Об одной задаче асимптотической оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С.И.Морина, А.Г.Ченцов

Институт математики и механика Уральского отделения Российской Академии наук, г.Екатеринбург

В статье рассматривается задача• оптимизации значений функции "на бесконечности". Наряду с исходной задачей вводится ее обобщенный аналог ('расширения в классе двузначных мер), всегда обладающий оптимальным решением. Дается описание точек обобщенного минимума, представляющих собой вполне конечно-аддитивные (к-а.) меры.

В статье будем придерживаться следующих обозначений: символ = означает "равно по определению"; N = {1,2,...}; полагаем V тбМ:т7»" {|"еМ|т5|'}; если ( X, т ) — топологическое пространство, А — подмножество X, то с1( А,т ) означает замыкание А в (Х,т); если и и V — непустые множества, то С/*' — множество функций g•. и -• V; для всякой функции и для любого подмножества

HCX g\H) = |g(x): хЕН) есть образ H в силу отображения g, R — действительная прямая, (CS)[R] — множество всех сходящихся последовательностей в R.

L Постановка задачи. Пусть (X, р ) — неограниченное метрическое пространство, s: X— R — некоторый ограниченный функционал на X. Пусть x06X и V гЕ] 0,ю [

S0W4 k&C\p(xj,)<r), Н ± X\S0(r), v 4 infs(x).

x&if

Зависимость r-»vr:J0,oo[-»R монотонна, причем множество jv,: re] О,» [j ограничено. Пусть

У= lim vr=j«p(jvryE]0,oo[J) . (l.i)

В дальнейшем используем следующее, аналогичное [1,гл.З], Определение 1.1. Последовательность (ху)<ем: N-*Jf называем

секвенциальным приближенным решением (с.п.р.) задачи (1), если:

1) V re]0,«o[ 3wGN jjr,: i6wv»|C//r;

2) (s(x,))mNe(CS) [R].

Пусть X есть (непустое) множество всех с.п.р. Полагаем V (x()(6N6N Г[(ж,),е1ч]£ lim *(*,).

О»

Рассмотрим задачу П(х;)(6М]-min , (•*,),. (1.2)

Предложение 1.1. Число Уа есть значение задачи (1.2); множество решений задачи (1.2) непуста

Доказательство. Пусть (xt)teNeX и г.>0. С учетом 1) подберем m.eN так, что : /6т^®|сЯг, и , как следствие, имеем неравенства v, /ет^оо. Тоща после предельного перехода получаем неравенство

vr^rt(x(),6N] . (1.3)

Коль скоро (хДек выбрано из X произвольно, мы получаем в виде v, оценку снизу для значения задачи (1.2). Но и г.>О выбиралось в (1.3) произвольно, поэтому число Уа есть оценка снизу для значения задачи (1.2). Осталось установить противоположную оценку.

Возьмем последовательность (r|)neNeRN: гЛ**п. Последовательность

(vAeN>

V=inf,s(x) , (1.4)

XSH

т

является монотонно неубывающей, ограниченной сверху, и,- при этом, Va"sup (jvn: nGNj). Возьмем любое е€]0,оо[. Тогда V nGN по определению

vn можно выбрать хЕНп так, чтобы выполнялось неравенство $(х)<ул+£ .

81

Используя аксиому выбора, введем последовательность (*л)п6(у€|~|Яп

пен

для которой 5(лгт)<Ут+е,

Соответствующая последовательность (^С*п))ием ограничена. Поэтому можно выбрать строго возрастающую последовательность

, (1.5)

для которой к-*5(хп): N-»11 есть элемент (С5) [Я]. Тогда хл еНк, так что

(1.5) допустима с точки зрения соблюдения ограничений. По выбору (хп\ек имеем при A:eN : з(хп )<Уп +е. Но (уп сходится к Уд. Поэтому

Щха)]*Уа+Е.

Но с>0 выбиралось произвольно, так что Уа оценивает сверху значение

задачи (1.2). Таким образом,

У=ш/ ({П(* },е(у] : (*()16„е*})=

=5цр(^г:ге]0,оо[|)=яу7(|у4:Ле^) . (1.6)

Доказательство существования точки минимума задачи (1.2) проводится по аналогии со второй частью доказательства равенства (1.6).

