Замечания об энтропии Гиббса динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 536

ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ЭНТРОПИИ ГИББСА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

М. В. Дерябин

1. Введение. В работах В. В. Козлова [1-4] развиваются идеи Гиббса и Пуанкаре о тепловом равновесии механических систем и о выводе законов термодинамики из механики. Напомним, что подход Гиббса заключается в том, что на фазовом пространстве M, dim M = n, динамической системы

x = v(x), x £ M (1)

вводится структура вероятностного пространства, согласованная с динамикой:

,-t ^), г (xt t D) =

D

P(xt £ D) = P(xo £ g-tD), P(xt £ D) = j pt f,

где дг — фазовый поток системы (1), ц — инвариантная п-форма объема: ц = 0, а рг — плотность вероятности: [ рг 1 = 1.

м

По теореме Пуанкаре [5, с. 385-412] энтропия Гиббса динамической системы, вычисленная относительно ее инвариантной меры:

5 = ^ У рг 1п рг (2)

м

всегда константа (что, собственно, и являлось основной проблемой в задачах обоснования термодинамики с ее растущей энтропией). Главный инструмент, используемый для обоснования роста энтропии, по [4] — это переход к слабому пределу плотности вероятности: в пределе при Ь энтропия Гиббса (2)

заменяется на энтропию равновесного состояния

5^ = - J р 1п р

м

где функция р — слабый предел плотности вероятности рг. Оказывается, что при этом всегда справедливо неравенство 5 < Такой скачок энтропии согласуется с предсказаниями феноменологической термодинамики.

В связи с подходом Гиббса и Пуанкаре возникают следующие естественные вопросы.

Что будет в случае, когда форма объема ц не инвариантна относительно динамики? В этом случае теорема Пуанкаре, очевидно, неприменима. Мы показываем, что если у системы (1) есть интегральный инвариант, то при некоторых естественных дополнительных условиях усредненное по времени значение энтропии Гиббса совершает положительный скачок при переходе к слабому пределу. При этом сама энтропия Гиббса всегда ограничена как сверху, так и снизу.

Чему соответствует слабый предел плотности вероятности? В гидродинамике идеальной жидкости известны так называемые обобщенные потоки, введенные в [6] (см. также [7]) как расширение группы 5В1й"(М) диффеоморфизмов многообразия М, сохраняющих объем: в "расширенном 5В1й"(М)" вариационная задача о потоке, соединяющем диффеоморфизм д £ 5ВЩ(М) с тождественным и минимизирующем функционал действие, всегда имеет решение. При этом, как доказано в [8], обобщенный поток можно приблизить диффеоморфизмами дг £ 5В1й"(М) в слабом смысле. Мы показываем на примере диффеоморфизмов единичного куба, что слабый предел плотности вероятности Гиббса соответствует некоторому обобщенному потоку.

2. Конечная инвариантная мера динамических систем. Рассмотрим на п-мерном ориентируемом неограниченном многообразии М динамическую систему (1) с инвариантной мерой шев(^). Ограниченность меры шев(М) несущественна для определения энтропии системы по Гиббсу (см., например, [2]).

Однако если система стремится (в каком-либо смысле) к стационарному состоянию — статистическому равновесию по Гиббсу, то предельная вероятностная мера уже должна быть ограниченной. Мы рассмотрим простые препятствия существования ограниченных инвариантных мер.

Предложение 1. Пусть фазовое пространство системы (1) совпадает с К1, а функция v(x) непрерывна и не равна константе. Тогда конечная мера с гладкой плотностью существует только тогда, когда среди решений уравнения (1) есть решения, убегающие на бесконечность за конечное время.

Доказательство. Пусть n(x) — плотность инвариантной меры уравнения X = v(x). Тогда должно выполняться соотношение n(x) = c/v(x), c = const. Следовательно,

oo oo

/dx f

—— = / ri(x) tlx. v(x)

xo xo

Если такая мера существует, то интеграл сходится. Но сходимость этого интеграла как раз означает существование решений, убегающих на бесконечность за конечное время. □

В многомерном случае без дополнительных предположений о динамике системы (1) предложение 1, конечно, неверно. Например, у системы уравнений

x = -У, У = x

в области x2 + y2 > 1 есть гладкая инвариантная мера с плотностью 1/(x2 + y2 )n, n > 1.

