Об одной задаче группового преследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 917.934

© И.Н. Баранова

[email protected]

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ 1

Ключевые слова: дифференциальная игра, преследователь, убегающий.

Abstract. The paper gives a sufficient condition of capture by group of the same inertial objects of one escaping, in linear differential game, provided that one of roots of the characteristic equation is positive.

Введение

Рассматривается задача о поимке группой инерционных преследователей одного инерционного убегающего, при условии, что динамические возможности игроков одинаковы, а корни характеристического уравнения вещественны и разных знаков. В случае, если корни характеристического уравнения имеют неположительные вещественные части, задача рассматривалась в работе [1], в случае, если корни характеристического уравнения чисто мнимые, — в работе [2].

В терминах начальных позиций и параметров игры получены достаточные условия поимки.

1. Постановка задачи

В пространстве Rk рассматривается дифференциальная игра Г n + 1 лиц: n преследователей р,..., Pn и убегающий E.

1 Работа выполнена при поддержке программы гУнпверсптеты Рос-спп6(грант 34126).

Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид Хг — а2Хг = Щ, ||иг|| ^ 1. (1.1)

Закон движения убегающего Е имеет вид

у — а1у = V, ||^У ^ 1. (1.2)

При Ь = О заданы начальные позиции преследователей

Хг Хг , Хг Хг

и убегающего

У(0) = уо, у(0) = уг,

причём х} ф у о для всех г.

Пусть г} = х} — у0, г} = х} — уъ

Определение 1.1. Будем говорить, что в игре Г происходит поимка, если существует Т > 0, функции Ь) = иг{Ь,г}, г},^(■)) такие, что ||иг(Ь) || ^ 1, и для любой измеримой функции V ( |^(Ь) | ^ 1 для всех Ь) найдутся момент т € [О, Т] и номер ц такие, что

Х«( т) = У(т)-Здесь vt{■) = {и(в),в € [О}.

2. Решение задачи

В системах (1.1), (1.2) сделаем замену гг = хг — у.

Получим систему

гг — а2гг = иг — V. (2.1)

Решение системы (2.1) с начальными условиями г}, г} и некоторыми измеримыми функциями иг, V определяется соотношением

*(0=(^)«-+(^)е-+

/Ра(г-т) _ p-a(t-r)

-----Ya----(щ(т) - v(T))dT. (2.2)

о

Пусть Wi(t) = Zi(t)2ae-at. Тогда из (2.2) следует, что

Wi(t) = z¡ + azi + (azi — z¡)e 2at + t

+ J (e-ar — e-a{2t-r>) (Ui( t) — v(r))dr. (2.3)

o

Определим функции Лі : Di(0) ^ R1 следующим образом:

Ci, v) = sир{Л ^ 01 — Л£і Є Di(0) — v},

где D^O) = {u, ||u|| ^ 1}, Ci - фиксированные векторы Rk. Введём следующие обозначения:

£i(т) = (z¡ + azi) + {azi — z\) e-2ar, f{t,T) = e-ar — e-<t-2^,

t

hi(t) = 1 — J f(t,T)Ai(CdT),v(T))dT.

o

Лемма 2.1. Пусть ö = inf min тахЛДCi(t),v) > a ■ n

t II^1 i

для всех t > 0. Тогда существует момент Tq такой, что для любой измеримой функции v : [0, го) ^ Di(0) найдётся номер j такой, что hj(Tq) ^ 0.

Доказательство. Функции hi непрерывны, hj(0) = 1 и

T

¿МТ) = п f f(T,t)\i(CdT),v(r))dT =

ii

T n T

n - I f(T,t) ^ ЛД Cd T),v(T))dT < n - öl f(T,T)dT,

i

так как ^2 Лd&(т)^(т)) ^ maxЛДСДт),v(t)) ^ ö > 0 для всех

ii

T

v,t. При T —oo f f(T,r)dr —>■ Следовательно,

0

T

n-6 [ f(T,T)dr ->71-- <0 J a

в силу условия. Поэтому существует То такой, что hj(To) ^ 0 при некотором j.

Лемма доказана.

Пусть

t

T$ = min{t ^ 0 : inf max I f(t,т)ЛdCdt),v(T))dT ^ 1}.

M •) i J о

В силу леммы 2.1 Tq < ж.

t>

венство min тахЛ(^(t),v) > a ■ n. Тогда в игре Г происходит, IMKi i

поимка.

Доказательство. Пусть v(t),t € [0, To] —произвольное допустимое управление убегающего E, t\ — наимень-

шиц положительныц КОр0НЬ фуНКцИИ h ВИда

t

h(t) = 1-max у f(T0,T)\i(idT0),v(r)dr. (2.4)

о

Зададим управление преследователей Pi следующим образом:

щ(t)= v(t) - \i(idT0)Mt)MTo), t € [0,T0¡.

Считаем, что АДidTq),v(t)) = 0 при т € [ti,To].

Подставляя Ui в (2.3), получим

То

Wi(T0) = idT0) - j f{To,T)Ai{idT,),v{t))UT0)dT = o

To

= Íi(T0) (l -J f(T0,T)Ai(ii(T0),v(T))dT)= (2.5)

o

ti

= ii(To) (l - J f(T0¡T)Ai(idTo),v(T))dT).

o

Из (2.4) следует, что wq(To) = 0 при некотором q. Следовательно, и zq(T0) = 0. Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть

azi - zl = О, á = min max АД azi + z} ,v) > a ■ n.

IMKi i

Тогда в игре Г происходит, поимка.

Пример 2.1. Пусть k = 2, n = 2.

г? = (0,-1). 4 = (#i),4=(-#i).

Возьмем zj = azi. Тогда

azf — z\ = 0, 5 = min max Aí(azi + z\, v) = —.

IM|<i i 2a

Таким образом, получим

У тверждение 2.1. Пусть

zj = azf, а ^ (0) ~^щ)- Тогда в игре Г происходит поимка.

Замечание 2.1. В работе [1] доказано, что в дифференциальной игре Г, описываемой системой вида

Zi + aZi + bz = Ui — v, ||«j|| ^ 1, ||v|| ^ 1,

zi zi , zi zi

корни характеристического уравнения

А2 + a\ + b = 0

различны, вещественны и неположительны, достаточное условие поимки имеет вид

0 € Intcojzi}. (2.6)

Отметим, что указанное условие (2.6) в общем случае не является достаточным условием поимки в игре Г, описываемой (1.1).

* * *

1. Петров H.H. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1997. 197 с.

2. Благодатских А. И. О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками// Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2005.

Вып. 2(32). С. 3-22.