2. Асимптотическая оптимизация по конусу. В настоящем параграфе мы распространяем асимптотическую постановку на случай задачи [2] оптимизации по конусу, которая, в частности, содержит соответствующие постановки многокритериальных задач [3,4] (еще более общую постановку задачи асимптотической оптимизации в предупорядоченном топологическгп пространстве см. в [2]). Фиксируем непустое множество О, элемента которого будут играть роль индексов. В дальнейшем используем следующие соглашение: если М — непустое множество, то через В(М) обозначим множество всех ограниченных функционалов на М. Фиксируем оператор

: 0 , (2.1) которому сопоставляем целевой оператор 5: Я^Ле такой, что V хЕХ:

ад=(59(*))46С. (2-2)

Операторы (2.1), (2.2) различаются по существу лишь формой записи.

С целью построения корректного расширения рассматриваемой в параграфе 1 задачи мы используем, подобно [3-6], конечно-аддитивные меры, определенные на подходящей полуалгебре Ь [б, с.37,39; 7, с.46] подмножеств X. Последнюю мы определим следующими условиями: 1) V ге]0,®[:50(г)е/, ; 2) при всяком выборе дЕ(2 функционал допускает

равномерную аппроксимацию ¡¿-ступенчатыми [5,6,8] функционалами на X (иными словами, лежит в замыкании линейной оболочки множества всех характеристических функций множеств из Ь в смысле вир-нормы В(А^). Пара (А'.Ь) исполняет далее роль измеримого пространства. В этой связи введем необходимые обозначения из конечно-аддитивной теории меры.

82

Пусть А(Ь) — множество всех х.-а. мер ограниченной вариации, определенных на полуалгебре Ь; Р(Ь) — множество всех нормированных к.-а. мер и Т(Ь)= {«6Р(Ь) | V /,6Ь: (и(£.)=0) или (/«(¿)= 1)} — множество всех двузначных (0,1)-мер. Множество всех Ь-ступенчатых функционалов обозначим через В0(Х,Ь), а его замыкание в смысле вир-нормы В(А") — через В(Х,Ь).

Если /<€А(Ь), geB(X,L), то

(2.3)

х .

есть интеграл, определяемый в соответствии с [6, § 4; 8, с.7,5]. Пространство В(Х,Ь) с нормой, индуцированной из (В(Х,Ь), || • || ), является банаховым, а его топологическое сопряженное пространство В*(Х,Ь) изометрически изоморфно А(Ь) с нормой-вариацией; соответсвие между ними определяется посредством интеграла (2.3) [6, § 5]. Наделяя пространство А(Ь) ""-слабой топологией т.(Ь), соответствующей двойственности (В(Х,И), А(Ь)), получаем отделимое локально-выпуклое пространство. С учетом теоремы Алаоглу [9, с.459] топологическое пространство

(Т(Ь),ДО) (2.4)

(здесь г* (Ь)-след г*(Ь) на Т(Ь)) является непустым компактом, причем множество |ахисеЛ| всех мер Дирака, отвечающих точкам X и определенных на Ь, всюду плотно в (2.4). Из наших соглашений относительно следует

принадлежность всех этих функционалов пространству ^(ЛГ.Ь). Используя (2.3), определяем, если функционал

м»ч: Т(Ь)-»К (2.5)

тем условием, что

у^ет(Ь) /*в(г*|(Лг). (2.6)

X

Тогда каждый функционал (2.5),(2.6) непрерывен на пространстве (2.4). Кроме того, полагаем,что

Ж:Т(Ь)-»К° (2.7)

есть по определению такой функционал, что V ^еТ(Ь) :

(2.8)

Пусть, по определению, О есть множество всех ц 6Т(Ь) таких, что V ге]О,» [:/г(£0(г))=0, Тогда справедливо следующее

Предложение 2.1. Имеет место равенство

»= п СЩ6х: хенг1 ,т.(Ь)) -П С/(М : х&Н1 ОД).

Схема доказательства соответствует [2], и мы ограничимся совсем кратким рассуждением. Пусть гЕ]0»[ и к.-а. мера уеА(Ь) такова, что

83

Тогда (veA(L) : \t(S0(,r))-v(S0(r))\< |v(S0(r))|} есть окрестность v в (А(Ь),тф(Ь)), не пересекающаяся с |дх:дгеЯг|, так что vfé с/(|с5х: xGtfrj,r.(L)). Это рассуждение показывает, что всякий элемент пересечения множеств : x€HrJ, r.(L)) с необходимостью является элементом D. Отметим также, что вышеупомянутые "-слабые замыкания |(5Х : х £#г| совпадают с их замыканиями в смысле t'r(L). Это означает, что

П с/СМ,: хЕН,l,r.(L)) -П с/(/«5ж: x&Hl r^L))GD. (2.9)

re]0,»[l J re)o,«|l i

Пусть выбрано произвольно yGD, так что y€A(L) и при этом

V ге]0,»[: y(S0(r))=0. Пусть ое]0,»[. Покажем, что yGc/(jóx:x€HoJ,r.(L)).

