О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© А.И. Влагодатских

[email protected]

О ДВУХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССАХ СО МНОГИМИ УЧАСТНИКАМИ1

Ключевые слова: групповое преследование, поимка, убегание, пример Понтрягина, колебательный конфликтно управляемый процесс.

Abstract. Sufficient conditions of catching were derived in two problème of group pursuit.

Введение

Работа состоит из трех частей. Первая носит вспомогательный характер, здесь доказаны некоторые используемые в дальнейшем свойства почти периодических функций специального вида.

Во второй части данной работы рассматривается обобщенный пример JÏ.C. Понтрягина при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков. В предположении, что корни характеристического уравнения являются простыми и чисто мнимыми, в терминах начальных позиций получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего.

В последней части рассматривается линейный конфликтно управляемый процесс со многими участниками. В предположении, что корни характеристического уравнения являются простыми и чисто мнимыми, в терминах начальных позиций получены достаточные условия поимки.

Работа примыкает к исследованиям [1;2].

1 Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию (грант А04-2.8-60) и программы ґУниверситетьі РоссииЄ (грант 34126).

1. Об одном классе почти периодических функций

Напомним определение и два известных свойства почти периодических функций.

Определение 1.1. Непрерывная на Е1 функция д называется почти периодической, если для любого е > 0 существует число Т = Т(е) > 0 такое, что любой отрезок [а, а + Т] содержит по меньшей мере одно число т, для которого при всех г справедливо неравенство

1|д(* + т) - д№ II < е

1. Периодическая функция является почти периодической.

2. Линейная комбинация почти периодических функций есть функция почти периодическая.

Рассмотрим почти периодическую функцию / вида р

/№ = ^{скСояЪкг + Ъкг), где ск,вк,Ък е Ег,ък > 0.

к=1

Лемма 1.1. Пусть /(г) ф 0. Тогда найдутся положительные числа и ,^,т такие, что /(Д) < 0, /(¿2) > 0, /(т) = 0.

Доказательство. Существование таких ¿1, ¿2 следует из леммы 1.1 [1, с. 151], поэтому, учитывая непрерывность функции /(г), найдется хотя бы одно искомое т. Лемма доказана.

Докажем некоторые свойства почти периодической функции £ такой, что р

£{г) = ^2(СкСОБЪкг + БквтЪкЬ), вде Ск,Бк е Ки,Ък е Е1,Ък > 0 к

или в координатной форме

р

£9(г) = ^2{сяксоъЪкг + Б^тЪкг), д = 1,2,...,и.

к

Обозначим через Н кривую

н = [£(г),г е [о, те)}.

Лемма 1.2. Пусть £(г) ф 0 для всех г е [О, те). Тогда

1) если V ^ 3, то ЪАсоН = 0 или 0 е ЬйсоН;

2) если V = 2, то 0 е 1МсоН.

Доказательство. 1. Предположим противное:

Н 0 е Н.

В таком случае по теореме отделимости найдется ненулевой вектор е е Я такой, что

(Н, е) ^ 0 для всех Н е соН.

Из последнего следует, что функция

V

/(г) = (£(г), е) = ^^£9(г)е9 ^ о для всех г е [о, те).

9

Если /(г) = 0 для всех г е [0, те), то 1^соН = 0, что невозможно. Таким образом, функция Дг) ф 0, поэтому к ней можно

/ г > г > .

Получили противоречие. Утверждение 1 леммы доказано.

2. Предположим, что

Н 0.

Тогда для некоторой прямой Ь выполнено Н С Ь, откуда следует существование констант а,Ъ е Я таких, что для всех г е [0, те) имеет место одно из трех равенств:

1. - аег = Ъ, а / 0; 2. = Ъ; 3. = Ъ.

В первом случае положим Дг) = ^(г) — а£2(г). Из леммы 1.1 / т т > , Ъ

= а£2(г). Снова применяя лемму 1.1, получим, что £2(т) = О при некотором значении т > 0, поэтому ^(т) = 0 и £(т) = 0.

Ъ.

меняя лемму 1.1, получаем £2(т) = 0, т > 0, поэтому £(т) = 0. Третий случай рассматривается аналогично.

Итак, показано, что во всех случаях найдется значение т > 0 такое, что £(т) = 0. Получили противоречие условию леммы, следовательно,

ЫЬсоН ф 0.

Далее проводим доказательство аналогично доказательству утверждения 1. Утверждение 2 доказано. Лемма доказана.

