CC BY
18
ТЕОРЕМА ИОСИДЫ И РАЗРЕШАЮЩИЕ ГРУППЫ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ*
В.Е. Федоров
Получено обобщение теоремы Иоснды о порождении сильно непрерывных групп класса (Со) в локально выпуклых пространствах на случай групп, разрешающих уравнения соболевского типа. Полученные результаты используются при исследовании одной начально-краевой задачи с бесконечным числом краевых условий.
Ключевые слова: вырожденная группа операторов, инфинитези-мальный генератор, локально выпуклое пространство.
1. Введение
Рассмотрим уравнение соболевского типа
в
Ь—и(Ь)=Ми(Ь), (1)
где оператор Ь £ £(Я; 3") (т- е. линейный и непрерывный) не является непрерывно обратимым, оператор М £ С1(Я; 3) (т. е. линейный замкнутый с областью определения ёошМ, плотной в Я), Я и 3 - секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства. В последнее время уравнение (1) вызывает особенно пристальное внимание исследователей [1 - 5].
В случае существования оператора Ь 1 £ С(3; Я) уравнение (1) редуцируется к уравнению
в
= Ау® (2)
с оператором А = Ь-1М £ С 1(Я) или А = МЬ-1 £ С 1(3)- Разрешимость задачи Коши для такого уравнения традиционно исследуется методами теории полугрупп операторов [6; 7]. Фундаментальным результатом этой теории является теорема о необходимых и достаточных условиях на инфи-
А
ной работе нас будут интересовать сильно непрерывные группы операторов.
* Работа поддержана Государственной научной стипендией для молодых ученых, грантом для молодых ученых Правительства Челябинской области и грантом Минобразования России (шифр Р002-1.1-82) на проведение молодыми учеными научных исследований в ведущих научно-педагогических коллективах.
А
ской задачи Коши ь(0) = ьо, Уо £ ёошА, для уравнения (2) на всей дейСТВиТеЛЬНОй прямой М. Теорема о генераторах сильно непрерывных групп операторов в случае банаховых пространств доказана в [6]. Практически параллельно с теорией полугрупп операторов в банаховых пространствах развивалась аналогичная теория для локально выпуклых пространств, для которых соответствующая теорема доказана в монографии К.Иосиды [7]. Отметим, что у нас, как и в [7, с. 349], речь пойдет об экспоненциально ограниченных сильно непрерывных группах, которые включают в себя классы равностепенно непрерывных [7, с. 347] и локально равностепенно непрерывных групп [8; 9].
Полугруппы различных классов, разрешающие уравнение (1) в банаховом пространстве, исследуются многими авторами. Их характерной чертой является наличие нетривиального ядра у полугруппы, под которым подразумевается ядро проектора, являющегося ее единицей. Методы, используемые в работах [1; 5; 10; 11], позволяют рассматривать полугруппы
Ь
на М-присоединенных векторах оператора Ь высоты не больше р. Главной целью данной работы является перенесение методов [7] исследования невырожденных групп в локально выпуклых пространствах на случай групп уравнения (1), как это сделано в [10] для сильно непрерывных полугрупп операторов, и обобщить на случай локально выпуклых пространств результаты [П] о сильно непрерывных группах уравнения соболевского типа в банаховых пространствах.
2. Сильно непрерывные группы операторов класса (Со) и их генераторы
Сформулируем теорему Иосиды о генераторах сильно непрерывных групп в локально выпуклых пространствах [7]. Пусть V - секвенциально полное локально выпуклое пространство, а оператор А £ С1(Ю). Обозначим через р(А) резольвентное множество оператора А, через К^(А), л £ р(А), -резольвенту (л1 — А)-1 £ £(Ш) оператора А. Также будем использовать обозначения Ма = {л £ М : \л\ > а}
Пусть X - некоторое множество индексов, V, Ж - локально выпуклые пространства. Будем говорить, что семейство операторов {Ф(х) £ Ж) :
х £ X} равностепенно непрерывно, если для любой непрерывной на Ж полунормы т(-) существует непрерывпая на V полунорма д(-), такая, что для всех х £ X, ь £ V г(Ф(х)ь) < д(у).
Определение 1. Оператор A Е Cl(V), удовлетворяющий условиям
(i) За > 0 Ra С p(A);
(ii) равностепенно непрерывно семейство операторов
{(R^(M)(| л| -a))n : л Е Ra,n Е N} ,
будем называть бирадиальным.
