Об одной особенности при выводе распределения Гиббса из принципа максимума энтропии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Переходя к пределу при N —> оо, получим

Р** = ау2Ы(К/г). (5)

В отличие от однослойного сосуда при увеличении внешнего радиуса в (5) внутреннее давление может быть сделано сколь угодно большим! Например, если выберем внешний радиус сферы, в 128 раз превышающий внутренний, получим для 16-слойного сосуда = 6,37сгу, а предельное значение составит Р** = 8,3 (Ту.

Естественно, остается открытым вопрос о практическом изготовлении таких сосудов. Возможное решение — это конструкция типа "клубок", обмотка которого рассчитана таким образом, что внешние слои нагружаются постепенно, по мере роста давления во внутреннем герметичном контейнере, а при достижении заданного давления Р** внутренние напряжения будут линейно убывать от слоя к слою.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Гудиер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979.

2. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969.

3. Бриджмен П. У. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. Влияние высокого гидростатического давления на механические свойства материалов. М.: Либроком, 2010.

Поступила в редакцию 07.09.2016

УДК 531.19

ОБ ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ПРИ ВЫВОДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА ИЗ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ЭНТРОПИИ

А. М. Шматков1

Показано, что в общем случае распределение Гиббса может не доставлять максимума энтропии.

Ключевые слова: принцип максимума энтропии, распределение Гиббса, равновероятное распределение.

It is proved that the Gibbs distribution may not provide the entropy maximum.

Key words: entropy maximum principle, Gibbs distribution, equiprobability distribution.

Докажем утверждение, похожее на теорему из § 6 известного учебника [1]. Для лучшего понимания существа вопроса сохраним формулировки, обозначения и т.д., использованные в [1], настолько, насколько это возможно.

Рассмотрим консервативную механическую систему с п степенями свободы, состояние которой описывается n-мерным вектором обобщенных импульсов р и n-мерным вектором обобщенных координат q. Тогда энтропия имеет вид f р(р, q) In р(р, q) dpdq, где р(р, q) — соответствующая плотность распределения вероятности.

Теорема. Пусть Е и V — заданные положительные константы. Рассмотрим распределения, p(p,q), удовлетворяющие условию f H(p,q)p(p,q) dpdq = Е, причем f H(p,q) dpdq = EV, где V = f dpdq, a H(p, q) — гамильтониан системы. На этом множестве энтропия, имеет единственный максимум, который достигается на равномерном распределении.

Доказательство. Вычислим первую вариацию энтропии, покажем, что энтропия имеет единственную стационарную точку — равномерное распределение и что вторая вариация в этой точке отрицательна.

1 Шматков Антон Михайлович — доктор физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Ин-та проблем механики РАН, e-mail: shmatkovQipmnet.ru.

Итак, ищем стационарные точки функционала

S = — J р(р, q) In р(р, q) dpdq

при условиях

J Н(р, q)p(p, q) dpdq = E, J p(p, q) dpdq = 1.

Как всегда при поиске условного экстремума, построим функционал

F = S — \ J H(p,q)p(p,q) dpdq — ц, J p(p,q) dpdq.

Вычислим вариационную производную функционала J-:

5F

5р(р, q)

= - In р(р, q)- I- XH(p, q) - Ц.

Отсюда p(p,q) = Ce xh(-p<i\

Теперь вычислим вторую вариационную производную:

62S _ 5{р - p')5(q - q')

5p(p,q)5p(p',q') p(p,q)

Итак, вторая вариация строго отрицательна.

Разумеется, можно обойтись и без ¿-функций:

г if h2(p q)

S(p + h) = S(p) - J h(p, q)( In p(p, q) + 1) dpdq — - J ' dpdq + ... .

Из этого разложения тоже видно, что вторая вариация строго отрицательна. Обозначим через /3 решение уравнения

1 H(p,q)e~XH(-p'qUpdq = Е.

f e~XHdpdq

Прямой подстановкой можно убедиться, что при выполнении указанного условия f Н(р, q) dpdq = EV решением служит значение /3 = 0. При этом ц = In V — 1.

Покажем единственность найденного решения. Допустим, что существует второе решение £ > 0. Тогда должны быть верны следующие два соотношения:

У (Я - Е)е~^нdpdq = 0, J(Я - Е) dpdq = 0. Введя переменную Z(p, q) = Н(р, q) — Е, получим

/z.-^ = o, /г«* = о.

Тогда должно выполняться равенство J Z — l) dpdq = 0. Поскольку случай, когда Н(р, q) = Е

почти всюду, интереса не представляет, то это равенство может быть справедливо, если только подынтегральная функция меняет знак внутри области интегрирования, причем последнее может иметь место только в окрестности точек, где Z(p, q) = 0. Представив экспоненту в виде ряда, имеем

J Z - l) dpdq = f - 1 j dpdq = J ^Z2 + £ dpdq.

Видно, что в малой окрестности точек, где Z(p, q) = 0, подынтегральная функция ведет себя как —£,Z2 и поэтому знак не меняет. Следовательно, предположение о наличии второго решения £ > 0 неверно.

В итоге получаем, что единственная стационарная точка нашей вариационной задачи — равномерное распределение p(p,q) = 1/V. Теорема доказана.

Заметим, что при соответствующих предположениях о свойствах Н(р, q) малое изменение значений Е и V приведет к малому изменению значения /3. Оно перестанет быть нулевым, но останется очень близким к нулю. Величина 1//? при этом будет, вообще говоря, сколь угодно велика, хотя и конечна.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 17-08-00742.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Березин Ф.А. Лекции по статистической физике. М.: МНИМО. 2008.

Поступила в редакцию 29.06.2016