2. Групповое преследование в примере Понтрягина

В пространстве ВУ(V ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Р\,Ръ,... ,Рп и убегающего Е. Движение каждого преследователя Рг описывается уравнением

Х''1 + %хг1~^ +а2х\— Ч------1- агхг = иг, \\щ\\ ^ 1, (2.1)

Е

У^ + агу^-1^ + а<У 1~2^ Ч---1- ащ = у, ||-и|| ^ 1, (2.2)

где хг, у, иг, V е ВУ, а\, а%, . . . , а е Я .При г = 0 заданы начальные условия

х\9\о) = X9, У9^(0) = У9, причем Х®ф У0 для всех г. Здесь и далее

г е 1= ^,2,...,п}, д = 0,1,...,1 — 1, г0 = (X?,У9). Вместо (2.1), (2.2) рассмотрим уравнение

гР + агг^- + а*^-^ Ч--------1- аггг = иг — V (2.3)

= г9 = X9 — У9.

Определение 2.1. Управления иг( г)^(г) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (2.1), (2.2), называются допустимыми.

Определение 2.2. В игре Г возможна поимка, если существует момент То = Тц(^о), что для любого допустимого управления ^г) найдутся допустимые управления

иг(г) = иг(г, Zo, ^ в ^ г)

такие, что для некоторых т е [О , То], а е I выполнено га( т) = 0. Через ^9(г) обозначим решение уравнения

^^ + а^1-1) + 1-^ Ч----1- агш = 0

с начальными условиями

ш(0) = 0,...,ш(9-1)(0) = 0, 9)(0) = 1,

9+1) (0) = о,..., —(0) = о.

Предположение 2.1. Все корни характеристического уравнения

X1 + агХ1-1 + а2Х1-2 Ч-1- аг = 0 (2.4)

являются простыми и чисто мнимыми.

Обозначим корни уравнения (2.4) через

±Ъl1, ±Ъ21, . . . , ±ЪР1 (о < Ъ1 <Ъ2 < ■ ■ ■ <Ъp, 2р = ^ где 1 - мнимая единица. Пусть, далее &(г) = Ыг)^г + <£\{г)^ + ■■■ + <Р1-х (г)^~1,

и так как каждая из функций ‘9(г) имеет вид р

‘Мг) = ^2(скСОзЪкг + вктпЪкг), где ск,вк е В1,

к=1

то все функции (г(г) представимы в виде р

(А ¡) = £ (Ск со в Ък г + Бк^т Ък г), вде Ск, 5к е ВУ.

к

Считаем, что (г(г) ф 0 для всех г,г > 0, ибо если т) = О при некоторых а е I, т > 0, то преследователь Ра ловит убегающего Е к моменту т, полагая иа{г) = V(г), г е [0, т].

Нг

Нг = {(¿(г), г е [о, те)}.

У словие2.1. Существуют Н® е Нг такие, что

О е 1Мсо{Л|}.

Через Э(с, р) обозначим замкнутый шар с центром в точке с с радиусом р.

Условие 2.2. Для любых Нг е Э(Н®,е)

О е 1Мсо{Нг}.

..

котором значении е > 0 выполнено условие 2.2.

Доказательство. Множество со {Н®} является выпуклым многогранником с вершинами в точках Нк, вде к е К С I. Из условия 2.1 следует, что

О е ЫЬсо{Нк}. {Нк}

число е > 0 такое, что для любых Нк е Э(Нк,е)

е {Нк}.

Из последнего, учитывая, что

Intco{hfc} С Intco{hi},

следует справедливость условия 2.2. Лемма доказана.

Так как функции & являются почти периодическими, то существует T > О, для которого выполнено

Условие 2.3. Для всех t ^ 0 найдется т Е [t,t + T), что

&(Ti) Е Dhi,£)•

Считаем, что е > 0 и T выбраны исходя из условий 2.2 и 2.3. Определим функции ф, Xi, Ji :

Mt) = { если У— ^ 0

\ — 1, в противном случае,

X^v, ф, h) = sup X ^ О, ||v — ХфЛг^^ 1} ,

t

Ji(t,hi) = j {у— (t — s)|Xi(v(s)^(t — s),hi)ds. о

Положим

h = (hi,h2,.. ■, hn), D = Dh\,e) x DЩ,е) x • • • x DhП, e).

.

. . T

стимых управлений v(t) и любых h Е D найдется номер а Е I, что Ja(T,ha) ^ 1.