Группой линейных непрерывных операторов называется семейство операторов {V(t) Е L(V) : t Е R}, такое, что для всех s,t Е R V(s)V(t) = V(s +1). ^^nnv {V(t) : t Е R} назовем экспоненциально ограниченной с константой а Е R, если равностепенно непрерывно семейство операторов {e-altlV(t) : t Е R}. Группа операторов называется (Со)-непрерывной или сильно непрерывной класса, (С0), если она сильно непрерывна и s- lino V(t) = I.
A
{V(t) Е L(V) : t Е R}, если
V(t)v - v
Av = lim-----------,
t—>o t
v
предел существует.
Замечание 1. Инфинитезимальный генератор мы для краткости иногда
A
{V(t) : t Е R}" будет означать, что A - генератор группы.
Решением уравнения (2) назовем функцию v(t) Е С:(R; V), удовлетворяющую этому уравнению при t Е R. Группу операторов {V(t) Е L(V) : t Е R} будем называть разрешающей группой уравнения (2), если для лю-
О
бого Vo из некоторого плотного в V множества V функцпя v(t) = V(t)vo является решением уравнения.
Теорема 1 (Иосида). Оператор А порождает, экспоненциально ограниченную с константой а Е R (С0)-непрерывную группу тогда и только тогда,
а
О
разрешающей для уравнения (2) (на множестве V= domA).
3. Вырожденные сильно непрерывные группы
Введем обозначения рь(Ы) = {р Е С : (рЬ — М)-1 Е С($]И)}, аь(М) = С \ рь(М), ЯЦМ) = (рЬ — М)-1Ь, ЬЦМ) = Ь(рЬ — М)-1,
Я^М) = П (М), йхр)(М) = П Ь\„(М).
к=0 к=0
Замечание 2. Заметим, что если кег Ь П кег М = {0}, то рь(М) = 0.
Замечание 3. Пусть оператор Ь непрерывно обратим, тогда рь(М) = р(Ь-1 М) = р(МЬ-1).
Доказательство следующей леммы можно найти в [1].
Лемма 1. (1) кег Р)(М) есть линейная оболочка множества
М-присоединенных векторов оператора Ь высоты не большей р, Ш1ЯХР)(М) = Ш! Я1п)(М У,
(и) кегЬ^Хр)(М) = {Мр : р е кегЕ^Хр)(М) П с1отМ},
'1тЬ(х ,Р)(М ) = ,Р)(М )-
Пусть И0 = кег КЪ,Р)(М) ^0 = кегЬ^Р)(М), Ит+1 = МЯ1п+т)(М),
Мк = М
Ът+1 = 1тЬ^р+т) (М), т Е N0 = {0} и N Ьк = Ь
ик
йошМк
(1отМк = ёошМ ПИк, к = 0,1, И = И0+\шЕ^р)(М), 3 = 3°^шЬ^,р)(М). Все замыкания берутся в топологии пространства И ми 3 соответственно. Обозначим при а Е К Na = Ма П N.
М ( Ь, р)
(I) За > 0 К С рь(М);
(II) равностепенно непрерывны семейства операторов
^(уК{^Р)(М) П (рк \ — а)^ : Р = (Р0,---,Рр) Е К+1,П Е ^ ,
| ) П (\рк \ —а) : Р = (Р0 ,---,Рр) Е К+1,п Е ^ •
Замечание 4. Определение 2 обобщает на случай локально выпуклых пространств аналогичное определение, введенное в [И], для случая банаховых пространств.
П
П
Замечание 5. Если существует оператор Ь-1 є С(д; и) а оператор Ь-1М бирадиалеп (или, что равносильно, бирадиален оператор ЫЬ-1), то оператор М (Ь, р)-бирадиален. При р = 0 верно обратное.
Замечание 6. (Ь, р)-бирадиальность оператора М равноспльна (Ь,р)-
радиальности операторов М и —М, определение которой для случая локально выпуклых пространств введено в [10].
Из предыдущего замечания и результатов [10] следует
М ( Ь, р)
МЬ
ничены числом р;
(ii) существует оператор М-1 є С(д ; И0), а операторы Н = М-1Ь0, Л = Ь0М-1 нильпотентны степени не больше р;
(iii) ііш (рЕ^(М))р+1п = и Уи є И1;
ііш (рЬ^(М))р+1 / = / У/ єд1;
(іу) и = и0 © и1, д = д0 © д1.
Лемма 3. Пусть оператор М (Ь,р) -бирадиален. Тогда Ит = И1, дт = д1, т є N.