Предложение 2. Пусть все решения системы (1) определены на всем интервале времени и пусть у этой системы есть инвариантная мера, такая, что мера всего пространства ограничена. Тогда мера траекторий, стремящихся к бесконечности при t ^ ж, равна нулю.

Доказательство. Предположим, что это не так. Возьмем область начальных данных положительной меры, такую, что все траектории стремятся к бесконечности, и будем рассматривать ее непересекающиеся образы. Мера каждого из образов — положительная константа, а самих образов счетное число. □

Аналогично доказывается

Предложение 3. Пусть все решения системы (1) определены на всем интервале времени и пусть у этой системы есть инвариантная мера, такая, что мера всего пространства ограничена. Тогда у системы (1) нет устойчивых неограниченных решений.

Примером таких неограниченных решений могут служить осциллирующие движения в ограниченной задаче трех тел. Отметим, что все известные упомянутые движения в этой задаче неустойчивы [9].

3. Энтропия относительно произвольных форм объема. Пусть, как и выше, на n-мерном ориентируемом многообразии M задана динамическая система (1) c инвариантной мерой mes(D). Мы будем предполагать, что на многообразии M задана еще другая мера mes*(D), эквивалентная данной (две меры называются эквивалентными, если они определены на одной и той же ст-алгебре множеств и одна мера какого-то множества равна нулю тогда и только тогда, когда вторая мера того же множества равна нулю). Во многих случаях мера mes* (D) появляется на многообразии M естественным образом, например если M — риманово многообразие. Мы будем считать, что обе меры задаются дифференциальными n-формами ц и ц* соответственно и непрерывная функция Л = ц/ц* положительна. В дальнейшем мы будем обозначать меры mes(D) и mes*(D) их соответствующими n-формами ц и ц*.

Введем на многообразии M две вероятностные структуры относительно мер ц и ц*, причем обе мы считаем согласованными с динамикой:

P(xt е g*D)= J Pt ц = j р* ц*,

glD glD

где xt = gtxo, gt — фазовый поток динамической системы (1). При этом интегралы

J Pt ц = 1 У P* ц* = 1

M M

Для каждой из мер ц и ц* можно определить энтропию Гиббса

S = -J pt ln pt ц, S * = -J р* ln р* ц*.

MM

Мы будем считать, что если М некомпактно, то плотности рг, р* достаточно быстро убывают на бесконечности, так, чтобы соответствующие интегралы сходились.

По теореме Пуанкаре [5, с. 385-412], поскольку мера ц инвариантна относительно динамики (1), энтропия 5 не зависит от времени Ь. Вообще говоря, энтропия 5* может зависеть от времени.

Пусть подмногообразие Мо £ М таково, что дгМо £ В при всех значениях Ь для некоторого компакта В £ М (т.е. все траектории, которые начинаются в Мо, ограничены).

Теорема 1. Пусть выполнено хотя бы одно из двух условий: 1) многообразие М ограничено; 2) плотность распределения р* в начальный момент не равна нулю только в области Мо. Тогда энтропия 5* ограничена: существуют константы С > с, такие, что при всех Ь энтропия с < 5* < С.

Доказательство. Воспользуемся связью между мерами ц и ¡*. Поскольку

для любой области О, то

Поэтому интеграл

J р* 1* = у рг 1

Б Б

р* = М-

(3)

5* = ^ У р* 1п р* = ^ У рг 1п(Хрг)1 = ^ рг 1п рг 1 — J рг 1п Л

м м мм

По теореме Пуанкаре первый интеграл — константа. Второй интеграл будет ограничен некоторой константой при всех Ь, если выполнено хотя бы одно из двух условий теоремы. □

Предположим, что у плотности вероятности рг существует слабый предел при Ь ^ то: существует такая функция р, что для любой функции ф предел

Иш / рг ф1 = рф1

г

м

м

(где р и ф — функции из Ь<2). Поскольку функция Л не зависит от времени Ь, то в силу (3) этот слабый предел существует тогда и только тогда, когда существует слабый предел у плотности р*, причем р* = Лр. Вопросы существования слабых пределов плотности вероятности и равновесных значений энтропии подробно обсуждаются в [4], и мы на них останавливаться не будем.