Доказательство. Из условий леммы следует, что выполнено условие 2.2, поэтому для произвольного h Е D справедливо неравенство

^±1 (h) = max X^v, ±1, hi) > 0.

|М|<1 iei

Так как функции Xi непрерывны, то

lim ö±i(h*) = lim min max Xi(v, ±1,h*) = h*^h v ' h*^h |H|<i iei

= min maxX^v, ±1 ,Ы) = 6±i(h),

IM|<i iei

следовательно, и функции 6±i являются непрерывными, учитывая еще, что множество D компакт, получим

6 = min min min max XAv,^,hi) = min{6+i (h), 6_i (h)j > 0. heD фе{1 ,-1}|М|<1 iei heD

Далее,

t

max JAt, hi) iei

t

6 f

^ n l^l~l^ ^!ds'

0

Таким образом, для момента T, определяемого из условия

T

6j \yi-i(T - s)\ds ^ 1, о

и некоторого а Е I выполнено Ja{T,ha) ^ 1. Лемма доказана. Пусть

T = T\(Zq) = min{t ^ 0 : inf minmax J^t,h^ ^ 1}.

v{•) heD iei

В силу леммы 2.2 T\ < ж.

.

..

^ nj \Vi-i(t - s)\J^ Xi(v(s),^(t - s), hi)ds ^

ii

Доказательство. По формуле Коши для всех г ^0

£

2г(г)=£г(г) + У ‘I-1 (г - в)(иг(в) - и(в))с18.

о

Пусть -у(т), 0 ^ т ^ Т§ = Т\ + Т - произвольное допустимое

г

корень функции Т вида £

^г) = 1-тах / |‘-1 Т - в)|и^в), Ф(тг - в),(г(Тг))й8, ге1 .] о

где Тг е [ТЬТ0) выбраны так, чтобы выполнялось условие 2.3. Отметим, что г\ ^ тг, так как в силу леммы 2.2 Т(т^ ^ 0.

Рг

щ{г) = ^г) - Лг{ю{г),ф{тг - г),(г{тг))ф(тг - г)(г(Тг), г е [0,Т0],

где считаем, что Лг(^^,^тг - г),(г(Тг)) = 0 при г е [¿х,^]. Тогда, с учетом формулы Коши,

*1

МТг) = (г(Т^1 ^ У 1‘1-1 (Тг - в) 1Л^^^,^Тг - 8),(г(п)). о

В силу определения ¿х , для некоторого а е I выражение в скобках обращается в ноль, поэтому га(та) = 0. Теорема доказана. Условие 2.4. Начальные позиции участников таковы, что

0 е Мсо{^г0}.

.

..

Нг

%г = (г(0) е Нг и применим теорему 2.1. Следствие доказано.

.,

V = 2 и п = 3 . Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.

Доказательство. Из леммы 1.2 следует, что можно выбрать Ь] так, чтобы условие 2.1 имело место. Теперь осталось воспользоваться теоремой 2.1. Следствие доказано.

Следствие 2.2, построив другое управление, можно усилить. Далее (вплоть до примеров) считаем V = 2, п = 2и& = 1,2. Зафиксируем число г > 0 так, чтобы

Нг е 1пШ(0 ,т),

его существование следует из ограниченности функций £г. Начало координат обозначим через О. Далее, по единичным векторам ек е Е2 определим: Вк е дЭ(0, г) - точки вида екг; Эг

- наименьший из двух секторов круга Э(0, г), образованных отрезками ОВ] и Ой2- дг - окружность сектора Эг; наконец,

вг{г) = {&(в), в е [г*,г*]}, где г* > г* ^ г - такие моменты, для которых впервые (ыг*) е ОБ], £,г{г*) е ОВ2^ или (£г(г*) е ОБ2, £г(г*) е ОВ^ и

£г(8) е Dг, 8 е [¿*,г*],

то есть вг(^ ^^^^^жащая в секторе Эг, обладающая следующим свойством: если двигаться из точки £г(г) в направле-

г,

нменно по этой кривой. В силу второго утверждения леммы 1.2 к

существуют ек такие, что

{е\, е2) > 0, е% = -е^, 1пШг ф 0 и 0г(г) ф 0 для всех г ^ О. Считаем, что такие вектора выбраны (см. рис.).