Доказательство. Очевидно, чтоИт С И1. Возьмем и є И1, тогда существует последовательность {ип} С ітр)(М), сходящаяся к и. Рассмотрим последовательность вида {уп = (пК^(М))к(р+1')ип}, которая в силу леммы
1 при достаточно большом к є N лежит в іт(К^(М))р+т-1, Так как
т(Уп — и) < т((иЕ^(М))к(р+1')(ип — и))+
к
+ ^2 г((пЯп(М))(1-1)(р+1) ((пВЩ(М))(р+1)и — и)) <
1=1
к
< (1 — а/п1)-к(р+1')д(ип — и) + ^(1 — а/п1)(1-1')(р+1')д((пЕ^(М))р+1и — и),
1=1
П\ = тіпМаГШ-|-, то в силу леммы 2 (ііі) получаем включение Я1 С ІІт. □
Лемма 4. Пусть оператор М (Ь,р) -бирадиален. Тогда, семейство операторов {р-р(рЬ — М)-1 : ц є Кф|} при є > 1 равностепенно непрерывно.
Доказательство. Возьмем и По индукции получим
(рЬ — М) 1= (р1Ь — М) 1 + (р1 — р)К^ (М )(р1 Ь — М) 1 = ••• =
р
= ^2(р1—р)к (К^1(М))к (р1Ь — М) 1+ к=0
+(рц — р)р+1ЕЬ,(М )(Я%1 (М ))р (рЬ — М)-1.
Из (Ь, р)-бирадиадьностп оператора М следует, что при всех р £ М^1 для любой непрерывной в Я полунормы д() существуют непрерывные В 3 полунормы Гк(•), к = 0,1,...,р + 1, что
Р { \ к
д(р-р(рь-м)-1/)<^нк-ри--) х
к=0 ' р '
р
хд((я^1(М)) (Р1Ь — М) /) + (Р1— а)
р — а
/ -у _ /^1 ] х
V Р
р+1
хд((р — а)(р1 — а)р(М)(К^1(М))р(р1Ь — М) 1 /) СкГк(/) = г(/*).
к=0
Понятно, что г(-) - непрерывная в 3 полунорма. □
Решением уравнения (1) назовем вектор-функцию и £ С 1(М;Я), удовлетворяющую (1) при Ь £ М. Наряду с уравнением (1) нам понадобится эквивалентное ему при а £ рь(М) уравнение
И
ь™(м)мт = ЩаЬ ~ (3)
Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,р)-бирадиален. Тогда существует экса
ющая группа уравнения (1) ((3)); рассматриваемого на, подпространстве Я
(3).
Доказательство. С учетом замечания 6 и результатов [10] корректно определенными являются полугруппы операторов, определенных при Ь > 0,
МО = ((Д~+°Г2(Д<-(М))"+1)" € Цп1)'
«МО =Ш € сох1).
Искомой группой уравнения (1) является семейство операторов
{и(Ь) £ £(Я) : и(Ь) = и+(Ь), Ь > 0; и(Ь) = и——), Ь < 0}.
Доказывается это так же, как и в случае банаховых пространств [11]. Плотным множеством, на котором группа дает решение уравнения, является Я0+ип(Л£(М))р+2 ■ Разрешающая группа уравнения (3) строится аналогично с помощью левых Ь-резольвент □
Теорема 3. Пусть пространство Ы (Т) полурефлексивно, а оператор М (Ь,р)-бищдиален. Тогда, Я = Я0 ©Я1 (3 = 30 ©31)-
Доказательство. Возьмем произвольный вектор и £ Я. Из (Ь,р)-
М
нормы д() существует непрерывная на пространстве Я полунорма г(), такая, что сразу для всех к £ М д (((к — а)К£(М))р+1 и) < г(и). Таким образом, множество Аи = {((к — а)К£(М))р+1и : к £ М} С Я ограничено. Из полурефлексивности пространства Я следует, что Аи слабо компактно [7, с.199, теорема 1]. Поэтому из любой его обобщенной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся к вектору из Аи обобщенную подпоследовательность. В частности, из последовательности Аи С Я1 следовательность {((кп — а)К£п(М))р+1и}, слабо сходящуюся к некоторому вектору V € Аи- Из замкнутости линейного подпространства Я1 следует его слабая замкнутость [7, с.180, теорема 11], поэтому V £ Я1.
Пусть уп = ((кп — а)К£ (М))p+1u—v, тогда ш- Иш vn = 0. Рассмотрим
кп п—ж
в- Иш (К£(М))р+1 Vn = з- Иш ((кп — а)Кькп(М))р+1(я£(М))р+1и—
п—ж ^ п—ж п ^
-(к£(м )?+^ = (к£ (М ))р+'(и - V)
Я
и' £ Я' и'((Я£(М))р+1 vn) = vl(vn), где V £ Я'. Отсюда
ш- Иш (К£(М))р+1^]п = 0 = (К£(М))р+1 (и — у),
п—»<ж ^ ^
значит, и — V еЯ°. Теорема доказана. □
4. Фазовые пространства Я
функции и : М ^ Я, ш : М ^ С. Их сверткой называется интеграл Римана
У и(в)ш(Ь — в) Ив = и * ш : М ^ Я.
