Об устойчивости упорядоченного накрывания многозначных отображений при антитонных возмущениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects №№ 14-01-97504, 15-01-05134) and by the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools № NSh-8215.2016.1.

Received 24 October 2016

Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics; Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, е-mail: [email protected]

Pluzhnikova Elena Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, е-mail: [email protected]

Yakubovskaya Ekaterina Mikhailovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student of the Functional Analysis Department, е-mail: [email protected]

Информация для цитирования:

Жуковский Е.С., Плужникова Е.А., Якубовская Е.М. Об устойчивости упорядоченного накрывания многозначных отображений при антитонных возмущениях // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1969-1973. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1969-1973

Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A., Yakubovskaya E.M. Ob ustojchivosti uporyadochennogo nakryvaniya mnogoznachnyh otobraqzhenij pri antitonnyh vozmuscheniyah [On stability of ordered covering of multi-valued mappings under antitone disturbances]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1969-1973. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1969-1973 (In Russian)

1973

УДК 517.988.6 + 517.922

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1974-1982

МНОГОЗНАЧНЫЕ НАКРЫВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ С ВЕКТОРНОЗНАЧНОЙ МЕТРИКОЙ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© Е. С. Жуковский , Е. А. Плужникова 2)

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected] 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]

Понятие накрывания распространяется на многозначные отображения, действующие в пространствах с векторнозначной метрикой. Сформулировано и доказано утверждение о точках совпадения двух многозначных отображений в пространствах с вектор-нозначной метрикой, одно из которых является накрывающим, а другое — липшице-вым. Получен признак накрывания оператора Немыцкого в пространстве измеримых существенно ограниченных вектор-функций, снабженном векторнозначной метрикой. Перечисленные результаты применяются к исследованию функциональных включений с отклоняющимся аргументом.

Ключевые слова: пространства с векторнозначной метрикой; точки совпадения; многозначные накрывающие отображения; многозначный оператор Немыцкого; функциональные включения

Благодаря результатам Л.А. Люстерника, Л.М. Грейвса, А.А. Милютина (см. [1]—[3]) накрывающие отображения нормированных пространств в 60-70-е гг. XX века стали одним из основных инструментов теории экстремальных задач. Дальнейшему расширению применений накрывающих отображений в анализе во многом способствовали результаты А.В. Арутюнова о точках совпадения накрывающего и липшицева отображений метрических пространств (см., в частности, [4], [5]). Для нахождения точек совпадения в этих работах использовался итерационный процесс, частным случаем которого является последовательность итераций, используемая в доказательстве теоремы Банаха и ее многочисленных обобщений. Аналогичные итерации были использованы в [6]-[8] для доказательства теорем о нелинейных возмущениях — утверждений, описывающих свойства действующего в метрических пространствах отображения двух аргументов, являющегося накрывающим по одному из них и липшицевым по второму. Эти исследования были продолжены в ряде работ (см. [9]-[12]) с целью применения к интегральным, дифференциальным, функционально-дифференциальным, разностным уравнениям неявного вида. В связи с изучением задач управления, краевых задач, систем интегральных, дифференциальных, функционально-дифференциальных уравнений и включений в работах [13]-[15] теоремы о нелинейных возмущениях были распространены на произведения метрических пространств, в которых была введена векторная метрика, представляющая собой вектор из R+ с компонентами — метриками пространств-сомножителей. Дальнейшему развитию этих результатов посвящена статья [16], в которой рассмотрены однозначные отображения пространств с векторнозначной метрикой, являющейся элементом конуса некоторого нормированного пространства.

1974

Здесь предлагается утверждение о точках совпадения многозначных отображений таких пространств, полученные результаты применяются к исследованию функциональных включений в пространствах измеримых функций.

Пусть Е —линейное нормированное пространство, Е+ С Е —замкнутый выпуклый конус, определяющий упорядоченность:

УVI, г2 € Е п ^ г2 & г2 — Т\ € Е+.

Пусть задано непустое множество X. Отображение Рх : X2 — Е+ называют векторнозначной .метрикой, если для любых х,и,у €Х выполнены следующие соотношения:

Рх(х,и)=0 & х = и; Рх(х,и) = Рх(и,х); Рх(х,и) ^ Рх(х,у) + Рх(у,и).

