Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2004, Том 6, Выпуск 3

УДК 517.946

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Доказаны существование и единственность решения нелокальной краевой задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками для трех возможных случаев расположения корней характеристического уравнения.

А. В. Дзарахохов, В. А. Елеев

Пусть ^ — конечная односвязная область, ограниченная отрезками ААо, В Во и АоВо прямых х = 0, х = I, у = Н соответственно, расположенных в полуплоскости у > 0, и характеристиками

2 2

АС : е = х--(_у)(т+2)/2 = о, ВС : п = х +-(_у)(т+2)/2 = I,

ц ш + 2У у> 1 ш + 2У у>

о2 С) 2 1

оператора Lm = -щр — (—у)тоХ2, т = const > 0, выходящими из точки C(^, ус), ус = — [(m + 2)1/4]2/(m+2).

Введем обозначения: = Q П {у > 0} — параболическая, а ^2 = ^ П {у < 0} — гиперболическая части смешанной области

В области Q рассмотрим смешанное нагруженное уравнение третьего порядка

0=

Lu +Y. kj(x, y)u(xj, у) = f (x, у), у > 0,

j=1 n (1)

LmU + bo(x, у)и +Y1 bi(x, у)^рхи(х, 0) = d(x, у), у < 0,

где Ьп = пххх _ пу + а1(х, у)их + а0(х, у)и, Вр1х — оператор дробного (в смысле Римана — Лиувилля) интегрирования порядка _р» при р» < 0 и дробного дифференцирования при рг > 0, который при рг < 1 задается формулой (см. [1])

I 1 <0

= \ г(-Р-) 0 (х-^)1+Р', Рг < 0 (2)

DPX-1f (x), Pi > 0,

dx

где Г(я) — гамма-функция Эйлера.

Предполагается, что х3, ] = 1,...,п, — фиксированные точки из интервала (0,1), причем для определенности будем считать, что 0 ^ х1 < ... < хп < I, рг < рг-1 < . . . р1 = р.

Задача 1. Найти функцию п(х,у) со следующими свойствами: 1) п(х, у) е Сп С 1(^) п сх3у1)(^1) п сх2^(^2), Пх е С(^);

© 2004 Дзарахохов А. В., Елеев В. А.

d

2) u(x, y) — регулярное решение уравнения (1) при y = 0;

3) u(x, y) удовлетворяют краевым условиям

u(0,y) = <pi(y), u(l,y) = ^2(y), Ux(0,y) - Ux(l,y) = ^s(y), 0 < y < h, (3) u(x, -x) = ^(x), 0 < x < 1/2, (4)

где <i(y) G C [0, h] П C 2]0, h[, i = 1,..., 3, ^(x) G C 1[0,1/2] n C3 ]0,l[.

Случай I. Пусть a1(x,y) = 01 = const, a0(x,y) = 0о = const, kj(x, y) = Aj = const, j = 1,..., n, m = 0, bj(x, y) = 0, i = 0,..., n, f (x, y) = 0, d(x, y) = 0.

Переходя к пределу в уравнении (1) при y ^ 0+, получим функциональное соотношение между u(x, 0) = т(x) и uy(x, 0) = v(x), принесенное из параболической части ^i на линию y = 0, в виде

n

т"'(x) - V(x) + 0iT'(x) + 0от(x) + ^ Ajт(xj) = 0. (5)

j=i

Функциональное соотношение, между т(x) и V(x), принесенное из гиперболической части ^2 на линию y = 0, имеет вид [2]

т'(x) - v(x) = ^'(x/2). (6)

Исключая V(x) из (5) и (6), с учетом граничных условий (3) получим для определения т(x) следующую задачу

n

^''(x) + (01 - 1)т'(x) + 0от(x) = -^'(x/2) - Ajт(xj) = p(x), (7)

j=i

т(0) = <¿1(0), т(l) = ^2(0), т'(0) - т'(1) = ^з(0). (8)

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению

^''(x) + (01 - 1)т' (x) + 0о т (x) = 0, (7')

имеет вид

k3 + (01 - 1)k + 0о = 0. (9)

Введем обозначение s =

% + (е12~71)3. Известно [3], что уравнение (9) имеет один действительный и два комплексных корня, если s > 0. Оно имеет три различных действительных корня, если s < 0. При s = 0 все три корня уравнения (9) действительны, причем два из них равны.

