О регуляризации уравнения первого рода с оператором интегрирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Далее, выполнив в (3) замену х на 1 — ж, продифференцировав по х и разделив почленно на ^'(х), получим

—у'(1 — х) — Л <р'(х)

У(х) + у т(х,г)у(г)йг 0

= /(х) + у М(х,г)/(г)йг. 0

Применив оператор (Е + N), приходим к утверждению леммы. □ Лемма 4. Если у = Л2,А/, то

—^Ц У '(1 — х) — Лу(х) = / (х), у(1) = 0. ^'(х)

Эта лемма очевидна.

Действуя так же, как и в работе [2], получаем следующую теорему. Теорема 1. Для любой /(х) Е Ь[0,1] имеет, место соотношение:

Нш

Г—7>00

№,А — ^2,А]/ йЛ

|А|=Г

= 0,

г()е || • ц _ НОрМа в Ьто[0,1].

10

01-00270;.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П., Кувардина Л. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегрального оператора с инволюцией // Известия вузов. Сер. Математика. 2008. № 5. С. 67-76.

2. Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с переменными пределами интегрирования // Интегральные преобразования и специальные функции. : Информац-й бюллетень. 2006. Т. 6. .V" 1. С. 46-55.

X

X

эо

УДК 519.624

А. А. Хромов

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА С ОПЕРАТОРОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Для указанного уравнения приведен метод его приближенного решения в случае, когда точное решение удовдетворяет интегральному условию.

Рассматривается уравнение

ПX

Аи = и(г)йг = / (х). (1)

0

Предполагается, что оператор А действует в пространстве С[0,1], точное решение и(х) удовлетворяет условию

и(и) = / и(г)(И = 0, (2)

Л

а правая часть /(х) задана ее приближением (х) : ||/(х) — /(х)|| < 6.

Решается задача нахождения по (х) и 6 приближенного решения уравнения (1) такого, которое удовлетворяет условию (2). Рассмотрим семейство операторов Яг,т > 0 из [1]. Лемма 1. Имеет место представление

яги = ( кг(х,г)и(г)(г = 0, Л

где

К (хЛ) = —(1 — в~г)—1е'<х—, \

Доказательство, следует из леммы 1 в [1]. Построим семейство операторов

Тг / = —тЯг А-1/.

Лемма 2. Имеет место представлление

Тг/ = — т С кг(х, г)/(г)(г — т/(х). (3)

J 0

Доказательство. Имеем: А—1/ = /',/(0) = 0. Отсюда ЯгА—1/ =

= Яг /' = кг. (х,г)/ '(г)(г.

Берем этот интеграл по частям. Получаем

Яг / = [К (х, г)/(г)]% + [Кг (хх, г)/(г)]Х — С к'н(х, г)/(г)(г =

0

= [Кг (х, х — 0) — Кг (х,х + 0)] • /(х) — Кг (х, 0)/(0) +

Кг (х, 1)/(1) — К'н(х,г)/(г)(г. 0

Поскольку скачок ядра Кг(х,г) при г = х равен 1, /(0) = 0,/(1) = /0 и(г)(г = 0, а К'(х,г) = —тКг(х,г), то отсюда следует, что Яг= /(х)+т /0 Кг (х, г)/(г)(г. Из последнего равенства вытекает утверждение леммы.

Рассмотрим величину

Д(6,Т,и) = вир {ЦТ/ — и|| : ||/ — /|| < 6}

Известно [2], что для ее стремления к нулю при г ^ го, 6 ^ 0

1)

||ТГАи — и|| ^ го при г ^ го, (4)

2)

г = Г(6), при котором г(6) ^ го ||ТГ(£)|| 6 ^ го при 6 ^ 0.

Лемма 3. Для сходимоости (4) необходимо и достаточно, чтобы и(х) и(0) = и(1)

Доказательство вытекает из равенства ТГА = — гЯГ и следствия из теоремы 2 в [1].

Лемма 4. Справедлива двусторонняя оценка

г

2(1 — е—Г) < ||Тг|| < 2г. (5)

Доказательство. Обозначим через КГ интегральный оператор в выражении (3). Очевидно, справедлива оценка

||Тг/1| < ||Кг||||/1| + Г ||/1| .

Далее, имеем

||КГ|| = г2 шах / |КГ(х,г)| йг. 0<х<^0

Отсюда вытекает правая часть оценки (5). Для получения оценки снизу пользуемся оценкой:

||КГ У > ||Тг/оУ > |Тг/о|х=0 ,

где /0(х) = е—Гх.

Из лемм 3 и 4 следует

Теорема. Сходимость Д(6, ТГ, и) ^ 0 при г ^ го, 6 ^ 0 имеет место

и(х)

условию и(0) = и(1), а г = г(6) такое, что г(6) ^ го и г(6)6 ^ 0 при 60

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. А., Хромова Г. В. О построении приближений к непрерывным функциям е интегральными граничными условиями// ЖВМ и МФ, 2011, Т. 51, JVS 8, С, 1370-1375.

2, Иванов В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода// Дифференциальные уравнения. 1967. Т. III, № 3. С. 410-421.

УДК 517.51

А. П. Хромов, Г. В. Хромова ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ОПЕРАТОРА СТЕКЛОВА

В работе [1] рассмотрен простой по конструкции оператор, полученный из оператора Стеклова, с разрывной в точке х = 1/2 областью значений, обеспечивающий равномерную сходимость к произвольной непрерывной функции на всем отрезке [0,1] (в отличие от классического оператора Стеклова). В [1] сформулирована теорема, в которой получена двусторонняя неулучшаемая по порядку оценка погрешности приближений к функциям из класса Липшица, причем, с лучшими константами и более простым доказательством по сравнению с другим модифицированным оператором Стеклова из [2].

Операторы из [1] имеют вид

Th u =

h f u(t) dt = T2hU, x e [0,1/2];

x

h f u(t) dt = TihU, x e [1/2,1].

xh

(i)

Функция Th u рассматривается как элемент простран ства [0,1] с нормой: |Н|ТО = max{ ||-||c[ом , ||-||c[1Д1]}. Рассматриваются величины:

A(6,Th,Lipi1) = sup j HThu5 - u||TO : u e Lipil, ||u - u||b2[0)i] < 6^ , Ai (Th,Lipi1) = sup {HThU - u||TO : u e Lipil} .

Лемма. Справедлива оценка