CC BY
25
ОБОБЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ
А Г Ченцов , Т Ю Каширцева
Иштитут математики и механики УрО Российской Академии наук
Ра( < матриваегпся обобщенное пред(тавленис областей достижимости и пуч ков траектории линейной управляемой системы с импульсными ограничениями (на вы бор управления) в класы конечно аддитивных мер ограниченной вариации
Ключевые слова конечно аддитивная мера, топология поточечной сходи ионии линеиная система
В статье рассматривается конкретизация общих соотношений [1,2] примени I ельно к задачам управления линейными системами с разрывными коэффициентами при управлении в правой части соответствующего век торного дифференциального уравнения
Итак фиксируем два числа /о 6 И и ^ 6 Я, ¿о < ^о, здесь и ниже II вещеслвенная прямая Эти моменты ¿о, 1?о определяют промежуток
/0 [¿о на котором рассматривается процесс управления системой
с фазовым пространством И", где п — заданное натуральное число Полагаем, что начальные условия (н у ) системы (1 1) ж(£о) — хо £ Г1п заданы, матрицам А = А{ ) определен на /о, принимает значения в пространстве всех п х п - матриц и имеет непрерывные компоненты Ац( ), г £ 1,п, ] Е 1 , п, кроме того, полагаем, что Ь — Ь() есть ограниченная /г-вектор-
функция на I = [¿о, $о[= М№ Мы допускаем, что Ь — разрывная функция В (1 1) в качестве / = (/(£) £ Л,£о < £ < используется для простоты кусочно постоянная (к -п ) и непрерывная справа (н сп ) функция на I про котор}ю известно только, чю
1. Введение
х(г) = А(£)х(£) +
(1 1)
• ¿о
138
А Г Ченцов Т Ю Каширцева
1де с € [0,оо[ задано В дальнейшем мы рассмотрим и управления более общего вида В этом разделе будем полагать, что компоненты b являются равномерными пределами к -п и н сп вещественно-значных (в/з) функций на I При этих условиях каждому управлению f вышеупомянутого типа отвечает единственная траектория <pf = (<pf(t) £ R",io < t < $o), определяемая формулой Коши
t
¥>/(*) = Ф(Мо)®о + f f{T)$(t,T)b(T)dr (13)
io
Здесь и ниже интеграл (не обязательно "римановский") вектор-функции определяется как вектор интегралов ее скалярных компонент Множество траекторий (1 3) при переборе всех допустимых в смысле (12) управленийf называю! пучком возможных траекторий, а аналогичное множество точек iff (до) — областью достижимости [3-5] Упомянутая область не замкнута, как правило, в R", а пучок соответственно не обладает, вообще говоря, свойсiвом замкнутости в топологии поточечной сходимости
2. Конечно-аддитивные меры как обобщенные управления
в линейной системе
Рассмотрим вопрос о преде i авлении "регуляризаций" таких характерных для теории управления объектов, как область достижимости (ОД) и пучок движений (ПД), будем рассматривать управляемую систему (i 1) на проме жутке /о (см раздел 1) при несколько более общих предположениях Через J обозначим семейство всех промежутков [a,b[, а £ /о, b Е [а, t?o]> тогда (/ J) известное пространство-стрелка, через В обозначим борелевскую сг-алюбру [6,7] подмножеств I,порожденную полуалгеброй J Пусть £ — полуалгебра [1,2,6,7] подмножеств I — [fo>$o[, удовлетворяющая следующим условиям J С С, С В Полагаем ienepb, следуя [1,2], что Bq(I,C) — множес 1во всех ступенчатых относительно (/, С) в/з функций на I (см подробнее [1, гл III]), через В(1,С) условимся обозначать замыкание Во(1,£) в пространстве В(/) всех ограниченных в/з функций на I с традиционной sup нормой [8, с 261] Мы полатаем, что в (1 1) вектор-функция Ь( ) такова, что при всяком г 1,п компонента Ьг = Ьг( ) функции Ь = Ь(), определяемая
условием bt(i) = (b(t))t есть элемент В(1,С) Ьг G В(1,£) Относительно управления f в (1 1) полагаем, что / 6 Bq(I,C) Предположения относи-хельно матрицанта А = ) сохраняем прежними (см раздел 1) Имеем при / 6 В0(1,£) в виде
t ^ f{t)b(t) IRn