Рассмотрим случай когда s = 0. В этом случае имеем, что k1 = 30о/(01 - 1), k2 = k3 = k = -30о/[2(01 - 1)]. Так как общее решение уравнения (7') имеет вид

т (x) = c1ekix + (c2 + c3x)ekx,

то методом вариации постоянных, находим общее решение уравнения (7) в виде

т (x) = Y1ekix + (Y2 + Y3x)ekx + N (x), (10)

где

N(x) = -(k - k1)-2 У (efcl(x-i) + [1 + (k - k1)(x + i)]efc(x-i^^2) dt

/10

+ [1 + (к - к1)(ж - ^е^-^) ^ Л,т(ж') (И = С(ж) + Р(ж)щ,

о

где С(ж) — первое слагаемое, Р(ж) — коэффициент перед суммой, обозначенной нами через ш/, последнего равенства.

Считая пока N (ж) известной, подставим (10) в граничное условие (8). В результате получим систему линейных уравнений относительно 7», г = 1, 2, 3, которая разрешима, если ее определитель А = [к + (&1 - к)1]еы + к[(1 - к)1 - 1]е2к + к (1 + (к - 1)1)]е(к1 +к)1 -к^е^1' = 0. Решая систему находим

71 =А-1( - (С(0) - С(0 + к(1 - ек1 )<^(0) - ^з(0))ек1

+ (1 - (1 + к1)еы) (С(1) + <М0)еы - ^2(0)^ - А-1 ((Р'(0) - Р'(1))еы

+ (1 - (1 + к1)еЫР(0))Щ = Р1 + , (11)

72 = А-1 ( - (^з(0) + С(0) - С(0 - к1(1 - ек11)^1 (0))ек1

+ (1 - (1 + к1)еЫ)(^2(0) - ОД - <^(0)е^)) + А-1((Р'(0) - Р'(1))еы

- (1 - (1 + к1)ек1 Р(1)))щ = рз + р4Щ, (12)

7з = А-1 ((рз(0) + С(0) - С'(0)ек1 - к(<^(0) - С(1))(1 - еы)

- (^з(0) + С(0) - С(1))ек11 + к1(1 - ек11 )(^2(0) - ОД) - <^(0)к(1 - ек1)ек11 - к1(1 - емеы) + А-1 ((Р'(0) - Р'(0)(еы - ем) + Р(1)(к(1 - еы)

+ к1 (1 - ем)))щ = р5 + р6Щ, (13) Подставляя (11)-(13) в (10) и заменяя ш/ его значением, получим уравнение

п

т(ж) + т(ж) ^ Л/т(ж^) = п(ж), (14)

/=1

где т(ж) = С(ж) + р1ек1Х + (рз + жр5)екх, п(ж) = Р(ж) - р2ек1 х - (р4 + жрв)екх.

Полагая в равенстве (14) поочередно ж = ж1, ж = ж2,..., ж = жп, получаем следующую систему алгебраических уравнений относительно т(ж5), ^ = 1,..., п,

п

т» + т» ^ Л/ т/ = п», г = 1,...,п, (15)

/=1

где т/ = т(ж5), п/ = п(ж5), т/ = т(ж5).

Система (15) имеет единственное решение, если ее определитель отличен от нуля:

п

Ап = 1 + ^ Л/т/ = 0. (16)

/=1

Легко доказать, что

с л I 1 + Актк, г = 7; А—^ = 4 к=1 к (17)

-А, т-, г =^

;браические дополнения э

ля А—. Так как

где — алгебраические дополнения элемента г-ой строки и 7-го столбца определите-

1 —

Т (Ж ) = А-Е А—¿¿Чж*), 7 = 1,...,п, — ¿=1

то из равенств (16) и (17) получаем (при А— = 0)

Т(ж) = А|-(" + Ё т»(" А» - А"¿М • (18)

— ^ ¿=1 '

Таким образом, подставляя (18) в (14), находим единственное решение задачи (7), (8) в виде

-1

т(ж) = п(ж) - т(ж) ^ — (" + т^п, А» - А,п»))

А-

¿=1

Легко заметить, что т(ж) = 0, если ^>¿(0) =0, г = 1,..., 3.