к
Сразу отметим симмметричность свертки в следующем смысле:
и * ш = J ш(8)и(Ь — в)(1в = ш * и.
ж
Нижний индекс "ноль" при обозначении функционального пространства будет обозначать финитность входящих в него функций. Символом О будем обозначать оператор дифференцирования.
Лемма 5. Пусть функции ш Е С0т(М; С), и Е Сп((а,Ь); Я), вирр и(1) С [а,Ь\. Тогда функция и * ш Е Ст+п(М; Я) причем, Ок(и * ш) = и * Бкш, к < т Е N0, О1 (и * ш) = О1 и * ш, I <п Е N0.
Аппроксимативной единицей при а — а0 будем называть семейство неотрицательных функций {Да : М — М; а Е Л}, таких, что, во-первых,
при Любом а Е Л / Да(8)с18 = 1, а во-вторых, для любой окрестности О
ж
нуля Иш Г Да (8)(1,8 = 1.
а——ао ^
Лемма 6. Пусть функция и : М —>■ Я ограничена, А С М, о;о € А, {Д« : М — М, а Е Л} - аппроксимативная единица при а -— а0. Если при любом аЕ Л свертка и* Да существует и функция и(Ь) непрерывна на интервале (а, Ь), то и * Да() поточечно сходится к и(Ь) на (а, Ь) при а -— а0.
Доказательства предыдущих двух лемм совпадают с доказательствами лемм 1.1, 1.2 [12] с точностью до замены нормы на произвольную непрерывную полунорму в пространстве Я.
Лемма 7. (1) Если функция и Е С([0,Т\;Я) П С 1((0,Т\;Я) удовлетворяет
уравнению (1) на интервале (0,Т\, то при р Е рь(Ы)
£
J в-^Т и(т )йт = Е^(М )(и(0) — в-^ и(г)); (4)
0
(и) если функция, f Е С([0,Т\; 3) П С 1((0,Т\; 3) удовлетворяет уравнению (3) на интервале (0,Т\, то при р Е рь(Ы)
£
У в-“Т ! (т )*■ = ьЦм)(/(0) — в->“/ (()). V)
0
Доказательство. (1) Ввиду непрерывной дифференцируемости и(Ь) при Ь > 0 и непрерывности оператора Ь, интегрируя по частям, получим
і і
* 1
Г е-^т
Ь е мТи(т)(1т =---------------Ьи(т)
7 Л
Л
є є
Устремим г 0+ и используем замкнутость оператора М, тогда і і ! е-^ти(т)йт = —е-^Ьп(Ь) + Ьи(0) + М ^ е-^ти(т)йт.
0 0
Если л Є рь(М), то получим требуемое.
(іі) доказывается аналогично с использованием замены п(Ь) = (аЬ —
□
Лемма 8 [13]. Пусть р Є Ь((0, Т); Я) и для любой непрерывной в пространстве и полунормы д(-)
(т \
1п 9 / е^3р(в)йв
\0
Нт ------------------— < Ь < Т.
р^+ж р
Тогда, р(в) = 0 почти всюду на [Н,Т].
Зафиксируем произвольное Т > 0 и будем рассматривать уравнение (1) и его решения на интервале (-Т,Т).
Определение 3. Замкнутое множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (1), если
(I) любое решение и = и(Ь) уравнения (1) лежит в ф, т. е. и(Ь) Е ф У Е (-Т,Т);
О
(II) дЛЯ лю50г0 и0 из некоторого плотного в ф множества ф существует единственное решение задачи и(0) = ио для уравнения (1).
Теорема 4. Пусть Т\ < Т2. Тогда для любой функции и Е С 1((Т\,Т2);Я) (/ € С1((Т\, Т2); 3)); удовлетворяющей уравнению (1) ((3)) на интерва-
ОС
ле (Т\,Т2), имеем для всех Ь Е (Т\,Т2) и(Ь) Е П \тК^ ^(М) (/(Ь) Е
П ,s)(M))'
Доказательство. Функции, удовлетворяющие условиям данной теоремы, в пределах этого доказательства для краткости будем называть решениями уравнения (1) или уравнения (3) соответственно.
Пусть и £ С<Х((Т1,Т2);Я) - решение уравнения (1). Тогда и = Я^(И) (а — й/йЬ) и. По индукции легко доказать, что при любом к £ N
к йт / й \к
и = (Я£(М))‘ ]Г (-К-срл*—= (д£(М))‘ а - - I
т=0 '
Следовательно, и(Ь) £ П '^тЯ^ 8)(И) С П 'тЯ^ ч(И) УЬ £ (Т1,Т2).
