CC BY
18
функции /(.с), /(/), /2(/), ... удовлетворяют краевым условиям (2). Тогда справедлива
ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие сходимости). Если = тш{У^д,Л,} то функция /(л) разлагается в равномерно сходящийся ряд но собственным и присоединенным функциям на отрезке
I 1 R о ---+ £;/< — с
[2 2
для любого е > От.е. выполняется
Iimr шах J/(x)-S,(/,jO| = 0, [г 2 • J
где Sq(f,x) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции f(x) по собственным и присоединенным функциям задачи (1),(2) Из теоремы 2 легко получается
СЛЕДСТВИЕ. Если R > 1, то функция /(х) разлагается в равномерно сходящийся ряд на всем отрезке [0;l],
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы М : Наука, 1969.
2 Хромов А.П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи гретьего порядка// Исследования по теории операторов Уфа, 1988 С. 182 - 193
3 Хромов А.П Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб 1966. Т. 70 (112). С. 310 - 329
4 Х[М1мов А.П Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат заметки Т 6, № 6 С. 763 - 772.
УДК 517.51:518
Г. В. Хромова, И. Д. Молодецкова
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ЗАДАЧИ КОЛМОГОРОВА-НИКОЛЬСКОГО'
В данной статье рассматривается модификация известной задачи из теории приближения функций и дастся решение этой модифицированной задачи в случае, когда для приближения периодической функции используется некоторое специфическое семейство интегральных операторов
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123.
\U щ -
Пусть f(x)e IV-f [—л;, rrj и удовлетворяет краевым условиям /(*>(-л) = /(*>(л), к = 0,1. Здесь - одномерное просгранство Соболева с нормой
\Уг
Л/2(*)+(/"(*))2]л
Ч-л У
Рассмотрим семейство интегральных операторов Ка (а > 0 параметр) с ядрами Ка(x,t) таких, что Ка/ еС[-п,л] и ||Ка/-/|Г( п ->0 при а —> 0 Рассмотрим далее класс функций
[-7c,7t] = ={f(x)elV22[-я,я]: (-я) = /<*>(*), А-0.1; ||/Ц2 <1}
и величины
M¡)= sup{¡|Ka/ - /|С(_л л1: /6 M¡[-n,*\).
В теории приближения функций известна задача Колмогорова-Никольского - это задача получения представлений вида
AI(/ra,A/) = (P(a) + v(;(a),
где A|(/Ta)AY) = sup{||A'a/-/|ic f еМ], Ка - некоторое семейство операторов, "приближающее" функцию ]\х) из некоторого класса М, \|/(а) = о(ф(а)).
В [1], a также в публикациях, приведенных в [1], рассмотрено обобщение этой задачи на более "гладкую" метрику, в случаях, когда
М =Mr2[aM = {f{x)eW¡[aM \\f\wr <1}
М = М[[а,Ь) = {/(х) е ^>,6], /<*>(«) = Г("\Ь),к = 0.1,...,г -1, < 1},
г > I - целое, получены выражения для А1(Ка,М) и Л'151 аналогичных величин, соответствующих метрике С1/)[а,Л], через ядра Ка(х,1), а на основании этих выражений получено решение указанной задачи для ряда операторов Ка.
По аналогии с рассмотренными выше случаями имеет место ТЕОРЕМА 1. Справедливо представление
Д ™(Ка,М}) = *цр
| М*.')£(*,*.а)<й-£(*,*,а)
-яsxsпV -л
где
£(*,/, а) = I Ка - вх\1, х),
(О (2)
- функция Грина дифференциального оператора
к = {¡¡ у = У4) + у, /*>(-я) = у™ (Я), к = 0,1,2,3}. Функция Грина (/(Г,*) имеет вид [2, 3]
4
4;
СДг,д:) =
г <*,
1 /=1
4/=1
(3)
где с, =(1-е2яХ')чХ/, X,
Из (3) следует выражение
С(г,х) =
I £ Х,сЬ{Х,[я-(*-/)]}
1 /=1
Ие л/>0
4
4 /=1 Ке Х/>0
I <х,
х<<
(4)
Возьмем в качестве семейства интегральных операторов осредняю-
щие операторы Аи{х,/), зависящие от параметра Н = --—, где п- нату-
п +1
ральное число, переводящие тригонометрические сплайны, введенные П.-Ж. Лораном [4], в их производные [5[ Ядра этих операторов Кн(х,1) имеют вид
(=1
где .V = 3,5 или 7 в зависимости оттого, куда попадает х, <р,-(/)- линейно независимые функции, получаемые сдвигом, для определения а,(дг) выведены системы линейных алгебраических уравнений [5] Используя (4) и (2), получена
ЛЕММА Функция имеет вид
«/+12>,(*) I
4
' 2
у -1
/1
1=1 КсХ(>0
«Г1 X «,« X Цри)
/=* +1
/=1 КеХ( >0
У-1
£ фЦХДи-(г-л)]} 2
х<(,
к
I <=1
/ = 1
Цч{])
И*
У-1
4зЬХ/л
4
/=4+1 /=1
К«х,>0
И"
У-1
45ЬА./Я
+ £ ^^[«-(х-О]) л>
яех, >о
/ < дг.
(5)
ч (У) =
где /и> = т2 = -1
/'СУ) =
сЬХ/Г, у - нечетное, бЬЯ.^, у - четное, 1сЬ[Х,(2л+ /)], у-нечетное, [ 8Ь[А.,(2л + /)], у - четное,
> хе
* = 3,
5]
- к.х, —-1 2
/ 13 и п = —Н.
42
«1=1. <?(У') = '
|сЬ[Х/(л + ас, - Г)], у - нечетное, { бЬ^Дя + -0]. у-четное, [с11[А.,(я - х + /)], у - нечетное, ( згцА.Дл-х^ +')]> У -четное,
где л'-З, х,-х„+—, хе
¿ = 5, х,=х;+—/ = 1,и-1, хе
.у = 7, х7=х/--—; / = 1,л,е
"1
2 " 5, 5,
1С,---,Х| + —
' 2 ' 2
5,
2
49
, А =
6Я 35
Справедлива
ТЕОРЕМА 2. Имеет место асимптотическое по Н при И —► О представление
где /} = шах
1
1 V , / 'и
> /=1
45Ы/Я
5 = 3, т = 13,
7 = 14, / = —, х5. = -7С для отрезка
-Л,Х, -
хЛ = хп +2 лля ^Р63*3
п 2
, л' = 5, /п = 6 6
_ , 1 5,
<7 = 7, / = —, х5 = х, + -у для отрезка
2 '
отрезка
/ = 1,я-1; л = 7, ш = 1, <у = 1, / = 1, х1=х,-~ для
X,--1-,Х; + —
1 2 ' 2
, 1 = 1,п.
Доказательство сводится к подстановке (5) в (1) и проведению соот-
ветствующих преобразований с учетом того, что ^ГосДх) = 1 и I = х.
1=1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода //ДАН 200!. Т. 378, № 5 С. 605 - 609.
2 Хромова Г.В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вестн Моск. ун-та. Сер 15 1993. № 1. С. 13 -18
3 Хромова Г.В.. Молоденкова И.Д. Об оценке погрешности при приближении периодических функций осредняющими операторами // Математика Механика Сб науч. тр. Саратов Изд-во Сарат. ун-та 2000. Вып 2. С 129- 132.
4 Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация М Мир, 1975
5 Молоденкова И.Д Построение операторов, восстанавливающих производные // Математика Механика: Сб науч тр. Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып. 3. С 95 - 98.