Отметим, что

О G Intco{ek }. (2.5)

Определим функции pk, кг, Qi

Pi(v, ф) = sup |р : р ^ О, ||v — рфекl| ,

значение функции кг(t,s) G I находится из условия

pHt,s) (ф),фу — = к&Х pki{ ф),ф$ — s)),

если же оно не определяется однозначно, то положим кг{Ь, s) = 1, t

Qi{t) = J\<Pt-i (t + A — s)\pii(-t+A’S (v(s)^(t + A — s))eii(i+A,S rds. 0

..

существует момент, T такой, что для каждых допустимого управления v(t) и A G R1 найдется номер a G I и момент Ta ^ T, что Qa( t) G Da для вс ex t G [0 ,Ta] и Qa(Ta) G da.

Доказательство. Функция Qi( t) при каждом t ^ 0 представима в виде Qi(t) = qj(t)ej + qj(t)ej, где функции qk(t) ^ 0, qk(0) = 0 и непрерывны. Отсюда следует, что значение функции Q^t) может выйти за пределы Dj только через дг (см. рис. ).

Таким образом, достаточно доказать, что существует момент T такой, что для каждого допустимого v(t) и всех A G R1 выполнено max ||Qj(T)|| ^ r. Из (2.5) получаем, что величина iEl

а = min min max pk(ь,ф) >0. фе{1 ,-1} IMKl (i,k)EIxI

Далее,

max HQi(t) ||

iEl

max

iEl

J \<p— (t+A-s)\pkiit+A,s)(v(s),^(t+A-s))ekiit+A,s)rds 0

t

^ Гтах f \ip—i(t + A - s)\pkii-t+A,s)(v(s),^(t + A - s))ds ^

2 iEl J о

t

> Г [\<Pi-i^ +A - s)\ ^ pk(v(s),^(-t + A - s))ds >

J i,keI

t

> Y J\vi-i(t + A - s)\ds.

о T,

T

^ inf i\pi-i(T + A — s)\ds ^ 1, о AeR1 J 0

получим max ||Qi(T) || ^ r. Лемма доказана. iei

Пусть

T2 = min{t ^0 : QAs) g Di,s G [0, t] и inf inf max HQ At) || ^ r}.

v(■) AeR1 iei

В силу леммы 2.3 T2 < те.

t

Теорема 2.2. Пусть выполнено предположение 2.1, v = 2 и n = 2 . Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.

Доказательство. Выберем Tq так, чтобы

di(Т2) С {&(s), s G [T2,To]}.

Пусть v(s), 0 ^ s ^ Т - произвольное допустимое управление убегающего Е. Выберем наименьшее положительное число t\ так, чтобы для некоторых a G I и т G [Т2, Tq]

îi

У \Wl-lТ - s)\pkii'To’s(v(s),ÿ(T0 — s))eki(-To’Srds = aт) G 0a(T2). 0

Так как Tq = Т2 + A, где Д = Tq — Т2, то в силу определения момента Т2 получим, что ti ^ Т2.

Согласно формуле Коши для всех t ^0 имеем

t

Zi( t)=£i(t) + j р-l (t — s)(ui( s) — v(s))ds.

0

Задаем управление преследователей Pi следующим образом:

Ui(t) = v(t) — pki(T(ht)(v(t),ÿ(To — t)№(To — t)eki{To’t]r, t g [0,To),

где считаем, что ркг^Tot(v(t),ÿ(T$ — t)) = 0 при t G [ti,To]. Тогда, с учетом формулы Коши для t G [Т2, Tq] , имеем

ti

Zi( = {i( — J\wi-iТ — s)\pkii{ To ’s (v(s),ÿ(To — s))eli{ To’s rds

0

и по определению момента ti для некоторых a G I и т G [Т2, Tq] za(т) = {a(т) — {a(т) = 0. Теорема доказана.

Пример 2.1.В пространстве К3 рассмотрим дифференциальную игру Г1 6-ти лиц: 5 преследователей Рх, Р2, Рз, Р4, Р5 и убегающий Е. Уравнение (2.3) и начальные условия имеют вид

¿г + ¿г = Щ — V, ^ ^ ^ = (1,0,0), ^ ^ = (0,0,l),

2\ = (0,1,0), г = 1,2, 3,4,5.