8=0 ’ 8=0 ’
Рассмотрим функцию р(Ь), равную ке-(1— ) при \Ь\ < 1 и рав-
ную нулю при \Ь\ > 1. Коэффициент к = (/-1е (1 82) 1 й^ . Нетруд-
но убедиться, что р финитна и бесконечно дифференцируема, а {Да = а-1р(а-1 Ь) : а > 0} - аппроксимативная единица при а 0+.
Доопределим решение и £ С 1((Т1,Т2);Я) с отрезка [Т1 + е,Т2 — е] при малом е > 0 нулевой функцией на всю прямую. Возьмем Т > 0 и достаточно малое а, чтобы Да(в) = 0 при \з\ > Т. Действуя, как при доказательстве теоремы 2.1 [12], нетрудно показать, что свертки доопределенного решения уравнения (1) с функциями Да будут решениями уравнения (1) при Ь £ [Т1 + е,Т2 — е], т. е.
т2+т й (
Ь(и*Аа)г = Ь— и(«)Да^ - = М(и * Д«).
т1-т
Согласно лемме 5 и * Да £ С?0(К;Я), так как Да - бесконечно дифференцируемые функции. Доопределенные нулем с отрезка [Т1 + е,Т2 — е] решения и(-) ограничены и непрерывны на (Т1 + е,Т2 — е), поэтому согласно лемме 6 получаем, что бесконечно дифференцируемые решения и * Да на интервале (Т1 + е,Т2 — е) поточечно стремятся к 1 раз непрерывно дифференцируемому решению и(-) при а ^ 0+. В силу произвольности е > 0 множество {и(Ь) : Ь £ (Т1 ,Т2), и(-) решение из С°((Т1 ,Т2);Я)} плотно в {«(£) : I £ (ТЬТ2), и(-) решение из С1((Т\, Т2);1Х)}. Поэтому для решений
СЮ
из класса С,Т2);Я) также имеем и(Ь) £ П 1тЯ^ 8)(И) при Ь £ (Т1,Т2).
8=0
Для решений уравнения (3) теорема доказывается аналогично. □
Теорема 5. Пусть оператор И (Ь,р)-би^,диален. Тогда Я1 (З1) есть фазовое пространство уравнения (1) ((3)).
Доказательство. Включения и равенства
П [тКм(м) с П [тКм(м) = П [тКм(м) =д1
3=0 3=0 3=0
следуют из свойств замкнутых множеств и леммы 3. Поэтому и(Ь) € и1 при всех Ь € (—Т,Т) в силу предыдущей теоремы (Т1 = —Т, Т2 = Т).
Установим единственность решения задачи Коши. Из (4) для решения и(Ь) уравнения (1), удовлетворяющего условию и(0) = 0, при Ь = Т получим
т т
Е^(М)и(Т) = ! в^(т~т)и(т)йт = 1 в^3и(Т — в)йв.
о о
Согласно лемме 6 для р(в) = и(Т — в), в € (0,Т), и для любой непрерывной в И полунормы д(^) существует непрерывная в 3 полунорма т(^), что
—----1п /лр + 1п г (Ьи(Т))
< пт ------------ -- —— = 0.
р р
Отсюда по лемме 8 и(Ь) = 0 почти всюду на (0,Т). А так как и() - непрерывная функция на (—Т,Т), то и(Ь) = 0 при всех Ь € [0,Т). Рассмотрим функцию ь(Ь) = и(—Ь)н& [0,Т). Понятно, что ь(Ь) есть решение уравнения = на этом отрезке. Из замечания 6 следует, что оператор
—М также (£,р)-бирадиаден. Поэтому у(Ь) = 0 при Ь € [0,Т). Это означает, что и(Ь) = 0 при Ь € (—Т, 0].
Отсюда получаем единственность задачи задачи Коши с любым начальным значением. Существование решения задачи Коши для уравнения (1) на плотном в И1 множестве \т(К^(М))р+2 следует из теоремы 2.
Для уравнения (3) теорема доказывается аналогично. При этом для доказательства единствености используется тождество (5). □
Замечание 7. Из единствености решения задачи Коши следует единственность разрешающей группы.
