CC BY
16
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели / Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 464 с.
2. Пасечник М.В., Розен В.В. Игры с квазиупорядоченными исходами, имеющие единственный индивидуально рациональный исход // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 3. С. 87-90.
УДК 512.56
В.Б. Поплавский
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ
В нашей статье продолжается построение теории определителей матриц над произвольной булевой алгеброй, начатой в статье [1] и получившей развитие в работах [2-6]. Доказывается утверждение, которое помогает оценить число образующих, порождающих столбцы (или строки) данной булевой матрицы.
Определитель квадратной булевой матрицы был введен О.Б. Соколовым в работе [1] для изучения матриц, элементами которых являются формулы логики. Большая часть этой статьи посвящена теории булевого определителя. Он определяется как симметрическая разность
+ - + - - +
DetA =V Аф V A = (V A\ V A) и (V A\ V A)
полуперманентов
V A
и
К1 n aa n.
(ai,...,an)GP
и
VA=
(aa naa n.
•n<n)
(ai,...,a„)GP
+
(все четные и нечетные перестановки обозначены P и P соответственно) матрицы A = (aj), элементы которой aj принадлежат произвольной булевой алгебре (Б, U, n,', 0,1). Показаны такие свойства определителя, как его сохранение при транспонировании, его неизменность при перестановке строк, равенство нулю для двух одинаковых строк. Доказано свойство аддитив-
ности по столбцу определителя, которое можно записать в форме
DetA =
(V
'k U ck
?П U cn
... ьк
an bn
a1 ... bk
Ф (V
aj
a
) ... an = =
) ... an
. . . an + UV
. . . ann
.. bk .. . an
bn an
bk ... an
a
a
UV
.c
.c
a
a
a
a
ck .
n
c.
)®
.a
.a
Получена формула разложения определителя, которую можно также записать в виде
DetA = (Q(akП V dkA)) ф (Q(akП V dkA)),
k=i
k=i
что очевидно, так как полуперманенты раскладываются по строке по правилу Лапласа (см. также [2, 3, 6]). Автор, кроме того, доказывает, что если строки линейно зависимы, то определитель равен нулю, и отмечает, что обратное не выполняется в общем случае.
Это последнее утверждение обобщается в следующей теореме, доказательство которой мы приводим далее.
Обозначим через Bnxm модуль булевых матриц размера n х m над булевым полукольцом B.
Теорема. Предположим, что для некоторой квадратной матрицы A Є Bnxn существует такой набор каких-то, не обязательно выбираемых из матрицы A, столбцов B1,B2,...,Bk Є Bnx1, и любой столбец Ai,A2,..., An Є Bn xi матрицы A является их линейной комбинацией, то есть Aj = (Al П B1) U (А2 П B2) U ... U (Xkk П Bk) для некоторых булевых коэффициентов Aj, i = 1,..., k и j = 1,..., n. Тогда, если k < n, то DetA = 0.
Аналогичное утверждение справедливо и для строк.
Доказательство. Вначале покажем, что для полуперманентов матрицы, j-й столбец которой является линейной комбинацией столбцов
Bj = ( 6162 ... Щ)Т (j = 1,...,k),
i
n
)
выполняется равенство
± V
( ... a}-! Uk=1(At n bj) aj+1 ..Л
V
a
1 Ut 1 (At n bn) aj+ 1 ...y
j-1t
(Atn V±
t=i
aj1-1 bt1 aj1+1
a
j-1
bn an
bt a
j+1
Здесь знаки полуперманентов выбираются либо верхние, либо нижние соответственно. Это равенство показывает, что полуперманенты обладают свойством линейности по столбцу (по строке). Действительно,
)
± V
Л.. а}- Uj=i(* n bj) a}+i
an_ i Ut=i(At n ЬП) an+i ...)