Покажем, что в условиях теоремы 1 справедлива

Теорема 2. Энтропия Гиббса 5* ограничена "в среднем" энтропией равновесного состояния: для любого е > 0 существует Т, такое, что при всех т > Т

1

5 йЬ ^ 5 + е,

о* _

р* 1п р*1*.

м

Доказательство. Действительно, поскольку

5* = 5 — рг 1п Л1,

м

то

т т т

- ! Б*<И = - [ БсМ- -т у ту т

о о о м

рг 1п Л^йЬ.

Первое слагаемое — константа 5. Из теоремы Коши следует, что второе слагаемое при т мится к

то стре-

Ит —

тт

рг 1п Л^йЬ = р 1п Л^.

ом

м

т

Поэтому для любого в > 0 можно найти такое Т, что при т > Т справедливо

т

^ У Б*М < J р\п\ц + е < + 6. □

о м

Следствие. Пусть Б < Бж. Тогда существует Т, такое, что при всех т > Т

т

/Б .

ж

о

Рассмотрим пример применения теорем 1 и 2.

Пусть по ограниченному риманову п-мерному многообразию М течет идеальная сжимаемая жидкость. Пусть поток жидкости стационарный: поле скоростей жидкости V не зависит от времени. Тогда у такого поля скоростей есть интегральный инвариант. Действительно, п-форма ц = вц*, где функция в — плотность жидкости, а ц* — форма объема на М, индуцированная римановой метрикой, "вморожена" в поток, т.е. Ьуц = 0. Заметим, что это одно лишь следствие определения коприсоединенного действия группы Ли Бй(М) к Сж(М), см. [7].

Таким образом, на многообразии М возникает динамическая система вида (1). Как правило, явный вид функций v(x) найти сложно, не говоря уже об инвариантной мере. Однако, как легко заметить, теоремы 1, 2 гарантируют ограниченность энтропии Гиббса, взятую относительно "стандартного" объема ц*.

4. Обобщенные потоки. В работе [6] (см. также [7]) введено следующее определение обобщенных потоков. Пусть X = С([0,1]; М) — пространство параметризованных непрерывных путей х(Ь) на многообразии М. Зафиксируем диффеоморфизм д е БВЩ(М). По определению обобщенный поток, соединяющий диффеоморфизм д с тождественным, — это вероятностная мера ц на пространстве X, удовлетворяющая условиям ограниченности действия:

ц{х(Ь)|х(0) е А} = шевА,

и х(1) = д(х(0)) для ц-почти любых путей х(Ь). При этом любому гладкому течению д1 е БВ1й"(М) можно поставить в соответствие меру цдг и тем самым представить его в виде обобщенного потока: для любого У С X

цдь(У) = шев{а е М 1{д*(а)} е У}.

Если размерность многообразия М больше двух, то справедлива теорема [8] о том, что любой обобщенный поток можно приблизить гладким течением так, чтобы меры цдг сходились к мере ц в слабом смысле.

Мы воспользуемся конструкцией обобщенного потока, используемого в [8] для оценки диаметра группы диффеоморфизмов куба Мп, сохраняющих объем. Обобщенный поток для диффеоморфизма д строится следующим образом. При Ь = 0 каждая частица у в кубе расщепляется на континуум "микрочастиц", движущихся во всех направлениях. Такое "облако" кубической формы заполняет куб Мп равномерно в момент времени Ь = 1/2. Далее, при Ь =1 "облако" сжимается к точке д(у). "Сжатие" и "расширение" происходят вдоль биллиардных траекторий [7, 8].

Наглядно такой поток можно легко представить не на кубе, а на накрывающем торе, где движения частиц безударные.

Если слабый предел плотности — константа, то "равновесному" состоянию соответствует обобщенный поток при Ь = 1/2. Действительно, произвольная (измеримая) область начальных данных под действием обобщенного потока равномерно "размазывается" по кубу и функция плотности вероятности усредняется по кубу.