После определения функции т(ж) мы приходим к задаче (3), и(ж, 0) = т(ж) в области ^1.

Рассмотрим однородную задачу, т. е. задачу с нулевыми данными (^ = 0, г = 1,..., 3, т(ж) = 0). Допустим, что однородная задача имеет нетривиальное решение и(ж,у).

Положим

и(ж,у) = и(ж,у)еЛх+га, (19)

где А и ^ — некоторые постоянные. Для функции и(ж, у) получим уравнение

Ди) — иххх + 3^ихх + (01 + + (00 + 01 ^ + - А)и

-

+ ^ А,-и(ж^, у)е(х-х)^ - иу = 0 ¿=1

и краевые условия

и(0, у) = 0, и(1,у)=0, их(0,у) - их(1,у)=0, 0 < у < Л, и (ж, 0) = 0, 0 < ж < 1.

По предположению, и в силу (19), эта задача имеет нетривиальное решение и(ж, у). Рассмотрим тождество

ьЬь = ^иихх - 11 и2 + З^иих + 1(01 + - 11 (и2)у - 3^

-

+ (0о - 01^ + - А)и2 + ^ А, и (ж', у)и(ж, у)е(х-х)^ = 0.

¿=1

Интегрируя это тождество по области и учитывая однородные граничные условия (20), имеем

1 J u2(x, h)dx — J ((00 + + — A)u2 — 0 n

n

+ ^ Aju(xj, y)u(x, y)e(xjdxdy = 0. (21) j=i

Полагая в равенстве (21) x = xj, получим

/ ? n

-u2(xj ,h) — l ((00 + + — A + Aj )u2(xj ,y) — (xj ,y)) dy = 0. (22)

0 j=1

Выберем A и ^ так, чтобы ^ < 0, 00 + + — A + Aj < 0.

При таком выборе A и ^ левая часть равенства (22) становится строго положительной, что невозможно, если u(xj, y) = 0. Следовательно, u(xj, y) = 0. Учитывая это в равенстве (21), будем иметь, что u(x, y) = 0 для любого (x, y) G ^i и, согласно (19), u(x, y) = 0 для любого (x, y) G fii. В области ^2 однородная задача Дарбу u(x, 0) = 0, u(x, —x) = 0 для уравнения L0U = 0 имеет только тривиальное решение u(x, y) = 0 для любого (x, y) G ^2. Следовательно, u(x, y) = 0 в

Существование решения задачи (3), u(x, 0) = т(x) доказывается опираясь на методы используемые в работах [4-6]. В области ^2 решение задачи 1 можно найти как решение задачи Дарбу.

СЛУЧАЙ II. Пусть s = 0, коэффициенты уравнения (1) при y > 0 такие, как и для случая I. При y < 0 положим m = 0, b0(x,y) = A0 = const, bi(x,y) = 0, i = l,...,n, d(x, y) = 0.

Решение задачи 1 в области ^2 ищется в виде [7, 8]

x+y x—y

u(x,y)= F(x + y) + $(x — y) + d^ )

х+у х—у

4 У ^ / т (пТ 1 (23)

о о

где ^(¿) и Ф(я) — дважды непрерывно дифференцируемые функции и подлежат определению. Учитывая условие (4), из (23) находим Ф(х) = |) — F(0), 0 ^ х ^ I, после чего равенство (23) примет вид

х+у х—у

и(х, у) = F(х + у) + + F(0) + ^ I ^ I т (Ц^) (24)

о г

Из равенства (24) найдем их — иу, а затем в полученном равенстве перейдем к пределу при у ^ 0—, после чего получим интегро-дифференциальное соотношение между функциями т(х) и V(х), принесенное на линию у = 0 из гиперболической части

x

v(x) — т'(x) = —^2) — A0 J т (25)

0

Исключая ^(ж) из уравнений (7) и (25) и учитывая (24), получим задачу для нагруженного интегро-дифференциального уравнения с интегральным оператором типа Вольтерра

г///(ж) + (01 - 1)т' (ж) + 00 т (ж) = р(ж), (26)

т(0) = ^1(0), т(1) = ^2(0), т/(0) - т/(1) = ^з(0), (27)

где

и( ж) - т/ т ^ ^ ^ А. т (X). (28)

Р(ж) = (|) - у У т(е) (е - £ А,-т(ж7)