5. Сильно (Ь,р)-бирадиальный оператор
Определение 4. Оператор М называется сильно (Ь,р)-бирадиальным
справа (слева), если он (£,р)-бирадиаден и для любого и € с1отМ и для
ІЇШ
любой непрерывной в Я полунормы т(-) существует константа в\, зависящая от п, такая, что
Г ( (XI - a)fl(IpkI - a)Rt,p)(M )(XL - M) 1M^ К C1(u) k=0
(для всех / из некоторого плотного в 3 линеала 3 и для любой непрерывной в 3 полунормы т(-) существует константа с2, зависящая от /, такая, что
Г ( (XI - a)fl(IpkI - a)M (XL - M) lL{v,p)(M )^ К c2(f) k=0
при любых Л, Цо, Ц\,... ,^р Є Ма.
Замечание 8. Оператор М сильно (Ь, р)-бирадиален справа (слева) тогда и только тогда, когда сильно (Ь, р)-радиальны справа (слева) [10] операторы М и -М.
Из результатов [10] сразу следует
Теорема 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-бирадиален справа (слева). Тогда Я = Я0 Ф Я1 (3 = 3° Ф З1).
М ( Ь, р)
Тогда
(i) ЬРи = QЬu У и Є Я;
(ii) Уи Є сІотМ Ри єдотМ и МРи = QMu■;
(iii) Ьк Є С(Як; Ък), к = 0,1;
(іу) Мк Є С1(Як; Зк), к = 0,1;
(у) существует оператор Ь-1 Є СІ; (З1;Я1).
Доказательство этого следствия не отличается от доказательства аналогичного утверждения в банаховых пространствах [И].
( Ь, р)
М
нения (1) ((3)) задана на всем пространстве Я (3), а ее единицей является проектор Р ^).
Определение 5. Оператор M называется сильно (Ь,р)-бирадиальным, если он (L, р)-бирадиален слева и равностепенно непрерывно семейство one-
раторов
| (Л| - а) Л (\^к\ -а)К](цр)(М)(ЛЬ - М)-1 : Л,^°,^1,...,^ Є мЛ .
I к=0 )
Замечание 10. В случае Ь-1 Є С(3; Я) оператор М сильно (Ь,р)-
бирадиалеи, если бирадиалеи оператор Ь- 1М (или МЬ-1).
М ( Ь, р)
ет оператор Ь-1 Є С(Ъ1; Я1).
Доказательство. Пусть / Є ітЬ^р)(М), т. е. / = (Ь^(М))р+1 / при некотором д Є 3- Тогда при п,І Є Ъа = Ъ П Ма получим
п
(Е%(М))р+1(пЬ - М)-1/ - 1р+2(Е^(М))р+1(ІЬ - М)-1/ р+1
1(Ъ/Г))Р+1-к п т)Ь(ъ/Г))к ат л /П-1.
к=0
(І - п)^2(пК^(М))р+1-к(ІЯі'(М))к(ІЬ - М)-1 х
хЬьп(М)(ЬьП1 (М))рМ(тЬ - М)-1 д.
Отсюда вследствие сильной (Ь, р)-радиадьности оператора М
г (пр+2(КІ(М))р+1(пЬ - М)-1 / - ір+2(ЕІ(М))р+1(іЬ - М)-1/) < \1\ + \п\ ^ д(М(щЬ - М)~1д)
(\1\ - а){\п\ -а) (1 - а/\п\)р+1-к(1 - а/\1\)к{\т\ - а)р
при п,1 ^ ж. Поэтому, учитывая плотность линеала шЬ^р)(М) в 31 и равностепенную непрерывность семейства операторов
[пр+2(К^(М))р+1(пЬ - М)-1 : п е Ъа},
мы можем утверждать, что существует оператор
Ь-1 = в- Иш Ь-1 е С(Ъ1; Я1),
где Ь-1 = пр+2(КІ1 (М1))р+1(пЬ1 - М1)-1.
Возьмем и = (Яп1 (М))р+1у при некотором V Є Я.
Ь-1Ь1и = (пЕІ(М))р+2и = (І + (пЬ - М)-1М)р+2и = р+1
и + Е Окр+2(Кьп(М))к« (М))р+1-кWk+
к=1
Е(М))р+1 (пЬ - М)-1Mwp+l.
Из сильной (Ь, р)-радиальности оператора М получаем р |1
г (Ь-'Ьга - и) < VС* , % +1 . + ,я^шт1 - О
Уп 1 р+2 (\п\-а)к(\п 1 \-а)р+1—к (\п\-а)р+2
при п ^ ж.
Нетрудно показать, что семейство операторов {Ь-1Ь1 : п е Ма} рав-
Ь1
любой непрерывной полунормы т(-) существует непрерывная полунорма д(-), такая, что для всех п е Ъа, п е Я1 г(Ь-1Ь1п) < д(п). Так как 1тЕ^ р)(М) = Я1, получаем, что Ь—1Ь1П = п для любого п е Я1. Аналогично доказывается, что = I. □
Сужение {и1(Ь) : £ е М} ({Е1 (Ь) : £ е М}) группы {и(Ь) : £ е М} ({Е(£) : £ е М}) на подпространство Я1 (31) является экспоненциально ограниченной сильно непрерывной группой класса (Со).
