CC BY
27
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Ромакина Л. Н., Бондарева М. А. Метрическое свойство гипербол гиперболической плоскости положительной кривизны // Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях: тез, докл. междунар, конф,, посвящ, 50-летию мех.-мат, фак, 17-22 апр, 2011, Харьков: Изд-во ФЛП Вировец А,П.; Изд. группа «Апостроф», 2011, 151 с.
2, Ромакина Л. Н. Аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности на гиперболической плоскости положительной кривизны // Сиб, электрон, мат, изв. 2013. Т. 10. С. 393-407.
3. Ромакина Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 37-44.
4. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М,: Наука, 1969.
УДК 517.518 + 519.583
Р. О. Романов, С. И. Дудов
ОБ ОДНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ МАЖОРАНТЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть fi(t) и f2(t) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, Pn(A,t) = ао + ölt + • • • + antn - полином степени n с вектором коэффициентов A = (а0,а1,..., ап) G Rn+1. Рассмотрим задачу
p(A) = max[Pn(A,t) — fi(t)] ^ min, (1)
tG[c,d] AgD
D = {A G Rn+1 : maxf2(t) - Pn(A,t)] < 0}, (2)
tG[c,d]
которая требует построения полиномиальной мажоранты для функции f2(t)7 оптимальной относительно p(A).
Очевидно, функции p(A) и h(A) = maxtG[c,d][f2(t) — Pn(A,t)] выпуклы и конечны на Rn+1, а задача (1)-(2) является задачей выпуклого программирования. Нетрудно показать, что решение задачи (1)-(2) сугце-ствует и может быть не единственным.
Цель статьи - получить необходимые и достаточные условия решения задачи.
Далее будем использовать обозначения: dp(A) и dh(A) - субдифференциалы выпуклых функций p( ) ж h( ) в точке A K(A, D) - конус возможных направлений множества D в точке A intß, coß7 K(B) -
внутренность, выпуклая и коническая оболочка множества Б соответственно, К + - сопряжение конуса К, 0п+1 = (0, • • • , 0) Е Кп+1,
ЯР(А) = [г Е [с,д] : р(А) = Рп(Л,г) - ¡1(1)},
ЯН(А) = [г Е [с, д] : Н(А) = ¡2(г) - Рп(А,г)}.
Приведем некоторые вспомогательные факты. Используя формулу субдифференциала для функции максимума по параметру от выпуклых функций (см. [1, гл.2, § 3]) можно получить формулы субдифференциалов функций р(А) и Н(А) в следующем виде:
др(А) = со[(1,г,...,гп) : г е яр(А)}, (3)
дН(А) = со[-(1,г,...,гп) : г е яь(А)}. (4)
Если Н(А) = 0, то для конуса возможных направлений множества В, являющегося нижним лебеговым множеством выпуклой функции Н() учитывая 0п+1 Е дН(А), справедлива формула (см. [2, гл. 2, § 6])
К (А, В) = -К+(дН(А)). (5)
Нам также понадобится следующий факт [3].
Лемма. Пусть Т С К - некоторое множество, на котором определена многозначная функция £(•) : Т ^ 2К для г = (1,п + 2) :
а) Для того чтобы выполнялось включение
0п+1 Е со[£(г)(1,г,...,гп) : г е Т} (6)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:
1) существует точка г0 Е Т, в которой 0 Е £(х0),
2) существует селектор п(г) Е £ (г) и набор то чек г1 < г2 < • • • < < гп+2 из Т таких, что ц(г¿) = 0 и в1дпп(г^ = -¡$гдпг1(г'1,+1),
б) Если выполняется условие 2) из пункта а), то
0п+1 е Шсо[£(г)(1,г,...,гп) : г е т}. (7)
Теперь приведем основной результат.
Теорема. Для того, чтобы вектор коэффициентов A* был одним из решений задачи (1)-(2), необходимо и достаточно, чтобы h(A*) = 0 и при этом выполнялось хотя бы одно из условий:
1) RP(A*) П Rh(A*) = 0,
2)существует упорядоченный набор точек t1 < t2 < ... < tn+2 из RP(A*) U Rh(A*) таких, что если ti Е RP(A*)[Rh(A*)^, то ti+1 Е
Е Rh(A*)(^RP(A*)j.
Доказательство. В соответствии с известным фактом из выпуклого анализа (см. [1, гл 4, § 2])
p(Ar) = min p(A) & dp(A*) П K+(A*, D) = 0. (8)
AeD
Очевидно, что для оптимального вектора коэффициентов A* выполняется h(A*) = 0, а из (4) вытекает 0n+i Е dh(A*). Поэтому, используя (5), получаем K+(A*,D) = —K(dh(A*))7 и тогда критерий оптимальности (8) можно записать в виде
0n+i Е dp(A*) + K(dh(A*)). (9)
Учитывая 0n+1 Е dh(A*), нетрудно показать эквивалентность (9) соотношению
0n+i Eco{dp(A*),dh(A*)}. (10)
Определим на множестве T = RP(A*) U Rh(A*) многозначную функцию:
!1, если t Е RP(A),
— 1, если t Е Rh(A), [—1,1], если t Е RP(A) U Rh(A).
Тогда, учитывая формулы (3)-(4), полученный критерий решения (10) можно записать в виде (6). Это, в силу леммы, говорит о справедливости первой части утверждения теоремы.
Если выполняется условие 2) теоремы, то из леммы следует справедливость соотношения (7), которое, ввиду введенных обозначений, дает нам выполнение соотношения
0n+i Е intco{dp(A*),dh(A*)}. (11)
§
соотношение (11) говорит о том, что A* - единственное решение задачи (1)-(2).
Теорема доказана.
Замечание. В случае f\(t) = f2(t) = f (t) для t G [c,d] нетрудно показать, что задача (1)-(2) становится эквивалентной задаче чебышев-ского приближения функции f (t) полиномом заданной степени п.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М,: Наука, 1980.
2. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М,: Наука, 1981.
3. Дудов С. И., Сорина Е. В. Равномерная оценка сегментной функции полиномиальной полосой// Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 5. С. 44-71.
4. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М,: Наука, 1990.
УДК 517.927.25
B.C. Рыхлов
КРАТНАЯ ПОЛНОТА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(X), порожденный однородным дифференциаль-
п
£(y,X):= ^ pskXsy(k), psk G C, Pon = 0, (1)
s+k=n
и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями специальной структуры
иг(у,Х):= ^ Xsa¡sk y(k)(0) = 0, i = 1Д (2)
s+k=Kio
Ui(y,X):= ^ Xsa¡sky(k)(0) + ^ Xs f3lsky(k)(1) = 0, i = Т + Щ
где X, aisk, eisk G C, яц G {0,1,..., n—1} 0 < l < n-1. Отметим, что краевые условия (2) в случае 2 l < п не являются полураспадающимися.
Пусть корпи {uj }П характеристического уравнения ^2s+k=n Pskuk = 0 различны, отличны от нуля и лежат на двух лучах, исходящих из начала