Пространство с векторнозначной метрикой обозначаем (X, Рх) или коротко X.

Приведем векторные аналоги основных понятий метрических пространств. Замкнутый шар с центром в точке х1 €X радиуса V € Е+ в пространстве X — это множество Вх (х', г) = = {х €X : Рх (х,х') ^ г}; V -раздутие Вх (и, г) множества и СX определяется равенством Вх (и,г) = У}х,&и Вх (х',т). Под сходимостью хп — х при п — ж в X понимается сходимость Рх (х п,х) —У 0 в Е. Множество и СX замкнуто, если для любой сходящейся последовательности его элементов хп € и, хп — х выполнено х € и. Последовательность {xn}cX называют фундаментальной, если

Уе> 0 ЗЫ Уп>Ы Ут>Ы \\Рх(хп,хт)\\в < е.

Если любая фундаментальная последовать в X сходится, то это пространство называют полным. Обозначим С!^) — совокупность непустых замкнутых подмножеств пространства X.

Отметим, что на пространства с векторнозначной метрикой не переносятся понятия расстояния от точки до множества и расстояния по Хаусдорфу между множествами, поскольку ограниченное множество в Е+ может не иметь инфимума (в отличие от линейного порядка в упорядоченность в Е частичная).

Везде далее предполагается, что Е, М — некоторые линейные нормированные пространства, снабженные замкнутыми выпуклыми конусами Е+, М+.

В пространстве С(М, Е) линейных ограниченных операторов Е : М — Е определим множество

С(М, Е)+ = {Е : М — Е : Е(М+) С Е+}

положительных операторов. Очевидно, С(М,Е)+ является замкнутым выпуклым конусом в пространстве С(М,Е). Например, замкнутость этого множества вытекает из следующего соотношения, справедливого для любой сходящейся последовательности {Аг} С С(М, Е)+, Аг — А € С(М, Е) :

Ат — Ат Ут € М+ ^ Ат € Е+ Ут € М+ ^ А €С(М,Е)+.

Обозначим символом 1е € С(Е, Е) — тождественный оператор.

Пусть заданы пространства X, У с векторнозначными метриками

Рх : X2 — Е+ , Ру : У2 — М+ .

Следующее определение — аналог определения [4] свойства накрывания многозначных отображений метрических пространств.

1975

Определение 1. Отображение Ф: X — С1(У) будем называть накрывающим с операторным коэффициентом K € L(M, E)+ или K -накрывающим относительно вектор-нозначных метрик, если

Ух €X Vr € M+ By(Ф(х), r) С Ф(Вх(x, Kr)).

Накрывание относительно векторнозначных метрик эквивалентно следующему свойству Vx €X Vy € Ф(х) Vy' €У Эх' €X Ф(х') Э y', Vx(х',х) ^ KVy(y, y').

Если E = M = R, то векторнозначная метрика совпадает с «обычной». В этом случае определение 1 равносильно определению а -накрывания [4], причем K = (a_1)ixi- Если E = Rra, M = Rm, то отображение K представимо n x m матрицей с неотрицательными компонентами, в этом случае определение 1 совпадает с определением работы [15].

Определение 2. Отображение Ф : X — С1(У ) будем называть липшицевым с операторным коэффициентом B eL(E,M)+ или B -липшицевым относительно векторнозначных метрик, если

Ух, х' € X Ф(х) С By (Ф(х'), BVX(х', х)). Отметим, что это включение равносильно соотношению

Ух,х' €X Vy € Ф(х) 3y' € Ф(х') Vy (y', y) ^ B Vx(х',х).

Если E = M = R, то B = (ß)ixi и определение 2 есть определение классического условия Липшица с коэффициентом ß.

Для отображения Ф : X — С1(У) стандартно определяем график — множество gph(Ф) = = {(х, y) €X x У : y € Ф(х)}.

Сформулируем утверждение о точках совпадения многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой. Точкой совпадения отображений Ф, Ф : X — С1(У) называют (см. [4]) аргумент х €X, для которого справедливо

Ф(х) П Ф(х) = 0.

Теорема 1. Пусть существуют такие K €L(M,E)+ , B €L(E,M)+ , что отображение Ф : X — С1(У) является K -накрывающим, а отображение Ф : X — С1(У) — B -липшицевым (относительно векторнозначных метрик); кроме того, графики этих отображений gph^), gph^) замкнуты и хотя бы один из них является полным подпространством произведения X x у.