Обозначим 51 = Ь—1М1 : с1ош51 ^ Я1, ёош51 = ёотМ1; Т1 = М1Ь—1 : с1отТ1 ^ 34) ёотТ1 = Ь^ёотМ1]. Очевидно, что операторы ^1 еС1(Я1), Т1 еС1(31 )•
Теорема 8. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-бирадиален. Тогда, инфи-нитезимальным генератором группы {и1 (£) : £ е М} ({Е1 (Ь) : £ е М}) является оператор 51 (Т1).
Схема доказательства не отличается от схемы, использованной при доказательстве теоремы 5.1 [П] в случае банаховых пространств. Из теоремы 1 получим
Следствие 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-бирадиален. Тогда, операторы Б1 и Т1 бира,диальны,.
Следствие 3. Пусть Я = 3- Оператор М сильн,о (I, р)-бирадиален тогда и только тогда, когда он бирадиален.
Доказательство. Обратное утверждение следует из замечания 10. Докажем прямое утверждение следствия. Поскольку Ь = I, то Я0 = {0}, Я1 =Я и Ь^1М\ = М. Осталось сослаться на следствие 2. □
6. Обобщение теоремы Иосиды
Рассмотрим следующие пять условий.
(А1) Существуют две экспоненциально ограниченные сильно непрерывные группы {и(Ь) Е £(Я) : Ь > 0^ м (Р(Ь) Е £(3) '■ t > 0} операторов с ядрами.
Положим Р = и(0), Q = Р(0) Я0 = кег Р, Я1 = кпР, 3° = кег Q, 31 = Имеем Я = Я° ® Я1, 3 = 3° ® 31- Через (и1(Ь) : Ь Е М} и
{Р1 (Ь) : Ь Е М} обозначим сужения соответствующих групп на подпространства
Я1
и З1- Сужения являются невырожденными группами, и по теореме Иосиды они имеют инфинитезимальные генераторы 51 и Т1 соответственно, являющиеся бирадиальными операторами. При этом без ограничения общности константы а в определении бирадиальности для этих операторов можно взять одинаковыми.
(А2) Существует линейный гомеоморфизм Ь1 : Я1 ^ З1) такой, что Ь^ёон^] = скнпТ!, Ь1Б1 = Т1Ь1.
(АЗ) Существует биективный оператор М° Е С1(Я°; 3°).
Отсюда следует существование оператора М—1 Е £,(3°; Я°).
(А4) Существует оператор Ь° Е £(Я°;3°)5 такой, что оператор Н = М-1 Ь° нильпотентен степени не больше р Е N°.
(А5) Ь = Ь°(1 - Р) + ЬР, М = М°(I - Р) + ^1^1 ^отМ = с1отМ° +ёо т51.
М ( Ь, р )
когда выполнены все условия (А1) - (А5).
Доказательство. Необходимость условий (А1) - (А5) следует из результатов предыдущих параграфов. Покажем их достаточность. Из перечисленных условий сразу следуют равенства
р р
(К,Р)(М»" = П(й« Р, (Ь(„,р>(М)Г = П(Я«
к=° к=°
где р = (р° ,рь ...,Рр) Е Мр+1. Далее, при Л Е Ма
р
м (ль - м )~1 ь^р)(М)/ = (Л1 - Т1)-1 Ц (рк I - Т1 )-1т/.
к=°
О
Здесь / из плотного линеала 3= 3"°+ёоП1Т1. Из данных соотношений и бирадиальности операторов 51 и Т1 следует требуемое, при этом в определении сильной (Х,р)-бирадиальности слева с(/) = д(Т^/). □
Замечание 11. В случае, когда Я = ^ = I, сильная (1,р)-
бирадиальность равносильна бирадиальности оператора М (следствие 3), которая в свою очередь эквивалентна существованию двух одинаковых (поскольку пространства совпадают) сильно непрерывных групп класса (Со). Условия (А2) - (А5) в таком случае становятся тривиальными и теорема 9 редуцируется к теореме Иосиды.
Следствие 4. Из сильной (Ь,р)-бищдиальности оператора М следует, его сильная (Ь,р + д)-бира,диа,л,ьност,ь.
7. Начально-краевая задача с бесконечным числом граничных условий
Сначала введем в рассмотрение некоторые конструкции и сформулируем связанные с ними результаты, доказанные в [14, гл. 7, §3, п. 3].