борелевскую вектор-функцию на I. Решение (1.1) в этих условиях (и при фиксации н. у ж (¿о) = х^) определяется в смысле Каратеодори. В связи с этим следует напомнить, что В(1,В) есть множество всех ограниченных борелевских в/з функций на I (т.е. всех таких ограниченных функций к : I К, что \/с £ 11 : {£ £ / | < с} £ В). По выбору С имеем вложение В(1,С) С В(1,В) Решение системы (1 1), порожденное управлением / £ Вц(1,£), определяется посредством (1 3), где следует только использовать (вместо "римановского" интеграла) интеграл, определяемый по схеме [1, с 69], либо "обычный" интеграл Лебега. Итак, пусть Л — след меры Лебега [8] на ст-алгебру В (Л — счетно-аддитивная неотрицательная в/з мера на В такая, что А([а,6[) = 6 - а при to < а < Ь < $о). Через г] обозначаем след Л на С : г] — (А | £); тогда 1] есть счетно-аддитивная неотрицательная в/з мера на £, причем для функций из В(1,С) интегралы относительно г] и относительно А совпадают. В этих условиях, при / £ Ва(1, С) и, более общим образом, при / £ В(1,С) ^решение системы (1.1) есть функция из /о в И" со значениями
¥>/(*) = Ф(Мо)хо+ / /(т)Ф(4,г)Ь(т)7,(£*т); (2.1)
мы сохраняем для обозначения "обычных" траекторий, порожденных программами ^ обозначение, принятое в (1 3) Условие (1.2) на выбор управляющей программы Г в (2 1) заменим более общим требованием
/ |/!Ж? = / |/(*МЛ)<с (2.2)
/ I
на выбор / £ В(1, С). Здесь, как и прежде, с £ [0, оо[ — заданная ресурсная константа. Через /<Ь (через Р) обозначаем множество всех / £ Во(1, С) (всех / £ В(1, £)), удовлетворяющих условию (2.2), /<о С Р. Кроме того, пусть
Со = {</>/№) • / € ¿о}, С й {^pf(^дo) : / £ П
Всегда Со С С, так что мы имеем два варианта области достижимости в классе обычных управлений. Аналогичным образом полагаем
Х0 = {</>/ =
При этом А'о С X
Легко видеть на примерах, подобных [1,2], что множества 0( замкнуты, вообще говоря, в Я" с топологией покоординатной сходимости, а множества не замкнуты (вообще говоря) в пространстве всех
п-вектор-функций на /о с топологией поточечной сходимости. Замыкания этих множеств естественно рассматривать как некоторую их регуляризацию, полезную, в частности, при решении экстремальных задач. В настоящей статье мы рассматриваем представление замыканий &о, О, Ло, используя, по сути дела, конкретизацию общих представлений [1, 2]. Это представление достигается использованием специального расширения пространства управлений в классе к.-а. мер ограниченной вариации [8, гл.III] с одним специальным свойством слабой абсолютной непрерывности относительно "Ч (если £ = 3, то этим свойством обладает любая к.-а. мера ограниченной вариации, определенная на £ : см. [1, с.89]). Мы рассматриваем линейное пространство А(£) всех в/з к.-а. мер на £, каждая из которых имеет ограниченную вариацию; А(£) порождается конусом (агМ)+[£] всех неотрицательных в/з к.-а. мер на £ и оснащается сильной нормой, определяемой в виде полной вариации (см. [1, с.62]). При этом, в частности, тI е (ас1с1)+[£], а
А„[£] = А(£) | VI £ С : {г,{Ь) = 0) => (/*(£) - 0)}
есть множество всех к -а. мер ограниченной вариации, определенных на С и обладающих слабой абсолютной непрерывностью [10] относительно г). Мы используем меры из множества
5,(£) = {/*еАч[£]| «„(/)< с} ¡2.3)
в качестве обобщенных управлений (см [2, с.48]). Напомним, что £?*(/,£) -пространство, топологически сопряженное к банахову пространству В(1, £) в традиционной вир-норме [8, с. 261], изометрически изоморфно А(£) в сильной норме, а сам изометрический изоморфизм А(£) на В*(1,С) определяется простейшей конструкцией интегрирования [1, с. 69, 70] (см. также [11]) Это свойство позволяет оснащать А(£) *-слабой топологией [12]; эту топологию, следуя [1, 2], обозначаем через т*(£) (общее определение см. в [8, гл.У]; конкретизация приведена в [1, с. 71]). Условия компактности в