Корни характеристического уравнения А2 + 1 = 0 равны ±1 и предположение 2.1 выполнено. Здесь условие 2.4 не выполнено. Покажем, что имеет место условие 2.1, так как

(г(¿) = Z^ соst + Z^iп ¿,

то И\ = Н = Н - это окружности с радиусом 1, с центром в начале координат, лежащие в плоскости первой и второй координаты, Н = Н - это окружности с радиусом 1, с центром в начале координат, лежащие в плоскости второй и третьей координаты. Выбирая

h0l = (l,o,o), (-^), Щ= (—^,—^,o),

й| = (о,од), Щ = (о, о, -1),

получаем, что условие 2.1 выполнено. Из теоремы 2.1 следует Утверждение 2.1. В игре Гх возможна поимка. Пример 2.2. В пространстве К рассмотрим дифференциальную игру Г2 п + 1 лиц: п преследователей Р\,Р2,... ,Рп и Е

¿г ^ + 14х| ^ + 49Хг + 36¿г = Щ — V.

Корни характеристического уравнения

ААА

равны ±1, ±21, ±31, и предположение 2.1 выполнено.

Утверждение 2.2. Пуст,ь 0 € 1таксо^г}. Тогда в игре Г2 возможна поимка.

Утверждение 2.3. Пуст,ь V = 2 и п = 2. Тогда в игре Г2 возможна поимка из любых начальных позиций.

3. Задача о конфликтном взаимодействии группы преследователей с одним убегающим

В пространстве КУ(V ^ 2) рассматривается дифференци-п п Р , Р , . . . , Рп

Е Рг

ется уравнением

хг = Ахг + иг, |Щг|| ^ 1, (3.1)

Е

у = Ау + ^), |^|| ^ 1, (3.2)

где Хг, у, Щг, V € К, А - постоянная квадратная порядка V матрица. При Ь = О заданы начальные условия

хг(0) = X® , у(0) = У°, причем X® ф У° для всех г.

Здесь и далее г € I = {1,2,..., п}, Zo = (Х®, У°).

Вместо (3.1), (3.2) рассмотрим уравнение

¿г = Ахг + иг — V (3.3)

с начальными условиями

¿г(0) = 2% = хг — Уй.

Определение 3.1. Управления щ( из класса

измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (3.1), (3.2), называются допустимыми.

Определение 3.2. В игре Г возможна поимка, если существует момент То = Тц^о), что для любого допустимого управления ,и(Ь) найдутся допустимые управления

иг(Ь) = щ(Ь, Zo, ^¿))

такие, что для некоторых т € [О , То], а € I выполнено ¿а( т) = 0.

Пусть Ф - фундаментальная матрица системы

ш = Аш

такая, что Ф(0) = I, где I - единичная матрица. Считаем, что Ф^^® ^ 0 дая всех г, Ь > 0, ибо если Ф^^® = 0 при некоторых а € I, т > 0, то преследователь Ра ловит убегающего Е к моменту т, полагая иа(¿) = 'и(Ь), Ь € [0,т].

Предположение 3.1. Все корни характеристического уравнения

аеЦА — А1) = О (3.4)

являются простыми и чисто мнимыми.

Обозначим корни уравнения (3.4) через

±Ь\ь, ±Ъ2Ь,..., ±ЪР1 (0 < Ъ\ < < • • • <bp, 2р = ^,

где 1 - мнимая единица.

У с л о в и е 3.1. Начальные позиции участников таковы, что

О €Іntco{Zг}.

Через Э(с, р) обозначим замкнутый шар с центром в точке

с, с радиусом р.

Условие 3.2. Для любых Нг € Э(Zf ,2е)

О € 1Мсо{Л,г}.

Аналогично лемме 2.1 доказывается

..

котором значении е > 0 выполнено условие 3.2.

Считаем, что е > 0 выбрано исходя из условия 3.2. Определим функции Аг, Л г

Аг(V, Нг) = эир А ^ О, — АЛ,г||^ 1} ,

МI) = ! Аг{v(s),Ф(s)ZІ)йв.

О

.

вие ЗА. Тогда существует момент, Т такой, что для любого допустимого управления найдется номер а € I, что

МТ) > 1.

Доказательство. В силу предположения 3.1 каждая из функций Ф(t)Z® представима в виде

p

Е

k=i

(Ck cos bkt + Sk sinbkt),rppCk,Sk е Rv. (3.5)

Из (3.5) следует, что функции Ф(t)ZІ являются почти периодическими. Из последнего с учетом того, что

#(0)Zi = Zi е 1пШ(Zi,е),

следует, что существует T > 0 такое, что для всех к = 0,1, 2,... найдется момент Тк е [Тк,Т(к + 1)), обладающий свойством

Ф(тк) Zi е D Zi ,е) для всех i е I.