Тогда, если для спектрального радиуса g линейного ограниченного положительного оператора KB € L(E, E)+ имеет место оценка g(KB) < 1, то для любых хо €X, фо € Ф(хо), фо € Ф(х0) существует точка совпадения х отображений Ф, Ф, удовлетворяющая неравенству

Vx(х,хо) < (Ie - KB)-1K Vy(Фо,Фо). (1)

Доказательство. Прежде всего заметим, что вследствие оценки g(KB ) < 1 оператор (Ie — KB) : E — E обратим, и обратный оператор представим суммой ряда Неймана: (Ie — KB)-1 = ^^(KB)\ Из этого представления, в силу замкнутости конуса L(E,E)+, следует положительность оператора (Ie — KB)-1 : E — E (в противном случае неравенство (1) было бы невозможно).

1976

Для нахождения точки совпадения х отображений Ф, Ф построим итерационную последовательность следующим образом. Обозначим ф\ = фо. Для накрывающего отображения Ф существует элемент х\ €X такой, что

Ф(хг) э ф1, Рх(х1,хо) < КРу(ф!,фо).

Вследствие липшицевости отображения Ф существует элемент ф1 € Ф(х1), при котором справедливо неравенство Ру(ф1,ф0) ^ ВРх(х1 ,х0). Далее положим ф2 = фь Для накрывающего отображения Ф существует элемент х2 €X такой, что

Ф(х2) э ф2, Рх(х2,х1) < КРу(ф2,ф1) = КРу(фъфо) < КВРх(х1,хо).

Повторяя аналогичные рассуждения на каждом следующем шаге, мы определим последовательности {хг} С X, {фг} С У, {фг} С У, удовлетворяющие условиям

фг € Ф(хг), фг € Ф(хг), фг+1 = фг, „

Рх(хг+1,хг) < КВРх(хг,хг-1) < (КВ)гРх(хъхо) < (КВ)гКРу(фо,фо). ( )

Покажем, что последовательность {хг} СX является фундаментальной. В силу соотношений (2) для любых натуральных ], I имеем

Px(x+,Xj) ^ Eg"1 Px(xi+1,Xi) ^ £l~0(KB)i(KB)jKPy(фа, Фа) <

< (Ie - KB )~1{KB )j к Py (фа,

(3)

Так как g(KB) < 1, то имеет место сходимость (KB)j ^ 0 при j ^œ, отсюда заключаем, что последовательность {xi}cX, действительно, фундаментальная.

Последовательности {фi} С У, {ф^ С У также являются фундаментальными в силу оценок

Py^i+i^i) = Py^ B Px(xi,Xi-i).

В условиях доказываемой теоремы график одного из отображений Ф, Ф замкнут, без ограничения общности полагаем замкнутым множество gph^). Тогда (х,ф) € gph^), где X = lim Xi, ф = lim ф.1. Далее, из равенства = ф—1, следует ф = lim фi, а в силу замкнутости множества gph^) выполнено включение (x,ф) € gph($).

Из неравенства (3) следует оценка

Px (xi,xo) < (Ie - KB )"1K Py (фа,фа), i = 1,2,....

Переходя к пределу в этом неравенстве (в силу замкнутости конуса E+ ), получаем, что найденная точка x совпадения отображений Ф, Ф удовлетворяет неравенству (1). □

Замечание. Спектральные радиусы операторов BK и KB совпадают, а оценка (1) равносильна оценке

Px (x, xo) < K (Im - BK )" Py (фа, фа ).

Для приложений теоремы 1 к исследованию функциональных, интегральных, дифференциальных включений требуются условия накрывания относительно векторнозначных метрик многозначного оператора Немыцкого в функциональных пространствах, прежде всего в пространствах измеримых функций. Мы сформулируем здесь признак накрывания многозначного оператора Немыцкого в пространстве существенно ограниченных функций.

Обозначим (R+ — множество n -мерных векторов с неотрицательными компонентами (конечно, являющееся замкнутым выпуклым конусом пространства IRn ). В пространстве IRn определим векторнозначную метрику Prn : (Rn x (Rn ^ (R + равенством

Pr n (r,r) = (\V1 - T1\, ..., \Tn - Tn |), r,r € IRn.

1977