(А(£), т*(£)) (2.4)
определяются известной теоремой Алаоглу [8, с. 459] (следствие теоремы Тихонова [13, 14]); конкретизация общих положений приведена в [1, с. 71]. Нам потребуется понятие неопределенного интеграла относительно меры г/. Следуя [1, с 70], обозначаем для / £ £?(/,£) через / * г) неопределенный ^-интеграл 1, получая всякий раз к.-а. меру из А7?[£]; будем использовать основное свойство неопределенного интеграла [1, (3.4.11)]. Напомним, что [1, с 82] множество (2.3) компактно в топологическом пространстве
виде всюду плотных, относительно ТП (2.4), подмножеств (см. [1, .87]). При этом конкретная схема аппроксимативной реализации обобщенных элементов (ОЭ) ц £ 2с(£) в классе / € ?7о приведена в [2, с.245]. Если £ € /о, то отображение т Ф(£, т)6(т) : / —>• Л" таково, что все его компоненты — суть элементы В(1, £); мы учитываем здесь свойство непрерывности ¡15] матрицанта (фундаментальной матрицы решений) системы при изменении переменных в пределах /о- С учетом этого обстоятельства полагаем Чр € А(£) Ш £ 10
= оЬ+ I ФЦ,т)Ь(т)ц(с1т). (2.5)
(М
Далее, мы рассматриваем (2.5) как траектории обобщенной системы, полагая
УмеА (2.6)
В виде (2.6) мы имеем всякий раз отображение из /о в Л". Условимся о следующем обозначении:
X = {«^ : е Ес(£)}. (2.7)
Пространство Е всех п-вектор-функций на /о оснащаем естественной топологией Т поточечной сходимости. Если (О, — направленность в Е и I С Н, то сходимость [13,14] (£>,^,/1) в (Е, Т) к X имеет место тогда и только тогда, когда для каждого í 6 /о направленность
сходится к 1(1) в К" с обычной топологией покоординатной сходимости. Здесь и ниже мы используем для обозначения направленностей и сходимости направленностей (сходимость по Мору-Смиту) символику [2, с. 34]. Через с/(-,т) будем обозначать оператор замыкания в ТП с топологией т. Для замыканий в К" будем использовать более простое обозначение: замыкание множества А, А С К", обозначается через А, т.е. А — с1(А,т
Нашей ближайшей целью будет устанавление совпадения с1(Х,о, Т),с1(Х, Т) и X. Из этого утверждения как следствие будем извлекать аналогичные соотношения для ОД Со, О и
о = : V е Ес(£)} - {х(0о) *(•) €
Нашей ближайшей целью будет установление следующих равенств
(С = О = СоЩХ = с1(Х,о, Т) = с/(Д\ Т)), (2.8)
где черта сверху обозначает замыкание в Rn с топологией т'1'^ покоординатной сходимости. Напомним в этой связи, что простанство (Е, Т) есть тихоновское произведение (см. [13, 14]) экземпляров (Rn,T^) с индексным множеством /ц. Для доказательства (2.8) будем использовать "стандартные" свойства непрерывных операторов на компактных ТП и аппроксимативную конструкцию [2, с. 244, 245]. В связи с (2.1), (2.5), (2.6) отметим, что при условии / G В(1,С) и ц = f * т) имеет место равенство ipj = ф^ (см. в этой связи [1, с.70]). Это свойство позволяет утверждать, что
(Со С С С G)k(X0 С Л" С Л"). (2.9)
С учетом (2.9) и свойства замкнутости [13, 14] непрерывного оператора, действующего из компактного пространства в хаусдорфово, можно установить следующую цепочку вложений (существенную в плане доказательства (2 8))
(Go С G С G)k{cl(X0, Т) С cl(X, Т) С X). (2.10)
В' самом деле, Go С G и cl{Xo,T) С cl(X,T) в силу монотонности оператора замыкания в произвольном ТП. По определению ТП (2.4) мы имеем при t G /о свойство непрерывности оператора
/i^^(i): А(£) -*Rn (2.11)
в смысле топологий т„(£), т^. В частности, это свойство имеет место при t = до. Тогда по определению G имеем (в виде G) нерперывный образ компакта Е((£). Тогда G - компактное множество в (Rn,T^) и, стало быть, G есть множество, замкнутое в смысле Поскольку при этом
G С G, то, по определению замыкания, G С G. Тем самым завершается обоснование первой цепочки вложений.
