Об одной функционально-дифференциальной модели с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для функционально-дифференциального оператора

-(,>иУ + Р,и -IЫ*) - ФМ,Ф,* *

I I

рассмотрены вопросы спектральных свойств, положительной определенности соответствующего квадратичного функционала, положительности функции Грина.

Ключевые слова: спектральная задача; функционально-дифференциальное уравнение; квадратичный функционал.

УДК 517.929, 517.93.935

ОБ ОДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© А.С. Ларионов, И.А. Никишина

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; краевая задача; разрешимость; математическая модель.

Рассматриваются краевые задачи для нелинейного функциональнодифференциального уравнения первого порядка. Получены достаточные условия

разрешимости этих задач. Результаты применяются для исследования задач экономической динамики.

Пусть D = D[a,b] — банахово пространство абсолютно непрерывных функций x: [a,b] ^ R; Lp = Lp[a,b] — банахово пространство суммируемых со степенью p, 1 ^p< ж функций z: [a,b] ^ R; L^ = L^[a,b] — банахово пространство измеримых и ограниченных в существенном функций z: [a, b] ^ R. Предполагается, что во всех пространствах естественным образом введена полуупорядоченность.

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение

(Lx)(t) = x(t) + a(t)xh(t) = f (t,xg(t)), t € [a,b], (1)

где{

(t) = (y[r(t)^, если r(t) € [a, b],

| 0 , если r(t) € [a, b]

в следующих предположениях: a € Lp; h,g — измеримые функции, h(t) ^ t, g(t) ^ t при почти всех t € [a,b]; функция f удовлетворяет условиям Каратеодори и, кроме того, для любого y ^ 0 существует функция bj € Lp такая, что

sup \f (t, u) | ^ bj (t).

\u\^j

Пусть [v,v] —некоторый конусный отрезок в пространстве Ltx-

Будем говорить (см., например, [1]), что функция f удовлетворяет условию L1[v,z][L2[v,z\), где v(t)= vg(t), v(t) = zg(t), если существует такая функция r*(t)(r2(t)),

2569

rl,r2 € Lp, что оператор Немыцкого M1 : [v, z] ^ Lp (M2 : [v,z] Lp), определяемый равенством

M1 (t, u(t)) = f(t, u(t)) + r1(t)u(t), u € [V, Z] [m2(t,u(t)) = f(t,u(t)) + r2(t)u(t), u € [V,z]j

является изотонным (антитонным).

Дополнительное условие для уравнения (1) зададим в виде равенства

lx = а, а € R, (2)

где l : D ^ R — линейный ограниченный функционал.

Для краевой задачи (1), (2) приводится ряд утверждений о разрешимости этой задачи. Справедлива, например,

Теорема. Пусть существует пара функций v,z € L^ таких, что выполняются неравенства

v ^ z, (Lv)(t) ^ f (t,vg(t)), (Lz)(t) ^ f (t,zg(t)), £v ^ lx ^ lz.

Пусть функция f удовлетворяет условию L1[V,V] с таким коэффициентом r1(t), что краевая задача

(Lx)(t) + r1(t)xg(t) = n1(t), lx = 0

однозначно разрешима, и ее функция Грина положительна в квадрате [a,b] х [a,b]. Тогда существует решение x краевой задачи (1), (2), удовлетворяющее неравенствам

v ^ x ^ z.

Если, кроме того, функция f удовлетворяет условию L2[v,Z] с таким коэффициентом r2(t), что краевая задача

(Lx)(t) + r2(t)xg(t) = rj2(t), lx = 0

однозначно разрешима, и ее функция Грина положительна в квадрате [a, b] х [a, b], то это решение единственно.

В случае, когда lx = x(a), задача (1), (2) — это задача Коши. Эффективные признаки положительности функции Коши уравнения

(Lx)(t) + rl(t)xg(t) = n%(t), i = 1, 2

приведены в работах [2], [3].

В другом частном случае краевого условия (lx = x(b)) признаки знакопостоянства функции Грина соответствующей линейной краевой задачи вытекают из результатов работы [3].

Утверждения о разрешимости задачи (1), (2) применяются для изучения математической модели динамики основных производственных фондов предприятия. В линейном случае такая модель исследуется в [4], [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Березанский Л.М., Ларионов А.С. Положительность матрицы Коши линейного функциональнодифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11. С. 1843-1854.

2570

3. Гусаренко С.А., Домошницкий А.И. Об асимптотических и осцилляционных свойствах линейного скалярного функционально-дифференциального уравнения первого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2090-2103.

4. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие. 2-е изд., перераб. и испр. / под науч. ред. проф. Б.А. Суслакова. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006. 352 с.

5. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Избранные труды. Пермь: Изд-во ПГУ, ПСИ, ПССГК. 2003. 306 с.

Larionov A.S., Nikishina I.A. ON FUNCTIONAL DIFFERENTIAL MODEL WITH AFTEREFFECT

Boundary value problems for a nonlinear functional differential equations of the first order are considered in this article. The sufficient conditions of solvability this problems are obtained. The results are used for investigation of the problem of economic dinamics.

Key words: functional differential equation; boundary value problem; solvability; mathematical model.

УДК 519.853.4

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В ЗАДАЧЕ

ОПТИМИЗАЦИИ

© А.С. Лахтин

Ключевые слова: нелинейная оптимизация; многоэкстремальные задачи; субградиент-ные методы.

Рассматривается задача оптимального расположения двух произвольных многоугольников. Для решения необходим поиск глобального экстремума негладкого невыпуклого функционала. Исследуется вопрос использования физического моделирования движения многоугольников в поле сил различного типа для локализации окрестности решения и последующего применения субградиентных численных методов.

В теории оптимального управления и дифференциальных играх важную роль играют задачи, в которых некоторое множество аппроксимируется множествами из заданного класса, например, в работах А. Б. Куржанского [1] и Ф. Л. Черноусько [2] области достижимости управляемых систем аппроксимируются эллипсоидами или параллелепипедами. В данной статье рассматривается более сложная задача.

Заданы два произвольных многоугольника A, B € R2. Требуется переместить их друг относительно друга таким образом, чтобы обеспечить минимальность хаусдорфова расстояния между ними.

Напомним, что хаусдорфовым расстоянием между множествами A и B называют величину, которая вычисляется, например, по формуле

H(A, B) = maximaxmin ||а — b\\ , maxmin ||а — bll}

a^A b£ß b£ß a^A

Считаем, что многоугольник A неподвижен, а многоугольник B перемещается с помощью параллельного переноса на вектор х € R2, т. е. рассматривается множество B + х. Каждый вектор х € R2 задает положение многоугольника B + х, однозначно определяя расстояние между A и B + х. Таким образом, получаем функцию F(х) = H(A,B + х).

2571