В самом деле, по свойствам плотности [5] имеем, что у€с/(|(5ж: xGAfoj,Tt(L)). Поскольку X=$0(a)UHa< то [10, с.36] имеет место одна

из двух следующих возможностей: 1) у£с/(|<$х: дгеЯа|,г.(Ь)) ; 2)

yGc/(|óx: xGS0(a)j, тДЬ)). Но множество Q= tyeA(L) : MS0(a))| <1} есть

окрестность у в смысле r,(L), которая не пересекается с : *£S0(a)j.

Таким образом, 2) невозможно и имеет место 1). Но и а>0 выбиралось произвольно, так что вложение, противоположное (2.9), установлено.

Через A+(L) обозначим положительный конус A(L) в смысле естественной упорядоченности s, индуцированный в A(L) из пространства Rl с поточечным порядком. Пусть 0GA+(L) есть мера, тождественно равная нулю. Через M(L) обозначим компоненту (полосу) [11, гл.5] всех счетно-аддитивных мер ограниченной вариации, определенных на L, с положительным конусом M+(L). Обозначим через N+(L) положительный конус компоненты N(L) всех чисто к.-а. мер на L [12]:

N+(L)- |HEA+(L)|V VGM+(L):(vs^)=>(V=0)|. Предложение 12. DCN+(L) .

Доказательство. Пусть /<60, vGM+(L), причем v£/<, так что V LEL: v(L)£fi(L). Зафиксируем AGL. Поскольку X есть объединение всех шаров SQ(k), fc€N, монотонная последовательность i-*A(~\S0{i): N-»L

сходится к Л [7, гл.!]. В силу счетной аддитивности v имеем сходимость последовательности /-*v(AnS0(í)): N-* (0,« [ к v(A). Это очевидное обстоятельство следует из того факта, что (единственное) аддитивное продолжение v на алгебру А подмножеств X, порожденную L, неотрицательно, счетно-аддитивно и , следовательно, непрерывно на монотонных последовательностях [7]. Но при имеем О£у(ЛП5о(А0)£/<(ЛП5о(£)), причем

ц(ЛП30(к))=0 по определению D. В итоге v(A)=0, чем, в силу произвольности

выбора Л, и завершается доказательство.

В дальнейшем будем использовать предложение 3.2 [2, с. 15]. Мы полагаем при этом, что в [2] Н= j#r:re]0,oo[J, Q= Re, в — топология

84

поточечной сходимости R°, s[2] есть оператор S (2.2), y=í(L),T=i-;(L), g[2] есть W (см. (2.7), (2.8)), m есть оператор x-öx: X-»T(L). При этом, конечно, S=Wm, поскольку S{x)=(wq(óx))g£ü=W(óx) при xSX в силу (2.6). Тогда [2, с. 15]

Пс/(5'((/),и) = W/i(Dc/(w'((/),г* (L))) í/бн иен

0^£Я,|,г;(Ь)))=^(В) , (2.10)

причем данное множество непусто, т.к. 0£Н (Н есть базис фильтра X [13]). Пусть й — поточечный порядок R ® ; если К — подмножество R й полагаем {éz-MIN)llQ± {ueK\Vv&K:{v áu)=>(u=v)\. Тогда из (2.10) вытекает [2] следующая

Теорема 2.1. Справедливо равенство

(¿-Л//ЛГ)[Пс/(5'([/),е] D)] *0.

re н

Т — непустое множество, обозначим через (DIR) [Т] множество всех направлений [14, с.95] на Т; если ¿6 (DIR)[T], то пару (T,L) именуем направленным множеством (если, кроме того, А — множество и aGAT, называем тройку (T,¿.,a) направленностью в А). Если (А,г) — непустое топологическое пространство, (T,L,a) — направленность в А и ш&А, обозначаем сходимость (T,L,a) к ш в (А,г) через (7',ш. Тогда [2, с.11,12] (2.10) есть множество всех таких, что существует

направленность (T,L,a) в X, для которой: 1) V UGH 3 lu&T V t&T

(VL/)=>(«(/)££/);

