х(£) = 0 является асимптотически устойчивым в целом, т. е. для любого решения

х(£) ^ 0 при £ ^ то. (2)

Задача состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть следующее утверждение: для того чтобы неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х = / (х) + Н(г) (3)

при любой непрерывной векторной функции Н : М ^ Мп , + ш) = Н(£) имела периодическое решение х(£ + ш) = х(£) , необходимо и достаточно, чтобы отображение / было отображением на

/ (Мп) = Мп (4)

Мы докажем достаточность высказанных выше условий, если дополнительно к условию (4) потребуем еще выполнения условия коэрцитивности отображения / :

||/(х)|| ^ +то при ||х|| ^ +то. (5)

Так как нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво в целом, то по теореме Красовского-Барбашина [2, теорема 5.3, с. 37-38] существует такая непрерывно дифференцируемая функция и : Мп ^ М, что и(0) = 0, и(х) > 0 при х = 0 и и(х) ^ +то при ||х|| ^ +то ; для которой

(дтай и(х), /(х)) < 0, (х = 0). (6)

В этом случае топологическая степень градиентного отображения дтай и : Мп ^ Мп на границе любого шара Бп, содержащего нуль пространства в качестве внутренней точки

йед(дтайи(х),Бп) = 1 (7)

[3, лемма 6.5, с. 111], [4, лемма 1.6.2, с. 53]. Из условий (6) вытекает, что векторные поля дтай и(х) и —/(х) гомотопны на границе шара Бп и потому

&£(-/(х),£п ) = (—1)п (8)

Сделаем предположение, что любое решение х(Ь,Ьо, хо) системы (3) с начальным условием х(Ь0) = х0 определено при Ь0 ^ Ь < .

Покажем, что при любой Л,(Ь+ш) = Л,(Ь) возмущенная система (3) имеет по крайней мере одно периодическое решение х(Ь + ш) = х(Ь) . Хорошо известно, что начальное значение при Ь = 0 периодического решения с периодом ш является неподвижной точкой отображения Пуанкаре р(х) : Мп ^ Мп , где р(х) = х(ш, 0, х) , т. е.

х = р(х). (9)

Пусть к = шаж||Л,(Ь)|| , 0 ^ Ь ^ ш .В силу свойства коэрцитивности (5) отображения / (х) можно указать такое г , что

||/(х)|| > к при ||х|| = г. (10)

По теореме Руше из (8) получим

&#(/(х) + ^),£п) = (—1)п, 0 < Ь < ш. (11)

Положим д(х) = р(х) — х, q : Мп ^ Мп. Если д(£) = 0 при некотором £ € д£п , то возмущенная система (3) имеет ш -периодическое решение х(Ь) = х(Ь, 0, £) . Пусть д(£) = 0 при £ € д£п , т. е. векторное поле д(х) на д£п является невырожденным. Центральная часть доказательства заключается в доказательстве формулы

¿е5(9(х),£п) = (—1)п (12)

По теореме Кронекера [5, теорема 6.3.1, с. 162] отсюда будет следовать, что отображение д(х) имеет нуль внутри £п ; пусть это будет точка £; тогда х(Ь) = х(Ь, 0,£) будет ш -периодическое решение возмущенной системы (3), и наше утверждение доказано.

При доказательстве формулы (12) мы не предполагаем, что на границе д£п выполнено условие невозвращаемости х(Ь, 0,£) = £ при 0 < Ь ^ ш [6, лемма 2.2.1, с. 48-54 ]. Поэтому наши рассуждения меняются следующим образом.

Прежде всего для каждой точки £ € д£п найдется такое А(£), 0 ^ А(£) < 1, для которого

х(А(£), 0,£) = £ и х(Ь, 0,£) = £ при А(£) <Ь < 1, (13)

(для удобства мы полагаем, что ш = 1). Определим гомотопию ^>(£,а) : д£п х [0,1] , положив

р(£, 0)= х(А(£), 0,£) = / (£) + Ь(А(£)) р(£, а) = {х(а + (1 — а)А(£), 0,£) — £}/(а(1 — А(£))), 0 < а < 1. (14)

Мы видим, что <^(£, 0) = /(£) + Л,(А(£)) и <^(£, 1) = д(£) , причем ^>(£, а) = 0 при £ € € д£п и а € [0,1] . Рассматриваемая гомотопия <^(£, а) не является непрерывной. Можно показать, что функция А(£) : д£п ^ [0,1] , является измеримой, а вместе с ней измеримым по £ является отображение <^(£, а) при любом а € [0,1] . Кроме того, так как отображение <^(£, а) непрерывно по а, то гомотопия <^(£, а) удовлетоворяет условиям Каратеодори. Используя усреднение по Стеклову по сфере д£п , можно доказать формулу (12), исходя из формулы (11).

ЛИТЕРАТУРА

1. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

2. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

3. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1960.

4. Звягин В.Г. Введение в топологические методы анализа. Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2014.

5. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1979.

6. Перов А.И., Евченко В.К. Метод направляющих функций. Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012.

Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.

Evchenko (Kaverina) V.K. ABOUT ONE PROBLEM FROM THE THEORY OF OSCILLATIONS

We denote sufficient conditions, under which periodically perturbed autonomous system of ODE has a periodic solution.

Key words: periodically perturbed autonomous system of ODE; topological degree of transformation; Steklov average; coercitivity of transformation.

Евченко (Каверина) Валерия Константиновна, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]

Evchenko (Kaverina) Valerija Konstantinovna, Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.922 + 517.988.5

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© Т.В. Жуковская, Е.А. Плужникова

Ключевые слова: накрывающие отображения метрических пространств; обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной; краевая задача; итерации.

Предлагается итерационный метод приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной решения. При выполнении условия накрывания по соответствующим переменным функций, порождающих дифференциальное уравнение и краевое условие, установлена сходимость итераций к решению краевой задачи.

Широкое применение итерационных методов для приближенного решения различных уравнений базируется, в основном, на классических принципах неподвижной точки. Результаты о накрывающих отображениях позволяют распространить итерационные методы на неявные уравнения. С использованием такого обобщенного итерационного метода А.В. Арутюновым получен принцип точки совпадения накрывающего и липшицева отображений метрических пространств [1-3]. Применение аналогичных итераций позволило доказать различные варианты теоремы о возмущениях накрывающих отображений [4, 5] и