Введем обозначения

Qk = {i-.mZt е DZi,2е), t е [тк,тк+1 )}, fi = |J fifc,

k=i

H(G)- мера Лебега G С R1, d(D\, D2) = inf ||di — d2||.

di €Dt, d2 eD2

Из (3.5) следует, что функции d^(t)Z®)/dt также представимы в виде (3.5), откуда следует, что они ограничены, то есть найдется положительное число M такое, что

d<mZi)

^ M для всех i е I, t ^ О.

Так как d(dQ(Zi,е), dD(Zi, 2е)) = е, то для всех к = 0,1, 2,...

е

№ к > К {t-mZi е D Zi ,2е)\D Zi ,е), t е [Тк ,тк+1)}) ^ м,

следовательно, ß(Q) = ж.

Для любого

h = (hi,h2,.. ■, hn) £ D = D(Z®,2e) x D(Zf,2e) x ■ ■ ■ x D(Zn,2e),

учитывая условие 3.2, получаем, что

o(h) = min maxA^v,hA > 0.

IMKi iei

Так как функции Ai непрерывны, то

lim p{h*) = lim min maxA^v,h*) = min maxAi(v,hi) = ß(h), h*^h h*^h ||^||^1 iel ||^||^1 iel

ß

еще, что множество D компакт, получим

r = min min max AAv, hi) = min ß{h) > 0. heD |H|<1 iel heD

Из последнего неравенства получаем, что величина

5 = min min max A^v,&(t)Z®) ^ min min max A^v, hi) = r > 0. teQ. ||^||^1 iel heD ||^||^1 iel

Имеет место следующая цепочка равенств-неравенств:

max JAt) ^ max iel J iei

[o,t] П n

^ П j £ ds > П j -ds = -ß([0,t) nfi).

[о,* n ^ ieI [о,* n n

Отметим, что lim ß([0,t} П ft) = ж, так как ^(ft) = ж. Таким образом, для момента T, определяемого из условия

—

-ß([o,T] пп) ^ 1,

п

J Ai(v(s),&(s)Zf)ds ^

и некоторого a G I выполнено Ja(T) ^ 1. Лемма доказана. Пусть

T = min{i ^ 0 : infmax Ji(t) ^ 1}.

•) г€/

В силу леммы 3.2 То < те.

.

..

Доказательство. По формуле Коши для всех t ^0

+ У Ф“1(в)(^(в) -

о

Пусть ^(т),0 ^ т ^ Т) _ произвольное допустимое управление убегающего Е и ¿1 - наименьший положительный корень функции Т вида

*

= 1 — тах [ \í(v(s),Ф(s)Zf)йв. ге1 .]

0

Отметим, ЧТО В силу определения То момент ¿1 ^ То.

Задаем управление преследователей Pí следующим образом:

Щ$) = — \í(v(t),Ф(t)Zi)Ф(t)ZІ для всех t € [0, То].

Тогда с учетом формулы Коши

*1

%(¿1) = — IА^v(s),Ф(s)Z?).

о

В силу определения ¿1 для некоторого а € I выражение в скобках обращается в ноль, поэтому га(¿х) = 0. Теорема доказана.

Пример 3.1. В пространстве ВУ(V = 2р,р ^ 1) рассмотрим дифференциальную игру Гз п+1 лиц: п преследователей

t

^ = Azi + ui — v, оде A

0 —а 0 0 •• • 0

а 0 0 0 •• • 0

0 0 0 — 02 • • 0

0 0 (12 •• • 0

0 0 0 •• • ар

0 0 0 •• • ар 0 )

а\,й2,... ,ар - некоторые отличные от нуля и не совпадающие друг с другом по абсолютной величине числа. Корни характеристического уравнения

с1е1;(А — АХ) = (А2 + а1)(А2 + а‘2)... (А2 + ар) = О

равны ±а\1, ±а21,..., ±ар1, и предположение 3.1 выполнено.

Утверждение 3.1. Пуст,ь 0 € Intco{Zf}. Тогда в игре Гз возможна поимка.

* * *

1. Петров H.H. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удм.ун-та, 1997. 197 с.

2. Пилипенко Ю.В., Чикрий A.A. Колебательные конфликтно управляемые процессы / / Прикладная математика и механика. 1993. Т.57, вып.З. С. 3-14.