си, где ° обозначает суперпозицию. В дальнейшем приближенные решения определяем как направленности (Т,А,а) в X, обладающие вышеупомянутыми свойствами 1),2). Пусть

— непустое множество в силу теоремы 2.1. Множество D0CT(L), так что [5] в силу теоремы Биркгофа можно при ¿í€D0 указать направленность (T,L,a) в X, для которой (T,¿.) в совокупности с оператором й вида

t-*öa((): r-T(L) (2.11)

составляет направленность (T,L,ä), сходйщуюся в (A(L), i.(L) ) к ц. Оказывается, что всякая такая направленность (T,L,a) есть "асимптотически эффективное" приближение. Справедливо следующее Предложение 2.3. Пусть /<60 Тогда

W{fi)&{ü-M¡N)[C\cl{S\U),e)}. (2.12)

Yen

Если (T,L,a) есть направленность в X, для которой направленность (T,L,ñ\ где й есть оператор (2.11), сходится к fi в смысле r.(L), то:

12 Зак 3732

85

1) при всяком выборе aG]0,« [ направленность (Г,/.,а) находится в Нй с некоторого момента [13, с.96]; 2) (T,L,S°a) сходится к W(n) в

(Re,0) •

Доказательство. Включение (2.12) следует из определения D0 и теоремы 2.1. Выберем направленность (T,L,à), удовлетворяющую условиям предложения ( а понимается в смысле (2.119. Из сходимости (Г,Л,2) к ц следует, что для LEL направленность, получаемая из (Т, L) добавлением функционала t-*&(t)(L) : Г-»R, сходится (в (R. | • | ) ) к /î(L). В качестве L можно использовать S0(a) (при а>0). Но так что

fi(S0(a))=0 (при а>0). Тогда можно указать tQET так, что V t ET:(t0Z. f)*( I â(i)(50(a)) | <0,5). Ho a(t)(L)=ôa(l)(L) при (ET и LEL, так что 5(f)(L)€|0;l}. Поэтому для IET, t0£t имеем, что â(i)(50(a))=ôa(0(50(a))=0, т.е. a(t)&Ha. Свойство 1) установлено. Из (2.2) имеем, что S°a есть оператор

'-ww™6.

Но V tET V qEQ :

x x

Поэтому, согласно определению r.(L), имеем следующее свойство сходимости: если qEQ, то направленность, получаемая "добавлением" к (Г,Л) функционала

fs/xmm ■• r-R,

X

сходится к /«- интегралу sg на множестве X, т.е. к wJ^i)—W{ji){q). Это означает, что (T,/.,S°a) сходится к W(p) поточечно, т.е. в смысле в, чем и завершается доказательство предложения.

Отметим, что "явная" конструкция направленности (T,L,a), удовлетворяющей свойствам предложения 2.1, приведена в теореме 6.1 [5]. В условиях, когда (R ®,в) есть пространство с первой аксиомой счетности, исчерпывающая реализация экстремума (^■-Ai/Af)[W,(D)] достигается уже в классе секвенциальных приближенных решений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

2. Ченцсш А. Г. Экстремум в условиях ограничений асимптотического характера и конструкции компактификаций. Екатеринбург: Ин-т математики и механики УрО АН СССР, 1991. 85 с.

3. Белов Е.Г., Ченцов А.Г. Расширение и устойчивость некоторых многокритериальных задач / / Кибернетика. 1990. N«5, С.44-49.

4. Белов Е.Г.у Ченцов А.Г. Релаксация ограничений в многокритериальных задачах //Изв. вузов. Математика. 1991. №7. С.3-7.

86

5. Ченцаа А.Г. Двузначные меры на полуалгебре множеств и некоторые их приложения к бесконечномерным задачам математического программирования //Кибернетика. 1988. Ns6. С.72-76.

6. Ченцов А.Г. Приложения теории меры к задачам управления. Свердловск: Сред.-Урал. кн. изд-во, 1985. 127 с.

7. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М., 1969. 309 с.

8. Ченцоа А.Г. К вопросу об универсальной интегрируемости ограниченных функций //Мат. сб. 1986. Т. 131, №1. С.73-93.

9. Данфорд Дж. Т., Шаарц Н. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1964. 895 с.

10. Энгелыкинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

11. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 751 с.

12. Joshtda К., Hewitt E.H. Finitelly additive measures / /Trans. Amer. Math. Soc. 1952, V.72. P.44-66.

13. Бурбаки H. Общая топология. Основные структуры. M.: Наука, 1968. 272 с.

14. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981. 431 с.

Получено 15.09.92