Из непрерывности операторов (2.1 J) при каждом t G /о вытекает, что и оператор
(2.12)
непрерывен в смысле топологий г*(£),Т. В этом случае пучок (2.7) как непрерывный образ компакта компактен в ТП (H, T), а в силу отделимости последнего, S (2.7) — замкнутое множество. Тогда согласно (2.9) имеет место вложение cl(X,T) С X, чем и завершается проверка (2.10) в целом. Покажем, что
X С cl(X0, Т). (2.13)
Для обоснования (2.13) будем использовать конструкцию [2, с. 245]. Пусть выбрано произвольное движение х(-) = (¿(i))ie/0 G X, после чего подберем fi G Н((£) так, что при этом х(-) = ф^. Это означает, что х(-) есть отображение из /о в R™ такое, что V£ G Iq : x{t) = фц{€). Воспользуемся
отображение из Iq в Rn такое, что Vi £ /о : x(t) — <i>ß{t). Воспользуемся непрерывностью оператора (2.12). Рассмотрим множество D, определяемое соотношением (3.6.10) [2] при Е ■= I, так что D есть множество всех неупорядоченных конечных разбиений I; мы оснащаем D направлением ч [2, с.48], соответствующим свойству вписанности одного конечного ¿-разбиения I в другое. Если 1С £ D, то (поскольку ß £ Ач[£]) оределяем 0/;[/С] £ Bq(I,£) в соответствии с [2, с.244]. При этом (см. [2, с 45, 56, 245]) имеет место свойство: @^[/С] £ Fo при /С £ D. Как следствие имеем V/CeD
<Р/ 1/=0м[К]е <*0. (2.14)
Заметим теперь, что 0^[/С] * г) £ А,,[£], так что движение (2.14) есть
фр при v = Qß[K.}*rj, если только К. £ D. Рассмотрим оператор ф = ©¿Д-]*т) % с. 245], т.е.
/С ^ 0М[/С] *i] : D -> Аг,[£].
Дополняя этот оператор направленным множеством (D,-<),D ф 0, мы получаем [2, с. 245] сходимость
(D.^VO^V (2.15)
В силу непрерывности оператора (2.12) получаем, что
В свою очередь, из соображений, связанных с представлением траекторий вида (2 14), мы получаем при К. £ D, что
<Л=>М[/С] = 4>v [К]*т]= Фф(К.)- (2-17)
Стало быть, у нас (см. (2.16),(2.17)) имеет место сходимость
(2Л8)
Из (2 14),(2 18) вытекает [13,14], что
£(') = Фц е cl[X0,T).
Поскольку выбор ж(-) был произвольным, установлено вложение
X С cI(Xq, Т). (2 19)
Из (2 10) и (2 19) мы получаем, что справедлива
ТЕОРЕМА 2.1. Каждое из множеств Х,Хд всюду плотно в X в смысле ТП {Б, Г) : с1(Х0,Т) = с1{Х,Т) =
3. Управляемая система с импульсным ограничением, включающая линейную часть и нелинейный безынерционный
преобразователь
В настоящем разделе мы рассмотрим комбинацию системы (1.1) и нелинейного безинерционного блока, определяемого непрерывным оператором д Ип —>• И"1, где пит — натуральные числа. Итак, мы рассматриваем систему, в которой действие управления / С ^ характеризуется "траекторией"
1^д{х1(1)):10->В.т, (3.1)
которую мы условимся обозначать через ), так что Zf(t) — д{х]{Ь)) при £ 6 /о- При переборе всех / £ /<о (всех / € ]?) реализуется пучок (пучок Z) всех возможных траекторий Zf(). Мы рассматриваем замыкания множеств ъ естественной топологии поточечной сходимости пространства т-вектор-функций и его представление в терминах к.-а. управлений-мер.
