Об одной аддитивной задаче с почти равными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Lihova J., Pocs J. On formations of lattices // Acta Universitatis Matthiae Belii, series Mathematics. 2009. № 15.

5. Расстригин А. Л. Формации конечных унаров // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, № 2 (38).

6. Jakubikovâ-Studenovskâ D., Pocs Jozef Formations of finite monounary algebras // Algebra universalis. 2012. Vol. 68, № 3-4.

7. Rasstrigin A. L. On lattices of formations of monounary algebras with finitely many cycles // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2015. Vol. 36, № 4.

ОБ ОДНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧЕ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ А. О. Рахимов, Ф. З. Рахмонов (г. Душанбе) E-mail: [email protected], [email protected]

Т. Эстерман [1] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

pi + p2 + m2 = N, (1)

где pi, p2 — простые числа, m — натуральное число.

В работе [2] эта задача исследована с более жёсткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений (1) с условиями

Pi

N

з"

< H ; i = 1, 2,

2 N

m - У

< H ; H > N3 ln3 N.

Далее, в работе [3] асимптотическая формула выведена для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении (1) квадрат натурального т заменяется на его куб при Н > N5£10.

Основным результатом этой работы является вывод асимптотической формулы для ещё более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть когда в уравнении (1) квадрат натурального т заменяется на четвёртую степень.

Теорема. Пусть N — достаточно большое натуральное число, IН) — число представлений N суммою двух простых чисел р1, р2 и четвёртой степени натурального т с условиями

Pi

N

з"

< H, i = 1, 2,

4 N

m - "з

H,

p(N,p) — число решений сравнения x4 = N (mod p). Тогда при H > > N12 L справедлива асимптотическая формула:

I(N, H) = ЩШ1Н + O , 6 = п

1 +

p(N,p) (p - 1)2

Следствие. Существует такое Щ, что каждое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы двух простых чисел р\, р2 и четвёртой степени натурального т с условиями

N

Рг

11 40

< N11L40, i = 1, 2,

4N

m - а/ з

1 40

1 „ 80

3N1L40 27N12 L1° 189L40 <-+ ^ + ^ + 0,9.

4^3

32^3 128^3

Доказательство теоремы проводится круговым методом и её основу составляют:

• теорема [4] о поведении коротких тригонометрических сумм Г. Вей-ля

Т(а; х, у) = ^^ е(атп), а = —Ъ А, д < т, (а, д) = 1, |А| ^ —

х-у<ш^х д д

для а, принадлежащих длинным дугам;

• теорема [5] об оценке короткой тригонометрической суммы Г. Вейля Т(а; х, у) четвёртой степени для а, принадлежащих малым дугам;

• теорема [6] о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами

$ (а; х,у) = Л(п)е(ап)

х-у<п<х

для а, принадлежащих длинным дугам.

Библиографический список

1. Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math. Soc. 1937. Vol. 11.

2. Рахмонов З. Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Матем. заметки. 2003. Т. 74, вып. 4.

3. Рахмонов З. Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95, вып. 3.

4. Рахмонов З. Х, Нарзублоев Н. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г. Вейля и их приложения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, №1 (53).

5. Рахимов А. О. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля четвёртого порядка в малых дугах // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2015. Т. 58, № 8.

6. Рахмонов З. Х. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2000. Т. 43, № 3.

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЙ МЕТОД В ПРИБЛИЖЕННОМ АНАЛИЗЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В ПОИВС «ТМК»1 И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский, (г. Тула) E-mail: [email protected], [email protected]

Основные проблемы теоретико-числового метода приближенного анализа непосредственно связаны с рядом фундаментальных задач теории чисел. Теоретико-числовые подходы продемонстрировали свою эффективность для построения алгоритмов вычисления оптимальных многомерных квадратурных и интерполяционных формул на основе теоретико-числовых свойств используемых сеток для конкретных классов функций.

Разработка ПОИВС (проблемно-ориентированной информационно вычислительной системы) «ТМК» (Теоретико-числовой метод Коробова) актуальна для эффективного внедрения результатов фундаментальных исследований по теоретико-числовому методу в приближенном анализе.

Основными объектами исследования являются: пространство решток; гиперболическая дзета-функция решеток; дзета-функция сеток с весами; отклонение сеток; квадратичное отклонение сеток и q-ое отклонение сеток, граничные функции на классах функций.

Основные задачи данного проекта состоят в:

• изучении гиперболической дзета-функции произвольных решеток и алгоритмов её вычисления;

• разработке алгоритмов вычисления основных характеристик обобщенных параллелепипедальных сеток;

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-41-03262).