х .7=1

2

Поступая аналогично предыдущему случаю, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно т(ж)

X

т(ж) + (4к -0к1)2/ ё(ж, 4)т(4) = /(ж), (29)

0

где

/(ж) = 71вк1Х + (72 + 7зж)екх - (к - к*)-2 / й(ж,4)фЧ И (И А.т(ж7) / Д(ж,4) (4,

2

7=1

Я(ж,4) = е(х-')к1 + ((к - к1)(4 + 1) - 1)е(х-')к, С(ж,4) = <

Г 2£

/ Д(ж, 4) = при 0 < е < ж/2,

£

X

/ Д(ж, 4) М при ж/2 < е < ж.

и

Легко заметить, что ядро С(ж, 4) интегрального уравнения (29) непрерывно во всякой точке (ж, 4) треугольника 0 ^ ж ^ 1, 0 ^ 4 ^ ж, а его правая часть /(ж) на отрезке 0 < ж < 1.

Обращая (29), находим

т (ж) = 71^1 (ж) + 72^2 (ж) + 7з^з (ж) + #(ж), (30)

где

X X

(ж) = е"Х Ч Р^ ^2(ж) = екХ + /Г(ж.*"

00

X

Мж) = + / Г(м:иеИ а,

0

X /XXX

0(ж) = ^ ((к -к1)2й(ж,4) + М(ж,4))ф' (4/2) -( J й(ж,4) М+ж У Г(ж,е)Д(е,*) (е)^,

0 ^ 0 I '

X

м(ж, 4) = -(к - ко-2 у г(ж, е) д(е, ¿) (е,

r(x,t) — резольвента ядра A0G(x, t)/[4(k — ki)]2.

Удовлетворяя (30) граничным условиям (27), получим систему алгебраических уравнений относительно Yj, j = 1,..., 3, с определителем

А = (МО — hi(1))(h3 (0) — h3(1)) + h3(1)[(hi(0) — h2 (0)) + (h2 (l) — hi(l))].

Решая полученную систему, находим

Yi = Ai/A, Y2 = А2/А, Y3 = А3/А,

где

А1 = С(1 — h3(1))h2 (l) — (h2 (0) — ^(ШМО) pi(0) — (1 — h3(1))^2(0) + Лз(1)^з(0), (31)

A2 = (hi(0) - h1(i))ha(i) - (1 - МШМО¥>i(0) - (1 - Лз(ОШ0) - ha(0&(0), (32)

Аз = (^(0) - h2(1))hi(1) - (hi(0) - hi(1))h2(1^ ^i(0)

- (h2(0) - h2(1) + hi(0) - h'i(1))^(0) + (h2(1) - hi(i))&(0), (33)

если A = 0, ^2(0) = ^2(0) - g(l), ^a(0) = ^a(0) + g' (l). Учитывая (31)-(33) в (30), будем иметь

n

т (x) + F (x)£ Aj t (xj ) = Ф(ж), (34)

j=i

X X

F(x) = J R(x,t)dt + xj r(x,£)R(£,t)d£,

Ф(х) = A-i(Ai x hi(x) + A2h2(x) + Aaha(x))

- (k - ki)-^ У V'(t/2)R(x,t) dt - J M(x,t)V(t/2) dt.

0

Полагая в равенстве (34) поочередно x = x1, x = x2,..., x = xn, получим систему алгебраических уравнений относительно т(xj). Решая эту систему, окончательно находим

n 1

т(x) = $(x) - F(x) £ — (Ф; Аг - Aj),

j=i An

n

если определитель системы А = 1 + ^ AjФ^- = 0.

j=i

Доказательство существования и единственности исходной задачи 1 проводится аналогично случаю I.

СЛУЧАЙ III. Пусть s > 0. Условия на коэффициенты и правую часть уравнения (1) при y > 0 совпадают со случаем I, а при y < 0, 60 (x, y) = 0, m = 0, коэффициенты 6i(x, y), i = 1,..., n, и правая часть d(x, y) принадлежат классу C1 (^2) П C3(^2).