Пусть V - банахово пространство, оператор А Е С 1(Ю). Обозначим
ГО
ёошА^ = П ёошАк. Наделив это множество топологией, определяемой к=1
к
системой полунорм дк(и) = ^ ||А1п\\ж, к Е М, получим пространство Фре-
1=0
ше, которое обозначим Э^(Ш) = Эа- Зафиксируем положительное число т.
Пусть <&а(т) = < и Е ёотА00 : Ит < т > - так называемое множе-
I к^-ж I
Ат
наибольшее замкнутое в топологии Эа подпространство, содержащееся в
О
Еа(т), и обозначим его через Еа(т, Эа) Множество Еа(т, Эа) с топологией, определяемой полунормами дк(■), является пространством Фреше. Обозначим А® = А
£л(т,Эл)
Теорема 10 [14]. Существует константа С Е М+; такая, что для любой непрерывной в V полунормы г( ) существует непрерывная, в V полунорм,а, д(-), что для, всех V Е V, к Е N т(А®у) < Скд(у). При этом а(А®) С а (А) П ВТ (0).
Здесь ВТ(0) = [ц Е С : \ц\< т}.
Возьмем теперь О = (0, +го), V = Ь2(О), А = —д?/йх\ ёошА = [V Е Ь2(О) : v(0) + v/(0) = 0^" Е Р2(О)}. Спектр оператора А состоит из одного собственного значения Л = —1 и непрерывной части [0, +го) [15]. Пусть
<р \{х) = л/2е~х, <р2(х, Л) = (л/Л + А\/А)_1/2(8ш(ж\/А) — л/Асо8(жл/А))
есть собственная и обобщенная собственная функции оператора Л. Тогда для любого V Е Ь2(0)
+ ГО
ч(х) = (V, Р1)^1(х) + J (V, <Р2)<Р2(х, Л)с!Л,
0
где (■, ■) - скалярное произведение В ^(О,).
Возьмем Эа(Ь2(0)) = Эа, Еа(т, Эа) при т > 0. Положим
ГО ГО
Ь = Р(Л) = Е екЛк, ек Е М, М = Я(Л) = ^ йкЛк, 4 Е м,
к=0 к=0
где Р(Л), ф(А) - цедые функции, причем Р(—1) = 0 Q(—1) = 0, а нулей, принадлежащих множеству [0, +то), у функции Р(Л) нет. В силу теоремы 10 операторы Ь,М Е С(Еа(т, Эа))-
Теорема 11. Пусть Я = 3 = Еа(т, Эа), тогда в условиях данного параграфа, оператор М сильно (Ь, 0)-бирадиален.
Доказательство. Поскольку Р(—1) = 0, имеем
Т
п^{м)и = ь^м)и = [
О ^ Р(Ь)
Отсюда для в Е N Л Е М \ {0},
Аналогично получим сильную (Р,р)-бирадиальность. □
В описанной ситуации уравнение (1) представляет собой краевую задачу с бесконечным числом граничных условий
Р(А)щ(х,1) = С}(А)и(х,1), (ж,£) е М+ х М+,
(£^ + £^i)u(0,t)=0, к = 0,1,..., te м+.
Замечание 12. Отметим, что в условиях данного параграфа ядро полугруппы краевой задачи имеет вид U0 = span{^i}, а фазовое пространство этой задачи - U1 = Ea(t, Da) Q U0.
Список литературы
1. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук.
1994. Т. 49, 4. С. 47 - 74.
2. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banaeh Spaces. N. Y.: Marcel Dekker, Inc., 1999.
3. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциальнооператорные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.
4. Мельникова И.В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений // Сиб. мат. жури. 2001. Т. 42, № 4. С. 892 -910.
5. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Полугруппы операторов с ядрами // Вести. Че-ляб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика. 2002. .V" 1. С. 42 -70.
6. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.
7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
8. Komura Т. Semigroups of operators in locally convex spaces // J. of Funct. Anal. 1968. V. 2. P. 258 - 296.
9. Ouchi S. Semi-groups of operators in locally convex spaces // J. Math. Soc. Japan. 1973. V. 25, 2. P. 265 - 276.
10. Федоров В.Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Неклассич. уравнения мат. физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2000. С. 32 - 40.
11. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов // Изв. вузов. Математика. 2000. 3 (454). С. 54 - 65.
12. Федоров В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37, 12. С. 1646-1649.
13. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат, 1948.
14. Радыно Я.В. Линейные уравнения и борнология. Минск.: Изд-во БГУ, 1982.
15. Хатсон В.К.Л., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. М: Мир, 1983.
Челябинский государственный университет [email protected]