Замечания. 1. Такое "размазывание", вообще говоря, не согласовано с динамикой: каждая точка распадается на континуум микрочастиц, которые движутся равномерно по всем направлениям вне зависимости от значений плотности вероятности в этой точке как функции скоростей. Было бы интересно рассмотреть обобщенный поток, в котором скорости частиц согласованы с функцией плотности вероятности. В частности, если плотность в каждой точке конфигурационного пространства есть ¿-функция Дирака на пространстве скоростей, то такой обобщенный поток совпадет с обычным.

2. Обобщенный поток действует в конфигурационном пространстве, а не в фазовом. Интересно, возможно ли его поднять до симплектического обобщенного потока в фазовом пространстве. Отметим, что

в статистической механике состояние системы часто определяется именно симплектическим диффеоморфизмом, а, скажем, не просто диффеоморфизмом, сохраняющим фазовый объем (см., например, [7, гл. IV]).

5. Заключение. В работе обсуждаются вопросы, связанные с определением энтропии Гиббса и подходом Гиббса и Пуанкаре к основаниям статистической механики. Мы показали, что, если мера mes(^) неинвариантна относительно динамики, энтропия Гиббса, посчитанная относительно этой меры (которая не обязана быть постоянной), не превосходит некоторой константы на всем интервале времени, если у системы есть интегральный инвариант и если на систему наложены некоторые естественные дополнительные условия. При этом усредненное по времени значение энтропии Гиббса совершает положительный скачок при переходе к слабому пределу. Самому же слабому пределу плотности вероятности можно сопоставить так называемый обобщенный поток [8], "размазывающий" каждую частицу на континуум "микрочастиц", которые за конечное время заполняют конфигурационное пространство (куб). Автор благодарен В. В. Козлову за обсуждение работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02-01-01059) и в рамках программы "Ведущие научные школы" (00-15-96146).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.В. Термодинамика гамильтоновых систем и распределение Гиббса // Докл. РАН. 2000. 370, № 3. 325-327.

2. Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре // Докл. РАН. 2002. 382, № 5. 602-605.

3. Kozlov V. V. On justification of Gibbs distribution // Regulär and Chaotic Dynamics. 2002. 7, N 1. 1-10.

4. Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Ижевск, 2002.

5. Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные труды. Т. 3. М.: Наука, 1974.

6. Brenier Y. The least action principle and the related concept of generalized flows for incompressible perfect fluids // J. Amer. Math. Soc. 1989. 2, N 2. 225-255.

7. Arnold V.I., Khesin B.A. Topological Methods in Hydrodynamics. Springer-Verlag, 1998.

8. Shnirelman A. Generalized fluid flows, their approximation and application // Geom. and Func. Analysis. 1994. 4, N 5. 586-620.

9. Алексеев В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика // Успехи матем. наук. 1981. 36, вып. 4. 161-176.

Поступила в редакцию 06.10.2004

УДК 534.2

СВОЙСТВА МОДЕЛИ РАВНОВЕСНОЙ ДЕТОНАЦИИ

В. М. Гендугов

1. Предметом исследования работы является модель равновесной детонации (РД), предложенная С. С. Пеннером [1, с. 258-266]. Как и в модели Михельсона-Чепмена-Жуге [2-4], РД представляет собой скачок уплотнения нулевой ширины. Однако в отличие от классической схемы, в основе которой лежит не соответствующее законам термодинамики допущение о завершении реакции в скачке, в модели РД поток продуктов детонации (ПД) находится в химическом равновесии. В этом случае в ПД определяется более одной скорости звука и ставится вопрос: относительно которой из них распространяется волна? Ф. А. Вильямс [5] доказал, что детонация, соответствующая точке касания равновесной адиабаты и прямой В. А. Михельсона, имеет относительно потока ПД скорость, равную равновесной скорости звука. На этом основании он по аналогии с гипотезой Чепмена-Жуге (Ч-Ж) сформулировал гипотезу, согласно которой самоподдерживающаяся РД распространяется относительно потока ПД со скоростью, равной равновесной скорости звука. Дальнейшие исследования показали [6], что гипотеза Ф. А. Вильямса соответствует необходимому условию термодинамической устойчивости потока ПД, когда одно из собственных значений квадратичной формы второй вариации энтропии обращается в нуль. Однако при всей убедительности полученные результаты вступают в противоречие с результатами предшествующих исследований детонации. Напомним, в частности, работу [7], в которой А. А. Гриб, решая краевую задачу,