Решение и(ж, у) задачи Дарбу иу(ж, 0) = V(ж), и(ж, -ж) = ^(ж) для интегро-дифферен-циального уравнения (1) при у < 0 определяется как решение следующего уравнения [8]

х У

и(ж,у) (п-яп,ж,у)¿п = ^тг^^ 7

о £

х У

х/V(e)(ж - е)-в(у - + / ^'(п) + ^п^) Н(0, П, ж, у) ^п 00

х у

+ / - (П-п)^ НП, ж, у) ¿п, (35) о £

где в = т/(2т + 4), А» выражаются через известные функции 6»(ж, у) и ^(ж, у) соответственно,

„а ч Г^п^у^ П ^ ж,

Н (£, п, ж, у) = < _

[#(£,п,ж,у), п < ж,

функция Грина — Адамара задачи Дарбу для оператора

в

Ей = П£п + п-^ («£ - «п),

причем

Д(£, п, ж, у) = (п - (у - ж)-вЕ(в, 1 - в, 1; <г),

а,

а = [(ж - 0(у - п)]/[(п - е)(у - ж)], 7 = Г(в)/[Г(2в)Г(1 - в)].

д(£, п, ж, у) = 7(п - е)2в (ж - е)-в (у - п)-в ^в, в, 2в; ,

Переходя в (35) к пределу при (ж, у) ^ (ж, ж), 0 < ж < 1, получим функциональное соотношение между т(ж) и V(ж) в виде

х х

/ /= — Т(ж) + — / Т»(ж, 4)т(4) ^ - д(ж)=Ф1 (ж), (35')

] (ж - 4)2в К1 К1 )

о о

где

ко = 7/Г(1 - р»), 2К1 = 7/ [4/(т + 2)]2в , 7 = Г(в)/[Г(2в)Г(1 - в)] ,

1

Т»(ж,4) = I

+ (ж -

42в(1 - ,

х х

д(ж) = К- ж-в/(У(п) + в^(п)/^п2в(ж - п)-в ¿п + 7 / ^ ^-¿(^,п)

7.) (ж - (п - (ж - п)в'

о о £

Очевидно, что д(ж) £ С(!) П С2(/). Пусть т(0) = ^(0) = 0, тогда Ф(0) = 0. Обращая (35) как интегральное уравнение Абеля относительно V(ж), получим

х

п Г Ф'(4) ^ . .

V(ж) = (ж - 4)1-2в. (36) о

х

Подставляя (36) в (5), с учетом граничных условий (3), получим задачу

т'''(ж) + 01т'(ж) + 0от (ж) = Ф1 (ж), т(0) = <1 (0), т(1) = <¿2(0), т'(0) - т'(1) = <з(0),

(37)

(38)

где

Ф 1(ж) = -

п

Ф1(,) ^ - £ Л/т(ж/).

аш2впУ (ж - ¿)1-2в ^ 3 о /=1

Полагая т(ж) = г(ж) + аж2 + 6ж + с, учитывая граничные условия (38), получим задачу с однородными граничными условиями относительно г (ж)

г'''(ж) + 01 г'(ж) + 0ог(ж) = Ф1 (ж) + Р (ж), г(0) = 0, г(1)=0, г'(0) - г'(1) = 0,

(39)

(40)

где

р() = 0о<з(0) 2_ (101 <з(0) + 0о (2<2(0) - 2<1(0) + 1<з(0))' Р (ж)= 21 ж ^ 21

01

+ у (2<2(0) - 2<1 (0) + 1<з(0)) + 0о<1 (0).

Решение задачи (39), (40) имеет вид

I

г(ж) = / С(жМ)(Ф' (ж) + Р (4))

(41)

где С(ж, у) — функция Грина однородной задачи (39), (40) и имеет вид

С(ж,4) =

{а1е«ох + а2е аох/2 С08 ^ож + азе аох/2 8щ^ож при 0 ^ ж < Ь1е«ож + ь2е-аох/2 соя 7ож + Ьзе-аож/2вт 7ож при 4 < ж ^ 1,

где ао и 7о выражаются через коэффициенты 0о и 01 уравнения (39) [3]:

а1 = А-1

■ ао7о вт 7о(1 - О + То сов 7о(£ - 1) ) еао«-1)/2

+ 7о2е-о(«-21)/2 со8 7о(е - 21) + 2 ао7о в1п 7оееао«-21)/2

- - ао7о зт7о1еао(1+2«)/2 - 72 Ш8 7о1еао(1+2«/2-^оО+О

а2 = -а1,

аз = А-1 3 ао вт 7о(е - 1) сов 7о1 + 7о2 з1п 7о(£ - 21) + | ао7о сов 7о(£ - 21)) еао«-21)/2 - 2 ао7о соз 7о1еао(«+21)/2 + 0 ао - 72) 8щ7о(£ - 1)еао«+1)/2 + ао7оеао«+0

е«о(«-1)/2 - 72 81п7о1е-о(2«+1)/2,

- 2 ао

2 ао ят7о(^ - 1) + 7о соя7о(£ - 1)

X

ж

3

2

bi = (Toeaoí)¡W + ai, 62

ao sin 70^ - Yo cos 70M e°0Í/2

W,

63 = аз -

2 ao cos yo£ + Yo sin 70M je°0Í/2

W,

если Ao = 2, yo ch ao1+3, ao sin yo1 sh(ao1/2)-yo cos yol ch(ao1/2) = 0, W = 7o (§ ao + Y2) — определитель Вронского.

Подставляя в (41) значение Фi(x), получим

i

Ф0 = / G(x,i)i

п / [г'(«) + Mi(í,í)z(í)]di

к1 sin2^n

(t - ^)1-2e

dt

где

+ J G(x,t)g(t) dt -¿ Ajt(xj) J G(x,t) dt + J G(x,t)F(t) dt, o j=1 o o

x

Mi (x, t) = KoTi(t, t) + J Tt(£, t) dt,

9(x) =

п f [(tt t3 - Kot2 + t) a + *0 (t2 + t + 1)6 + (t - ko + 1)c - q'(t)]

k1 sin2^n

-t)1-2^

(x - t)

dt,

или

где

1 n 1 z(x) -AJ L(x,t)z(t) dt = r(x) - ^ Aj t (xj ) J G(x,t) dt,

i(x't) = I/

j=1

i i df G(x,£) d£ /'G(x,^)M1(^,t) dt

+

(£ - t)1-2e ' У (£ - t)1-2e

(42)

г(ж) = у С(ж,Щ4) dí + у С(ж,4)^(4) А = п/[к ат2вп|. 0 0

Обозначая резольвенту ядра Ь(ж, 4) уравнения (42) через ф(ж, 4) и обратив его, будем иметь

где

z(x) + a1(x) ^ Ajt(xj) = r(x), j=1

i i oi(x) = ao(x) + y Q(x,t)ao(t) dt, ao(x) = J G(x,t) dt,

(43)

i

ад=/ Q(x-t)r(i) dt

3

2

1

1

Заменяя г(х) через т(х) из равенства (43), получим

п

т(х) + СТ1(х) ^ \зт(х3) = СТ3(х), (44)

3=1

где а3(х) = г(х) _ ах2 + Ьх + с.

Подставляя в равенство (44) поочередно х = х1, х = х2,... ,х = хп, получим систему алгебраических уравнений относительно т(х3), которая при определенных условиях на 01 (х) и стз (х) однозначно разрешима.

Таким образом, после того, как функция т(х) найдена, искомое решение и(х,у) задачи 1 в гиперболической части ^2 задается формулой (35), а в области приходим к задаче, рассмотренной для случая 1.

Литература

1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение.—М.: Физматлит, 2003.—271 с.

2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.—М.: Изд-во АН СССР, 1959.—164 с.

3. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре.—М.: Наука, 1984.—416 с.

4. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.— Ташкент: Фан, 1979.—238 с.

5. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // В сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения.—Ташкент: Фан, 1976.—С. 17-27.

6. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гипербо-лического типа.—Ташкент: Фан, 1986.—220 с.

7. Елеев В. А., Лайпанова А. М. Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка // Вестник СОГУ.—2003.—№ 2.—С. 14-22.

8. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диф. уравнения.—1976.—Т. 12, № 1.—С. 103108.

Статья поступила 13 апреля 2004 г-

ДЗАРАХОХОВ ЛзАМАТ ВАЛЕРИАНОБИЧ г. Владикавказ, Сереро-Осетинский госунивеситет им. К. Л. Хетагурова;

Елеев Валерий Лбдурахманович, д. ф.-м. н. г. Нальчик, Кабардино-Баркарский госуниверситет E-mail: [email protected]