к
= У (aa1 n ... n^ n baj) n ... n aan) =
(ab...,a„)GP
t=i
У (JW1 n ... n (A4 n baj) n ... n aan) =
(ai,...,an)ep
± t=i
U (^ n (aa1 n ... n baj n ... n a?)) =
(a1,...,an)ep k
t
± t=i
U(A4 n ( U (aa1 n ... n btaj n ... n aan)))
t=i ± (ab...,a„)GP
k / ... ai-i b| ai
U(A4n V
t=i
j-i t j+i
an t-.n ^ n j-i bt aj+i
Теперь несложно проверить равенство для следующей разности полупер-
)
манентов (правого определителя):
+
V A\ V A =
+
=V
f ... aj- Uk=1(At П bj) aj+j
аП_1 Uj=1(At П ЬП) ajj+1 t ... aj- Uk=1(At П bj) a 1+1
\V
V--- an_1 U=1(At П ЬП) an+1
k
^(А'П V
t=1
k
\ ^(А'П V
s=1 k
UiiA'n V
t=1
\V
aj-1 bj aj + 1
an кП /-у n j-1 bt aj+1
aj-1 b1 aj+1
an L.n ^ n j-1 bs aj+1
aj-1 bj aj+1
an L.n ^ n j-1 bt aj+1
aj-1 bj aj+1
an L.n ^ n j-1 bt aj+1
\ ^(Asn V
s=t
\
.. .
.
)\
) =
)\
f
/ aj-1 b1 aj+1
an aj-1 bn an aj+1
Аналогичные вычисления можно провести и для разности (левого определителя). Это позволяет получить следующее включение для определителя:
і ... aj-1 Uk=1(At П bj) aj+1 ..Л
Det
С
..
a
n-1 Utj(At П bn) an+1 ...)
С
|J[At П Det
t=1
aj-1 bj aj+1
an-1 bn an+1
Учитывая то, что эту цепочку включений можно продолжить, применяя аналогичные рассуждения к каждому столбцу матрицы A, получим, что
DetA содержится в некоторой линейной комбинации определителей квадратных матриц, построенных из столбцов Bi, B2,... Bk . Так как k < n, то определители таких матриц содержат одинаковые столбцы, и поэтому равны нулю. Следовательно, DetA = 0. Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Соколов О.Б.Применение булевых определителей к анализу логических многополюсников // Учен. записки Казан. ун-та. 1963. Т. 123, №6. С. 155-164.
2. Chesley D.S., Bevis J.H. Determinants for matrices over lattices //Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1969. A68, № 2. P. 138-144.
3. Poplin P.L., Hartwig R.E. Determinantal identities over commutative semirings // Linear Algebra Appl. 2004. № 387. P. 99-132.
4. Поплавский В.Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. C. 111-114.
5. Поплавский В.Б. О равенстве обратных булевых матриц симметрической разности ориентированных присоединенных матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. C. 94-97.
6. Поплавский В.Б. О разложимости определителей булевых (0,1)-матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. C. 105-108.
Д.В. Поплавский, В.А. Юрко
УДК 517.984
ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С УСЛОВИЯМИ РАЗРЫВА ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА
В статье исследуется обратная узловая задача для дифференциальных операторов второго порядка на конечном интервале с краевыми условиями Дирихле и условиями разрыва внутри интервала. Доказана теорема единственности решения обратной узловой задачи и приведена конструктивная процедура восстановления потенциала по заданным узловым точкам. Отметим, что некоторые обратные узловые задачи исследовались в [1-3] и других работах. Эти задачи тесно связаны с обратными спектральными задачами (см. [4-5] и литературу в них).
Рассмотрим краевую задачу L = L(q) вида
-y'' + q(x)y = Ay, x Є (0, I),
y(0) = y(T) = 0,
y' y'
=A
y' y'
'I -»
A=
aii ai2 a2i a22
(1) (2) (3)
где q(x) - вещественная непрерывная функция, aj - вещественные числа, det A = 1, ai2 = 0, aii > 0. Пусть S(x,A) - решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y'(0) = 1 и условию склейки (3).
