Об одной модификации оператора Стеклова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. А., Хромова Г. В. О построении приближений к непрерывным функциям е интегральными граничными условиями// ЖВМ и МФ, 2011, Т. 51, JVS 8, С, 1370-1375.

2, Иванов В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода// Дифференциальные уравнения, 1967, Т. III, № 3, С, 410-421,

УДК 517.51

А. П. Хромов, Г. В. Хромова ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ОПЕРАТОРА СТЕКЛОВА

В работе [1] рассмотрен простой по конструкции оператор, полученный из оператора Стеклова, с разрывной в точке х = 1/2 областью значений, обеспечивающий равномерную сходимость к произвольной непрерывной функции на всем отрезке [0,1] (в отличие от классического оператора Стеклова). В [1] сформулирована теорема, в которой получена двусторонняя неулучшаемая по порядку оценка погрешности приближений к функциям из класса Липшица, причем, с лучшими константами и более простым доказательством по сравнению с другим модифицированным оператором Стеклова из [2].

Операторы из [1] имеют вид

Th u =

h f u(t) dt = T2hU, x e [0,1/2];

x

h f u(t) dt = TihU, x e [1/2,1].

xh

(1)

Функция Th u рассматривается как элемент простран ства [0,1] с

нормой: |Н|ТО = max {|Н|с[ом , IHIc[1/2,1] }• Рассматриваются величины:

A(6,Th,Lipi1) = sup j ||Thus - u||TO : u e Lipil, ||u - u||L2[01] < , Ai (Th,Lipi 1) = sup {|ThU - u||TO : u e Lipil} .

Лемма. Справедлива оценка

А (5, П, Ырг1) >тах{А! (Тн, Ырг1), 5 .

Доказательство вытекает из двух оценок:

А! (ТН,ЫР1\) < А(5,Тн,Ыр11),

5\\Ть\\ь^ь(Х1 которые следуют из равенств

< А(5,Тн,1лр{\) ,

А! (ТЬ,ЫР11) = А|,=0, 5\\Тн\\и

= А

|и=0.

Теорема. Справедлива двусторонняя оценка

52/3 < А (5,Тт,Ыр!1) < 3/252/3

где Н(5) = 52/3.

Доказательство. Для А (5,ТН, Ыр!1) справедлива оценка

А (5, Тн, Ыр!1) < А! (Тн, Ыр!1) + 5\\Щ\Ь2^ . Легко видеть, что имеет место равенство

от и 1

лД'

(2)

(3)

(4)

Найдем выражение для А! (Тн, Ыр!1)7 используя определение класса Липшица. Имеем

и — и| =

1 У | и(£) — и(х) |

х—Н

1 Л \ н

<Т (х — Я (И = -. < Н I v ; 2

Н

Такая же оценка справедлива для |Т2Н и — и|. Отсюда следует оценка

Н

А! (Тн,Ьгр!1) < н.

Она достигается на функции и0(х) = х. Отсюда вытекает равенство

Н

А! (Тн,Ьгр!1) = н. Подставив (4) и (5) в (3), придем к оценке

х

х

Н5

А(5,Тн,Ыр!1) < н + —. (6)

Н = Н(5) Н(5)

Из (4), (5) и леммы при Н = Н(5) получаем оценку снизу в (2). Теорема доказана.

ТН

тор Стеклова £>Н из [2] и провести рассуждения по той же схеме, то придем к оценке

2—!/352/3 < А (5, ¿¿ра) < 3 • 2—!/352/3.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 10-01-00270).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации оператора Стеклова // Современные проблемы теории функций и их приложения : Материалы 15-й Сарат. зим. школы. Саратов, 27 янв.-З февр. 2010 г. Саратов : : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. С. 181.

2. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций // ЖВМ и МФ, 1977. Т. 17, № 5. С. 1161-1171.

УДК 517.51

О. И. Шаталина

МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А. И. ТИХОНОВА В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

В данной статье рассматривается задача восстановления непрерывной функции и(х), заданной ее 5-прнблпжением щ(х) в метрике пространства ¿2[0,1]. Приближенное решение этой задачи находится методом регуляризации А. И. Тихонова, которому соответствует множество операторов Та [1]. По Тихонову точное решение должно принадлежать пространству ^2![0,1]. Но в [2] доказано, что это ограничение можно снять, и сходимость приближенных решений имеет место для любой непрерывной функции и(х). При этом берется случай, когда функционал Тихонова представим в виде

М$[и, щ] = \\и — щ\\|2 + аУиУ^1, а > 0. (1)