В связи с нелинейным преобразованием в (3.1) полезно отметить некоторые модели, используемые в теории радиотехнических цепей [16, гл. 11] К числу устройств такого рода могут быть отнесены, в частности, полупроводниковые приборы, характеризуемые своей вольтамперной характеристикой Конструкции такого рода (см. (3 1)) могут рассматриваться, в частности, в качестве фрагмента типового радиотехнического звена [16] С учетом (3 1) мы введем в рассмотрение специальный оператор в, переводящий Н в множество Т всех функций из /о в И."1 Полагаем, что С есть, по определению, отображение
(3.2)
Мы оснащаем Т естественной топологией 0 поточечной сходимости (при этом РТ" оснащаем "обычной" топологией покоординатной сходимости, т е. (Т,0) есть тихоновское произведение экземпляров К"1. В силу непрерывности оператора д имеем, что отображение С непрерывно в смысле ТП (Н, Т) и (Т,&). Мы учитываем при этом свойства [2, .35] и тот факт, что С(Х)(£) - д(Х(Ь)) при X £ Е и £ £ /о- В качестве X можно, конечно, использовать (как и в (3.1)) "обычные" траектории системы (1.1). Можно, однако, в качестве X использовать обобщенную траекторию фц, где ц £ А(£). В последнем случае естественно возникает суперпозиция операторов (2 12) и (3 2), : е отображение
М С(^) . А(£) Т,
(3.3)
непрерывное в смысле ТП (2.4) и (Т,0). Поскольку (Т,<9) — хаусдорфово
ТП, то множество
¿й{0{ф„).»еЕс(С)} (3 4)
компактно в (Т, 0) как непрерывный образ компакта. В частности, 2 (3 4) — замкнутое в (Т, &) множество. Напомтш, что
(2о = {-?/(•) • / е })Ь(2 = ) /6^}) (3 5)
Если / б -Р, = то
= 0 = = {з{ч>^)))ш0 = СК^/) = */(•)
Таким образом, у нас
¿о С 2 С ¿, (3 6)
г к / * г] £ Н при / Е F Из (3 6) и замкнутости 2 вытекает, что
с1{2о,0) Сс1{2,0) С 2 (3 7)
Рассмотрим доказательство вложения
¿Сс1{2о,0), (3.8)
действуя по аналогии с обоснованием (2.19) Пусть г € 2 Тогда, используя (3 4), подберем I/ € Нс(£) так, что г = С((/3„) Рассмотрим направленное множество (В,-<:),В ф 0, а также оператор ©¡,[]. Мы получаем в виде (Б, -<, 0„[ ]) направленность в ^о, которая посредством процедуры [1, (2 3 9)] может быть погружена в Н, (£) А именно, мы рассматриваем оператор ж ^ 0,у[ ] * г] вида
©„[£]* г/ Б-^А^]
При этом, как и в (2 15), имеем [2, с 245] сходимость (0,-^,ае) к и в ТП (2 4) С другой сюроны, как всякая суперпозиция непрерывных функций, непрерывно отображение (3 3) Поэтому имеет место сходимость
^.(со^и))^) ® ош
Иными словами,
(3-8)
При этом ©„[£] € Fo при /С € D [2, .45,56,245], а тогда VK € D:
G (£e„[K:]«f) = G (ve„[/q) = *e„[x:](-) € 2о- (3.9)
Из (3.8),(3.9) вытекает по теореме Биркгофа, что z € cl(Zo,&). Поскольку выбор z был произвольным, установлено вложение (3.8). Из (3.7),(3.8) вытекает
ТЕОРЕМА 3.1. Справедлива следующая система равенств
Z = cl{Z{h0) = cl{Z,0).
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. С помощью аналогичных рассуждений можно (для системы, включающей нелинейный преобразователь) построить обобщенное представление в классе к.-а. мер для замыкания ОД в пространстве Rn. Это представление аналогично первому утверждению (2.8).
Список литературы
Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с.
Chentsov A.G. Asymptotic attainability. Kluwer Academic Publishers, 1997. 322 c. Красовский H.H. Теория управления движением. M.: Наука, 1968. 476 с. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986. 296 с. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Иностр. лит.,1962. 895 с.
Ченцов А.Г. К вопросу об условиях асимптотической нечувствительности достижимого множества при возмущении части ограничений/Вестн. Челяб. ун-та №1(3). 1996. С. 189-205.
Bliaskara Rao K.P.S., Bhasltara Rao M. Theory of charges. A study of finitely additive measures. London: Acad. Press, 1983. 253 p.
Semadeny Z. Banach spaces of continuous functions, volume 1. Waiszawa: PWN Polish Scientific publishers, 1971. 584 p.
Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981. 431 с. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.
Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 322 с.
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 1988. 448 с. Summary
The closure of the bundle of trajectories of a linear system with integral constraints is considered. The differential equation contains a discontinuous dependense. The exlension in the class of finitely additive measures is constructed As a result, the closure of the bundle in the topology of point-wise convergence is obtained.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 11.
12.
13.
14.
15.
16.
